Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51

Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen kuvan muodostaa joukko {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R, v 1, v 2 R 3 }? Seuraavaksi tarkastellaan vektoreiden v 1,..., v k R n määräämää lineaarista verhoa {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ k v k λ 1,..., λ k R}. Jos on olemassa kertoimet λ 1,..., λ k R niin, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ k v k, niin x on vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio. 2 / 51

Lineaarikombinaatio Vektoreiden v 1,..., v k R n määräämä lineaarinen verho on {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ k v k λ 1,..., λ k R}. (1) Loppukurssin yksi tärkeimmistä tavoitteista on löytää pienin mahdollinen vektorijoukko v 1,..., v l R n (kanta), joka riittää määräämään joukon (1). Esimerkiksi, jos v 1 ja v 2 ovat samansuuntaiset eli v 2 = tv 1, t R ja v 1, v 2 R 3, niin {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R} = {(λ 1 + tλ 2 )v 1 λ 1, λ 2, t R} = {λv 1 λ R} ja vektori v 1 riittää määräämään tämän joukon. Nyt vektorit v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippuvat (koska v 2 = tv 1 eli v 2 tv 1 = 0). Jos v 1 ja v 2 ovat erisuuntaiset, ne ovat lineaarisesti riippumattomat. 3 / 51

Lineaarikombinaatio Määritelmä 1 Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Esimerkki 1 Olkoot v 1 = (1, 1) ja v 2 = ( 2, 1). Esimerkiksi x = 2v 1 = (2, 2), w = v 1 + 2v 2 = ( 3, 3), z = v 2 v 1 = (1, 2) ja u = 2v 1 = ( 2, 2) ovat vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatioita. 4 / 51

Lineaarikombinaatio Esimerkki 1 jatkuu Tarkastellaan sitten vektoria y = (1, 2). Se on vektorien v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, jos on olemassa reaaliluvut λ 1 ja λ 2, että y = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 eli (1, 2) = λ 1 (1, 1) + λ 2 ( 2, 1). Tämä on yhtäpitävä yhtälöryhmän { λ 1 2λ 2 = 1 λ 1 + λ 2 = 2 kanssa. Yhtälöryhmällä on ratkaisu λ 1 = 5 3 ja λ 2 = 1 3, joten y voidaan kirjoittaa vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa y = 5 3 v 1 + 1 3 v 2 = 5 3 (1, 1) + 1 ( 2, 1) = (1, 2). 3 5 / 51

Esimerkki 1 jatkuu w y x v 2 =(-2,1) v 1 =(1,1) u z 6 / 51

Lineaarikombinaatio Määritelmä 2 i:s Merkitään e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) R n, i = 1,..., n. Vektoreita e 1, e 2,..., e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi. Esimerkki 2 Vektori (3, 4, 5) R 3 on luonnollisten kantavektorien e 1, e 2, e 3 R 3 lineaarikombinaatio, sillä (3, 4, 5) = 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = 3e 1 + 4e 2 + 5e 3. 7 / 51

Lineaarikombinaatio Esimerkki 3 Olkoot x = ( 1, 1, 2), v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2). Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? Tutkitaan, löytyykö sellaiset λ 1, λ 2, λ 3 R, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 ( 1, 1, 2) = λ 1 (1, 2, 0) + λ 2 (3, 0, 4) + λ 3 (2, 1, 2) ( 1, 1, 2) = (λ 1 + 3λ 2 + 2λ 3, 2λ 1 + λ 3, 4λ 2 + 2λ 3 ) λ 1 + 3λ 2 + 2λ 3 = 1 2λ 1 + λ 3 = 1 4λ 2 + 2λ 3 = 2. 8 / 51

