Vigenéren salaus ja sen murtaminen
|
|
- Pirkko Mikkola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vigenéren salaus ja sen murtaminen LuK-tutkielma Janita Puhakka Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017
2 Sisältö Johdanto 1 1 Vigenéren salaus 1 2 Vigenerén taulukko Vigenerén taulukon käyttö Tekstin salaus Selkotekstin salaus Salaustekstin purkaminen Salaustekstin avaaminen Salauksen turvallisuus 5 4 Salauksen murtaminen Sattumisen indeksin IndCo laskeminen Yhteisen sattumisen indeksin MutIndCo laskeminen Salatun viestin murtaminen Lähdeluettelo 19
3 Johdanto Vigenerén salausmenetelmä on nimetty Blaise de Vigenerén ( ) mukaan. Vigenerén salaus on moniaakkosellinen salaus, koska se käyttää kahta tai useampaa salaus-aakkosta tiedon salaamiseen. Salaus toimi aluksi tehokkaasti ja 1917 sitä kuvailtiinkin mahdottomaksi purkaa. Näin ei kuitenkaan ole, sillä purkutekniikka on ratkaistu ja julkaistu jo 1800-luvulla. Kuitenkin jo 1500-luvulla todella taidokkaat kryptoanalyytikot ovat pystyneet joskus murtamaan Vigenèren salauksen, vaikka silloin ei tiedettykään yleistä ratkaisua koodille. Vigenerén salauksessa yksinkertainen kirjainten esiintymistiheyteen perustuva analyysi ei toimi, mutta jos avainsanan pituus saadaan selville voidaan jokainen kirjain murtaa. On olemassa myös menetelmiä avainsanan pituuden määrittämiseksi. Vigenerén salausmenetelmä on symmetrinen salausmenetelmä avainsanojen lukumäärän perusteella, sillä viestin lähettäjällä ja vastaanottajalla on sama yhteisesti sovittu avainsana. Vigenerén salausta murrettaessa käytetään Kasiskin metodia avainsanan pituuden selvittämiseksi. Ensimmäisenä tästä metodista kertoi saksalainen armeijan virkamies Friedrich Kasiski kirjassaan Die Geheimschriften und die Dechirir-kunst (1863) [2]. Tässä tutkielmassa on käytetty pääasiallisena lähteenä kirjaa J. Hostein, J. Pipher, J.H. Silverman: An Introduction to Mathematical Cryptography [1]. 1 Vigenéren salaus Vigenéren salaus on salausmenetelmä, jonka avulla salataan aakkosellista tekstiä. Vigenerén salausmenetelmässä avainsana tai -lause luodaan useasta Caesarin järjestelmän avaimesta, joita sovelletaan jaksollisesti. Salausta aloittaessa tulee päättää avainsana, jonka myös salatun viestin vastaanottaja tietää. Avainsanan kirjaimia käytetään yksi kerrallaan siihen, kuinka paljon tulee siirtää jokaista salattavan tekstin kirjainta. Samaistetaan kirjaimet A-Ö numeroiksi Jos avainsanan kirjain on A, niin ei tarvitse selkokielen kirjainta siirtää, sillä A vastaa numeroa 0. Jos avainsanan kirjain on B, tulee selkokielen kirjainta siirtää yhden kirjaimen verran eteenpäin ja jos avainsanan kirjain on Ö, tulee selkokielen kirjainta siirtää 28 kirjaimen verran eteenpäin. Avainsanaa kirjoitetaan peräkkäin, kunnes se on salattavan viestin mittainen. Salattu kirjain saadaan, kun selkotekstin kirjainta siirretään aakkostossa eteenpäin avainsanan kirjaimen siirron verran. 1
4 2 Vigenerén taulukko Vigenerén taulukko on kätevä työkalu salattaessa ja purettaessa salausta. Taulukossa 1 on suomenkielisen aakkoston mukaisesti 29 kirjainta A-Ö. Neliössä kirjaimet on sijoitettu aakkosjärjestyksessä allekkaisille riveille kuitenkin niin, että seuraava rivi on aina yhden kirjaimen verran vasemmalla kuin edellinen rivi. Kirjaimen Ö jälkeen aakkoset lähtevät alusta kirjaimesta A. