Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i + j + k. Ilmoittakoon funktio hx, y) = x y maaston korkeuden merenpinnasta xy-taso). a) Jos ollaan paikassa,, ), niin mihin suuntaan maasto on jyrkin ylöspäin? b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta, 3, 3)? c) Mihin suuntaan pisteessä,, 4) on lähdettävä, jotta pysytään samalla korkeudella? a) hx, y) = x y hx, y) = xyi + x j h, ) = )i + ) j = i + j Eli suuntaan i + j. b) Eli suuntaan 6i j. c) h, 3) = 6i j h, ) = 4i + 4j v h, ) v h, ) = xi + yj)4i + 4j) = 4x + 4y = y = x Olkoon x = y =. Eli suuntaan i j tai i + j. 3. fx, y) = a) laske f, ) { sinxy) x +y kunx, y), ) kunx, y) =, ) b) määritä suuntaderivaatan avulla D u f, ) kun u = i + j)/ c) Derivoituuko fx, y) pisteessä, ), jos ei niin miksei? a) Derivaatan määritelmästä saadaan f x x, y) = lim h fx+h,y) fx,y) h f x, ) = lim h f+h,) f,) h h + sin) f x, ) = lim h h = f, ) = lim h h = == f, ) joten f, ) = b)jos u = i + j)/ niin Määritelmän mukaan suunnattu derivaatta fx+u D u fx, y) = lim h,y+u h) fx,y) h h jossa u = u i + u j nyt u=i + j)/ f+ h,y+ h) fx,y) D u f, ) = lim h h sinh lim /) h h h josta saadaan l'hospitalin saannolla cosh lim /)h h h = c) f ei derivoidu pisteessä, ); jos derivoituisi niin suuntaderivaatta kohdassa b) olisi ollut u f, ) = 4. Määritä funktion fx, y) = x y x+y gradientti, tangenttitason yhtälö sekä suoran yhtälö pisteessäf, ) fx, y) = yi xj x+y), f, ) = i j) tangenttitaso pisteessa a,b) saadaan: z = fa, b) + f x a, b)x a) + f y a, b)y b) sijoittamalla z = + x ) y ) x y z = standardimuotoinen suoran yhtalo: x x f xx,y ) = y y f xx,y ) = z fx,y ) sijoittamalla
x = y 5. = z Oletetaan, että ötökkä on hyberpolisella paraboloidilla z = y x pisteessä,, ). Mihin suuntaan sen pitäisi liikkua, että nousu on jyrkin ja mikä on jyrkkyys kulmakerroin)? Olkoon fx, y) = y x. Koska f x x, y) = x ja f y x, y) = y, f, ) = f x, )i + f y, )j = i + j Joten ötökän tulee liikkua pisteestä,, ) suuntaan i+j, missä jyrkkyys on i + j = 8 =. 6. fx, y) = x sin y Kriittisille pisteille on f x, y) = sin y = f x, y) = x cos y =. Yksikköympyrää tarkastelemalla näemme että sin y ja cos y eivät voi molemmat olla nollia samassa pisteessä. Tästä syystä ainoat kriittiset pisteet löytyvät ehdoilla x = ja sin y =. Näistä ratkaistut kriittiset pisteet ovat, nπ) kaikilla kokonaisluvuilla n. Kun derivoimme saadut derivaatat uudestaan saamme toisiksi derivaatoiksi f x, y) = f x, y) = x sin y. f x, y) = cos y. Sijoittamalla x = ja y = nπ saadaan diskriminantille D = f )f ) f ) arvo D = ±) = < eli kaikki kriittiset pisteet ovat satulapisteitä. 7. fx, y) = cos x + cos y f x, y) = sin x f x, y) = sin y Lasketaan A = f x, y) = cos x, B = f x, y) =, C = f x, y) = cos y. Kriittiset pisteet ovat mπ, nπ), missä m ja n ovat kokonaislukuja. Tällöin B AC = cosmπ)cosnπ) = ) m+n+ joka on negatiivinen jos m + n on parillinen ja positiivinen jos m + n on pariton. Jos m + n on pariton, funktiolla on satulapiste mπ, nπ). Jos m + n on parillinen ja m on pariton, funktiolla on paikallinen ja absoluuttinen) minimiarvo, -, pisteessä mπ, nπ). Jos m + n sekä m ovat parillisia, funktiolla on paikallinen ja absoluuttinen) maksimiarvo,, pisteessä mπ, nπ). 