Lineaarikombinaatio Esimerkki 3 jatkuu λ 1 = 1 2 1 2 λ 3 λ 2 = 1 2 1 2 λ 3 λ 3 R. Yhtälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua. Valitsemalla esimerkiksi λ 3 = 0 saadaan x = 1 2 v 1 1 2 v 2 + 0 v 3. Täten x on vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Huomaa, että esitys ei ole yksikäsitteinen. 9 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Määritelmä 3 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = 0. 10 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Annettujen vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarisen riippuvuuden/riippumattomuuden tutkiminen: Ratkaise λ 1,..., λ k R vektoriyhtälöstä λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ k v k = 0. (2) Jos ainoa ratkaisu on λ 1 = = λ k = 0, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Muutoin ne ovat lineaarisesti riippuvat, eli tällöin on olemassa vähintään yksi λ i 0, i {1,..., k}, niin, että (2) pätee. Joskus lineaarinen riippuvuus nähdään helposti: Vektorit v 1 = (1, 0), v 2 = (1, 2) ja v 3 = (3, 4) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä ( 1)v 1 + ( 2)v 2 + 1v 3 = (1, 0) 2(1, 2) + (3, 4) = (0, 0). 11 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Huomautus 1 Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka. Sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia. 12 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 4 (a) Lineaarisesti riippuvat (b) Lineaarisesti riippuvat (c) Lineaarisesti riippumattomat 13 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 5 (a) Vektorit v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v 1 + 1 v 2 2 v 3 = (1, 2, 0) + (3, 0, 4) (4, 2, 4) = (0, 0, 0) = 0. (b) Joukko {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} R 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), seuraa, että (λ 1, 0, λ 2 ) = (0, 0, 0) eli λ 1 = 0 = λ 2. 14 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 1 Olkoot v 1,..., v k, v R n. (a) Jos v i = 0 jollakin i = 1,..., k, niin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Olkoon V = {v} R n. Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v 0. (c) Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,..., v k, v R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v R n mikä tahansa. (d) Lineaarisesti riippumattoman joukon S = {v 1,..., v k } R n jokainen epätyhjä osajoukko A = {v i1,..., v ir } S on lineaarisesti riippumaton. 15 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus (a) Oletetaan, että v i = 0. Valitaan λ j = 0 kaikilla j i ja λ i = 1. Tällöin k λ j v j = 0 v 1 + + 0 v i 1 + 1 v i + 0 v i+1 + + 0 v k j=1 = 0 + 1 0 = 0 ja λ i 0. Koska riittää, että vähintään yksi λ i on nollasta eroava, vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia. (b) : Jos v = 0, niin (a)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva. : Jos v 0, niin λv = 0 vain, jos λ = 0, joten V on lineaarisesti riippumaton. 16 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus. (c) Harjoitustehtävä (d) Jos A = S, niin A on lineaarisesti riippumaton joukko. Olkoon A S ja S \ A = {v ir+1,..., v ik }. Jos A on lineaarisesti riippuva joukko, niin on olemassa sellaiset λ i1,..., λ ir R, että 0 jollakin j = 1,..., r ja λ ij Näin ollen λ i1 v i1 +... + λ ir v ir = 0. λ i1 v i1 +... + λ ir v ir + 0 v ir+1 +... + 0 v ik = 0, missä λ ij 0, joten vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia, sillä {v i1,..., v ik } = {v 1,..., v k }. Tämä on ristiriita oletuksen kanssa. Näin ollen A on lineaarisesti riippumaton joukko. 17 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 6 Tutkitaan ovatko vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) lineaarisesti riippumattomia eli seuraako ehdosta λ 1 (2, 1, 1) + λ 2 (3, 4, 2) + λ 3 (5, 10, 8) = 0, että λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Tutkitaan siis yhtälöryhmää 2λ 1 + 3λ 2 + 5λ 3 = 0 λ 1 4λ 2 10λ 3 = 0. λ 1 2λ 2 8λ 3 = 0 18 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 6 jatkuu Nyt laajennettu kerroinmatriisi on 2 3 5 0 0 7 21 0 1 4 10 0 A 31( 2) 0 6 18 0 A 1 2 8 0 32 (1) 1 2 8 0 M 1 ( 1 7 ) M 2 ( 1 6 ) P 13 0 1 3 0 0 1 3 0 1 2 8 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 0 eli A 21( 1) A 23 (2) { λ1 2λ 3 = 0 λ 2 + 3λ 3 = 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 2 0 λ 1 = 2λ 3 λ 2 = 3λ 3 λ 3 R 19 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 6 jatkuu Yhtälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua, joista yksi saadaan valitsemalla λ 3 = 1, jolloin λ 1 = 2 ja λ 2 = 3. Nyt 2(2, 1, 1) 3(3, 4, 2) + (5, 10, 8) = (4, 2, 2) + ( 9, 12, 6) + (5, 10, 8) = (0, 0, 0). Näin ollen vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) ovat lineaarisesti riippuvia. 20 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 2 Olkoon äärellisessä joukossa V R n vähintään kaksi alkiota. Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V \{v} alkioiden lineaarikombinaatio. Todistus : Oletetaan, että v V on vektorien v 1,..., v k V \{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = k i=1 λ iv i joillekin λ i R, i = 1,..., k. Tällöin k λ i v i 1 v = 0, i=1 joten vektorit v 1,..., v k, v ovat lineaarisesti riippuvia. Täten V on lineaarisesti riippuva Lauseen 1 kohdan (c) perusteella. 21 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus. : Olkoon V = {v 1,..., v k } lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k j=1 λ jv j = 0. Täten λ i v i = k λ j v j eli v i = j=1 j i k j=1 j i λ j λ i v j, joten v i on joukon V \{v i } alkioiden lineaarikombinaatio. 22 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Huomautus Edellinen lause ei väitä, että jokainen vektori lineaarisesti riippuvassa joukossa voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarisesti riippuvassa vektorijoukossa voi siis olla vektoreita, jotka eivät ole muiden vektoreiden lineaarikombinaatioita. Vrt. esimerkiksi joukko V = {(1, 2), (3, 0), (4, 8)} R 2. 23 / 51

Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Olkoot vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) matriisin A sarakkeita. Mikä on matriisin A determinantti? Miten arvelet vektoreiden lineaarisen riippumattomuuden ja edellisellä tavalla muodostetun matriisin determinantin liittyvän toisiinsa? 24 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 3 Olkoon A M(n, k). Merkitään A = [A 1 A k ], missä A i R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i = 1,..., k. Tällöin vektori A 1,..., A k R n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. 25 / 51

Todistus a 11 a ik Merkitään A =... Nyt a n1... a nk a 11 x 1 + + a 1k x k 0 Ax = 0. =. a n1 x 1 + + a nk x k 0 a 11 x 1 a 1k x k 0. + +. =. a n1 x 1 a nk x k 0 x 1 A 1 + + x k A k = 0, missä x i R ja A i R n kaikilla i = 1,..., k. 26 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus. Jos A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k = 0, joten yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. Jos taas yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia. 27 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 4 Olkoot v 1,..., v n R n. Määritellään matriisi A M(n, n) asettamalla A = [v 1 v n ]. Tällöin vektorit v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos det A 0. Todistus. Edellisen lauseen nojalla vektorit v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 jos ja vain jos A on kääntyvä. Matriisi A on kääntyvä jos ja vain jos det A 0. 28 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 7 Olkoot v 1 = (a 11, a 21 ) R 2 ja v 2 = (a 12, a 22 ) R 2. Tällöin v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos [ ] a11 a det 12 0, a 21 a 22 joka puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että vektorien v 1 ja v 2 virittämän suunnikkaan pinta-ala on positiivinen, joka tapahtuu täsmälleen silloin, kun v 1 ja v 2 ovat eri suuntaiset. 29 / 51

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 8 Olkoot v 1 = (0, 3, 1), v 2 = (1, 1, 1) ja v 3 = (3, 3, 5). Tutkitaan, ovatko v 1, v 2 ja v 3 lineaarisesti riippuvia: 0 1 3 0 1 0 det 3 1 3 AS 23 = ( 3) det 3 1 6 = (6 6) = 0, 1 1 5 1 1 2 joten v 1, v 2 ja v 3 ovat lineaarisesti riippuvia. Kuitenkin ne ovat selvästi eri suuntaisia. 30 / 51

Olemme määritelleet vektorien lineaarikombinaation sekä lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden. Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = 0. Huomaa, että λ 1 = = λ k = 0 toteuttaa aina yhtälön k i=1 λ iv i = 0. Pitää tutkia, onko olemassa nollasta eroavia arvoja λ i. 31 / 51

Seuraavaksi yleistetään origon kautta kulkevat suorat ja tasot avaruuteen R n. Ensin käsitellään vektorien kaikista lineaarikombinaatioista muodostuvaa lineaarista verhoa. Koko avaruuden R n riittää määräämään n kappaletta vektoreita v i R n. Sitten tutustutaan käsitteeseen avaruuden R n aliavaruus: Aliavaruus on R n :n osajoukko, joka on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen: jos kaksi joukon alkiota lasketaan yhteen, summa kuuluu samaan joukkoon ja jos joukon alkiota kerrotaan reaaliluvulla, monikerta kuuluu samaan joukkoon. Lineaarinen verho on aina avaruuden R n aliavaruus. 32 / 51