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö B B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A C C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C E E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D F F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E G G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F H H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G I I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H J J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I K K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J L L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K M M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L N N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M O O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N P P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O Q Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P R R S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q S S T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R T T U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S U U V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T V V W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U W W X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X X Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Y Y Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Z Z Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Å Å Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Ä Ä Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ö Ö A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Taulukko 1: Vigenerén taulukko 2
5 2.1 Vigenerén taulukon käyttö Tekstin salaus 1. Ylimmältä vaakariviltä etsitään salattava kirjain. 2. Ensimmäiseltä pystyriviltä etsitään avainsanan kirjain. 3. Näiden kahden kirjaimen yhdyskohdasta saadaan salattu kirjain Selkotekstin salaus Salataan teksti Suomen kesä on kaunis avainsanalla Raha. Koska avainsana on neljän kirjaimen mittainen täytyy selkokielinen teksti jakaa neljän kirjaimen osioihin: SUOM ENKE SÄON KAUN IS. Seuraavaksi teemme alla olevan taulukon, missä P tarkoittaa selkokielen tekstin jakamista avainsanan mittaisiin osioihin, K tarkoittaa avainsanan jakamista samansuuruisiin osioihin kuin avainsana itse: P SUOM ENKE SÄON KAUN IS K RAHA RAHA RAHA RAHA RA. Salaamme jokaisen selkokielisen kirjaimen käyttämällä Taulukkoa 1. Selkokielen ensimmäinen kirjain S ja avainsanan kirjain R tuottaa Taulukon 1 mukaan salatun kirjaimen G. Toisena selkokielen kirjain U ja avainsanan kirjain A tuottaa Taulukon 1 mukaan salatun kirjaimen U. Selkokielen kirjain K ja avainsanan kirjain R tuottavat Taulukon 1 mukaan salatuksi kirjaimeksi Ä. Näin jatketaan, kunnes kaikki kirjaimet ovat salattu. Kirjataan nyt lisäksi ylläolevaan taulukkoon rivi C, johon merkitään salatut kirjaimet: P SUOM ENKE SÄON KAUN IS K RAHA RAHA RAHA RAHA RA C GUVM VNRE GÄVN ÄAÄN ZS. Lopuksi jaetaan salattu teksti miellyttävän kokoisiin osiin, tässä tapauksessa kolmen kirjaimen osioihin, sillä se jakaa tekstin saman suuruisiin osiin. Lähetettävä teksti on GUV MVN REG ÄVN ÄAÄ NZS. 3
6 2.1.3 Salaustekstin purkaminen 1. Ensimmäiseltä pystyriviltä etsitään avainsanan kirjain. 2. Seurataan avainsanan kirjaimen riviä, kunnes löydetään salattu kirjain. 3. Noustaan salatun kirjaimen kohdalta ensimmäiselle vaakariville, jolloin vaakarivin kirjain on avattu kirjain Salaustekstin avaaminen Avataan salattu teksti ÄWFZ RVDZ MJÄD VÅLC GLYÄ GNH sovitulla avaimella Ryhmä. Koska avainsana on viiden kirjaimen mittainen täytyy salausteksti jakaa viiden kirjaimen osioihin: ÄWFZR VDZMJ ÄDVÅL CGLYÄ GNH. Seuraavaksi teemme alla olevan taulukon, missä C tarkoittaa salaustekstin jakamista avainsanan mittaisiin osioihin ja K tarkoittaa avainsanan jakamista samansuuruisiin osioihin kuin avainsana itse: C ÄWFZR VDZMJ ÄDVÅL CGLYÄ GNH K RYHMÄ RYHMÄ RYHMÄ RYHMÄ RYH. Avaamme jokaisen salaustekstin kirjaimen käyttämällä Taulukkoa 1. Salaustekstin ensimmäinen kirjain Ä ja avainsanan kirjain R tuottaa Taulukon 1 mukaan avatuksi kirjaimeksi K. Toisena salaustekstin kirjain W ja avainsanan kirjain Y tuottaa Taulukon 1 mukaan avatuksi kirjaimeksi Ä. Salaustekstin kirjain Å ja avainsanan kirjain M tuottavat Taulukon 1 mukaan avatuksi kirjaimeksi O. Näin jatketaan, kunnes kaikki kirjaimet ovat avattu. Kirjataan nyt lisäksi ylläolevaan taulukkoon rivi P, johon merkitään avatut kirjaimet: C ÄWFZR VDZMJ ÄDVÅL CGLYÄ GNH K RYHMÄ RYHMÄ RYHMÄ RYHMÄ RYH P KÄÄNT EISAL KIOON OLEMA SSA. Lopuksi luetaan avattu teksti riviltä P : KÄÄNTEISALKIO ON OLEMASSA. 4
