T /2 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y
|
|
- Anton Heikkinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 T /2 Tietojenkäsittelyteorin perusteet T/Y Tietojenkäsittelytieteen litos, Alto-yliopisto Alto-yliopisto Perustieteiden korkekoulu Tietojenkäsittelytieteen litos Syksy 2013 T /1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet T/Y Introduction to Theoreticl Computer Science T/Y Wht cn one do with computer? This course divides roughly into three prts We exmine three models of computer, their power nd limittions, ie, the clsses of lnguges tht they cn decide It turns out tht ech clss of utomt corresponds to clss of grmmrs The clsses of utomt nd grmmrs re: 1 Finite stte utomt & regulr expressions 2 Pushdown utomt & context-free grmmrs 3 Turing mchines & unrestricted grmmrs The first teching period of the course (=Y version) covers finite stte utomt, regulr expressions nd context-free grmmrs The second period covers the rest 2/295 Course versions There re two versions of the course for different kinds of students If you re unsure which to tke, check your study guide or sk your study dvisor T Introduction to TCS T, periods I-II, 4 cr compulsory in the computer science chelor s progrm; in the Discrete themtics B1 module T Introduction to TCS Y, period I, 2 cr compulsory in the communictions engineering chelor s progrm in ; prt of supplementry studies for polytechnic grdutes to enter computer science progrm prt of supplementry studies for some ster s Progrmme students Prcticl rrngements Registrtion: oligtory, y OODI, dedline Sep 23, 2013 Lectures: Tue T1, in Finnish y Doc, DSc Tommi Junttil Tutorils: once week, register y OODI with course code T ; not oligtory ut highly recommended! Fri Fri in English on Tue Wed See Nopp for clss rooms etc Computerized home ssignments: oligtory nd personlized Distriuted y emil fter Sep 23th to those who registered to the course Course Nopp pges: 3/295 4/295
2 To pss the course 1 Pss the computerized ssignments efore tking the exm 2 After pssing the computer exercises, tke n exm (next exms in Oct 2013, Dec 2013, Fe 2014, y 2014) 3 There re 3 homework prolems week; you gin onus points for exm ccording to tle: # solved: T T N/A These onus points re vlid until Decemer By completing the computer ssignments y 09:00 on 24 Oct 2013, one cn ern onus of 2 points for the exms These do not help in mking filed exm pssed PLEASE NOTICE: due to Bchelor s progrm renewl, In the future, this is the lst time these two courses re orgnized T will e terminted T will e replced y the 5 credits course ICS-C2000 Theoreticl Computer Science orgnized first time in Spring 2015 The lst exms of T nd T will e orgnized in Decemer 2014 There will e no teching (lectures, tutorils, ) during Autumn /295 6/295 teril Lecture notes k Orposen pruju (in Finnish) is distriuted through NOPPA Lecture slides (in Finnish) lso on NOPPA Demonstrtion exercises nd their solutions (oth in Finnish nd in English) re distriuted through NOPPA Recommended textook ichel Sipser, Introduction to the Theory of Computtion (2nd Edition), 2005 (Supplementry for Finnish-speking students; likely necessry for non-finnish-speking students) Some dditionl mteril on NOPPA TIETOJENKÄSITTELYTEORIA temttinen oppi siitä, mitä tietokoneell on mhdollist tehdä j kuink tehokksti Trjo mtemttisi käsitteitä j menetelmiä tietojenkäsittelyjärjestelmien mllintmiseen j nlysointiin sekä selkeiden j tehokkiden rtkisujen ltimiseen 7/295 8/295
