5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen kartiopinta. Kun tätä pintaa leikataan suunnaltaan sopivasti valitulla tasolla, saatetaan saada kartio. Jos kartiopinnan ja tason leikkauskuvio, kartion pohja, on ympyrä, kyseessä on ympyräkartio. Ympyrän keskipisteen ja kartiopinnan muodostajasuoran kiinteän pisteen välinen yhdistysjana on kartion akseli. Jos akseli on kohtisuorassa pohjaa vastaan, on kyseessä suora ympyräkartio, muutoin vino. Suoran ympyräkartion tapauksessa akselin pituus antaa kartion korkeuden. Kartiopinnan ja tason leikkauskuvio saattaa olla myös monikulmio, joskus jopa säännöllinen monikulmio, ja tällöin kyseistä kartiota sanotaan pyramidiksi.
Kenellä on avaruudellisten asioiden tajuntaa, saattaa hyvin piirretystä kuviosta hahmottaa, että kuutio voidaan jakaa kolmeksi yhteneväiseksi neliöpohjaiseksi pyramidiksi, ja siten olisi pääteltävissä, että ainakin tässä erikoistapauksessa kartion tilavuus olisi pohjan alan ja korkeuden tulon kolmannes. Tämä tulos voidaan kyllä todistaa minkämuotoiselle kartiolle tahansa integraalilaskentaa käyttäen, mutta nyt ilmoitettava tulos jää uskon asiaksi: Lause 3 1 Kartion tilavuus V kartio Ah 3 Erikoisesti ympyräpohjaiselle kartiolle sen tilavuus 1 V πr h 3 Jos kartion pohja on säännöllinen monikulmio, niin tulee erityisesti huomata, että kartio on suora vain, jos sen huippupisteen projektio kartion pohjalla yhtyy pohjamonikulmion keskipisteeseen. Jos siis pohja on tasasivuinen kolmio, tämän projektion tulee osua kolmion keskijanojen leikkauspisteeseen, jos pohja on neliö, lävistäjien leikkauspisteeseen (katso edellissivun viimeinen kuva), jne. Kun kartiosta poistetaan pohja, jäljellä oleva osa sen pinnasta on nimeltään kartion vaippa. Se voidaan (ainakin mielikuvituksessa) levittää tasoon, mutta millainen tasokuvio saadaan, riippuu paljolti kartion pohjan muodosta. Suoran säännöllisen pyramidin vaippa koostuu yhtenevistä tasakylkisistä kolmioista, ja
suoran ympyräkartion vaippa tasoon levitettynä muodostaa ympyräsektorin. Yritetään johtaa sen ala. Kartion pohjaympyrän kehän pisteen ja kartion huipun väli on nimeltään kartion sivujana s. Kun kartion vaippa levitetään tasoon, syntyy ympyräsektori, jossa säde sivujana s. Sektorin kaaren pituus kartion pohjaympyrän kehän pituus, α Tämän sektorin pinta-ala Asekt πs, missä siis s on kartion sivujana. 36 α α r Sektorin kaaren pituus πs πr, josta. Sijoitetaan saatu tulos 36 36 s sektorin alan lausekkeeseen: α r Asekt πs πs πrs. 36 s Lause 4 Olkoon suoran ympyräkartion pohjaympyrän säde r ja kartion sivujana s. Tällöin kartion vaipan ala Avaippa πrs πr r + h missä h on kartion korkeus., π r
Esim. 1 Suoran ympyräkartion pohjan säde R ja sen korkeus h R. Kar-tion sisään on asetettu pallo. Mikä on pallon säde? Pallo sivuaa kartion pohjaympyrää sen keskipisteessä ja sen yhteiset pisteet vaipan kanssa muodostavat ympyräviivan, jonka taso on kartion pohjaympyrän määräämän tason suuntainen. Leikataan tätä kuviota tasolla, joka kulkee kartion huipun ja pohjaympyrän keskipisteen kautta. Tällöin syntyy yhdenmuotoisia kolmioita ja EBC ODC, kk-lauseen nojalla. Olkoon pallon säde. OD OC EB BC R R R + (R) R 1 5 R 5 R (1 + 5) R 1 + 5 C D O A E B R Lauseketta on syytä sieventää siten, että neliöjuuri poistuu 1 + 5 nimittäjästä: R R R( 5 1) R( 5 1) R( 5 1) 1 + 5 5 + 1 ( 5 + 1)( 5 1) ( 5) 1) 4 R( 5 1).618... R.
R( 5 1) Vastaus: pallon säde.6 R. Esim. Tutki, voiko suoran ympyräkartion vaipan ala olla yhtä suuri kuin kartion pohjan ala. Myönteisessä tapauksessa, mikä on kartion korkeuden ja pohjan säteen suhde? Olkoon kartion pohjaympyrän säde R ja korkeus H. Tällöin kartion sivujana s R + H ja saadaan yhtälö: A A π R R + H πr R + H R. vaippa pohja On ilmeistä, ettei tällä ole ratkaisua. Nimittäin, kun R >, R :n neliöjuuri R, ja kun neliöjuurta otetaan jostain vähän suuremmasta, niin ollaan mahdottomuuden edessä.