7 3 Salauksen turvallisuus Vigenerén järjestelmässä selkokielen kirjain voi esiintyä monena eri kirjaimena salaustekstissä. Jos avainsana on lyhyt, selkokielen tekstissä voi olla taipumusta toistuviin osiin, jotka toistuvat samassa kohtaa avainsanaa, jolloin ne toistuvat myös salaustekstissä. Johtopäätöksenä pidemmät avainsanat ovat turvallisempia kuin lyhyet, mutta lyhyet avainsanat ovat helpompi muistaa. Siispä käytännön kryptograassa käydään nimellisesti ikuista taistelua tehokkuuden, helppokäytöisyyden ja turvallisuuden kesken. Vigenerén salausta voidaan saada entistä turvallisemmaksi sekoittamalla ensimmäisen rivin kirjaimia Vigenerén taulukossa ja sitten pyörittää sekoitetut kirjaimet peräkkäisiin riveihin. Kuitenkin sekoittamalla kirjaimia salauksesta ja sen avaamisesta tulee hankalakäyttöistä, sillä henkilöiden täytyy muistaa sekä oma avainsanansa, että sekoitetut kirjaimet. Jos haluamme olla todellakin varmoja, että salaus on todella turvallinen, voimme käyttää erilaisia sattumanvaraisesti sekoitettuja kirjaimia joka rivillä Vigenerén taulukossa. Jos näin toimitaan, tarvitaan uudesta taulukosta kopio, joka on suuri turvallisuusriski. 4 Salauksen murtaminen Salauksen murtamiseksi ensimmäinen askel on selvittää avainsanan pituus. Tämä voidaan toteuttaa etsimällä toistuvia osia salaustekstistä. Salaustekstissä toistuvien samanlaisten osien esiintymispaikkojen erotus jaetaan alkulukutekijöihin. Alkulukutekijöistä voidaan päätellä oikea avainsanan pituus. Tätä menetelmää kutsutaan Kasiskin metodiksi. Siispä yleisesti ottaen ei ole kovin hankalaa löytää avainsanan pituutta salaustekstistä. On olemassa toinenkin tapa selvittää avainsanan pituus. Oletetaan, että avainsanan pituus, jolla selkoteksti on salattu olisi viisi. Tällöin joka viides kirjain on salattu käyttäen samaa kirjainta. Muodostetaan salausteksti viideksi jonoksi, joihin jokaiseen jonoon kuuluu joka viides kirjain salaustekstistä. Tällöin jokainen yksittäinen jono on salattu käyttäen samaa kirjainta. Toisaalta, jos avainsanan pituus on avattu väärin ja avainsanan pituus ei olekaan viisi, tällöin muodostetut jonot on enemmän tai vähemmän satunnaisia. 5
8 Määritelmä 4.1. Olkoon jono s = c 1 c 2 c 3 c n n-kokoisen aakkoston kirjaimia. Sattumisen indeksi IndCo(s) kertoo jonon s sattumisen indeksin, joka on todennäköisyys, että kaksi satunnaisesti valittua kirjainta jonossa s ovat täysin samoja. Johdetaan kaava sattumisen indeksille. On miellyttävää samaistaa aakkoset A-Ö vastaavasti numeroiksi 0, 1, 2..., 28. Olkoon F i aakkosen i esiintymiskertojen lukumäärä jonossa s, missä i = 0, 1, 2,..., 28. Esimerkiksi, jos kirjain H esiintyy 23 kertaa jonossa s, niin F 7 = 23. Aakkonen i voidaan valita jonosta s kahdesti ( F i ) 2 = F i (F i 1) tavalla. Toisaalta on olemassa ( ) 2 n 2 = n(n 1) tapaa valita kaksi mielivaltaista kirjainta 2 jonosta s. Todennäköisyys, että valitaan kaksi täysin samaa kirjainta on IndCo(s) = 1 n(n 1) Sattumisen indeksin IndCo laskeminen Olkoon s jono i=0 F i (F i 1). (1) s = Permutaatioita yhdistämällä päädytään permutaatioon. Jätetään huomiotta sanojen välit, jolloin jono s sisältää 48 kirjainta. Lasketaan jokaiselle jonossa s esiintyvälle kirjaimelle esiintymistiheydet. Ne ovat esitetty alla olevassa taulukossa: A D E H I L M N O P R S T U Y Ä i F i Ylläolevassa taulukossa aakkosen arvo i = 0, 1, 2,..., 28 ja F i on kirjaimen esiintymiskertojen lukumäärä tekstissä. Kaavan (1) mukaan sattumisen indeksi on: IndCo(s) = 1 n(n 1) 28 i=0 F i (F i 1) 1 = ( ) 48(48 1) = (2) 6