8. fx, y) = + x ) + y ) x + y ) fx, y) = + x ) + y ) x + y ) = x+)y+)x+y) x y f x, y) = y+)xy+x+y) x 3 y f x, y) = x+)xy+y+x) x y 3 Lasketaan A = f x, y) = y+)xy+x+3y) x 4 y B = f x, y) = xy+x+y) x 3 y 3 C = f x, y) = x+)xy+y+3x) x y 4. Kriittisille pisteille y = tai xy + x + y = ja x = tai xy + y + x =. Jos y = niin x = tai x =. Jos x = niin y = tai y =. Jos x ja y niin x y =, eli x + 3x =. Siten x = tai x = 3. Funktion määrittely sulkee pois mahdollisuuden x =. Näin ollen kriittiset pisteet ovat, ),, ),, ) ja 3, 3). Pisteissä, ),, ),, ) saadaan AC = ja B. Näin ollen kyseiset kolme pistettä ovat funktion satulapisteitä. Pisteessä 3, 3) A = C = 4/43 ja B = /43 jolloin AC > B. Näin ollen funktiolla on paikallinen minimi pisteessä 3, 3). 9. xy fx, y) = +x 4 +y 4 f x, y) = +x4 +y 4 )y xy4x 3 +x 4 +y 4 ) = y+y4 3x 4 ) +x 4 +y 4 ) f x, y) = x+x4 3y 4 ) +x 4 +y 4 )
Kriittisille pisteille y + y 4 3x 4 ) = ja x + x 4 3y 4 ) =. Eräs kriittinen piste on,) ja funktion arvo siinä on nolla. Koska funktion lausekkeessa nimittäjä on aina positiivinen ja osoittaja on positiivinen ensimmäisessä ja kolmannessa tason neljänneksessä ja negatiivinen toisessa ja neljännessä neljänneksessä, ei funktio voi saavuttaa origossa ääriarvoa. Kriittinen piste,) on siis satulapiste. Ensimmäisten derivaattojen lausekkeiden osoittajista nähdään, että x- ja y-akseleilla ei ole kriittisiä pisteitä, koska molemmat osittaisderivaatat eivät saa arvoa nolla yhtä aikaa missään muussa pisteessä jossa x = tai y = kuin jo käsitellyssä origossa. Näin ollen minkä tahansa muun kriittisen pisteen täytyy toteuttaa yhtälöt + y 4 3x 4 = ja + x 4 3y 4 =. Ratkaisemalla tämä yhtälöpari saadaan yhtälö y 4 = x 4 joka toteutuu joss y = ±x. Näin ollen x 4 = jolloin x = ± ja y = ±x. Tästä syystä on olemassa neljä muuta kriittistä pistettä:,), -,-),,-) ja -,). Funktio on positiivinen kahdessa ensimmäisessä pisteessä ja negatiivinen kahdessa jälkimmäisessä. Koska fx, y) kaikissa suunnissa kun x + y, ja funktion yllä mainituissa kriittisissä pisteissä saavuttamat arvot ovat sen ylä- ja alapuolella, funktiolla on oltava maksimiarvot pisteissä,) ja -,-), sekä minimiarvot pisteissä,-) ja -,).. fx, y) = x y e x +y ) f x, y) = xy x )e x +y ) f x, y) = x y )e x +y ) Lasketaan A = f x, y) = y 5x + x 4 )e x +y ) B = f x, y) = x x ) y )e x +y ) C = f x, y) = x yy 3)e x +y ) Kriittisille pisteille xy x ) = x y ) =. Kriittiset pisteet ovat, y) kaikilla y:n arvoilla, ±, / ) ja ±, / ). On ilmeistä, että f, y) =. Samoin fx, y) > jos y > ja x. Näin ollen funktiolla on paikallinen minimi pisteessä, y) jos y >, ja paikallinen maksimi jos y <. Origo on satulapiste. Pisteet ±, / ): A = C = e 3/, B = ja siten AC > B. Funktiolla on siten paikalliset maksimiarvot näissä kahdessa pisteessä. Pisteet ±, / ): A = C = e 3/, B = ja siten AC > B. Funktiolla on siten paikalliset minimiarvot näissä kahdessa pisteessä. Koska fx, y) kun x + y, on f±, / ) = e 3/ / funktion absoluuttinen maksimiarvo ja f±, / ) = e 3/ / funktion absoluuttinen minimiarvo.. Määritä pienin etäisyys pisteestä 3, ) paraabelille y = x Lagrangen kertoimien menetelmällä. Tässä minimoidaan funktiota D = x 3) + y ehdolla y = x. Lagrangen funktioiksi voidaan kirjoittaa L = x 3) + y + λx y) Kriittisessä pisteessä meillä on L/ x = x 3) + λx = L/ y = y λ = L/ λ = x y = Eliminoidaan λ. ja. yhtälöstä x+xy 3 =. Sijoitetaan 3. yhtälöön x 3 + x 3 = eli x )x + x + 3) =. Ainoa reaaliratkaisu on x =. Siten käyrän y = x po. lähin piste on, ), ja etäisyys D = 3) + = 5.. Laske ympyränmuotoisen r = m), ohuen metallikiekon suurin ja pienin lämpötilan arvo kappaleen ulkoreunalla, kun lämpötila on jakautunut funktion T x, y) = x 3 + 3y [ C] mukaisesti. Maksimoidaan T x, y) Lagrangen menetelmällä reunaehtona ympyrä, jonka säde r = T x, y) = x 3 + 3y gx, y) = x + y Kirjoitetaan Lagrangen yhtälö Lx, y, λ) = x 3 + 3y + λx + y ) Muodostetaan osittaisdierentiaaliyhtälöt ja merkitään ne nolliksi eli haetaan kriittisiä pisteitä derivaatan nollakohdista) dl dx = 3x + λx = dl dy = 3 + λy = dl dλ = x + y =
λ = 3x x ) y = 3 3x = x x + x = x 4 x + = Ratkaisukaavalla tai suoraan muodosta x = x = ± y = ± Lisäksi täytyy ottaa huomioon piste x =, jolloin + y = y = ± Eli sijoitetaan pisteet, ),, ),, ) ja, ) lämpötilan yhtälöön 3. T, ) = 3 4.43 T, ) = + 3 4.43 T, ) = 3 = 4 T, ) = + 3 = 4 minimi maksimi Etsi funktion fx, y, z) = xy + z suurin ja pienin arvo tason x + y + z = ja pallon x + y + z = 4 leikkauksessa Lagrangen kertoimien menetelmällä. Lagrangen funktio Lx, y) = xy + z + λx + y + z) + µx + y + z 4) L x = y + λ + µx = A) L y = x + λ + µy = B) L z = + λ + µz = C) x + y + z = D) x + y + z 4 = E) Vähentämällä A):n B):stä x y) µ) = µ = tai x = y.. µ =, B) ja C) x+λ+y = ja +λ+z = x + y = + z. Yhdistetään tämä D):n kanssa Koska z = + z eli z = ja x + y =. E) x + y = 4 z = 3. x + y + xy = x + y) = xy = 3 = Nyt xy =. x y) = x + y xy = 3 + = 45 x y = ±3 5. Yhdistämällä tämä x + y = saadaan kriittiset pisteet, kun µ = + 3 5 3 5 ) x, y, z) =,, tai + 3 5 x, y, z) =, + 3 ) 5, ja fx, y, z) = 3 kummassakin kriittisessä) pisteessä.. x = y, D) z = x ja E) 6x = 4 x = ±.,, 4) ja,, 4) kriittisiä pisteitä f,, 4) = 4, f,, 4) =. Eli f,, 4) = maksimi ja f +3 5, + 3 ) 5, = f +3 5 3 ) 5,, = 3 minimi. 4. Osoita, että funktiolla fx, y, z) = 4xyz x 4 y 4 z 4 on paikallinen maksimiarvo pisteessä,, ). D = f + h, + k, + m) f,, ) = 4 + h) + k) + m) + h) 4 + k) 4 + m) 4 = 4 + h + k + m + hk + hm + km + hkm) + 4h + 6h + 4h 3 + h 4 ) + 4k + 6k + 4k 3 + k 4 ) + 4m + 6m + 4m 3 + m 4 ) = 4hk + hm + km) 6h + k + m ) 4h 3 + k 3 + m 3 ) h 4 + k 4 + m 4 ) Joidenkin neliötermien täydennyksen jälkeen saadaan D = [h k) + k m) + h m) + h + k + m ] +... joka on negatiivinen jos h, k ja m ovat pieniä eivätkä kaikki =. Tämä siksi, koska pienillä muuttujien arvoilla kolmannen ja neljännen asteen termit ovat pienempiä kuin toisen asteen termit. Funktiolla on siis paikallinen maksimiarvo pisteessä,, ). 5. Määritä funktion fx, y) = xy x 3 y suurin ja pienin arvo neliössä S = {x, y) x, y }. fx, y) = xy x 3 y, S = {x, y) x, y }
