Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774 6,6. 8 8 c) Alapaineiden keskihajonta on ( ) (6 ) (67 )... (74 ) 8 8 8 8 8 6,6. K. a) Kirjoitetaan tiedot taulukkolaskentaohjelmaan. Piirretään ohjelmalla pylväskuvio. b) Piirretään ympyräkuvio, järjestetään osat suuruusjärjestykseen.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K. a) Taulukkolaskentaohjelman avulla saadaan heittäjän A tulosten keskiarvoksi 78,6 m ja keskihajonnaksi,09 m sekä vastaavasti heittäjän B tulosten keskiarvoksi 8,4 m ja keskihajonnaksi,8 m. b) Heittäjän A tulosten keskiarvo on pienempi kuin heittäjän B tulosten keskiarvo. Toisaalta heittäjän A tulosten keskihajonta,09 m on selvästi pienempi kuin heittäjän B tulosten keskihajonta,8 m. Heittäjän A voidaan siis arvioida olevan tasaisempi eli varmempi heittäjä omalla tasollaan. K4. Piirretään ohjelmalla viivakuvio. Vuosina 980-89 vuosittaisten rekisteröintien määrä kasvoi noin 00 000:sta yli 70 000:een. Vuosina 990-9 vuosittaisten rekisteröintien määrä romahti alle puoleen aiemmasta.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K. Lasketaan luokkien todelliset ylärajat ja suhteelliset summafrekvenssit taulukkoon. Luokan 0-4 vuotta todellinen yläraja on vuotta, koska kaikki alle - vuotiaat kuuluvat luokkaan 0-4. Luokkien todelliset ylärajat ovat siis, 0, 4, 60, 7 ja 0. Lisätään piirtämistä varten ensimmäiselle riville ensimmäisen luokan todellinen alaraja 0 ja sitä vastaava suhteellinen summafrekvenssi 0 %. Piirretään kertymäkuvaaja viivakuviona, jossa luokan ylärajan kohdalla on luokan suhteellinen summafrekvenssi. a) Kertymäkuvaaja leikkaa 0 %:n vaakatason noin 4 vuoden kohdalla, joten mediaani-ikä oli noin 4 vuotta. b) Kertymäkuvaaja leikkaa 7 %:n vaakatason noin 4 vuoden kohdalla, joten 7 % oli nuorempia kuin 4 vuotta.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K6. a) Palloja on yhteensä kahdeksan, joten P(punainen) 0,6. 8 b) Kun yksi punainen pallo on nostettu, jäljellä on seitsemän palloa, joista neljä on punaisia. Kertolaskusäännöllä saadaan P(kaksi punaista) = P(. punainen ja. punainen) 4 0,6. 8 7 4 Toinen tapa: 8 Kahdeksasta pallosta voidaan valita kaksi 8 Viidestä punaisesta pallosta voidaan valita kaksi eri tavalla. 0 eri tavalla. Siispä nostettaessa kaksi palloa todennäköisyys, että molemmat ovat punaisia, on P(kaksi punaista) 0 0,6. 8 8 4 c) Neljästä pallosta sinisiä ja punaisia on yhtä monta täsmälleen siinä tapauksessa, että punaisia on kaksi ja sinisiä kaksi. Viidestä punaisesta pallosta voidaan valita kaksi 0 eri tavalla ja kolmesta sinisestä pallosta voidaan valita kaksi eri tavalla. Tuloperiaatteen mukaan kaksi punaista ja kaksi sinistä palloa voidaan siis valita 0 = 0 eri tavalla. 8 Kaikkiaan kahdeksasta pallosta voidaan valita neljä 70 4 eri tavalla. Niinpä P(kaksi punaista ja kaksi sinistä) 0 0,4. 8 70 7 4
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 d) Tapahtuman saadaan ainakin yksi punainen vastatapahtuma on ei saada yhtään punaista eli saadaan kolme sinistä. Tämän todennäköisyys saadaan kertolaskusäännöllä: P(. sininen ja. sininen ja. sininen). 8 7 6 6 Kysytty todennäköisyys on siten P(ainakin yksi punainen) 0,98. 6 6 Toinen tapa: Tapahtuman saadaan ainakin yksi punainen vastatapahtuma on ei saada yhtään punaista eli saadaan kolme sinistä. Kolmesta sinisestä pallosta voidaan valita kolme vain yhdellä tavalla, ja kaikista 8 6 eri tavalla. Niinpä kahdeksasta pallosta voidaan valita kolme P(kaikki kolme sinisiä). 8 6 Kysytty todennäköisyys on siten P(ainakin yksi punainen) 0,98. 