3 Tietojenkäsittelyteorin os-loj Lskettvuusteori itä tietokoneell voi tehdä peritteess? Turing, Gödel, Church, Post (1930-luku); Kleene, rkov (1950-luku) Lskennn vtivuusteori itä tietokoneell voi tehdä käytännössä? Hrtmnis, Sterns (1960-luku); Cook, Levin, Krp (1970-luku); Ppdimitriou, Sipser, Håstd, Rzorov ym (1980-) Automtti- j kielioppiteori Tietojenkäsittelyjärjestelmien perustyyppien ominisuudet j kuvusformlismit Chomsky (1950-luku); Ginsurg, Greich, Rin, Slom, Schützenerger ym (1960-luku) Tietojenkäsittelyteorin os-loj Ohjelmien oikeellisuus Tietojenkäsittelyjärjestelmien mtemttisesti ekskti määrittely j oiken toiminnn verifiointi Dijkstr, Hore (1960-luku); nn, Pnueli, Scott ym (1970-) uut lgoritmien suunnittelu j nlyysi (Knuth, Hopcroft, Trjn ym) kryptologi (Rivest, Shmir, Adlemn ym) rinnkkisten j hjutettujen järjestelmien teori (Lmport, Lynch, ilner, Vlint ym) koneoppimisteori (Vlint ym) jne Tällä kurssill käsitellään lähinnä utomttej j kielioppej sekä hiemn lskettvuusteorin lkeit uit iheit käsitellään muill tietojenkäsittelyteorin (T 79) kursseill 9/295 10/ Joukot Joukko (engl set) on kokoelm lkioit Alkiot voidn ilmoitt joko luettelemll, esim ti jonkin säännön vull, esim S = {2,3,5,7,11,13,17,19} S = {p p on lkuluku, 2 p 20} Jos lkio kuuluu joukkoon A, merkitään A, päinvstisess tpuksess / A (Esim 3 S, 8 / S) Tärkeä erikoistpus on tyhjä joukko (engl empty set) /0, johon ei kuulu yhtään lkiot Jos joukon A kikki lkiot kuuluvt myös joukkoon B, snotn että A on B:n osjoukko (engl suset) j merkitään A B [Kirjllisuudess esiintyy myös merkintä A B] Jos A ei ole B:n osjoukko merkitään A B Siis esim {2,3} S, {1,2,3} S Trivilisti on voimss /0 A kikill A Joukot A j B ovt smt, jos niissä on smt lkiot, so jos on A B j B A Jos on A B, mutt A B, snotn että A on B:n ito osjoukko (engl proper suset) j merkitään A B Edellä olisi siis voitu myös kirjoitt {2,3} S j /0 A jos A /0 11/295 12/295
4 Joukon lkioin voi oll myös toisi joukkoj (tällöin puhutn usein joukkoperheestä ), esim X = {/0,{1},{2},{1,2}} Jonkin perusjoukon A kikkien osjoukkojen muodostm joukkoperhettä snotn A:n potenssijoukoksi (engl powerset) j merkitään P (A):ll; esim edellä on X = P ({1,2}) [Kosk n-lkioisen perusjoukon A potenssijoukoss on 2 n lkiot (HT), käytetään kirjllisuudess potenssijoukolle myös merkintää 2 A ] Huom, että A B jos j vin jos A P (B) Tyhjän joukon käsittelyssä pitää oll huolellinen: /0 {/0}, P (/0) = {/0}, P ({/0}) = {/0,{/0}} Joukkoj voidn kominoid joukko-opertioill, joist tärkeimmät ovt: yhdiste (engl union) A B = {x x A ti x B}, esim {1,2,3} {1,4} = {1,2,3,4} leikkus (engl intersection) A B = {x x A j x B}, esim {1,2,3} {1,4} = {1} erotus (engl difference) A B = {x x A j x / B}, esim {1,2,3} {1,4} = {2,3} [Erotukselle käytetään myös merkintää A \ B] 13/295 14/295 Joukko-opertioit koskevt