Tiistai 27.2.2018 1/11 FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten 2018
Tiistai 27.2.2018 2/11 1 Kokeesta yleisesti 2 3 4 5 6
Koealue jakaantuu neljään pääalueeseen: 1 Ensimmäisen kertaluvun ODY:t 2 Toisen kertaluvun ODY:t Aaltoyhtälö ja diffuusioyhtälö Eri ratkaisumenetelmät ODYjen luokittelu ja alku/reunaehdot Greenin funktiot (1. osa) 3 epähomogeeninen yhtälö ja Greenin funktiot (2. osa) erikoispisteet ja niiden luokittelu Frobeniuksen menetelmä (sarjamenetelmä) 4 esimerkkejä erikoisfunktioista ominaisuuksia Kokeeseen tulee neljä tehtävää, jotka jakautuvat tasaisesti em. 4 alueeseen. Tiistai 27.2.2018 3/11
Tiistai 27.2.2018 4/11 Kurssilla toivon teidän oppineen erityisesti seuraavat asiat
iistai 27.2.2018 5/11 karakteristiset käyrät/pinnat (mitä ne ovat, miten ne löytyvät) tiivistelmän ratkaisualgoritmi esimerkkitehtävät, osaat ratkaista yksinkertaisia yhtälöitä
Tiistai 27.2.2018 6/11 kolme eri ratkaisumenetelmää d Alembertin ratkaisu (aaltoyhtälö) Fourier-muuntaminen separointimenetelmä (erityisesti kun ratkaistaan yhtälöä äärellisessä alueessa, sen symmetria relevantti koordinaatistovalinta) aaltoyhtälö, osaa ratkaista eri menetelmillä ei tarvitse muistaa ulkoa d Alembertin menetelmän ratkaisukaavaa diffuusioyhtälö, osaa ratkaista miten annettu alkutila t = 0 hetkellä aikakehittyy (esim. käyttämällä Fourier-muunnosta ja lämpöydintä) yhtälöiden luokittelu osaa (periaatteessa) muuntaa yhtälö normaalimuotoon (ominaisarvot!) osaa selvittää onko yhtälö elliptinen, parabolinen vai hyperbolinen (eri alueissa) ominaisarvojen avulla tai yksinkertaisimmin 2 ulottuvuudessa 2. kl:n termien kerroinmatriisin determinantin avulla tiedät minkälaisia reuna/alkuehtoja voidaan käyttää eri tyyppisille yhtälöille muuttujien erottelu: pitää osata käyttää ja paloitella ODY tavallisten DY:iden ryhmäksi Greenin funktio: tiedät mihin sitä käytetään, osaat johtaa sen Fourier-muuntamalla. Muista säätövara, G.f:oon voi lisätä homogeenisen yhtälön ratkaisun ja siten muokata erikoisratkaisua siten että toteuttaa reunaehdot, ja tiedät että mahdollinen integrointikäyrän valinta myös vaikuttaa ominaisuuksiin
iistai 27.2.2018 7/11 d 2 f df + P(z) + Q(z)f (z) = R(z) dz2 dz homogeenisella yhtälöllä (R(z) = 0) 2 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua f 1, f 2 epähomogeenisen yhtälön ratkaisu 2 edellisen lineaarikombinaatio + erikoisratkaisu kun tiedät yhden homogeenisen yhtälön ratkaisun, Wronskin determinantin avulla löytyy toinenkin ratkaisu; kaavoja ei tarvitse muistaa, paitsi 2 funktion Wronskin determinantti: ( ) f1 (z) f det 2 (z) f 1 (z) f 2 (z) = W [f 1, f 2 ](z) ovatko f 1, f 2 lineaarisesti riippumattomia? onko W eri kuin 0 kahden homogeenisen yhtälön ratkaisun avulla (jotka toteuttavat vaaditut reunaehdot!) voit edelleen kirjoittaa Greenin funktion (kaavaa ei tarvitse muistaa), ja sen avulla epähomogeenisen yhtälön erikoisratkaisun