Lineaarinen verho 33 / 51

Lineaarinen verho Määritelmä 4 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä äärellinen joukko. Joukon S lineaarinen verho (peite) S = v 1,..., v k = { k λ j v j λ j R, j = 1,..., k} j=1 on vektorien v 1,..., v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Vektori x kuuluu vektorien v 1,..., v k määräämään lineaariseen verhoon, jos on olemassa sellaiset λ 1, λ 2,..., λ k R, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ k v k. 34 / 51

Lineaarinen verho Esimerkki 9 (d) Vektorin v R 3 lineaarinen verho v on origon kautta kulkeva suora. (e) Vektoreiden v, w R 3 määräämä lineaarinen verho v, w on origon kautta kulkeva taso. (f) Nollavektorin 0 R 3 määräämä lineaarinen verho 0 on nollavektori. 35 / 51

Lineaarinen verho Esimerkki 10 (a) Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S. (b) 1 = {λ 1 λ R} = R. (c) Avaruuden R n luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti riippumattomia ja e 1,..., e n = R n. (Harjoitustehtävä) 36 / 51

Lineaarinen verho Esimerkki 11 (a) (2, 4), (4, 8) = (2, 4), sillä {λ 1 (2, 4) + λ 2 (4, 8) λ 1, λ 2 R} = {c(2, 4) c R}. (b) (1, 3, 1), (1, 1, 1), (2, 6, 2) = (1, 3, 1), (1, 1, 1), sillä {λ 1 (1, 3, 1) + λ 2 (1, 1, 1) + λ 3 (2, 6, 2) λ 1, λ 2, λ 3 R} = {c 1 (1, 3, 1) + c 2 (1, 1, 1) c 1, c 2 R}. 37 / 51

Lineaarinen verho Esimerkki 12 Olkoon S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} R 3. Osoita, että S = R 3. Todistus Selvästi S R 3, sillä S R 3. Osoitetaan, että R 3 S. Olkoon x R 3. On löydettävä sellaiset λ 1,..., λ 4 R, että x =λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (2, 1, 0) + λ 3 (0, 0, 1) + λ 4 (0, 1, 1) =(λ 1 + 2λ 2, λ 2 + λ 4, λ 3 + λ 4 ) λ 1 + 2λ 2 = x 1 λ 2 + λ 4 = x 2 λ 3 + λ 4 = x 3 38 / 51

Lineaarinen verho Todistus. λ 1 = x 1 2x 2 + 2λ 4 λ 2 = x 2 λ 4 λ 3 = x 3 λ 4 λ 4 R. Valitaan λ 4 = 0, jolloin λ 1 = x 1 2x 2, λ 2 = x 2 ja λ 3 = x 3. Siis x = (x 1 2x 2 )(1, 0, 0) + x 2 (2, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1) + 0 (0, 1, 1) S eli R 3 S. Näin ollen S = R 3. 39 / 51

Lineaarinen verho Esimerkki 13 Mikä on joukon S = {(1, 0, 1), (2, 0, 1)} lineaarinen verho? Selvästi S R 3. Edelleen x S jos ja vain jos on olemassa sellaiset λ 1, λ 2 R, että x = λ 1 (1, 0, 1) + λ 2 (2, 0, 1) λ 1 = 2x 3 x 1 λ 2 = x 1 x 3 x 2 = 0 λ 1 + 2λ 2 = x 1 0 = x 2 λ 1 + λ 2 = x 3 Siis x S jos ja vain jos x 2 = 0 eli S = {x R 3 x 2 = 0} on xz-taso. 40 / 51

Lineaarinen verho Lause 5 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja x R n. Tällöin (a) x S S {x} = S. (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x / S v 1,..., v k, x ovat lineaarisesti riippumattomia. 41 / 51