tietyt lskulit, joist tärkeimmät ovt yhdisteen j leikkuksen liitännäisyys: j vihdnnisuus: sekä näiden osittelulit: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Jos kikki trksteltvt joukot ovt jonkin yhteisen universlijoukon U osjoukkoj, snotn erotust U A joukon A komplementiksi (U:n suhteen) j merkitään Ā:ll Yhdiste-, leikkus- j komplementointiopertioit yhdistävät tärkeät ns de orgnin kvt: A B = Ā B, A B = Ā B Lisäksi joukkojen erotus voidn esittää leikkuksen j komplementoinnin vull seurvsti: A B = A B 15/295 16/295
5 Jos joukkoperheen A jäsenet on indeksoitu, esim A = {A 1,A 2,A 3,}, niin yhdisteelle j leikkukselle voidn käyttää lyhennemerkintöjä A i = A 1 A 2 A 3 i 1 j A i = A 1 A 2 A 3 Indeksien ei trvitse oll edes luonnollisi lukuj, vn indeksijoukkon voi oll mikä thns joukko I Tällöin käytetään merkintöjä j i 1 A = {A i i I} A i, i I A i i I 12 Reltiot j funktiot Olkoot A j B joukkoj Alkioiden A j B järjestettyä pri (engl ordered pir) merkitään (, ) Huom, että joukkoin on in {,} = {,}, mutt jos, niin järjestettyinä prein on (,) (,) Joukkojen A j B krteesinen tulo (engl Crtesin product) määritellään Esimerkki A B = {(,) A j B}, {1,2,3} {1,4} = {(1,1),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4)} {,} N = {(,0),(,0),(,1),(,1),(,2),(,2),} {,} /0 = /0 17/295 18/295 Reltio R joukolt A joukolle B on krteesisen tulon A B osjoukko: R A B Jos (,) R, niin merkitään myös R j snotn että lkio on reltioss (suhteess) R lkioon Tätä infix-merkintää käytetään vrsinkin silloin, kun reltion nimenä on jokin erikoismerkki, esim,,, Jos reltion R lähtöjoukko (engl domin) A j mlijoukko (engl rnge) B ovt smt, so R A A, snotn että R on reltio joukoss A Reltion R A B käänteisreltio (engl inverse reltion) on reltio R 1 B A, R 1 = {(,) (,) R} Jos R A B j S B C ovt reltioit, niin niiden yhdistetty reltio (engl composite reltion) R S A C määritellään: R S = {(,c) B se (,) R,(,c) S} 19/295 20/295
6 Vrsinkin jos joukot A j B ovt äärellisiä, reltiot R A B voi oll hvinnollist trkstell suunnttun verkkon t grfin, jonk solmuin ovt joukkojen A j B lkiot j solmust A on kri ( nuoli ) solmuun B, jos j vin jos (,) R Esimerkki Olkoon joukoss A = {,, c, d} määritelty reltio Reltion R grfiesitys: R = {(,),(,c),(,d),(c,d),(d,d)} Reltion R R grfiesitys: Reltio f A B on funktio, jos kukin A on reltioss f täsmälleen yhden B knss Tällöin käytetään yleisten reltiomerkintöjen sijn tvllisesti merkintöjä f : A B j f () = Funktioit koskee kikki mitä edellä yleisesti on todettu reltioist, mutt historillisist syistä funktioiden yhdistäminen merkitään toisin päin kuin yleisten reltioiden: jos f : A B j g : B C ovt funktioit, niin niiden yhdistetty funktio määritellään kvll (g f )() = g(f ()), so reltioin g f = {(,c) B se f () =,g() = c} c d c d 21/295 22/ Ekvivlenssireltiot Olkoon f : A B funktio f on surjektio (engl onto mp), jos jokinen B on jonkin A kuv, so jos f (A) = B f on injektio (engl one-to-one mp), jos kikki A kuvutuvt eri lkioille, so jos f () f ( ) f on ijektio, jos se on sekä injektio että surjektio, so jos jokinen B on yhden j vin yhden A kuv Ekvivlenssireltiot ovt mtemttisesti täsmällinen muotoilu sille yleiselle idelle, että oliot ovt keskenään smnkltisi jonkin kiinnostvn ominisuuden X suhteen Ominisuuteen X perustuv ekvivlenssireltio ositt trksteltvien olioiden joukon ekvivlenssiluokkiin, jotk vstvt ominisuuden X eri rvoj (Kääntäen mielivltinen olioiden joukon ositus Π määrää tietyn strktin smnkltisuusominisuuden, nim sen että oliot ovt smnkltisi jos ne sijoittuvt smn osituksen Π luokkn) 23/295 24/295
