Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2 + 2x x 2 (x + 1) 2 x2 + 2x (x + 1) 2 f ( 3) ( 3)2 + 2 ( 3) [ ( 3) + 1 ] 2 f ( 3) 3 4 F2 a) OP ī + 2 j + 2 k + t(2ī + j + s k) Suora on tasossa 3x + 4y + 5z 21, kun sen kaksi pistettä ovat tasossa. Kun t 0, niin OP ī + 2 j + 2 k. Sijoitetaan piste P (1, 2, 2) tason yhtälöön. Piste (1, 2, 2) on tasossa. 3 1 + 4 2 + 5 2 21 21 21 tosi
Valitaan t 1. OP ī + 2 j + 2 k + 1 (2ī + j + s k) ī + 2 j + 2 k + 2ī + j + s k 3ī + 3 j + (2 + s) k Sijoitetaan piste (3, 3, 2 + s) tason yhtälöön 3 3 + 4 3 + 5(2 + s) 21 9 + 12 + 10 + 5s 21 5s 10 : 5 s 2 Suora kulkee kahden tason pisteen kautta, kun s 2. Vastaus: Suora on tasossa, kun s 2. b) f(x) (2 x) 3 Määritetään funktio F (x). F (x) (2 x) 3 dx ( 1) ( 1) (2 x) 3 dx 1 4 (2 x)4 + C Määritetään vakio C siten, että F (0) 0. 1 4 (2 0)4 + C 0 4 + C 0 C 4 Funktio saa muodon F (x) 1 4 (2 x)4 + 4. Lasketaan funktion arvo, kun x 1 F (1) 1 4 (2 1)4 + 4 F (1) 1 4 + 4 F (1) 3 3 4
F3 Joen leveys on x, x > 0. Veneen A nopeus v A 16 km/h. Veneen B nopeus v B 14 km/h. Veneen A kulkema matka s A x cos α x cos 45 Veneen B kulkema matka s B x cos β x cos 30 Veneiden joen ylitykseen käyttämät ajat: t s v t A s A v A x/ cos 45 16 x 16 cos 45 0,0883... x 0,088x t B s B v B x/ cos 30 14 x 14 cos 30 0,0824... x 0,082x
Koska t B < t A, pääsee vene B aikaisemmin vastarannalle. Vastaus: Vene B pääsee vastarannalle aikaisemmin. F4 f(x) cos x 1 cos 2x 2 f(x) cos x 1 2 (2 cos2 x 1) f(x) cos x cos 2 x + 1 2 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva, kun x R. f (x) sin x ( sin x) 2 cos x sin x 2 cos x sin x sin x(2 cos x 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) 0 sin x(2 cos x 1) 0 sin x 0 tai 2 cos x 1 0 x nπ, n Z 2 cos x 1 : 2 cos x 1 2 x ± π 3 + 2πn, n Z Osoitetaan, että funktio f(x) on jaksollinen jaksolla 2π. Kosinifunktio on jaksollinen: joten cos x cos(x + 2π) () 2 cos 2 x cos 2 (x + 2π), f(x) cos x cos 2 x + 1 2 cos(x + 2π) cos2 (x + 2π) + 1 2 f(x + 2π). Funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämisessä voidaan siis tutkia suljettua väliä [0, 2π].
Suljetulla välillä jatkuvan ja derivoituvan funktion suurin ja pienin arvo löytyvät derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Suurin arvo löytyy pisteistä f(0) cos 0 cos 2 0 + 1 2 1 2 f ( ) π 3 3 suurin arvo 4 f(π) 3 pienin arvo 2 f ( π + 3 2π) f ( 5π ) 3 suurin arvo 3 4 f(2π) 1 2 x ± π 3 + 2πn, n Z. Vastaus: Pienin arvo on 3 2 ja suurin arvo on 3 4. ( Suurin arvo saavutetaan pisteissä ± π 3 + 2πn, 3 ), 4 n Z. F5 Merkitään halkaisijaa d:llä. Lasketaan keskuskolmion A k ala x d 5 x 2r 5 Sij. d 2r
Pythagoraan lauseen mukaan Kolmion pinta-alaksi saadaan y 2 + ( ) 3r 2 r 2 5 y 2 r 2 9 25 r2 y 2 16 25 r2 y ( + ) y 4 5 r 16 25 r2 Lasketaan kulmat α ja β. A k 2y 3 5 r 2 y 3 5 r 12 25 r2 cos α 3 r 5 r cos α 3 5 α 53,130... β 2α 106,260... Lasketaan sektorin A s ala