6 6 K7. a) Riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä tapahtuman molemmat lyövät juoksun todennäköisyydeksi saadaan P(A lyö juoksun ja B lyö juoksun) = P(A lyö juoksun) P(B lyö juoksun) = 0,4 0, = 0,47 0,. b) Tapahtuma vain toinen lyö juoksun koostuu kahdesta erillisestä tapahtumasta: A lyö juoksun ja B ei sekä B lyö juoksun ja A ei. Riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla saadaan P(vain toinen lyö juoksun) = P(A lyö juoksun ja B ei tai B lyö juoksun ja A ei) = 0,4 ( 0,) + 0, ( 0,4) = 0,476 0,48.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 c) Riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä saadaan tapahtuman kumpikaan ei lyö juoksua todennäköisyydeksi P(kumpikaan ei lyö juoksua) = P(A ei lyö juoksua ja B ei lyö juoksua) = ( 0,4) ( 0,) = 0,77 0,8. d) Tapahtuman ainakin toinen lyö juoksun vastatapahtuma on kumpikaan ei lyö juoksua, jonka todennäköisyys laskettiin c-kohdassa. Niinpä P(ainakin toinen lyö juoksun) = 0,77 = 0,6 0,6. K8. a) Kaikki kirjaa voivat olla keskenään! eri järjestyksessä. Kun matematiikan kirjat ovat vierekkäin, matematiikan kirjoista ensimmäinen voi olla hyllyssä ensimmäisenä, toisena, kolmantena tai neljäntenä: MMMMMMMMMMRRR RMMMMMMMMMMRR RRMMMMMMMMMMR RRRMMMMMMMMMM Matematiikan kirjat voivat olla keskenään 0! eri järjestyksessä ja ruotsin kirjat jäljellä olevilla paikoilla! eri järjestyksessä. Kysytty todennäköisyys on siis 40!! 0,0986... 0,04.! 4 b) Matematiikan kirjojen keskinäinen järjestys on nyt määrätty, vaihtoehtoja ei ole kuin yksi. Kuten a-kohdassa, matematiikan kirjoista ensimmäinen voi olla neljällä eri paikalla ja ruotsin kirjat jäljellä olevilla paikoilla! eri järjestyksessä, joten kysytty todennäköisyys on 4! 9,84... 0 0,0000000084... 0,000000009.! 94900
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K9. Piirretään neliö ja väritetään siitä suotuisa osa eli ne alueet, joissa pisteen etäisyys lähimmästä nurkasta on korkeintaan puolet neliön sivun pituudesta. Suotuisa kuvion osa muodostuu neljästä ympyrän neljänneksestä. Jos neliön sivun pituus on a, sen pinta-ala on a, ympyrän säde on a ja ympyrän neljänneksen pinta-ala silloin a π a 4 π. 4 π 4 a. Suotuisan osan pinta-ala on Kysytty todennäköisyys on π a a π 0,7898... 0,79. 4
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K0. Vektorin u ai bj pituus on a b. Pituus on enintään 4 täsmälleen silloin, kun pituuden neliö a + b 6. Esitetään kahden nopan heiton mahdolliset lopputulokset eli silmälukuparit (a, b) taulukkona ja merkitään taulukkoon silmälukuparin kohdalle saadun vektorin pituuden neliö a + b. 6 7 40 4 6 7 6 9 4 4 0 6 4 7 0 4 0 8 4 4 8 0 9 40 0 7 6 7 4 6 Suotuisia silmälukupareja on taulukon mukaan kahdeksan. Yhteensä silmälukupareja on 6, joten kysytty todennäköisyys on 8 0,... 0,. 6 9
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K. Kyse on toistokokeesta, jossa toistojen eli kahden arpakuution heittojen lukumäärä on kuusi. Lasketaan toiston onnistumisen eli tuloksen silmälukujen summa on vähintään 9 todennäköisyys yhdellä kahden arpakuution heitolla. Esitetään kahden arpakuution heiton mahdolliset lopputulokset eli silmälukuparit taulukkona ja merkitään taulukkoon silmälukuparin kohdalle silmälukujen summa. 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 4 6 7 8 9 0 4 6 7 8 9 4 6 7 8 4 6 7 4 6 Taulukon perusteella tapahtuman silmälukujen summa on vähintään 9 kannalta suotuisia silmälukupareja on 0. Yhteensä silmälukupareja on 6, joten toiston onnistumisen todennäköisyys on 0 0,777... 6 8 Todennäköisyys, että kolmessa heitoista silmälukujen summa on vähintään 9, saadaan toistokokeen kaavalla: 6 P(kolme onnistumista) 7 0,6486... 0,6. 8 8 8006
