Äärettömät sanat Aleksi Saarela Matematiikan ja tilastotieteen laitos ja FUNDIM-keskus, Turun yliopisto A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 1 / 28
1 Sanojen kombinatoriikan taustaa 2 Esimerkkejä äärettömistä sanoista 3 Sturmin sanat 4 k-abelin ekvivalenssi A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 2 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Historiaa Sanojen kombinatoriikka on merkkijonoja tutkiva matematiikan ala. 1906: Thue, Über unendliche zeichenreihen. 1983: Lothaire, Combinatorics on Words. 1991: Mathematics Subject Classication, luokka 68R15, Combinatorics on Words. 2014: 2297 artikkelia MathSciNetin luokassa 68R15 primary/secondary (165 uutta vuonna 2012). A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 3 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Sanat Aakkosto on äärellinen epätyhjä joukko merkkejä (eli kirjaimia eli symboleita). Sana on jono näitä merkkejä. Esimerkki Jos aakkosto on {a, b}, niin sanoja ovat ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb,... missä ε on nollasta merkistä koostuva tyhjä sana. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 4 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Esimerkkejä aakkostoista ja sanoista Esimerkki Jos aakkosto on latinalainen kirjainaakkosto {a, b,..., y, z}, niin sanoja ovat esimerkiksi house, talo, adgjl. Jokainen epänegatiivinen kokonaisluku voidaan esittää sanana yli aakkoston {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ja jokainen sana esittää jotakin lukua, esimerkiksi 011 esittää lukua yksitoista. Tietojenkäsittelytieteessä käytetään usein binääriaakkostoa {0, 1}. DNA-ketju voidaan esittää sanana yli aakkoston {A, C, G, T }. Sävellys voidaan esittää sanana käyttäen nuotteja ym. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 5 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Konkatenaatio Sanojen u = a 1... a m ja v = b 1... b n konkatenaatio on uv = a 1... a m b 1... b n. Esimerkki Sanojen kirja ja kauppa konkatenaatio on kirjakauppa. Sanojen 123 ja 456 konkatenaatio on 123456. Konkatenaatio on assosiatiivinen eli (uv)w = u(vw) kaikilla sanoilla u, v, w. Konkatenaatio ei ole kommutatiivinen eli uv vu joillakin sanoilla u, v. Esimerkiksi kirjakauppa kauppakirja. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 6 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Tekijät Sana y on sanan u tekijä, jos on olemassa sellaiset sanat x, z, että u = xyz. Toisin sanoen sanan tekijöitä ovat sen sisällä olevista peräkkäisistä kirjaimista koostuvat sanat. Esimerkki Sanan aamu tekijät ovat ε, a, m, u, aa, am, mu, aam, amu, aamu. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 7 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Esimerkki sana-algoritmista Miten löytää kahden sanan pisin yhteinen tekijä? Nämä kaksi sanaa voivat olla esimerkiksi kaksi kokonaista kirjaa, jolloin aakkostoon kuuluvat isot ja pienet kirjaimet, välilyönti, välimerkit jne. Triviaali algoritmi on hyvin hidas. Dynaamisella ohjelmoinnilla nopeampi algoritmi. Suksipuilla vielä parempi. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 8 / 28
Sanojen kombinatoriikan taustaa Pisin yhteinen tekijä kirjoissa Alice's Adventures in Wonderland (Lewis Carroll) ja Metamorphosis (Franz Kafka): he could think of nothing Alice's Adventures in Wonderland (Lewis Carroll) ja Through the Looking-Glass (Lewis Carroll): in one hand and a piece of bread-and-butter in the other. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 9 / 28
Esimerkkejä äärettömistä sanoista 1 Sanojen kombinatoriikan taustaa 2 Esimerkkejä äärettömistä sanoista 3 Sturmin sanat 4 k-abelin ekvivalenssi A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 10 / 28
Esimerkkejä äärettömistä sanoista Lopulta periodiset sanat Jos u ja v ovat äärellisiä sanoja, niin sanaa uvvvvvvvv... sanotaan lopulta periodiseksi. Esimerkki Sana abcababababababababab... on lopulta periodinen (tässä siis u = abc ja v = ab). Ääretön sana, joka ei ole lopulta periodinen, on aperiodinen. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 11 / 28
Esimerkkejä äärettömistä sanoista Fibonaccin luvut f 1 = 1, f 2 = 2, f n+2 = f n+1 + f n f 1 = 1 f 2 = 2 f 3 = 3 f 4 = 5 f 5 = 8 f 6 = 13 f 7 = 21 f 8 = 34 A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 12 / 28
Esimerkkejä äärettömistä sanoista Fibonaccin sana F 1 = 0, F 2 = 01, F n+2 = F n+1 F n F 1 = 0 F 2 = 01 F 3 = 010 F 4 = 01001 F 5 = 01001010 F 6 = 0100101001001 F 7 = 010010100100101001010 F 8 = 0100101001001010010100100101001001 Raja-arvona saadaan ääretön Fibonaccin sana. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 13 / 28
