FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten

Samankaltaiset tiedostot
FyMM IIb Kertausta kurssin asioista

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

Insinöörimatematiikka D

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Insinöörimatematiikka D

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

Fysiikan matemaattiset menetelmät II

Insinöörimatematiikka D

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

Insinöörimatematiikka D

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Ominaisarvo ja ominaisvektori

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

Matemaattinen Analyysi

Insinöörimatematiikka D

Matemaattinen Analyysi

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Insinöörimatematiikka D

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

Insinöörimatematiikka D

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Matemaattinen Analyysi

Opetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille:

Opetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille: Teknillinen fysiikka ja matematiikka

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Oppimistavoitematriisi

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

1 Di erentiaaliyhtälöt

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Oppimistavoitematriisi

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Matemaattinen Analyysi / kertaus

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Dierentiaaliyhtälöistä

Lectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit

y + 4y = 0 (1) λ = 0

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Kanta ja Kannan-vaihto

Fysiikan matemaattiset menetelmät II Luentomuistiinpanot helmikuuta 2015

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Insinöörimatematiikka D

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

MAT Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

Insinöörimatematiikka D

Kompleksianalyysi, viikko 6

1 Rajoittamaton optimointi

Tyyppi metalli puu lasi työ I II III

Transkriptio:

Tiistai 27.2.2018 1/11 FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten 2018

Tiistai 27.2.2018 2/11 1 Kokeesta yleisesti 2 3 4 5 6

Koealue jakaantuu neljään pääalueeseen: 1 Ensimmäisen kertaluvun ODY:t 2 Toisen kertaluvun ODY:t Aaltoyhtälö ja diffuusioyhtälö Eri ratkaisumenetelmät ODYjen luokittelu ja alku/reunaehdot Greenin funktiot (1. osa) 3 epähomogeeninen yhtälö ja Greenin funktiot (2. osa) erikoispisteet ja niiden luokittelu Frobeniuksen menetelmä (sarjamenetelmä) 4 esimerkkejä erikoisfunktioista ominaisuuksia Kokeeseen tulee neljä tehtävää, jotka jakautuvat tasaisesti em. 4 alueeseen. Tiistai 27.2.2018 3/11

Tiistai 27.2.2018 4/11 Kurssilla toivon teidän oppineen erityisesti seuraavat asiat

iistai 27.2.2018 5/11 karakteristiset käyrät/pinnat (mitä ne ovat, miten ne löytyvät) tiivistelmän ratkaisualgoritmi esimerkkitehtävät, osaat ratkaista yksinkertaisia yhtälöitä

Tiistai 27.2.2018 6/11 kolme eri ratkaisumenetelmää d Alembertin ratkaisu (aaltoyhtälö) Fourier-muuntaminen separointimenetelmä (erityisesti kun ratkaistaan yhtälöä äärellisessä alueessa, sen symmetria relevantti koordinaatistovalinta) aaltoyhtälö, osaa ratkaista eri menetelmillä ei tarvitse muistaa ulkoa d Alembertin menetelmän ratkaisukaavaa diffuusioyhtälö, osaa ratkaista miten annettu alkutila t = 0 hetkellä aikakehittyy (esim. käyttämällä Fourier-muunnosta ja lämpöydintä) yhtälöiden luokittelu osaa (periaatteessa) muuntaa yhtälö normaalimuotoon (ominaisarvot!) osaa selvittää onko yhtälö elliptinen, parabolinen vai hyperbolinen (eri alueissa) ominaisarvojen avulla tai yksinkertaisimmin 2 ulottuvuudessa 2. kl:n termien kerroinmatriisin determinantin avulla tiedät minkälaisia reuna/alkuehtoja voidaan käyttää eri tyyppisille yhtälöille muuttujien erottelu: pitää osata käyttää ja paloitella ODY tavallisten DY:iden ryhmäksi Greenin funktio: tiedät mihin sitä käytetään, osaat johtaa sen Fourier-muuntamalla. Muista säätövara, G.f:oon voi lisätä homogeenisen yhtälön ratkaisun ja siten muokata erikoisratkaisua siten että toteuttaa reunaehdot, ja tiedät että mahdollinen integrointikäyrän valinta myös vaikuttaa ominaisuuksiin