9 Oletetaan, että jono s koostuu satunnaisista kirjaimista. Todennäköisyys, että kaksi kirjainta c i = c j ovat samat on 1, jolloin voimme olettaa, että satunnaisista kirjaimista koostuvalle jonolle s sattumisen indeksi 29 IndCo satunnainen (s) Jos jono s koostuu suomenkielisestä 29 tekstistä oletamme, että suomenkielen aakkosten suhteelliset tiheydet ovat Taulukon 2 mukaiset. Taulukko 2: Suomen kielen aakkosten esiintymistiheydet [3]. Tällöin sattumisen indeksi IndCo suomi (s) jonolle s, joka koostuu suomenkielisestä tekstistä, olisi IndCo suomi (s) = = 1 n(n 1) 1 n(n 1) i=0 28 i=0 28 F i (F i 1) (p i n)(p i n 1) i=0 28 p i n 1 = p i n 1, 7
10 missä p i on kirjaimen esiintymistodennäköisyys Taulukosta 2. Jos n on tarpeeksi suuri, niin p in 1 on noin p n 1 i, jolloin 28 IndCo suomi (s) i=0 p 2 i ( ) 2 ( ) % % = + 100% 100% ( ) 2 ( ) % % % 100% (3) Laskettaessa sattumisen indeksiä IndCo suomi on käytetty kaavoja lähteestä [4]. Tekstille laskettua ominaista sattumisen indeksiä IndCo(s) verrataan satunnaisista kirjaimista koostuvan jonon s sattumisen indeksiin IndCo satunnainen (s) ja suomenkielen kirjaimista koostuvan jonon s sattumisen indeksiin IndCo suomi (s): 1. Jos IndCo(s) , niin jono s näyttää suomenkieleltä. 2. Jos IndCo(s) , niin jono s näyttää satunnaisilta kirjaimilta. Huomautus 4.1. Kappaleen 5.1 esimerkin sattumisen indeksin IndCo(s) laskemisesta saatu tulos IndCo(s) , on lähempänä arvoa , josta voidaan päätellä, että teksti voisi olla suomenkieltä. Oletamme, että olemme saaneet siepattua viestin s ja uskomme, että se on salattu käyttäen Vigenerén salausta. Seuraavaksi haluamme tietää, onko viesti salattu avainsanan pituudella k. Ensimmäiseksi jaamme viestijonon s k kokoisiin osiin s 1, s 2,..., s k, missä s 1 sisältää jokaisen k. kirjaimen alkaen ensimmäisestä kirjaimesta, s 2 sisältää jokaisen k. kirjaimen alkaen toisesta kirjaimesta ja näin jatketaan. Tällöin s i = c i c i+k c i+2k c i+3k.... Jos olemme arvanneet oikein avainsanan pituuden k, silloin jokainen jono s i koostuu osista, jotka on salattu käyttäen samaa kirjainta, vaikka osiot eivät muodostakkaan avattaessa suoranaisia sanoja. On muistettava, että jono s i on joka k. kirjain tekstistä. Toisaalta, jos avainsanan pituus ei olekaan arvauksemme k, niin jono s i tulisi näyttämään enemmän tai vähemmän satunnaiselta. 8
11 Siispä jokaiselle avainsanan pituudelle k lasketaan IndCo(s i ) arvo, jossa i = 1, 2, 3,..., k ja tutkitaan, onko saatu arvo lähellä arvoa Näin tehdään jokaiselle avainsanan pituudelle k = 3, 4, 5,..., kunnes löydetään arvo k, jolle arvojen IndCo(s 1 ), IndCo(s 2 ),..., IndCo(s k ) keskiarvo on suurempi kuin Tällöin k on luultavasti oikea avaimen koko. Olemme nyt päätelleet, että avaimen pituus on k. Seuraavaksi vertaamme jonoja s 1, s 2,..., s k toisiinsa. Tätä työkalua, jolla vertailemme erilaisia jonoja keskenään sanotaan yhteiseksi sattumisen indeksiksi. Jokainen jono s on salattu käyttämällä eri kirjainta. Jos jono s i on salattu käyttäen kirjainta β i ja jono s j on salattu käyttäen kirjainta β j, niin jono β j on saatu jonosta β i siirtämällä jonon s i kirjaimia eteenpäin σ verran. Tällöin σ β j β i (mod 29). (4) Määritelmä 4.2. Olkoon s = c 1 c 2 c 3... c n ja t = d 1 d 2 d 3... d m aakkosellisista kirjaimista koostuvia jonoja. Jonojen s ja t yhteinen sattumisen indeksi on MutIndCo(s, t). Se on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu kirjain jonosta s ja satunnaisesti valittu kirjain jonosta t ovat samoja. Oletamme, että F i (s) ilmaisee aakkosen i esiintymiskertoja jonossa s ja F i (t) ilmaisee aakkosen i esiintymiskertoja jonossa t. Olkoot n ja m ovat kirjainten lukumäärät jonoissa s ja t. Kun valitaan kirjain jonosta s, niin todennäköisyys, että valittu kirjain on aakkonen i on F i(s). Vastaavasti, kun valitaan kirjain n jonosta t, niin todennäköisyys, että valittu kirjain on aakkonen i on F i(t). m Yhteinen sattumisen indeksi jonoille s ja t on MutIndCo(s, t) = 1 nm 28 i=0 F i (s)f i (t). (5) 4.2 Yhteisen sattumisen indeksin MutIndCo laskeminen Olkoot s ja t jonoja s = Matematiikan historia on hyvin pitkä, t = Yksi plus yksi on kaksi. Lasketaan yhteinen sattumisen indeksi käyttäen kaavaa (5) MutIndCo(s, t) = 1 nm 28 = i=0 28 F i (s)f i (t) F i (s)f i (t). (6) i=0 9