Pinnan alle jäävän osuuden pinta-ala: γ 360 β 253,739... A s γ 360 πr2 Koko poikkipinta-ala: A 1 A k + A s 12 25 r2 + γ 360 πr2 ( 12 25 + γ ) 360 π r 2 A 2 πr 2 Tukin tilavuus on nyt V 2 A 2 h ja tukin syrjäyttämän veden tilavuus on V 1 A 1 h, missä h on tukin pituus. Merkitään ρ 1 1,00 (kg/dm 3 ) on veden tiheys ρ 2 on tukin tiheys. Kappaleen massa on suoraan verrannollinen kappaleen painoon, joten Arkhime-
deen lain mukaan on tällöin ρ 1 V 1 ρ 2 V 2 ρ 1 A 1 h ρ 2 A 2 h : h ρ 1 A 1 ρ 2 A 2 : A 2 Vastaus: Puun tiheys on 0,86 kg/dm 3. F6 a) ρ 2 A 1 ρ 1 A ( 2 12 25 + γ 360 π) r 2 ρ πr 2 1 ( 12 25 + 253,739... π ) r 2 360 1,00 πr 2 0,8576... 0,86 (kg/dm 3 ) Vastaus: Ei ole tautologia. b)
Vastaus: On tautologia. F7 ae 3x, kun x 0, f(x) 0, kun x < 0. f(x) on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio, jos f(x) 0 ae 3x 0 a 0 ja Lasketaan integraali f(x) dx 1. (1) f(x) dx 0 0 f(x) dx + 0 f(x) dx 0 dx + ae 3x dx 0 ( 0 + a 1 ) 3e 3x dx 3 0 a 3 lim / b b 0 a 3 lim b a (0 1) 3 e 3x ( e 3b e 0) Jotta ehto (1) täyttyisi, pitää olla a 3 a 3 1 3 a 3. Kertymäfunktio on Φ(x) x f(t) dt.
Kun x 0, on x Φ(x) 3e 3t dt 0 x ( 1) 3e 3t dt 0 x/ e 3t 0 (e 3x e 0 ) 1 e 3x. Kun x < 0, on Saadaan Kertymä: Φ(x) x f(t) dt x 0 dt 0. 1 e 3x, kun x 0, Φ(x) 0, kun x < 0. P (X t) 1 P (x t) 1 (1 e 3t ) e 3t 1 e 3x, kun x 0, Vastaus: a 3, kertymäfunktio on Φ(x) 0, kun x < 0 ja P (X t) e 3t. *F8 a) Tutkitaan funktion f(x) kulkua. f(x) ln x + x + 1 f (x) 1 x + 1 Derivaatan nollakohdat 1 x + 1 0 1 x 1 x 1 () 1
Derivaatalla ei ole nollakohtia, kun x > 0, joten se on kaikkialla saman merkkinen. f (1) ln 1 + 1 + 1 0 + 2 2 > 0 Derivaatta on kaikilla x > 0 positiivinen, joten f(x) on aidosti kasvava. Tällöin f(x):llä on käänteisfunktio. b) Käänteisfunktion derivaatalle pätee Tässä tilanteessa y 0 2, joten ( f 1 ) (y0 ) 1 f (x 0 ), kun y 0 f(x 0 ). f(x 0 ) 2 ln x 0 + x 0 + 1 2 ln x 0 + x 0 1 Huomataan, että ln 1 + 1 0 + 1 1, joten x 0 1 on yhtälön ratkaisu. Siten ( ) f 1 1 (2) f (1) 1 1 + 1 1 1 2 Vastaus: g (2) 1 2 c) Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y x suhteen, joten kuvaajat leikkaavat niissä kohdissa, joissa ne leikkaavat peilaussuoran y x. Riittää siis etsiä käyrän y f(x) ja suoran y x leikkauspisteet. f(x) x ln x + x + 1 x Tällöin y-koordinaatti on y x e 1. ln x 1 e () x e 1
Vastaus: Funktion f kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan pisteessä (e 1, e 1 ). d) Tarvitaan kuvaajien tangenttien kulmakertoimet. Ne saadaan derivaattojen arvoista leikkauspisteessä (e 1, e 1 ). f (e 1 ) 1 e 1 + 1 e + 1 Lasketaan f 1 :n derivaatta kuten b-kohdassa. Nyt f(e 1 ) e 1, joten Tangenttien välinen kulma ( ) f 1 (e 1 1 ) f (e 1 ) 1 e + 1 k 1 k 2 tan ϕ 1 + k 2 1k 2 e+1) e + 1 1 e+1 tan ϕ 1 + (e + 1) 1 e+1 (e + 1) 2 tan ϕ e+1 e+1 (e + 1) + (e + 1) 1 e+1 (e + 1) e 2 + 2e + 1 1 tan ϕ e + 1 + e + 1 tan ϕ e2 + 2e 2e + 2 tan ϕ 1,72467... ϕ 59,89... Vastaus: Kuvaajat leikkaavat toisensa 59,9 kulmassa.