Sisäpisteissä: f = y 3x y, x x 3 y ) =, ) b) Reunalla x + y = 4 y = ± 4 x, x [, ] sij. funktioon f { y 3x y ) = x x y ) = { y = 3x y = x = x y = x = y =, ) on kriittinen piste. hx) = fx, 4 x ) = x 4 x gx) = fx, 4 x ) = x 4 x h x) = 4 x + x x) = 4 x 4 x x = x = ± g x) = 4 x + x = 4 x 4 + x + x = x = ± x y = x y = 3 f, ) =, ei ratkaisua. h ) =, h ) = ) = 4 h ) = 4, h) = g ) =, g ) = ) = 4 g ) = 4, g) = Reuna: x =, y : fx, y) = y =, x : fx, y) = x =, y : fx, y) = hy) = y y, Maksimiarvo: f, ) = f, ) = 4 Minimiarvo: f, ) = f, ) = 4 h) = h) =, h y) = y = y = h = ) 4 = 4 x, y = : fx, y) = gx) = x x 3 g) = g) =, g x) = 3x = x = ) g 3 = 3 3 3 3 = 3 3 > 4 7. Määritä vakiot a, b ja c siten, että integraali I = x 3 ax bx c) dx minimoituu. I = a, b, c) = x 3 ax bx c) dx Valitaan: Suurin f 3, ) = f, x) = f, ) =. 6. 3 3 ja pienin f, y) = Etsi funktion fx, y) = xy pienin ja suurin arvo joukossa A = { x, y) x + y 4 }. a) Sisäpisteissä { fx = y = f y = x = KRP =, ) f, ) = =. I a I b I c = = = / / / x x 3 ax bx c) dx = xx 3 ax bx c) dx = x 3 ax bx c) dx = x 6 ) ax5 6 5 bc4 4 cx3 = 3 x 5 ) ax4 5 4 bc3 3 cx = x 4 ) ax3 4 3 bc cx = a 5b c = 5a b 3c = 3 4a 6b c = f xx =, f yy =, f xy = D = = 4 <, ) satulapiste Ei ääriarvoja a = 3, b = 3 5, c =
8. Etsi Maclaurin-sarja funktiolle 9. Määrää funktion sinx π/4) a) fx, y) = sinx + 3y). asteen Taylorin polynomi pisteessä,). b) fx, y) = lnx + y ) 3. asteen Taylorin polynomi pisteessä,). a) P n x, y) = n j= h j! x + k ) j fa, b), y { h = x a k = y b P x, y) = fa, b) + f a, b)h + f a, b)k + f a, b)h + f a, b)hk + f a, b)k )! fx, y) = sinx + 3y), f, ) = f = cosx + 3y), f, ) = f = 3 cosx + 3y), f, ) = 3 f = 4 sinx + 3y), f, ) = f = 6 sinx + 3y), f, ) = f = 9 sinx + 3y), f, ) = P x, y) = + x ) + 3y ) = x + 3y. Tai merkitään t = x + 3y ft) = sin t = t t3 3! + t5 5!... f = f = + f a, b)h + f a, b)hk + f a, b)k ) f = f = + 6 f a, b)h + 3f a, b)h k +3f a, b)hk + f a, b)k ) fx, y) = lnx + y), f, ) = f = f = x + y x x x + y) x x + y, f, ) = y x + y, f, ) = = y x) x + y), f, ) = f = 4xy x + y), f, ) = 4yy x)x + y) y x) yx + y) x + y) 4, f = f, ) = x + y) 4y x + y) = f, ) = x y) x + y), 4xx y)x + y) x y) 4xx + y) x + y) 4, f, ) = 4 4xx + y) y x)4xx + y) x + y) 4, f, ) = 4 4yx + y) x y)4yx + y) f = x + y) 4, f, ) = P 3 x, y) = x ) + x ) + y ) + 4x ) 3 3 4x )y ) 6 = x ) x ) + y + 3 x )3 x )y Tai merkitään + t = x x = + t + t fx, y) = lnx + y) = ln + t + t + y) = t + t + y t + t + y) + t + t + y)... 3 = t + t + y 4t + t + 4ty +...) + 8 3 t3 +.... Enintään 3. asteen potenssit merkitty.) P 3 x, y) = x ) x ) +y + 3 x )3 x )y = x + 3y 3 x + 3y)3 +... P x, y) = x + 3y. b) fx, y) = lnx + y ) P 3 x, y) = fa, b) + f a, b)h + f a, b)k. x+y Määrää funktion fx, y) = e t dt 3. asteen Taylorin polynomi pisteessä,).