Esimerkkejä äärettömistä sanoista Thuen-Morsen sana T 1 = a, U 1 = b, T n+1 = T n U n, U n+1 = U n T n T 1 = a, U 1 = b T 2 = ab, U 2 = ba T 3 = abba, U 3 = baab T 4 = abbabaab, U 4 = baababba T 5 = abbabaabbaababba, U 5 = baababbaabbabaab T n -sanojen raja-arvona saadaan ääretön Thuen-Morsen sana. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 14 / 28
Esimerkkejä äärettömistä sanoista Joukkueiden muodostaminen Joukko pelaajia pitää jakaa kahteen joukkueeseen. Kaksi kapteenia a ja b valitsevat pelaajia omiin joukkueisiinsa. Mikä olisi tasapuolinen tapa jakaa valintavuorot? Tavallinen vuorottelu abababababababab... suosii kapteenia a. Vuorotteleva vuorottelu abbaabbaabba... on parempi, mutta suosii yleensä edelleen kapteenia a. Optimaalinen järjestys riippuu tilanteesta, mutta keskimäärin Thuen-Morsen sana antaa parhaan järjestyksen: abbabaabbaababba.... A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 15 / 28
Sturmin sanat 1 Sanojen kombinatoriikan taustaa 2 Esimerkkejä äärettömistä sanoista 3 Sturmin sanat 4 k-abelin ekvivalenssi A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 16 / 28
Sturmin sanat Tasapaino Sana yli aakkoston {0, 1} on tasapainoinen, jos kaikissa sen kahdessa samanpituisessa tekijässä ykkösten lukumäärä poikkeaa korkeintaan yhdellä. Ääretön sana on Sturmin sana, jos se on tasapainoinen ja aperiodinen. Esimerkki Fibonaccin sana 010010100100101001010... on Sturmin sana. Sen tekijät ovat: pituus 1: 0, 1 (0 tai 1 ykköstä) pituus 2: 00, 01, 10 (0 tai 1 ykköstä) pituus 3: 001, 010, 100, 101 (1 tai 2 ykköstä) pituus 4: 0010, 0100, 0101, 1010, 1001 (1 tai 2 ykköstä)... A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 17 / 28
Sturmin sanat Suora Suora jatkuu äärettömän pitkälle molempiin suuntiin. Puolisuoralla on alkupiste, ja se jatkuu äärettömän pitkälle yhteen suuntaan. Jana on äärellinen, sillä on alku- ja loppupiste. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 18 / 28
Sturmin sanat Digitaalinen suora/puolisuora/jana A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 19 / 28
Sturmin sanat Mekaaniset sanat 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 Digitaalista puolisuoraa kuvaava sana on ääretön mekaaninen sana. Digitaalista janaa kuvaava sana on äärellinen mekaaninen sana. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 20 / 28
Sturmin sanat Digitaalinen jana? 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 Miten selvittää, kuvaako tämä digitaalista janaa? A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 21 / 28
Sturmin sanat Sturmin sanat ja mekaaniset sanat Lause Aperiodinen sana on mekaaninen jos ja vain jos se on Sturmin sana. Lause Äärellinen sana on mekaaninen jos ja vain jos se on tasapainoinen. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 22 / 28
Sturmin sanat Digitaalinen jana? 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 001010100100 ei ole tasapainoinen, koska sillä on tekijät 10101 ja 00100. Tämä ei siis ole digitaalinen jana. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 23 / 28
k-abelin ekvivalenssi 1 Sanojen kombinatoriikan taustaa 2 Esimerkkejä äärettömistä sanoista 3 Sturmin sanat 4 k-abelin ekvivalenssi A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 24 / 28
k-abelin ekvivalenssi Abelin ekvivalenssi Sanat u ja v ovat abelin ekvivalentteja, jos jokainen kirjain esiintyy sanassa u yhtä usein kuin sanassa v (eli jos u ja v ovat anagrammeja). Esimerkki 'nuorten akatemiaklubi' ja 'akrobaatti kuuleminen' ovat abelin ekvivalentteja. Lause Aperiodinen sana on Sturmin sana jos ja vain jos sen n-pituiset tekijät jakautuvat kahteen abelin ekvivalenssiluokkaan kaikilla n 1. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 25 / 28
k-abelin ekvivalenssi 2-abelin ekvivalenssi Sanat u ja v ovat 2-abelin ekvivalentteja, jos jokainen kirjain ja jokainen kaksikirjaiminen sana esiintyy sanassa u yhtä usein kuin sanassa v. Esimerkki 2-abelin ekvivalentteja sanapareja: arava avara gneissigraniitti graniittigneissi harata hatara kauppakirja kirjakauppa jäätävä jäävätä koverankupera kuperankovera maata mataa laattalattia lattialaatta siirrin sirriin lattialauta lautalattia sivukulu sivuluku salaattisikuri sikurisalaatti vaaka vakaa taitotieto tietotaito A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 26 / 28
k-abelin ekvivalenssi 2-abelin ekvivalenssi ja Sturmin sanat Lause Aperiodinen sana on Sturmin sana jos ja vain jos sen n-pituiset tekijät jakautuvat neljään 2-abelin ekvivalenssiluokkaan kaikilla n 3. Esimerkki Fibonaccin sanan 010010100100101001010... kuuden pituiset tekijät ovat: 001001 001010, 010010, 010100 100100 100101, 101001 A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 27 / 28
k-abelin ekvivalenssi Kiitos! A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 28 / 28