iistai 27.2.2018 7/11 d 2 f df + P(z) + Q(z)f (z) = R(z) dz2 dz homogeenisella yhtälöllä (R(z) = 0) 2 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua f 1, f 2 epähomogeenisen yhtälön ratkaisu 2 edellisen lineaarikombinaatio + erikoisratkaisu kun tiedät yhden homogeenisen yhtälön ratkaisun, Wronskin determinantin avulla löytyy toinenkin ratkaisu; kaavoja ei tarvitse muistaa, paitsi 2 funktion Wronskin determinantti: ( ) f1 (z) f det 2 (z) f 1 (z) f 2 (z) = W [f 1, f 2 ](z) ovatko f 1, f 2 lineaarisesti riippumattomia? onko W eri kuin 0 kahden homogeenisen yhtälön ratkaisun avulla (jotka toteuttavat vaaditut reunaehdot!) voit edelleen kirjoittaa Greenin funktion (kaavaa ei tarvitse muistaa), ja sen avulla epähomogeenisen yhtälön erikoisratkaisun

Tiistai 27.2.2018 8/11 d 2 f df + P(z) + Q(z)f (z) = 0 dz2 dz 2. kertaluvun (homogeenisen) DY:n yleinen muoto, ja niiden luokittelu erikoispisteiden avulla mitä ovat säännölliset/heikot/vahvat erikoispisteet, mistä tiedät millainen piste on z 0, muista tarkistaa erikseen z 0 = ystö Sarjamenetelmäratkaisu: toimii säännöllisen tai heikon erikoispisteen ympäristössä valittuasi pisteen, sijoita ensin (z z 0) r ja johda r:lle indeksiyhtälö/karakteristinen yhtälö jos kaksi eri juurta r 1,r 2, suurempi niistä antaa aina ratkaisun sarjamuodossa jos piste oli säännöllinen, juuret ovat r 1 = 1, r 2 = 0, tällöin kannattaakin lähteä liikkeelle r 2 = 0:lla sijoita valitsemasi r sarjayritteeseen (sarjan johtavan termin eksponentti), sijoita yhtälöön, kehitä kaikki sarjoiksi, yhdistä saman asteen termit, jokaisen kertoimen täytyy erikseen hävitä rekursiorelaatio ratkaise rekursiorelaatio (HUOLIMATTOMUUSVIRHEVAARA!!!), anna ratkaisu sarjamuodossa jos keskipiste oli säännöllinen, valitsemalla r = 0 saat kaksi rekursiorelaatiota kaksi ratkaisua jos r 1 r 2 = kokonaisluku (erityisesti nolla), toinen ratkaisu sisältää log-termin, kokeile sellaisen sisältävää yritettä (ko. kaavaa ei tarvitse muistaa ulkoa)

Tiistai 27.2.2018 9/11 Niillä erityisominaisuuksia: ortogonaalisuus (antavat kannan joiden avulla funktioita voidaan kehittää sarjoiksi, Fourier-sarjan yleistys) ortogonaalisuusintegraali (jolla voit projisoida sarjan kertoimet) Rodriguesin kaava generoiva funktio palautuskaavoja pariteetti integraaliesityksiä niihin päädytään usein fysiikan perusongelmissa (ODYjen separoinnin kautta) erityiskaavoja ei tarvitse muistaa ulkoa, ne annetaan kokeessa jos tarvitaan (esim. kaavataulukko )

Tiistai 27.2.2018 10/11 Erikoisfunktioista ehdimme eniten tutustua Legendren polynomeihin Legendren liittofunktioihin Palloharmonisiin funktioihin tiedä niiden perusominaisuudet (kaavoja ei tarvitse muistaa ulkoa). Erityisesti kiinnostavaa on pistevarauksen potentiaalin (Laplace-yhtälön ratkaisujen) sarjakehitelmät Legendren polynomien ja palloharmonisten funktioiden avulla (kehitelmiä ei tarvitse muistaa ulkoa, mutta niitä tulee osata käyttää) generoivan funktion käsite on tärkeä, samoin se kuinka niiden avulla voidaan johtaa palautuskaavoja: derivointi x:n suhteen derivaattapalautuskaavoja derivointi t:n suhteen indeksipalautuskaavoja (rekursiokaavoja) sivujuoni Greenin funktioihin (osa 3) antaa taas uuden tavan kirjoittaa Greenin funktioita homogeenisen yhtälön ratkaisujen (jotka toteuttavat reunaehdot) avulla. Kaavoja ei tarvitse muistaa mutta perusperiaate tulee ymmärtää ja osata käyttää.

Tiistai 27.2.2018 11/11 Laskuharjoitustehtävät on syytä kerrata, samantapaisia tehtäviä saattaa tulla kokeeseen Laskuharjoituksien ratkaisut netissä eivät ole malleja vaan tiivistelmiä, koeratkaisuiksi vaaditaan syvempää käsittelyä/välivaiheita