12 Kirjataan ylös jonojen s ja t kirjainten esiintymistiheydet. Nämä tiheydet ovat esitetty allaolevissa taulukoissa: jono s A E H I K M N O P R S T Ä i F i jono t A I K L N O P S U Y i F i Lasketaan jonoille s ja t yhteinen sattumisen indeksi MutIndCo(s, t): MutIndCo(s, t) = 1 [ ] = Yhteisellä sattumisen indeksillä on samanlaisia ominaisuuksia kuin sattumisen indeksillä. Jos kaksi jonoa s ja t ovat salattu käyttäen samaa kirjainta, silloin yhteinen sattumisen indeksin MutIndCo arvo on yleensä suurempi, johtuen kirjainten epätasaisista esiintymistiheyksistä. Toisaalta, jos jonot s ja t ovat salattu käyttäen eri kirjainta, tällöin jonoilla ei ole yhteyttä toisiinsa ja yhteinen sattumisen indeksin MutIndCo arvo tulee olemaan paljon pienempi. Nyt tiedämme, että avainsanan pituus on k ja olemme jakaneet salaustekstin k pituisiin osiin s 1, s 2,..., s k. Jokaisen osion kirjaimet ovat salattu käyttäen samaa kirjainta, jolloin β i = luku, jolla osio s i on siirretty. Seuraavaksi vertaamme jonoa s i jonoon s j +σ, joka saadaan siirtämällä jonoa s j σ verran eteenpäin. Oletetaan, että σ olisikin samansuuruinen kuin β i β j. Tällöin s j + σ ja s i oltaisiin salattu käyttäen samaa kirjainta, jolloin yhteisen sattumisen indeksin MutIndCo(s, t) arvo olisi suuri. Jos taas σ β i β j, niin silloin s j + σ ja s i oltaisiin salattu käyttäen eri kirjainta, tällöin yhteisen sattumisen indeksin MutIndCo(s, t) arvo olisi pieni. Lasketaan kaikki yhteiset sattumisen indeksit MutIndCo(s i, s j + σ), missä 1 i < j k ja 0 σ
13 Tarkastellessa kyseisiä arvoja ja valitaan ne arvot, jotka ovat suurempia kuin Jokainen yhteisen sattumisen indeksin MutIndCo(s i, s j + σ) laskettu arvo, joka on suurempi kuin tarkoittaa, että on jonot s i ja s j + σ on salattu käyttäen samaa kirjainta, jolloin pätee β i β j σ (mod 29). (7) Jotkin näistä muodostuneista kongruenssisyhtälöistä voivat olla harhaanjohtavia, mutta joidenkin kokeilukertojen ja virheiden jälkeen päädytään arvoihin γ 2,..., γ k, jotka tuottavat yksikäsitteiset ratkaisut β 2 = β 1 + γ 2, β 3 = β 1 + γ 3, β 4 = β 1 + γ 4,..., β k = β 1 + γ k. (8) Jos avainsana sattuu alkamaan kirjaimella A, niin avainsanan toinen kirjain voisi olla kirjain A siirrettynä siirrolla γ 2, kolmas avainsanan kirjain voisi olla kirjain A siirrettynä siirrolla γ 3 ja niin edelleen. Samoin, jos avainsana sattuisi alkamaan kirjaimella B, silloin sen toinen kirjain olisi kirjain B siirrettynä siirrolla γ 2, ja kolmas kirjain olisi B siirrettynä siirrolla γ 3 ja niin edelleen. Todellisuudessa meidän tarvitsee vain kokeilla jokaista mahdollista avainsanan aloittavaa 29 kirjainta ja avata viesti käyttäen jokaista 29 vastaavaa avainsanaa. Jos arvot γ 2,..., γ k toimivat, niin avattaessa salaustekstiä jollakin muodostetulla avainsanalla muodostuu selkotekstiä. 11
14 4.3 Salatun viestin murtaminen Olemme saaneet napattua Taulukon 3 viestin. DWVSXI VEHOVT MEBOAÄ KQRAOU MXZSUS MSBAFT BCPRKV WEÖKKÄ QSFOOÄ CMGAKR MXRÄZM QXCXAI QMÄIÖM VYIÄSS ÅWÄOAI MVÄSOT KQPIWU QXCNOT XMGBBL QWGKWI CIAKAQ WOÄKYV ZMZXUG HXPXXM LPPROQ BXPOAÄ KLRÄCI MWZKXD WÖPIXÄ ÅMASÖQ UPAKXÅ UXP Taulukko 3: Napattu salausteksti. Etsimme Kasiskin metodin avulla toistuvia tekstinosia Taulukosta 3. Löydämme Taulukon 4 mukaiset osat. Toistuva osio Esiintymispaikka Erotus alkulukuihin jaettuna AÄ 17 ja = MX 25 ja = QX 67 ja = XP 152 ja = AK 123 ja = QW 115 ja ÄC 54 ja = 2 53 PR 39 ja = PI 99 ja = ÄS 82 ja ZM 65 ja = MV 78 ja Taulukko 4: Taulukon 3 toistuvat osat. Taulukosta 4 näemme, että lukua 2 3 = 6 esiintyy eniten. Oletamme, että teksti on salattu käyttäen avainsanaa, jolloin = 36 olisi hyvin pitkä avainsanaksi. Toisaalta myös 2 ja 3 olisivat hyvin lyhyita avainsanak- 12