= fx, y) = / x+y x+y e t dt = x+y t +... ) dt t t3 ) 3 +... = x + y 3 x + y ) 3 +... joten 3. asteen Taylorin polynomi,):ssa on P 3 x, y) = x + y 3 x3. 3. Määritä z s a) suoralla sijoituksella b) ketjusäännöllä, kun z = sinxy), missä x = st ja y = s + t.. Laske sopivalla linearisaatiolla likiarvo funktiolle fx, y) = sinπxy + ln y) pisteessä.,.5). fx, y) = sinπxy + ln y), piste.,.5). fx, y) fa, b) + f a, b)x a) + f a, b)y b) a, b) =, ), f, ) = sinπ + ln ) = f x, y) = πy cosπxy + ln y), f, ) = π f x, y) = πx + ) cosπxy + ln y), f, ) = y f.,.5) f, ) + f, ). ) +f, ).5 ) = a) b) z = sin st 4 s + ) ) = sins 4 t 4 + s t 3 ) t z s = 4s3 t 4 + st 3 ) coss 4 t 4 + s t 3 ) z s = z x x s + z y y s = xy cosx y)t + x cosx y)s = st s + ) ) t + s t 4 s coss 4 t 4 + s t 3 ) t = 4s 3 t 4 + st 3 ) coss 4 t 4 + s t 3 ) + π. +.5 =.π +.5 Aktuaalinen virhe =.86857.π +.5 =.697.). Käytä sopivaa linearisaatiota löytääksesi likimääräiset arvot funktiolle fx, y, z) = x + y + 3z pisteessä.9,.8,.). fx, y, z) = x + y + 3z, f,, ) = 3 f x, y) = f x, y) = f 3 x, y) = x + y + 3z x + y + 3z 3 x + y + 3z f.9,.8, ) f,, ) + f,, ).9 ) 4. a) Määritä käyräparven x c) + y = c verhokäyrät. b) Millä vakion k arvoilla käyräparvella x + y c) = kc on verhokäyrä? a) { fx, y, c) = x c) + y c = f c x, y, c) = x c) = x c) = ) + y = 4 + y = c x 4 y ) = x + + y = +f,, ).8 ) + f,, ). ) = 3. 6. 3 +..967 b) x = y 4 x + y c) = kc, k
{ x + y c) = kc y c) = kc k)c = y c = ) k)y y x + = ky k k) y k x + k y k) = ky k) x k k y = Täten 5.. k = x = eli y-akseli k. < k < y = ± x k 3. h = y = eli x-akseli Mikä on suurin ala joka suorakulmiolla voi olla, jos sen lävistäjä on? Lävistäjän pituus on x + y = ja suorakulmion ala on xy. Maksimoidaan funktio fx, y) = xy ehdolla gx, y) = x + y 4 =. Vastaavat gradientit ovat fx, y) = f x i + f y j = yi + xj gx, y) = g x i + g y j = xi + yj Lagrangen yhtälöiksi tulee. y = λx). x = λy) 3. x + y = 4 Yhtälöt tulee ratkaista samanaikaisesti. Jos ensimmäinen yhtälö kerrotaan y :llä ja toinen x :llä, saadaan y = λxy ja x = λxy, josta 4. y = x 3) ja 4) saadaan x = ja y = ja sijoittamalla nämä arvot yhtälöön ), saadaan λ =. Joten ratkaisu yhtälöön ) 3) :n kautta, pitämällä x ja y positiivisena, saadaan x =, y = ja λ =. Päätellään, että suorakulmion ala on suurin, kun lävistäjä on, on neliö jonka sivut ovat. Suorakulmion ala on.