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K. a) Oppilaita on yhteensä 4, joten yhteen ryhmään valitaan. Tämä 4 voidaan tehdä 7046 eri tavalla. Toisen ryhmän oppilaat tulee valittua samalla. Pojat ovat samassa ryhmässä, kun yhteen ryhmään on valittu kaikki pojat ja lisäksi kaksi tyttöä. 0 4 9 eri tavalla. 0 Tämä voidaan tehdä Todennäköisyys, että kaikki pojat ovat samassa ryhmässä, on siis 4 0 9 0,00006... 0,00004. 4 7046 976 b) Ryhmissä on yhtä monta poikaa täsmälleen siinä tapauksessa, että toiseen on valittu poikaa ja 7 tyttöä. Tuloperiaatteen mukaan tämä voidaan tehdä 0 4 4 864864 eri tavalla. 7 Kysytty todennäköisyys on siis 0 4 7 864864 76 0,98... 0,. 4 7046 749
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K. a) Todennäköisyys voittaa 0 euron lahjakortti on 0,0 ja 00 0 0 todennäköisyys voittaa 0 euron lahjakortti on 0,. 00 0 Todennäköisyys jäädä ilman voittoa on 00 0 0,88. 00 Nettovoitto X saadaan, kun arvalla saadusta voitosta vähennetään arvasta maksettu hinta euroa. Näin ollen P( X 4), 0 P( X ) ja 0 P( X ). Nettovoiton odotusarvo on E( X ) 4 euroa. 0 0 b) Nettovoiton keskihajonta on D( X ) (4 ( )) ( ( )) ( ) 9 0 0 euroa.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K4. Esitetään kahden nopan heiton mahdolliset lopputulokset eli silmälukuparit taulukkona ja merkitään taulukkoon silmälukuparin kohdalle silmälukujen summa eli satunnaismuuttujan X arvo. 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 4 6 7 8 9 0 4 6 7 8 9 4 6 7 8 4 6 7 4 6 Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat,,,. Taulukon perusteella saadaan eri arvojen todennäköisyydet: P( X ) 0,0777... 0,08 6 P( X ) 0,0... 0,0 6 8 P( X 4) 0,08... 0,08 6 P( X ) 4 0,... 0, 6 9 P( X 6) 0,888... 0,4 6 P( X 7) 6 0,6666... 0,7 6 6 P( X 8) 0,888... 0,4 6 P( X 9) 4 0,... 0, 6 9 P( X 0) 0,08... 0,08 6 P( X ) 0,0... 0,0 6 8 P( X ) 0,0777... 0,08 6
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Tämä on satunnaismuuttujan X jakauma, joka voidaan esittää myös taulukkomuodossa: P(X = ) 6 8 4 9 6 6 7 6 8 6 9 9 0 8 Piirretään pistetodennäköisyydet koordinaatistoon vastaavan arvon kohdalle: 6
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K. Kun taskussa olevista yhteensä neljästä kolikosta valitaan kaksi, nimellisarvojen summa voi olla,0 euroa, euroa,,0 euroa tai euroa. Lasketaan arvojen todennäköisyydet. ) Summaksi saadaan,0 euroa, kun toinen valituista kolikoista on euron kolikko ja toinen 0 sentin kolikko. Tämän todennäköisyys on P(summa on,0 euroa) 0,. 4 6 Sama tulos saadaan kerto- ja yhteenlaskusäännön avulla laskemalla P(. euron ja. 0 sentin kolikko, tai. 0 sentin ja toinen euron kolikko). 4 4 ) Summaksi saadaan euroa vain siinä tapauksessa, että molemmat valitut ovat euron kolikoita. Tämän todennäköisyys on P(summa on euroa) 0,7. 4 6 Sama tulos saadaan kertolaskusäännön avulla laskemalla P(. euron ja toinen euron kolikko). 4 6 ) Summaksi saadaan,0 euroa, kun toinen valituista kolikoista on kahden euron kolikko ja toinen 0 sentin kolikko. Tämän todennäköisyys on P(summa on,0 euroa) 0,7. 4 6 Sama tulos saadaan kerto- ja yhteenlaskusäännön avulla laskemalla P(. kahden euron ja. 0 sentin kolikko, tai. 0 sentin ja toinen kahden euron kolikko). 4 4 6
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 4) Summaksi saadaan euroa, kun toinen valituista kolikoista on kahden euron kolikko ja toinen euron kolikko. Tämän todennäköisyys on P(summa on euroa) 0,. 4 6 Sama tulos saadaan kerto- ja yhteenlaskusäännön avulla laskemalla P(. kahden euron ja. euron kolikko, tai. euron ja toinen kahden euron kolikko). 4 4 Summan odotusarvo on,0,0, euroa. 