15 si, eikä kumpikaan esiinny suuresti yksin erotuksissa. Näin ollen kokeillaan avainsanaa, jonka pituus on 6. Voimme varmistaa tämän arvauksemme sattumisen indeksin avulla. Jaamme tekstin s i -kokoisiin osiin avainsanan pituuden mukaan ja laskemme jokaiselle jonolle s i sattumisen indeksin. Lopuksi otamme keskiarvon sattumisen indekseistä jokaiselle avainsanan pituudelle ja vertaamme näitä arvoja. Tehdään avainsanan pituudelle 6 sattumisen indeksin laskeminen, samalla tavalla tehdään myös muille avainsanan pituuksille sattumisen indeksin laskeminen. Arvot ovat laskettu Taulukossa 6. Jaamme tekstin kuuteen jonoon s i, missä i = 1, 2,..., 6, ottamalla joka kuudennen kirjaimen (Taulukko 5). s 1 =DVMKMMBWQCMQQVÅMKQXQCMZHLBKMWÅUU s 2 =WEEQXSCESMXXMYWVQXMWIOMXPXLWÖMPX s 3 =VHBRZBPÖFGRCÄIÄÄPCGGAÄZPPPRZPAAP s 4 =SOOASARKOAÄIÄÖSINBKKKXXROÄÄKISK s 5 =XVAOUFKKOKZAÖSAOWOBWAYUXOACXXÖX s 6 =ITÄUSTVÄÄRMIMSITUTLIQVGHQÄIDÄQÅ Taulukko 5: Salaustekstin jakaminen jonoihin s i. Laskemme joka jonolle s i sattumisen indeksin käyttäen kaavaa (1), esimerkiksi avainsanan pituudella kuusi jonolle s 1 IndCo(s 1 ) = 1 ( ) Näin teemme jokaiselle jonolle s i, missä i = 1, 2,..., 6. Taulukosta 6 näemme, että avainsanalla, jonka pituus on 6, on kaikista korkein sattumisen indeksin keskiarvo, joka vahvistaa arvauksemme avainsanan pituudesta Kasiskin metodilla. Avainsanan pituus Sattumisen indeksin keskiarvo Jonojen s i ominaiset sattumisen indeksit , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 6: Sattumisen indeksit eri avainsanan pituuksilla. 13
16 Verrataan jonoa s i jonoon s j + σ, missä σ = 0, 1, 2,..., 28. Taulukossa 7 on laskettu yhteiset sattumisen indeksit MutIndCo(s i, s j + σ), missä 1 i < j 6 ja 0 σ 28, ja olemme alleviivanneet Taulukosta 7 ne arvot, jotka ovat suurempia kuin i j i j Taulukko 7: Yhteiset sattumisen indeksit Taulukon 5 jonoille. 14
17 Taulukosta 8 näemme nämä alleviivatut arvot ja siirtojen suhteet. i j Siirto MutIndCo Siirron suhde β 1 β 4 = β 1 β 5 = β 4 β 6 = β 5 β 6 = β 1 β 6 = β 2 β 6 = β 3 β 4 = β 1 β 2 = β 3 β 5 = β 3 β 4 = β 2 β 4 = β 2 β 5 = β 1 β 3 = β 2 β 6 = 25 Taulukko 8: Suurimmat yhteisen sattumisen indeksin MutIndCo arvot ja niiden väliset siirtosuhteet. Seuraavaksi ratkaisemme lineaariset yhtälöt Taulukosta 8 muistaen, että kaikki arvot ovat laskettu käyttämällä moduloa 29. Taulukossa 8 on 14 yhtälöä ja 6 muuttujaa β 1, β 2, β 3, β 4, β 5, β 6. Vaikka yhtälöille ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, voidaan hetken kongruenssiyhtälöiden pyörittelyn jälkeen huomata, että ratkaisu saadaan muuttujan β 1 avulla. Taulukon 8 yhtälöistä huomataan, että jokainen muuttuja β i, missä i 1, voidaan suoraan ratkaista muuttujan β 1 avulla. Esimerkiksi eli Koska β 1 β 2 8 (mod 29) β 2 β 1 8 (mod 29) (mod 29), 15
18 niin β 2 β (mod 29). Samalla tavalla saadaan ratkaisut muille muuttujille, jolloin β 3 β (mod 29), β 4 β (mod 29), β 5 β (mod 29), β 6 β (mod 29). Taulukon 8 yhtälöistä voidaan päätellä, että jonoja s 4 ja s 5 on siirretty jonosta s 2 6 kirjaimen verran eli = 27. Myös jonot s 4 ja s 5 saadaan siirtämällä jonoa s 6 2 kirjaimen verran eteenpäin eli = 27. Voimme olettaa, että jonot s 4 ja s 5 on saatu siirtämällä jonoa s 1 27 kirjaimen verran. Myös yhtälöt β 2 β (mod 29) ja β 3 β (mod 29) toteuttavat laskemamme arvot. Taulukossa 8 on kolme yhtälöä, jotka eivät toteuta laskemiamme arvoja, mutta voimme muiden yhtälöiden perusteella olettaa laskemamme arvot oikeiksi. Jonoja s 2,..., s 6 on siis siirretty 21, 5, 27, 27, 25 kirjaimien verran eteenpäin kuin jonoa s 1. Olemme selvittäneet avainsanan pituuden, joka on kuusi ja olemme selvittäneet kuinka paljon ensimmäistä avainsanan kirjainta tulee siirtää, että saadaan loput avainsanan kirjaimet. Nyt lähdemme kokeilemaan eri 29 avainsanan alkamiskirjainta ja toivomme saavamme jonkin kuusi kirjaimisen avainsanan, joka salaustekstiä avattaessa tuottaisi ymmärrettävää selkotekstiä. Jos avainsana alkaa kirjaimella A (siirto β 1 = 0) siirretään seuraavaa kirjainta 21 kirjainta eteenpäin ja näin jatketaan. Seuraavaksi kokeillaan jos avainsana alkaa kirjaimella B (siirto β 1 = 1) siirretään seuraavaa kirjainta 21 kirjainta eteenpäin ja näin jatketaan. Kokeilemme avata muodostuneilla avainsanoilla ja Taulukon 1 avulla pienen pätkän salaustekstiä (Taulukko 3). Taulukosta 9 voidaan nyt nähdä, että avattu teksti ensimmäisellä salasanalla ei muistuta millään tavalla selkokielistä tekstiä. Näin ollen jatketaan etsintää avainsanan löytämiseksi. Valmiit salasanat ja salaustekstin avaukset voidaan nähdä Taulukosta