Tiistai 27.2.2018 8/11 d 2 f df + P(z) + Q(z)f (z) = 0 dz2 dz 2. kertaluvun (homogeenisen) DY:n yleinen muoto, ja niiden luokittelu erikoispisteiden avulla mitä ovat säännölliset/heikot/vahvat erikoispisteet, mistä tiedät millainen piste on z 0, muista tarkistaa erikseen z 0 = ystö Sarjamenetelmäratkaisu: toimii säännöllisen tai heikon erikoispisteen ympäristössä valittuasi pisteen, sijoita ensin (z z 0) r ja johda r:lle indeksiyhtälö/karakteristinen yhtälö jos kaksi eri juurta r 1,r 2, suurempi niistä antaa aina ratkaisun sarjamuodossa jos piste oli säännöllinen, juuret ovat r 1 = 1, r 2 = 0, tällöin kannattaakin lähteä liikkeelle r 2 = 0:lla sijoita valitsemasi r sarjayritteeseen (sarjan johtavan termin eksponentti), sijoita yhtälöön, kehitä kaikki sarjoiksi, yhdistä saman asteen termit, jokaisen kertoimen täytyy erikseen hävitä rekursiorelaatio ratkaise rekursiorelaatio (HUOLIMATTOMUUSVIRHEVAARA!!!), anna ratkaisu sarjamuodossa jos keskipiste oli säännöllinen, valitsemalla r = 0 saat kaksi rekursiorelaatiota kaksi ratkaisua jos r 1 r 2 = kokonaisluku (erityisesti nolla), toinen ratkaisu sisältää log-termin, kokeile sellaisen sisältävää yritettä (ko. kaavaa ei tarvitse muistaa ulkoa)
Tiistai 27.2.2018 9/11 Niillä erityisominaisuuksia: ortogonaalisuus (antavat kannan joiden avulla funktioita voidaan kehittää sarjoiksi, Fourier-sarjan yleistys) ortogonaalisuusintegraali (jolla voit projisoida sarjan kertoimet) Rodriguesin kaava generoiva funktio palautuskaavoja pariteetti integraaliesityksiä niihin päädytään usein fysiikan perusongelmissa (ODYjen separoinnin kautta) erityiskaavoja ei tarvitse muistaa ulkoa, ne annetaan kokeessa jos tarvitaan (esim. kaavataulukko )
Tiistai 27.2.2018 10/11 Erikoisfunktioista ehdimme eniten tutustua Legendren polynomeihin Legendren liittofunktioihin Palloharmonisiin funktioihin tiedä niiden perusominaisuudet (kaavoja ei tarvitse muistaa ulkoa). Erityisesti kiinnostavaa on pistevarauksen potentiaalin (Laplace-yhtälön ratkaisujen) sarjakehitelmät Legendren polynomien ja palloharmonisten funktioiden avulla (kehitelmiä ei tarvitse muistaa ulkoa, mutta niitä tulee osata käyttää) generoivan funktion käsite on tärkeä, samoin se kuinka niiden avulla voidaan johtaa palautuskaavoja: derivointi x:n suhteen derivaattapalautuskaavoja derivointi t:n suhteen indeksipalautuskaavoja (rekursiokaavoja) sivujuoni Greenin funktioihin (osa 3) antaa taas uuden tavan kirjoittaa Greenin funktioita homogeenisen yhtälön ratkaisujen (jotka toteuttavat reunaehdot) avulla. Kaavoja ei tarvitse muistaa mutta perusperiaate tulee ymmärtää ja osata käyttää.
Tiistai 27.2.2018 11/11 Laskuharjoitustehtävät on syytä kerrata, samantapaisia tehtäviä saattaa tulla kokeeseen Laskuharjoituksien ratkaisut netissä eivät ole malleja vaan tiivistelmiä, koeratkaisuiksi vaaditaan syvempää käsittelyä/välivaiheita