Lineaarinen verho Todistus (a) : Oletetaan, että x S eli x = k i=1 λ iv i joillekin λ 1,..., λ k R. On osoitettava, että S {x} = S. Selvästi S S {x}, sillä jos y S, niin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k R, että y = k µ i v i = i=1 k µ i v i + 0 x, i=1 joten y S {x}. Olkoon siis y S {x}. Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k, µ k+1 R, että y = k µ i v i + µ k+1 x = i=1 k k µ i v i + µ k+1 λ i v i = i=1 i=1 k (µ i + µ k+1 λ i )v i, i=1 joten y S. Siis S {x} S ja S {x} = S. 42 / 51

Lineaarinen verho Todistus : Oletetaan, että S {x} = S. Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S. Täten x S {x} S {x} = S eli x S. (b) Olkoon S on lineaarisesti riippumaton. Todistetaan tämä kohta osoittamalla, että nyt x S v 1,..., v k, x ovat lineaarisesti riippuvia. : Harjoitustehtävä. : Olkoot vektorit v 1,..., v k, x lineaarisesti riippuvia. Nyt on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k, λ R, joista jokin on nollasta eroava, että k λ i v i + λx = 0. i=1 43 / 51

Lineaarinen verho Todistus. Jos λ = 0, niin k i=1 λ iv i = 0, jollakin λ i 0 eli S lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita. Täten täytyy olla λ 0, joten x = k i=1 λ i λ v i. Näin ollen x S. 44 / 51

Lineaarinen verho Lause 6 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja w 1,..., w l S, missä l k + 1. Tällöin w 1,..., w l ovat lineaarisesti riippuvia. 45 / 51

Lineaarinen verho Todistus Koska w j S kaikilla j = 1,..., l, löytyy sellaiset a ij R, i = 1,..., k, j = 1,..., l, että w 1 = a 11 v 1 + + a k1 v k w 2 = a 12 v 1 + + a k2 v k. w l = a 1l v 1 + + a kl v k. Riittää löytää sellaiset λ 1,..., λ l R, että (λ 1,..., λ l ) 0 ja l j=1 λ jw j = 0, toisin sanoen yhtälöllä λ 1 (a 11 v 1 + + a k1 v k ) + + λ l (a 1l v 1 + + a kl v k ) = (a 11 λ 1 + + a 1l λ l )v 1 + + (a k1 λ 1 + + a kl λ l )v k = 0 ( ) on epätriviaali ratkaisu λ = (λ 1,..., λ l ) 0. 46 / 51

Lineaarinen verho Todistus. Yhtälö ( ) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a 11 λ 1 + + a 1l λ l = 0. a k1 λ 1 + + a kl λ l = 0. toteutuu. Koska yhtälö on homogeeninen, niin yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu (triviaaliratkaisu). Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l > k), niin ratkaisuja on ääretön määrä. Erityisesti löytyy ainakin yksi ratkaisu λ 0. 47 / 51

Lineaarinen verho Seuraus 1 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n. (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva. (b) Jos k < n, niin S R n. Todistus. (a) Koska e 1,..., e n = R n, v 1,..., v k R n ja k > n, niin Lauseen 6 nojalla v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Jos S = R n, niin Lauseen 6 nojalla e 1,..., e n R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n > k), mikä on ristiriita. 48 / 51

Lineaarinen verho Seuraus 2 Olkoon S R n lineaarisesti riippumaton. Tällöin S = R n S:ssä on n alkiota. Todistus. : Seuraa Seurauksesta 1. : Jos S R n, niin on olemassa x R n \ S. Lauseen 5 (b) nojalla S {x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita Seurauksen 1(a) kanssa. 49 / 51

Lineaarinen verho Esimerkki 14 (a) Joukko {(1, 1, 5), (3, 3, 2), (e, π, e π ), (10, 10 10, 10 1010 )} on lineaarisesti riippuva. (b) (4, 3, 2, 1, 0), (1, 2, 3, 4, 5) R 5. (c) (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) = R 3, sillä 0 1 1 det 3 1 2 = 3 0 1 1 3 eli (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) ovat lineaarisesti riippumattomia. 50 / 51

Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samaistamalla se joukon R = {(x, 0) R 2 x R} kanssa. Jos x, y R, niin x + y = (x 1, 0) + (y 1, 0) = (x 1 + y 1, 0) R ja λx = λ(x 1, 0) = (λx 1, 0) R kaikilla λ R. Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? 51 / 51