Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43
Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen interpolointi Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 2 / 43
Interpolaatiovirheestä Interpolaatiovirheestä Tasavälisellä pisteistöllä interpolaatiovirhettä voidaan arvioida seuraavasti: Lause 5.4 Olkoon a = x 0 < x 1 < < x n = b tasavälinen pisteistö, h = x i+1 x i ja f C (n+1) ([a, b]). Silloin f (t) p n (t) M n 4(n + 1) hn+1, t [a, b], missä M n = max f (n+1) (x). x [x 0,x n] Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 3 / 43
Esimerkki 5.5 Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Lause 5.4.: f (t) p n (t) M n 4(n + 1) hn+1, M n = max f (n+1) (x). x [x 0,x n] Olkoon f (x) = sin x, x 0 = 0 ja x n = π. Tällöin max f (t) p n (t) 1 h n+1, t [x 0,x n] joten polynomi p n suppenee tasaisesti kohti funktiota f välillä [0, π], kun interpolaatiopisteiden lukumäärää n kasvatetaan rajatta. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 4 / 43
Interpolaatiovirheestä Interpolaatiovirheestä jatkuu Lauseen 5.4. epäyhtälöä on käytettävä varoen, sillä vakio M n yleensä riippuu myös interp.polynomin asteesta n. Lisäksi vakion M n laskeminen mielivaltaiselle funktiolle f on käytännössä aivan liian työlästä. Funktion f sileys ja datapisteiden paljous ei takaa pientä interpolaatiovirhettä, kuten seuraava klassinen Rungen esimerkki osoittaa. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 5 / 43
Esimerkki 5.6 Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Olkoon interpoloitava funktio f (x) = (1 + x 2 ) 1. Olkoon p n interpolaatiopolynomi, joka interpoloi funktiota f tasavälisissä pisteissä välillä [ 5, 5]. Silloin voidaan osoittaa, että lim n max f (x) p n(x) =. x [ 5,5] Siis datapisteiden lisääminen lisää maksimi interpolaatiovirhettä. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 6 / 43
Esimerkki 5.6 jatkuu Interpolaatiovirheestä 2 f.dat p10.dat 1.5 1 0.5 0-0.5-4 -2 0 2 4 Rungen funktiota interpoloiva oskilloiva interpolaatiopolynomi p 10. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 7 / 43
Esimerkki 5.7 Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Mikäli interpolaatiopisteiden paikat voidaan itse valita, niin tasavälinen pisteistö ei yleensä ole optimaalinen. Kuvassa on esitetty Rungen funktiota välillä [ 5, 5] interpoloivat polynomit p 10 ja p 20, kun interp.pisteinä on käytetty Tšebyševin interpolaatiopisteitä. Tässä tapauksessa p n f tasaisesti, kun interp.pisteiden lukumäärä n. 1.2 1 cheby10.dat cheby20.dat 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-4 -2 0 2 4 Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 8 / 43
Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet Mikäli interpolaatiopisteiden paikat voidaan itse valita, ei tasavälinen pisteistö yleensä ole optimaalinen. Pyritään seuraavassa valitsemaan interp.pisteet erikoistapauksessa [a, b] = [ 1, 1] siten, että interpolaatiovirhe minimoituu. Eräs ns. ortogonalisten polynomien luokka on Tšebyševin polynomit, jotka voidaan määritellä rekursiivisesti T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 9 / 43
Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu Välillä [ 1, 1] polynomit T n voidaan lausua myös trigonometristen funktioiden avulla T n (x) = cos(n arccos x), n 0. Yo. esityksestä nähdään, että T n (x) 1, x 1, ( )) 2i + 1 T n (cos 2n π = 0, i = 0,..., n 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 10 / 43
Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu Nyt voidaan osoittaa, että jos interpolaatiopisteiksi valitaan Tšebyševin polynomin T n+1 juuret ( ) 2i + 1 x i = cos 2n + 2 π, i = 0,..., n, niin f (x) p n (x) 1 2 n (n + 1)! max t 1 f (n+1) (t), x 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 11 / 43
Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu Yleiseen väliin [a, b] liittyvät Tšebyševin interpolaatiopisteet { x i } saadaan välin [ 1, 1] interpolaatiopisteistä {x i } affiinimuunnoksella x i = 1 2 (a + b) + 1 2 (b a)x i. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 12 / 43
Jono interpolaatiopolynomeja ei välttämättä lähesty interpoloitavaa sileää funktiota kun interp.pisteitä lisätään. Tasavälinen pisteistö ja korkea-asteinen interpolaatiopolynomi aiheuttavat usein voimakasta oskillointia, sitä voimakkaammin mitä korkeamman asteen polynomia käytetään. Ratkaisu: Jaetaan havaintoväli osaväleihin havaintopisteiden avulla ja käytetään osaväleillä paloittaisia, matala-asteisia polynomeja. Edelleen vaaditaan, että osaväleiltä yhdistetty funktio on sileä. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 13 / 43
Määritelmä 5.2. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon väli I = [a, b] jaettu n:ään osaväliin pisteillä a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b. Funktio s : I R on k-asteinen splini, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1 Jokaisella osavälillä I i = [t i 1, t i ], i = 1,... n, funktio s on korkeintaan k-asteinen polynomi. 2 Funktiolla s on välillä I jatkuvat derivaatat kertalukuun k 1 asti. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 14 / 43
Splinit Luku5: Interpolointi ja approksimointi Pisteitä t i sanotaan splinin solmuiksi. Yksinkertaisin, ensimmäisen asteen splini on paloittain lineaarinen funktio. Toisen asteen splini on paloittain kvadraattinen funktio; lisäksi sen derivaatta on jatkuva koko välillä I. Yleisimmin käytetty splini on kolmannen asteen splini eli kuutiosplini, koska se on käytännössä riittävän sileä, mutta samalla helpohkosti konstruoitava. Matala-asteiset splinit sopivat erinomaisesti interpolaatiotehtäviin, koska niillä ei ole taipumusta oskillointiin. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 15 / 43
Splinit Luku5: Interpolointi ja approksimointi Splinien käyttömahdollisuudet eivät rajoitu vain interpolaatioon. Yleisempi funktion approksimointi, numeerinen integrointi ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen voidaan tehdä splinien avulla. Myös tietokonegrafiikassa käytetään usein splinejä sileiden käyrien ja pintojen muodostamiseen. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 16 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa Olkoon väli I = [a, b] jaettu n:ään osaväliin pisteillä a = t 0 < t 1 < < t n = b ja olkoon annettu datapisteistö (t i, y i ), i = 0,..., n. Merkitään h i := t i t i 1, i = 1, 2,..., n. Splinin tulee nyt toteuttaa interpolointiehto s(t i ) = y i, i = 0,..., n. Kuutiosplinin määr. perusteella s, s ja s ovat jatkuvia välillä I. s on paloittain kuutiollinen polynomi s paloittain kvadraattinen polynomi ja s paloittain lineaarinen polynomi. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 17 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Nyt jokaisella osavälillä I i s on lineaarinen, ts. s on suora, joka yhdistää pisteet (x 0, y 0 ) = (t i 1, M i 1 ) ja (x 1, y 1 ) = (t i, M i ), missä s (t i ) = M i. Ko. suoran yhtälö on y = M i M i 1 (x t i 1 ) + M i 1 t i t i 1 = M i (x t i 1 ) M i 1 (x t i 1 ) + M i 1 h i h i = M i (x t i 1 ) + M i 1 (t i 1 x) + M i 1 hi h i h i h i = M i (x t i 1 ) + M i 1 (t i t i 1 +t h i h i }{{} i 1 x) h i Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 18 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Nyt siis jokaisella osavälillä I i pätee (M i, M i 1 tuntemattomia) s t i x (x) = M i 1 h i Integroimalla yo. saadaan: + M i x t i 1 h i, x I i. s (x) = M i 1 (t i x) 2 2h i + M i (x t i 1 ) 2 2h i c i + d i. Integroidaan vielä kerran, saadaan osavälillä I i : s(x) = M i 1 (t i x) 3 6h i + M i (x t i 1 ) 3 6h i + c i (t i x) + d i (x t i 1 ). Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 19 / 43
Kuutiosplini: interpolointiehdot Määrätään vakiot c i, d i asettamalla interpolointiehto s(t i 1 ) = y i 1 ja s(t i ) = y i : (t i t i 1 ) 3 (t i 1 t i 1 ) 3 s(t i 1 ) = M i 1 + M i 6h i 6h i +c i (t i t i 1 ) + d i (t i 1 t i 1 ) (t i t i 1 ) 3 = M i 1 + c i (t i t i 1 ) 6h i hi 2 = M i 1 6 + c ih i = y i 1 c i = 1 h (y 2 ) i i 1 M i 1 h i 6 Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 20 / 43
Kuutiosplini: interpolointiehdot Samoin asetetaan interpolointiehto s(t i ) = y i ja saadaan: (t i t i 1 ) 3 hi 2 s(t i ) = M i + d i (t i t i 1 ) = M i 6h i 6 + d ih i = y i d i = 1 h (y 2 ) i i M i h i 6 Näin saadaan (taas välillä I i, i = 1,..., n) (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h i + 1 h i (y i 1 M i 1h 2 i 6 ) (t i x) + 1hi ( y i M ih 2 i 6 ) (x t i 1 ). Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 21 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Derivoimalla edellinen saadaan (taas välillä I i, i = 1,..., n) s (x) = M i 1 (t i x) 2 2h i + M i (x t i 1 ) 2 1 h i (y i 1 M i 1h 2 i 6 2h ) ( i + 1hi y i M ihi 2 6 (t i x) 2 (x t i 1 ) 2 = M i 1 + M i + y i y i 1 M i 2h i 2h i h i 6 h i + M i 1 6 h i. ) Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 22 / 43
Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat Erityisesti välin I i päätepisteessä t i saadaan toispuoleiseksi derivaataksi s (t (t i x) 2 (x t i 1 ) 2 i ) = lim M i 1 + M i x t 2h i i 2h i + y i y i 1 h i hi 2 = M i + y i y i 1 2h i h ( i hi = 2 h i 6 M i 6 h i + M i 1 6 h i M i 6 h i + M i 1 6 h i ) M i + h i 6 M i 1 + y i y i 1 h i = h i 6 M i 1 + h i 3 M i + y i y i 1 h i Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 23 / 43
Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat Samoin s (t + i ) = lim x t + i M i (t i+1 x) 2 2h i+1 + M i+1 (x t i ) 2 2h i+1 + y i+1 y i h i+1 M i+1 6 h i+1 + M i 6 h i+1 hi+1 2 = M i + y i+1 y i M i+1 2h i+1 h i+1 6 h i+1 + M i 6 h i+1 ( hi+1 = 2 h ) i+1 M i h i+1 6 6 M i+1 + y i+1 y i h i+1 = h i+1 3 M i h i+1 6 M i+1 + y i+1 y i h i+1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 24 / 43
Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat Koska s on jatkuva välillä I, on oltava s (t i ) = s (t + i ), i = 1,..., n 1, joten saadaan yhtälöt (i = 1,..., n 1) h i 6 M i 1 + h i 3 M i + y i y i 1 h i = h i+1 3 M i h i+1 6 M i+1 + y i+1 y i h i+1 josta saadaan (i = 1,..., n 1) h i 6 M i 1 + h i + h i+1 M i + h i+1 3 6 M i+1 = y i+1 y i h i+1 y i y i 1 h i. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 25 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Sievennetään edellä saatua lauseketta h i 6 M i 1 + h i + h i+1 3 M i + h i+1 6 M i+1 = y i+1 y i h i+1 } {{ } σ i+1 Kertomalla yo. 6 h i +h i+1 :lla saadaan (i = 1,..., n 1) h i h i + h }{{ i+1 } µ i M i 1 + 2M i + h i+1 h i + h i+1 } {{ } λ i M i+1 = Yhtälöt saadaan yksinkertaisempaan muotoon y i y i 1 h i } {{ } σ i 6 h i + h i+1 (σ i+1 σ i ) }{{} d i µ i M i 1 + 2M i + λ i M i+1 = d i, i = 1,..., n 1.. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 26 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Edellä siis määriteltiin merkintöjen yksinkertaistamiseksi luvut σ i := y i y i 1 h i, i = 1,..., n, λ i := h i+1 h i + h i+1, i = 1,..., n 1, µ i := 1 λ i, i = 1,..., n 1, d i := 6(σ i+1 σ i ) h i + h i+1, i = 1,..., n 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 27 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Yhtälöt kertoimien M 0,..., M n ratkaisemiseksi saatiin edellä muotoon µ i M i 1 + 2M i + λ i M i+1 = d i, i = 1,..., n 1. n 1 yhtälöä, n + 1 kerrointa M 0,..., M n Yksikäsitteiseen ratkeavuuteen tarvitaan vielä kaksi lisäehtoa. Esitetään tarvittavat kaksi lisäehtoa muodossa 2M 0 + λ 0 M 1 = d 0, µ n M n 1 + 2M n = d n, missä λ 0, d 0, µ n, d n ovat myöhemmin määrättäviä vakioita. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 28 / 43
Kuutiosplini: yhtälöryhmä Nyt splinin kertoimien määrääminen on siis palautunut tridiagonaalisen yhtälöryhmän 2 3 2 3 2 3 2 λ 0 M 0 d 0 µ 1 2 λ 1 M 1 d 1 µ 2 2 λ 2 M 2 d 2.... =. 6 µ n 2 2 λ n 2 7 6M n 2 7 6d n 2 7 4 µ n 1 2 λ 5 4 n 1 M 5 4 n 1 d 5 n 1 µ n 2 M n d n (1) ratkaisemiseen. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 29 / 43
Kuutiosplini: lauseke Kun yhtälöryhmän ratkaisemisen jälkeen kertoimet M i tunnetaan, niin splinin arvo s(x) voidaan laskea lausekkeesta (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h ( i + y i 1 M i 1hi 2 ) ( ti x + y i M ih 2 ) i x ti 1. 6 h i 6 h i Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 30 / 43
Kuutiosplini: lisäehdot Yhtälöryhmälle (1) saadaan yksikäsitteinen ratkaisu, jos asetetaan jokin seuraavista ehdoista: Luonnollinen kuutiosplini, s.o. s (a) = s (b) = 0, saadaan kun yllä valitaan λ 0 = d 0 = µ n = d n = 0. Tällöin siis M 0 = M n = 0. Derivaattaehto s (a) = y 0, s (b) = y n, saadaan kun λ 0 = µ n = 1, d 0 = 6 ( ) y1 y 0 y 0, h 1 h 1 d n = 6 ( y n y ) n y n 1. h n h n Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 31 / 43
Kuutiosplini: lisäehdot Not a knot -ehto saadaan asettamalla vain välin I sisäsolmut t i, i = 1,..., n 1 splinin määritteleviksi solmuiksi ja vaatimalla s(a) = y 0, s(b) = y n. Tällöin tulee yhtälöitä kaksi kappaletta vähemmän ja vakiot λ 1, d 1, µ n 1, d n 1 saadaan sijoittamalla x = t 0 ja x = t n splinin lausekkeeseen. Tässä vaihtoehdossa lisäehtoja ei tarvita. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 32 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Nyt selvästi 0 < λ i < 1, i = 1,..., n 1 ( λ i = h ) i+1 h i + h i+1 ja 0 < µ i < 1, i = 1,..., n 1 (µ i = 1 λ i ). Jos nyt lisäksi λ 0 < 2, µ n < 2, niin yhtälöryhmän kerroinmatriisi on diagonaalisti dominantti, ja yhtälöryhmällä (1) on 1-käs. ratkaisuvektori, joka sisältää splinin tuntemattomien M 0,..., M n arvot. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 33 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu 2 3 2 3 2 3 2 λ 0 M 0 d 0 µ 1 2 λ 1 M 1 d 1 µ 2 2 λ 2 M 2 d 2.... =. 6 µ n 2 2 λ n 2 7 6M n 2 7 6d n 2 7 4 µ n 1 2 λ 5 4 n 1 M 5 4 n 1 d 5 n 1 µ n 2 M n d n Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 34 / 43