6 6 K6. a) Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja on ja onnistumisen todennäköisyys on 80 % = 0,80. Onnistumisten eli pidettyjen luentojen lukumäärä noudattaa binomijakaumaa, ja kunkin lukumäärän k = 0,,,, todennäköisyys saadaan ohjelman avulla jakaumasta Bin(; 0,8) tai laskemalla binomitodennäköisyyden eli toistokokeen kaavalla P( onnistumista) k k k 0,80 0,80. k Todennäköisyys, että professori ehtii pitää kaikki viisi luentoa, on 0,80 = 0,768 0, = %. b) Tapahtuma vain yksi viidestä luennosta jää pitämättä on sama kuin ehtii pitää vain neljä luentoa, jonka todennäköisyys on 0,804 ( 0,8) = 0,4096 0,4 = 4 %. c) Binomijakaumaa Bin(n, p) noudattavan satunnaismuuttujan odotusarvo on np. Koska luentojen lukumäärä noudattaa binomijakaumaa parametrein ja 0,8, lukumäärän odotusarvo on 0,80 = 4.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K7. Funktio on tiheysfunktio, jos se toteuttaa kaksi ehtoa: ) sen arvot ovat einegatiivisia ja ) sen kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. Osoitetaan, että f toteuttaa nämä ehdot. π π ) Riittää tutkia funktion arvoja välillä, koska sen ulkopuolella funktion f arvo on nolla. Kosini on yksikköympyrän kehäpisteen - π π koordinaatti, joten kun, on cos 0 ja siksi myös f( ) cos 0. Ensimmäinen ehto siis toteutuu. ) Funktion f kuvaajan ja -akselin väliin jää alue vain välillä π π. Kuten edellä todettiin, funktio f on ei-negatiivinen, joten alueen pinta-ala saadaan määrättynä integraalina cos d sin ( ). / Siis funktio f toteuttaa toisenkin ehdon. Niinpä f on tiheysfunktio. Kysytty todennäköisyys P( X ) on funktion f kuvaajan ja 4 4 π π -akselin väliin välillä jäävän alueen pinta-ala. 4 4 Pinta-ala saadaan tiheysfunktion määrättynä integraalina kyseisellä välillä: π π 4 4 P π X π f( ) d cos d 0, 707... 0, 7. 4 4 π π 4 4
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K8. Normitetaan X ja käytetään standardinormaalijakauman N(0, ) kertymäfunktiolle Φ taulukoituja arvoja. Koska X ~ N(8, ), satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumaa N(0, ). Z X 8 noudattaa Lasketaan kysytty todennäköisyys Z:n kertymäfunktion Φ avulla: P(7 X 0) P 78 0 8 Z P( Z ) =P( Z ) P( Z ). P(Z ) = Φ() saadaan taulukosta: Φ() 0,84. Symmetrian avulla saadaan P( Z ) P( Z ) P( Z ) ( ) 0,69 0,08 Niinpä P(7 X 0) 0,84 0,08 = 0,8 0,. Myös ohjelman avulla saadaan P(7 X 0) 0,8, kun X ~ N(8, ). K9. Olkoon X lentomatkan kesto minuutteina, jolloin X ~ N(44, ). Kysytty todennäköisyys on P(X 0). Ohjelman avulla saadaan P(X 0) 0,69 0,69 eli todennäköisyys, että lento on perillä ennen kello :ä, on noin 0,69.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 K0. Olkoon pistemäärää kuvaava satunnaismuuttuja X, jolloin X ~ N(0,;,). Etsitään luvut a (arvosanan 0 pisteraja) ja b (hyväksytyn eli arvosanan pisteraja), joille P(X a) = 0, ja P(X < b) = 0,0. Ohjelman avulla saadaan a 44,4 44 ja b,6776. Arvosanan 0 pisterajaksi pitäisi siis asettaa 44 pistettä ja arvosanan pisterajaksi pistettä.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoitetaan keskiarvolle lauseke :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. e π 4 e π 4π e :4 π e 4 abc b) Keskiarvo on ennen muutosta ja muutoksen jälkeen a0 b0 c0 abc0 abc 0. Keskiarvo siis kasvaa kymmenellä. Mediaani on suuruusjärjestyksessä keskimmäinen luvuista a, b ja c. Kun jokaiseen lukuun lisätään 0, lukujen keskinäinen järjestys ei muutu. Keskimmäinen on siis sama kuin aiemmin, johon on lisätty 0, eli myös mediaani kasvaa 0:llä.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08. a) Valitaan luokiksi 60-64 cm, 6-69 cm, 70-74 cm, 7-79 cm ja 80-84 cm. Lasketaan, kuinka monta pituutta kuhunkin luokkaan kuuluu ja kirjoitetaan luokkien frekvenssit taulukkomuotoon. Luokka frekvenssi 60-64 6-69 9 70-74 8 7-79 7 80-84 7 Lasketaan luokkien summafrekvenssit laskemalla yhteen luokan ja sitä edeltävien luokkien frekvenssit. Luokka frekvenssi summafrekvenssi 60-64 6-69 9 4 70-74 8 7-79 7 9 80-84 7 6 b) Piirretään kertymäkuvaaja merkitsemällä summafrekvenssi luokan todellisen ylärajan kohdalle ja yhdistämällä pisteet. Luokkien todelliset ylärajat ovat 64,; 69,; 74,; 79, ja 84, cm. Ensimmäisen luokan todellisen alarajan 9, kohdalle tulee frekvenssi 0.