Osa 4 Liikemäärä, momentti, painopiste Voiman momentti M Voiman vääntövaikutusta mittaava suure on momentti. Esim. automerkkien esitteissä on mainittu moottorin momentti ("vääntö"). Moottorin antama voima riippuu siitä, mikä vaihde on päällä, mutta momentti on sama. Mutterien kiristys mitataan myös momentin avulla. Voima ei ole oikea käsite, koska vääntövaikutus riippuu käytettävän voiman lisäksi yhtä paljon jakoavaimen pituudesta. Momentin määritelmä Momentti = voima akselipisteen kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta M = F r (1) Momentin yksikkö on 1 Nm (Newtonmetri) Momentin merkkisäännöt: M > 0, jos voima kääntää kappaletta vastapäivään M< 0, jos voima kääntää kappaletta myötäpäivään Laajennettu tasapainon käsite Kappale on tasapainossa, jos 1) siihen vaikuttavien voimien summa on 0 2) siihen vaikuttavien voimien momenttien summa on 0 minkä tahansa akselipisteen suhteen. F = 0 M = 0 Esim 7: Laske tukivoimat N1 ja N2 seuraavassa kuvassa.
2 momenttilaskuja.nb Ratk. Käytetään momenttiehtoa. Valitaan akselipisteeksi palkin vasen pää (Yleensä kannattaa valita akselipiste jonkin tuntemattoman voiman kohdalta, jotta yhtälössä olisi minimäärä tuntemattomia) - 294*2.0 + N2*3 = 0 => N2 = 294*2/3 = 196 N Nyt N1 on helppo laskea N1 = 294-196 = 98 N Esim. 8: Henkilö kannattelee kämmenellään 4.0 kg massaa. Laske jännitysvoima hänen hauislihaksessaan, jos hauislihaksen alapään kiinnityskohdan ja kyynärnivelen välimatka on 6.0 cm ja kämmenen ja kyynärnivelen välimatka on 35 cm. Hauislihaksen pituus on 30 cm. Käden omaa painoa ei tässä huomioida. Ratk. Valitaan akselipisteeksi kyynärnivel. Muodostetaan momenttiehto akselin suhteen. + 39.2*0.35 - T* r = 0 Hauisvoiman T varren r laskeminen tapahtuu oikenapuolimmaista kolmiota käyttäen: Merkitään α :lla kulmaa vasemmassa alakulmassa. cosα = 6/30 => α = 78.5 r/6 = sinα => r = 6 sinα = 6*sin78.5 = 5.88 cm + 39.2*0.35 - T* 0.0588 = 0 => Hauisvoima T = 39.2*0.35/0.0588 = 233 N (23 kg) Lisää momenttilaskuesimerkkejä Esim9. Laske tukivoimat N1 ja N2, kun tiedetään, että kuvan 300 cm pitkä palkki painaa 10 kg ja sen päällä lepäävä punnus 5 kg.
momenttilaskuja.nb 3 Ratk Merkitään puuttuvat voimat ja valitaan akselipiste momenttien laskua varten. Ratk. Valitaan akseliksi vasen pää ja kirjoitetaan momenttiehto -98*1.5-49*2.0 + N2*2.8 = 0 => 2.8 N2 = 245 => N2 = 87.5 N Voimaehto : N1 + N2-98 - 49 = 0 => N1 = 98+49-N2 = 98+49-87.5 => N1 = 59.5 N Lisää esimerkkejä Esim10. Laske kuvan 20 kg painoisiin 2.0 m pitkiin tikkaisiin vaikuttavat voimat, kun tikkaiden ja lattian välillä on kitkavoima, mutta sen yläpäässä on kitkaton rulla. Ratk. Esim11. Laske kuvan 10 kg massaista 2.0 m tankoa kannattavan vaijerin jännitys T.
4 momenttilaskuja.nb Ratk. C. Painopiste Painopiste Oletetaan, että kappale koostuu symmetrisistä osista, joiden massat ovat m1, m2,.. ja osoien painopisteiden x -koordinaatit ja y -koordinaatit ovat x1, x2,... ja y1, y2,... Tällöin koko kappaleen painopiste on sen osien painopisteiden massoilla painotettu keskiarvo x P = m1*x1 + m2 *x2 +... m1 + m2 +... ja y P = m1*y1 + m2 *y2 +... m1 + m2 +... Esim 12. Laske ao. kuvan lekan painopiste.
momenttilaskuja.nb 5 1000 * 5 cm + 200 * 50 cm xp = 1200. 12.5 cm Ratk Kolmion painopiste Kolmion painopiste sijaitsee kolmion mediaanien leikkauspisteessä Algebrallisesti kolmion painopisteen koordinaatit ovat kärkipisteiden aritmeettisia keskiarvoja Ratk Painopisteen xp on kärkipisteiden x-kooridnaattien keskiarvo (0 + 0 + 3)/3 = 1 m Akselipiste olkoon vasen pää: Momenttiehto : - 392*1 + N2*2 => N2 = 392/2 = 196 Newtonia => N1= 392-196 = 196 Newtonia
6 momenttilaskuja.nb Mekaaniset koneet Mekaaniset koneet perustuvat 1) momenttiehtoon Σ M = 0 tai 2) "virtuaalisen työn periaatteeseen" Seuraavassa esimerkkejä mekaanisista koneista Vintturi Q = kuormavoima ja r 2 = kuormavoiman varsi F = tarvittava voima ja r 1 = voiman varsi Momenttiehto F*r 1 = Q*r 2 => F = r 2 r 1 Q Kaksivartinen vipu Momenttiehto F*r 1 = Q*r 2 => F = r 2 r 1 Q Kalteva taso, jota pitkin esim. tynnyri vieritetään ylös "Virtuaalisen työn periaate" : Voiman F tekemä työ - painovoiman tekemä työ = 0. Fs - mgh = 0 <=> F*s = mg*h <=> F = h s Q Sanonta: "Mikä voimassa voitetaan, se matkassa hävitään" on yhtäpitävä virtuaalisen työn periaatteen kanssa ja tarkoittaa esimerkissä verrantoa, jossa voimien suhde on kääntäen matkojen suhde F Q = h s
momenttilaskuja.nb 7 Talja F = Q 2 "Virtuaalisen työn periaateen" voisi tässä ilmaista siten, että kun narua vedetään matka s, kuorma nousee matkan s/2 => voima F on puolet kuormavoimasta Q. F*s = Q* s 2 => F = Q 2 Seuraavassa taljassa naru tekee kaksi kierrosta => F = 1 4 Q Jakoavain Momenttiehto F*r 1 = Q*r 2 => F = r 2 r 1 Q Q = Pultin kitkavoima r2 = Pultin kierreosan säde r1 = jakoavaimen pituus