19 C DWVSXI VEHOVT MEBOAÄ KQRAOU K AVFÄÄZ AVFÄÄZ AVFÄÄZ AVFÄÄZ P DBQUZM VMCQXX MNZQCC KYMCNY Taulukko 9: Avainsanalla AVFÄÄZ avattu salausteksti. Siirto Avainsana Avattua salaustekstiä 0 AVFÄÄZ DBQUZMVMCQXXMNZQCCKYMCNY 1 BWGÖÖÅ CAPTULULBPWWLLYPBBJXLBPX 2 CXHAAÄ BÖOSXKTKAOVVKKXOAAIWKAOW 3 DYIBBÖ AÄNRWJSJÖNUUJJWNÖÖHVJÖNV 4 EZJCCA ÖÅMQVIRIÄMTTIIVMÄÄGUIÄMU 5 FÅKDDB ÄZLPUHQHÅLSSHHULÅÅFTHÅLT 6 GÄLEEC ÅYKOTGPGZKRRGGTKZZESGZKS 7 HÖMFFD ZXJNSFOFYJQQFFSJYYDRFYJR 8 IANGGE YWIMRENEXIPPEERIXXCQEXIQ 9 JBOHHF XVHLQDMDWHOODDQHWWBPDWHP 10 KCRIIG WUGKPCLCVGNNCCPGVVAOCVGO 11 LDQJJH VTFJOBKBUFMMBBOFUUÖNBUFN 12 MERKKI USEINAJATELLAANETTÄMATEM 13 NFSLLJ TRDHMÖIÖSDKKÖÖMDSSÅLÖSDL 14 OGTMMK SQCGLÄHÄRCJJÅÅLCRRZKÄRCK.. Taulukko 10: Salaustekstin avaaminen eri avainsanoilla.. Kun siirto β 1 = 12, saadaan avainsana MERKKI. Huomataan, että avainsanalla MERKKI saadaan ymmärrettävää selkotekstiä. Tämä on esitetty Taulukossa 11. C DWVSXI VEHOVT MEBOAÄ KQRAOU K MERKKI MERKKI MERKKI MERKKI P USEINA JATELL AANETT ÄMATEM Taulukko 11: Avainsanalla MERKKI avattu salausteksti. 17
20 Avainsanalla MERKKI saadaan selkokielistä tekstiä, joka pitää vain tavuttaa, pisteyttää ja pilkuttaa oikein. Avataan koko salausteksti Taulukosta 3 avainsanalla MERKKI. Avattu viesti on: Usein ajatellaan, että matematiikka on tylsää, hankalaa, teoreettista ja tarpeetonta eikä se juuri kosketa arkielämäämme. Todellisuudessa matematiikka on niin käytännönläheistä, että harva asia nykyään toimisi ilman sitä. 18
21 Lähdeluettelo [1] J. Hostein, J. Pipher, J.H. Silverman: Undergraduate texts in mathematics; An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer Science+Business Media, LCC, [2] F.W. Kasiski: Die Geheimschriften und die Dechirir-kunst. Berlin, [3] [4] 19
(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)
LisätiedotRSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017
RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro. 1976269 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Salausmenetelmien yleisiä periaatteita 3 2 Määritelmiä ja
LisätiedotSalakirjoitusmenetelmiä
Salakirjoitusmenetelmiä LUKUTEORIA JA LOGIIKKA, MAA 11 Salakirjoitusten historia on tuhansia vuosia pitkä. On ollut tarve lähettää viestejä, joiden sisältö ei asianomaisen mielestä saanut tulla ulkopuolisten
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotLatinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotKoostanut Juulia Lahdenperä ja Rami Luisto. Salakirjoituksia
Salakirjoituksia Avainsanat: salakirjoitus, suoraan numeroiksi, Atblash, Caesar-salakirjoitus, ruudukkosalakirjoitus, julkisen avaimen salakirjoitus, RSA-salakirjoitus Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotNÄIN TOIMII. alakirjoituksen historia ulottuu tuhansien
NÄIN TOIMII MTÅRVCC KRYPTA Verkkopankissa asiointi olisi mahdotonta ilman teknisiä salausmenetelmiä. Tietoturvasta huolestunut kotikäyttäjä voi suojata myös tärkeät tiedostonsa tehokkaalla salauksella.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotHarjoitustehtävät. Laskarit: Ti KO148 Ke KO148. Tehtävät viikko. VIIKON 42 laskarit to ko salissa IT138
Harjoitustehtävät Laskarit: Ti 12 14 KO148 Ke 12 14 KO148 Tehtävät viikko 37 : 3, 4, 5, 9a, 10, 11 38 : 18a, b, 20, 21, 23a, b, 26, 28b 39 : 17, 29, 31, 32, 33, 35 40 : 8, 16, 34, 37, 38a, b 41 : 40, 42,
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotSalausmenetelmät 2015/Harjoitustehtävät