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Mediaanipituuden ylittää puolet oppilaista eli 8 ja alittaa myös 8 oppilasta. Kuvasta mediaani arvioidaan etsimällä se pituus, jonka kohdalla kertymäkuvaaja leikkaa vaakatason 8; tämä on noin 7 cm. Oppilaita on yhteensä 6, joten mediaanipituus on pituusjärjestyksessä kahden keskimmäisen pituuden keskiarvo. Luokan pituusjärjestyksessä 8. ja 9. oppilaan pituudet ovat 70 ja 7 cm, joten aineiston todellinen mediaani on 70, cm. Kertymäkuvaajasta arvioitu mediaani on siis, cm suurempi kuin aineiston todellinen mediaani.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla: Niiden oppilaiden osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 60 % + 70 % 0 % = 80 %. Niinpä niiden opiskelijoiden osuus, jotka eivät pidä suklaasta eivätkä ole musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu koulun oppilas ei pidä suklaasta eikä ole musikaalinen, on sama kuin näiden osuus kaikista oppilaista eli 0 % = 0,0. TAI Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla: Niiden oppilaiden osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 0 % + 0 % + 0 % = 80 %. Niinpä niiden opiskelijoiden osuus, jotka eivät pidä suklaasta eivätkä ole musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu koulun oppilas ei pidä suklaasta eikä ole musikaalinen, on sama kuin näiden osuus kaikista oppilaista eli 0 % = 0,0
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 4. a) b) c) 0! 098 7 6 4 90 8! 876 4!!!! 8! 876! 87 6!!! 6 6! 64! 4 4! 6 4! 4!! d) 6
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08. Kaksinumeroisessa positiivisessa kokonaisluvussa ensimmäinen numero on jokin luvuista,,, 9, ja toinen numero on jokin luvuista 0,,, 9 ja jokainen näistä numeroista on yhtä todennäköinen. Todennäköisyys, että ensimmäinen numero on tai, on siis P(ensimmäinen numero on tai ) 0. 9 0 9 9 Vastaavasti P(toinen numero on tai ). 9 0 Lisäksi todennäköisyys, että sekä ensimmäinen että toinen numero on tai, on P(ensimmäinen on tai ja toinen on tai ). 9 0 4 Niinpä P(ainakin toinen on tai ) 7. 9 4 4 Muita tapoja: P(ainakin toinen on tai ) P(kumpikaan ei ole tai ) 7 8 8 7. 9 0 4 4 Sama tulos saadaan myös luettelemalla sopivat luvut. Kaksinumeroisia positiivisia kokonaislukuja ovat luvut 0,,, 99, joita on 90. Ne luvut, joissa ainakin toinen numeroista on tai, ovat 0,,,, 4,, 6, 7,8, 9 (0 kpl) 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9 (0 kpl),, 4, 4,,, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 (7 = 4 kpl) Kyseisiä lukuja on yhteensä 4 kappaletta. Niinpä kysytty todennäköisyys on 4 7. 90 4
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 6. Käytetään kannattavuuden mittarina odotusarvoa. Lasketaan odotusarvo kummassakin tilanteessa: siinä, jossa kilpailija vastaan ensin helppoon kysymykseen ja myös siinä, jossa hän vastaa ensin vaikeaan kysymykseen. Olkoon X = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa ensin helppoon kysymykseen. Muodostetaan satunnaismuuttujan X jakauma ja lasketaan sen odotusarvo. (euroa) P(X = ) 0 0, (vastaa väärin helppoon) 00 0, 0,8 = 0,4 (vastaa oikein helppoon ja väärin vaikeaan 600 0, 0, = 0, (vastaa oikein molempiin) Nyt E(X) = 0, 0 + 0,4 00 + 0, 600 = 40. Olkoon sitten Y = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa ensin vaikeaan kysymykseen. Muodostetaan satunnaismuuttujan Y jakauma ja lasketaan sen odotusarvo. y (euroa) P(Y = y) 0 0,8 (vastaa väärin vaikeaan) 400 0, 0, = 0, (vastaa oikein vaikeaan ja väärin helppoon 600 0, 0, = 0, (vastaa oikein molempiin) Nyt E(Y) = 0,8 0 + 0, 400 + 0, 600 = 00. Koska satunnaismuuttujan Y odotusarvo on suurempi, kilpailijan kannattaa siis vastata ensin vaikeaan kysymykseen.