Esimerkki 5.9. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon annettu datapisteistö (1, 1), (2, 1 2 ), (3, 1 3 ), (4, 1 4 ). Muodostetaan pisteistöön liittyvä luonnollinen kuutiosplini. Koska M 0 = M 3 = 0, splinin määräävä yhtälöryhmä 2 3 2 3 2 3 2 λ 0 M 0 d 0 6µ 1 2 λ 1 7 6M 1 7 4 µ 2 2 λ 2 5 4M 2 5 = 6d 1 7 4d 2 5 µ 3 2 M 3 d 3 saa muodon»»» 2 λ1 M1 d1 =. µ 2 2 M 2 d 2 Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 35 / 43
Esimerkki 5.9. jatkuu Nyt h i = t i t i 1 = 1, i = 1,..., 3. λ i := h i+1 h i + h i+1 λ 1 = h 2 h 1 + h 2 = 1 2, λ 2 = h 3 h 2 + h 3 = 1 2 µ i := 1 λ i µ 2 = 1 λ 2 = 1 2 σ i := y i y i 1 h i σ 1 = σ 3 = 1 4 1 3 1 = 1 12 1 2 1 = 1 1 2, σ 2 = 1 3 1 2 1 = 1 6, Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 36 / 43
Esimerkki 5.9. jatkuu d i := 6(σ i+1 σ i ) h i + h i+1 d 1 = 6( 1 6 ( 1 2 )) h 1 + h 2 = 1, Siten yhtälöryhmäksi saadaan d 2 = 6( 1 12 ( 1 6 )) h 2 + h 3 = 1 4,»»» 2 1/2 M1 1 = 1/2 2 M 2 1/4 josta M 1 = 1/2 ja M 2 = 0. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 37 / 43
Esimerkki 5.9. jatkuu Splinin lauseke kullakin välillä I i saadaan kaavasta (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h ( i + y i 1 M i 1hi 2 ) ( ti x + y i M ih 2 ) i x ti 1 6 h i 6 h i sijoittamalla M 0 = 0, M 1 = 1 2, M 2 = 0, M 3 = 0, h i = 1 ja (t 0, y 0 ) = (1, 1), (t 1, y 1 ) = (2, 1 2 ), (t 2, y 2 ) = (3, 1 3 ), (t 3, y 3 ) = (4, 1 4 ). Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 38 / 43
Esimerkki 5.9. jatkuu Esimerkiksi välillä I 1 = [1, 2] ts. (i = 1)... (t 1 x) 3 (x t 0 ) 3 s(x) = M 0 + M 1 6h 1 6h ( 1 + y 0 M 0h1 2 ) ( t1 x + y 1 M 1h1 2 6 h 1 6 = 1 (x 1) 3 ( 1 + (1 0)(2 x) + 2 6 2 1 2 = 1 12 x 3 1 4 x 2 1 3 x + 3 2 ) x t0 1 6 h 1 ) (x 1) Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 39 / 43
Esimerkki 5.9. jatkuu Splinin koko lausekkeeksi saadaan 1 12 x 3 1 4 x 2 1 3 x + 3 2, 1 x 2 s(x) = 1 12 x 3 + 3 4 x 2 7 3 x + 17 6, 2 x 3 Huomaa, että s ja s ovat jatkuvia välillä [1, 4]. 1 12 x + 7 12, 3 x 4. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 40 / 43
Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Kuutiosplinin voidaan ajatella syntyvän kun suora, hoikka ja taipuisa metallitanko pakotetaan kulkemaan datapisteiden kautta. Tangon taivutusenergia on 1 b 2 a [s (x)] 2 dx, missä s(x) on tangon poikkeama lepotilasta pisteessä x. Seuraava lause sanoo, että luonnollinen kuutiosplini minimoi taivutusenergian lausekkeen. Lause 5.6. Jos luonnollinen kuutiosplini s interpoloi funktiota f C (2) ([a, b]) pisteissä a = t 0 < t 1 <... < t n = b, niin b a [s (x)] 2 dx b a [f (x)] 2 dx. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 41 / 43
Lause 5.7. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon f C (2) ([a, b]), y i := f (t i ) ja h = max h i. Jos luonnollinen kuutiosplini s on interpolaatiotehtävän s(t i ) = y i, i = 0,..., n ratkaisu, niin interpolaatiovirheelle saadaan arviot missä max a x b f (x) s(x) h 3 2 E(f ) max a x b f (x) s (x) h 1 2 E(f ), b E(f ) = a [f (x)] 2 dx. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 42 / 43
Huomautus 5.2. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Vaikka splini-interpolantti käyttäytyykin hyvin välillä I, ei sitä kannata käyttää extrapolaatioon. Esimerkiksi tekijä (x t n 1 ) 3 splinin lausekkeessa kasvaa voimakkaasti välin I ulkopuolelle, jolloin interpolaatiovirhe kasvaa myös hyvin voimakkaasti. Tästä syystä ekstrapolaatiota on syytä välttää tai ainakin rajoituttava ekstrapoloimaan mahdollisimman lähellä annettua datapisteistöä. Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 43 / 43