Salausmenetelmät 2015/Harjoitustehtävät 1. Ystäväsi K lähettää sinulle Caesarin yhteenlaskumenetelmällä kirjoitetun viestin ÖHXHHTTLOHUPSSHSSH R. Avaa viesti. 2. Avaa Caesarin yhteenlaskumenetelmällä laadittu
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotRakenteisen ohjelmoinnin harjoitustyö
Tehtävä 2005/33 Puppugeneraattorissa lauseet on jaettu neljään osaan ja niistä taulukoidaan kymmenen lauseen aloitusta (esim. On huomattava, että, Kuitenkin, Tämän vuoksi), kymmenen tekijäosaa (esim. opintojen
LisätiedotNimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla
6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa
LisätiedotKryptologia Esitelmä
Kryptologia p. 1/28 Kryptologia Esitelmä 15.4.2011 Keijo Ruohonen keijo.ruohonen@tut.fi Kryptologia p. 2/28 Kryptologian termejä Kryptaus: Tiedon salaus käyttäen avainta Dekryptaus: Salauksen purku käyttäen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
LisätiedotKäänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla
Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
LisätiedotTehtävä 2: Loppuosataulukko
Tehtävä 2: Loppuosataulukko Tutustu tarkoin seuraavaan tekstiin ja vastaa sitä hyväksi käyttäen tehtävän loppuosassa esitettyihin viiteen kysymykseen. Annetun merkkijonon (ns. hahmo) esiintymän haku pidemmästä
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotJaetun muistin muuntaminen viestin välitykseksi. 15. lokakuuta 2007
Jaetun muistin muuntaminen viestin välitykseksi Otto Räsänen 15. lokakuuta 2007 1 Motivaatio 2 Valtuuden välitys Peruskäsitteitä 3 Kolme algoritmia Valtuuden välitys käyttäen laskuria ilman ylärajaa Valtuuden
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotOSA 2: MATEMATIIKKAA TARVITAAN, LUKUJONOT JA SUMMAT SEKÄ SALAKIRJOITUS
OSA : MATEMATIIKKAA TARVITAAN, LUKUJONOT JA SUMMAT SEKÄ SALAKIRJOITUS Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Pyydä ystävääsi ajattelemaan
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi lyhyesti. a) a, c, e, g, b),,, 7,, Ratkaisut: a) i ja k - oikea perustelu ja oikeat kirjaimet, annetaan
LisätiedotRekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä
Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,
LisätiedotS BAB ABA A aas bba B bbs c
T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotApprobatur 3, demo 5, ratkaisut
Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen
LisätiedotRSA-salakirjoitus. Simo K. Kivelä, Apufunktioita
Simo K. Kivelä, 25.1.2005 RSA-salakirjoitus Ron Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman esittivät vuonna 1978 salakirjoitusmenettelyn, jossa tietylle henkilölle osoitetut viestit voidaan salakirjoittaa hänen
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotDatatähti 2019 alku. task type time limit memory limit. A Kolikot standard 1.00 s 512 MB. B Leimasin standard 1.00 s 512 MB
Datatähti 2019 alku task type time limit memory limit A Kolikot standard 1.00 s 512 MB B Leimasin standard 1.00 s 512 MB C Taulukko standard 1.00 s 512 MB D Ruudukko standard 1.00 s 512 MB E Sanalista
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotDiskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä
Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson
LisätiedotSyötteen ainoalla rivillä on yksi positiivinen kokonaisluku, joka on alle 1000000000000 = 10 12. Luvussa ei esiinny missään kohtaa numeroa 0.
A Alkulukuosat Tehtävänä on laskea annetusta kokonaisluvusta niiden osajonojen määrä, joita vastaavat luvut ovat alkulukuja. Esimerkiksi luvun 123 kaikki osajonot ovat 1, 2, 3, 12, 23 ja 123. Näistä alkulukuja
LisätiedotTurun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
(1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10
Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotAritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
Lisätiedot2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut
2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Lisätiedot