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 7. C on lopullinen voittaja, jos ) C voittaa seuraavat kolme peliä, tai ) seuraavista kolmesta pelistä C voittaa kaksi ja A yhden, ja lisäksi seitsemännen pelin voittaa C. Tapahtumat ja ovat erilliset. Koska pelaajat ovat yhtä taitavia, jokaisella on sama todennäköisyys voittaa peli: P(A voittaa pelin) P(B voittaa pelin) P(C voittaa pelin), ja eri pelikierroksilla voitot eivät riipu toisistaan. Tapahtuman todennäköisyys on kertolaskusäännön mukaan. Tapahtuma koostuu erillisistä tapahtumista, ACCC, CACC ja CCAC joista jokaisen todennäköisyys on 4. Niinpä kysytty todennäköisyys on 4 P(C on lopullinen voittaja) 0,074074... 0,074. 7
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 8. Funktio on f tiheysfunktio, jos ) sen arvot ovat ei-negativisia ja ) sen kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. ) Funktion lausekkeista nähdään, että ei-negatiivisuus toteutuu silloin kun a 0. ) Pinta-alaa muodostuu vain välillä 0 < e. Etsitään sellainen einegatiivinen luku a, että e 0 f ( )d. e e e 0 0 f ( )d d a d ln 0 ln ln) / / a a ea a a a 0 0 Koska luku täyttää ehdon a 0, funktio f on tiheysfunktio silloin kun a. Kertymäfunktio F saadaan integroimalla tiheysfunktiota f ja käyttämällä integroimisvakioiden määräämiseen tietoja F(0) = 0 ja F(e) = sekä sitä, että F on jatkuva kaikkialla., kun 0 0, kun 0, kun 0 Integroidaan funktio f( ), kun e, kun e 0, muulloin 0, kun e osissa. < 0: F( ) 0dC 0 < < : F( ) d D < < e: F( ) d lne > e : F( ) 0dG
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Koska F(0) = 0 ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) 0: 0 0 lim F( ) lim C C, siis C = 0 0 0 D, siis D = 0. lim F( ) lim ( D) 0 0 Koska F(e) = ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) : e e lim F( ) lim ( ln E) ln ee E, mistä E e e lim F( ) li m( G) G, siis G =. e e Tarkistetaan vielä funktion F arvo ja jatkuvuus kohdassa = kun C = 0, D = 0, E ja G = : lim F( ) lim( ) lim F( ) lim ( ln ) ln 0 Siis kertymäfunktio on 0, kun 0,, kun 0, F( ) ln, kun e,, kun e. Kysytty todennäköisyys on kertymäfunktion avulla laskettuna P( X ) P( X ) F() F( ) ln 0 ln 0,8467... 0,8.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 9. Kun yksi pallo on siirretty laatikosta A laatikkoon B, tapahtuman laatikosta B saadaan valkoinen pallo todennäköisyys riippuu siitä, minkä värinen pallo siirrettiin. Jaetaan tapahtuma laatikosta B saadaan valkoinen pallo siirretyn pallon värin mukaan kahteen erilliseen osaan: : siirretään valkoinen pallo ja saadaan valkoinen pallo, sekä : siirretään musta pallo ja saadaan valkoinen pallo. Lasketaan kummankin todennäköisyys. P(siirretään valkoinen pallo ja saadaan valkoinen) 8 8 P(siirretään musta pallo ja saadaan valkoinen) 4 8 Koska tapahtumat ovat erillisiä, kysytty todennäköisyys on 0,7 0,8. 8 40 0. Sellaisia kortteja, joissa ainakin yksi puoli on musta, on 40 + 0 = 90. Koska nostetulla kortilla on ainakin yksi musta puoli, on nostettu yksi näistä 90:stä. Jokaisen kortin todennäköisyys tulla nostetuksi on sama. Niinpä todennäköisyys, että nostetun kortin toinenkin puoli on musta, on todennäköisyys, että nostetuksi tuli yksi 40:stä kokonaan mustasta kortista eli 40 4 0,4444... 0,44. 90 9 Toinen tapa: P(molemmat puolet mustia toinen puoli on musta) P(molemmat puolet on mustia ja toinen puoli on musta) P(toinen puoli on musta) P(molemmat puolet on mustia) P(toinen puoli on musta) 40 0 40 4 0,4444... 0,44. 90 90 9 0
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 APUVÄLINEET SALLITTU. a) Kokeen teki kaikkiaan 7 + 40 + = 0 osallistujaa. Koska jokaisessa ryhmässä arvosanojen summa on arvosanojen keskiarvo kerrottuna ryhmän koolla, saadaan kaikkien osallistuneiden keskiarvoksi 7 7,8 40 8, 7,97 7,98980... 7,99. 0 b) Lasketaan arvosanojen keskiarvo taulukkolaskentaohjelmalla tai matematiikkaohjelmalla: Keskiarvo on 7,7894 7,8. Lasketaan keskihajonta matematiikkaohjelmalla: Keskihajonta on,466,46.. a) Kirjoitetaan tiedot taulukkolaskentaohjelmaan, järjestetään tiedot osuuden mukaan suuruusjärjestykseen ja piirretään ympyräkuvio. b) Piirretään pylväskuvio. Pylväskuviota varten tietoja ei ole tarpeen järjestää suuruusjärjestykseen, vaan luokka muu voi olla viimeisenä.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08. a) Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja eli henkilöitä on 0 ja onnistumisen eli tapahtuman henkilö on puolueen kannattaja todennäköisyys jokaisella toistolla on % = 0,. Onnistumisten eli kannattajien lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(0; 0,). Ohjelman avulla saadaan P(kannattajia on ) = 0,04909 0,044. Sama tulos saadaan, kun kysytty todennäköisyys lasketaan toistokokeen kaavalla: 0 0 P(kannattajia on ) 0, 0, 0, 0,77 0,04909... 0,044. b) Merkitään kannattajien lukumäärää 0 henkilön otoksessa satunnaismuuttujalla X. Kuten a-kohdassa, koska X ~ Bin(0, ), ohjelman avulla saadaan P(X 8) = 0,000 0,000. Toinen tapa: Toistokokeen kaavaa käyttäen saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 0) 0 8 0 9 0 8 0 0, 0,77 0, 0,77 0, 0,77 8 9 0 8 9 8 40, 0,77 00, 0,77 0, 0, 000 c) Ohjelman avulla saadaan P(X ) = 0,9 0,9. Toinen tapa: Toistokokeen kaavaa käyttäen saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) 0 0 0 0 9 0, 0,77 0, 0,77 0 0 9 0,77 00,0,77 0,9. d) Ohjelman avulla saadaan P(X ) = 0,967 0,9. Toinen tapa: P(X ) = P(X = 0) = 0,77 0 = 0,967 0,9.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 4. Kahteen eri joukkueeseen jäsenet voidaan valita 7 4 4 40 eri tavalla. Kun joukkueet on valittu, lepäämään jäävä henkilö on myös määritetty. Ajatellaan rantalentopallokentän puoliskoja nimillä A ja B. Kun ensin valitaan joukkue puolelle A kaikkien 7 henkilön joukosta, ja toinen joukkue puolelle B loppujen 4:n joukosta, niin toinen tapa saada nämä täsmälleen samat joukkueet toisiaan vastaan on valita ensin joukkue puolelle A ja joukkue puolelle B. Näin ollen erilaisten joukkueparien lukumäärässä 40 samat kaksi joukkuetta esiintyvät parina kaksi kertaa. Siis erilaisia kahden joukkueen ja yhden lepäävän pelaajan mahdollisuuksia on 40 70. Jos yksi peli kestää puoli tuntia, 70 peliin menee tuntia; niinpä pelaajat eivät ehdi käydä kaikkia vaihtoehtoja läpi vuorokauden eli 4 tunnin aikana.. a) Pelaaja voittaa euroa todennäköisyydellä ja häviää yhden euron 7 todennäköisyydellä 6. Voiton odotusarvo on siis 7 6 ( ) 0,0707... 0,0 euroa. 7 7 7 b) Pelaaja voittaa euroa todennäköisyydellä ja häviää yhden euron 7 4 todennäköisyydellä. Voiton odotusarvo on siis 7 7 4 ( ) euroa. 7 7 7 c) Pelaaja voittaa euron todennäköisyydellä 8 ja häviää yhden euron 7 8 9 todennäköisyydellä. Voiton odotusarvo on siis 7 7 8 9 ( ) euroa. 7 7 7
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 6. Olkoon n turistien lukumäärä. Tapahtuman A = ainakin yksi turisti kuuluu veriryhmään O vastatapahtuma on A = yksikään ryhmän turisteista ei kuulu veriryhmään O. Tämän todennäköisyys on n n P A ( 0,0) 0, 70, joten P(A) = 0,70 n. Etsitään pienin luku n, jolle P(A) > 99 = 0,99 eli jolle 0,70 n > 0,99, mistä saadaan epäyhtälö 0,70 n < 0,00. Ratkaistaan ensin yhtälö 0,70 n = 0,00 logaritmin avulla: n 0,70 0,00 n log0,7 0,00 n 4,8... Mitä useampia turisteja ryhmässä on, sitä todennäköisempää on, että heistä ainakin yksi kuuluu veriryhmään O. Kun turisteja on tai enemmän, todennäköisyys on yli 99 promillea.
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 7. a) Maalitaulun säde on 60 0 (cm), joten sen pinta-ala on π0 900π (cm ). 900π π 0 Kymmenen pisteen alueen pinta-ala on π, joten 4 todennäköisyys, että heitto osuu 0 pisteen alueeseen, on π. 900π 6 Tapahtuman viidestä heitosta ainakin yksi osuu 0 pisteen alueeseen vastatapahtuma on yksikään viidestä heitosta ei osu 0 pisteen alueeseen, jonka todennäköisyys on 869 0,4747... Todennäköisyys, että 6 6 6046676 viidestä heitosta ainakin yksi osuu 0 pisteen alueeseen on siis 0,4747 = 0,6 0,. b) Todennäköisyys, että heitto osuus 00 pisteen ympyrään, on π0. Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja eli 900π 9 heittoja on viisi ja onnistumisen todennäköisyys on. 9 Onnistumisten eli 00 pisteen ympyrään osumisten lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(, ). 9 Todennäköisyys, että onnistumisia tulee kolme, saadaan ohjelman avulla tai laskemalla 640 0,0088... 0,0. 9 9 9049 c) Kahdella heitolla saadaan yhteensä 00 pistettä kolmella eri yhdistelmällä: 80 + 0, 70 + 0 ja 60 + 40. Jokainen yhdistelmä voidaan saada kahdella eri tavalla, ensin suurempi ja sitten pienempi pistemäärä tai toisinpäin. Pistemäärien 60, 70 ja 80 alueilla on sama pinta-ala π0 π0 00π, joten näillä pistemäärillä on sama todennäköisyys 00π. 900π 9
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Siis P(60) P(70) P(80). 9 Pistemäärien 0, 0 ja 40 alueilla on sama pinta-ala kuin pistemäärällä 0, joka laskettiin jo kohdassa a. Näiden pistemäärien todennäköisyydet ovat siis P(0) P(0) P(40) P(0). 6 Erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä saadaan P(kahdella heitolla 00) = P(80 ja 0) + P(0 ja 80) + P(70 ja 0) + P(0 ja 70) + P(60 ja 40) + P(40 ja 60) 9 6 6 9 9 6 6 9 9 6 6 9 0,099... 0,09. 4
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 8. a) Kaikkia alkeistapauksia vastaa suorakulmio, jossa ja y. Tämän suorakulmion pinta-ala on = 4. Tapahtumaa " y e " vastaa se käyrän y e osa, joka jää e e suorakulmion alueelle. Käyrän pinta-ala on nolla, joten tapahtuman on nolla. y e todennäköisyys e b) Tapahtumaa A = " y e " vastaa suorakulmion se osa, joka jää e käyrän y e alapuolelle. e Selvitetään ensin, missä käyrä y e leikkaa neliön yläreunan eli e suoran y = : e e e e e e : e ln Haluttu alue muodostuu siis suorakulmiosta välillä ln sekä käyrien y e ja y = väliin jäävästä alueesta välillä ln. e
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Sen sijaan tapahtuman A vastatapahtuma A muodostuu käyrien y e ja y = väliin jäävästä alueesta välillä ln. Koska e se saadaan laskettua kerralla, lasketaan tapahtumaa A vastaavan alueen pinta-ala. e e e e e ln ln ln ln ln e / d d ( e )d e Näin ollen 4 e ln P( A) ln 0,6. 4 4e
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 9. Merkitään = henkilön A saapumisaika ja y = henkilön B saapumisaika minuutteina kello 9 jälkeen. Alkeistapauksia ovat siis lukuparit (, y), joissa 0 60 ja 0 y 60. Kaikkia alkeistapauksia kuvaa neliö, jonka sivun pituus on 60 ja pinta-ala 60 = 600. Tapahtuman A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan vastatapahtuma on A ja B eivät ole kahvilassa samaan aikaan. Tämä tarkoittaa, että A saapuu yli minuuttia myöhemmin kuin B tai vastaavasti B saapuu yli minuuttia myöhemmin kuin A; siis > y + tai y > +. Vastatapahtuman kannalta suotuisa osa kuviota koostuu kahdesta kolmiosta, joissa toisessa > y + eli y < ja toisessa y > +. Kummankin kolmion kanta on 4 ja korkeus samoin 4, joten vastatapahtuman todennäköisyys on 44 9 P(A ja B eivät ole kahvilassa samaan aikaan). 600 6 Niinpä kysytty todennäköisyys on 9 7 P(A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan). 6 6
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 0. Selvitetään ensin se kahvimäärä, jolla kahvin pinta on 0,7 cm:n päässä mukin reunasta. Muki on katkaistun ympyräkartion muotoinen. Katkaistun kartion tilavuus saadaan vähentämällä kokonaisen kartion tilavuudesta katkaistun osan tilavuus. Hahmotellaan siis poikkileikkauskuva tilanteesta ja täydennetään kartio kokonaiseksi. Merkitään mukin sädettä kahvin pinnan korkeudella kirjaimella r, sekä katkaistun osan korkeutta kirjaimella. Nyt kahvin tilavuus kuutiomillilitroina on π r (9 ) π. Ratkaistaan r ja. Kuvan kolmiot ABC ja ADE ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset, sillä niissä on molemmissa suora kulma ja yhteinen kulma A. Vastinosien suhteista saadaan yhtälö 00, josta = 0 (mm). Samoin yhdenmuotoisten kolmioiden avulla voidaan ratkaista r. r 9 0 0 r 4, (mm) Kahvin tilavuus, kun pinta yltää 7 mm päähän reunasta, on siis π 4, (9 0) π 0 498,49... mm 4,9... cm. Kahviautomaatin laskemaa kahvimäärää (kuutiosenttimetreinä) kuvaa satunnaismuuttuja X ~ N(μ, ). Tehtävänä on määrätä odotusarvo μ siten, että P(X > 4,9 ) = 0,00, eli että P(X 4,9 ) = 0,99. Ratkaistaan ohjelman avulla numeerisesti yhtälö Normaalijakauma(,, 4,9 ) = 0,99, jolloin ratkaisuksi saadaan =,4 cm. Keskiarvoksi tulee siis säätää noin cm.