7 Osoittutuu, että yleinen smnkltisuusreltion ide voidn kiteyttää seurviin kolmeen ominisuuteen ääritelmä 11 Reltio R A A on 1 refleksiivinen, jos R A; 2 symmetrinen, jos R R, A; 3 trnsitiivinen, jos R,Rc Rc,,c A ääritelmä 12 Reltio R A A, jok toteutt edelliset ehdot 1 3 on ekvivlenssireltio Alkion A ekvivlenssiluokk (reltion R suhteen) on R[] = {x A Rx} Esimerkki Olkoon A = {kikki 1900-luvull syntyneet ihmiset} j R voimss, jos henkilöillä j on sm syntymävuosi Tällöin R on selvästi ekvivlenssi, jonk ekvivlenssiluokt koostuvt keskenään smn vuonn syntyneistä henkilöistä Luokki on 100 kpplett, j strktisti ne vstvt 1900-luvun vuosi 1900,,1999 Ekvivlenssireltioit merkitään usein R:n sijn lkioiden smnkltisuutt korostvill symoleill,, tms 25/295 26/295 Lemm 13 Olkoon R A A ekvivlenssi Tällöin on kikill, A voimss: 15 Induktiopäättely R[] = R[] joss R Lemm 14 Olkoon R A A ekvivlenssi Tällöin R:n ekvivlenssiluokt muodostvt A:n osituksen erillisiin epätyhjiin osjoukkoihin, so: R[] /0 kikill A; A = A R[]; jos R[] R[], niin R[] R[] = /0, kikill, A Olkoon P(k) jokin luonnollisten lukujen ominisuus Jos on voimss: 1 P(0) j 2 kikill k 0: P(k) P(k + 1), niin P(n) on tosi kikill n N Kääntäen jokinen perusjoukon A ositus erillisiin epätyhjiin luokkiin A i, i I, määrää vstvn ekvivlenssireltion: j kuuluvt smn luokkn A i 27/295 28/295
8 Esimerkki Väite Kikill n N on voimss kv P(n) : ( n) 2 = n 3 Todistus 1 Perustpus: P(0) : 0 2 = 0 (jtkuu) 2 Induktioskel: Oletetn, että nnetull k 0 kv P(k) : ( k) 2 = k 3 on voimss Tällöin on myös: ( k + (k + 1)) 2 = (1 + + k) 2 + 2(1 + k)(k + 1) + (k + 1) 2 = k 3 k(k + 1) + 2 (k + 1) + (k + 1) 2 2 = k 3 + k(k + 1) 2 + (k + 1) 2 = k 3 + (k + 1) 3 On siis todettu, että kvn P(k) totuudest seur kvn P(k + 1) totuus, so että P(k) P(k + 1), kikill k 0 Luonnollisten lukujen induktioperitteen 19 nojll voidn nyt päätellä, että kv P(n) on voimss kikill n N 29/295 30/ Akkostot, merkkijonot j kielet Automttiteori diskreetin signlinkäsittelyn perusmllit j -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvusten yleinen teori) 1011 Syöte Automtti Tulos B Tällä kurssill keskitytään pääosin utomtteihin, joiden: 1 syötteet ovt äärellisiä, diskreettejä merkkijonoj 2 tulokset ovt muoto hyväksy / hylkää ( syöte OK / syöte ei kelp ) Yleistyksiä: äärettömät syötejonot ( rektiiviset järjestelmät, Büchi-utomtit) funktioutomtit ( oore- j ely-tilkoneet, Turingin funktiokoneet) Automtin käsite on mtemttinen strktio Yleisellä tsoll suunniteltu utomtti voidn toteutt eri tvoin: esim sähköpiirinä, meknisen litteen ti (tvllisimmin) tietokoneohjelmn 31/295 32/295
9 Peruskäsitteitä j merkintöjä Akkosto (engl lphet, voculry): äärellinen, epätyhjä joukko lkeismerkkejä t symoleit Esim: inäärikkosto {0, 1}; ltinlinen kkosto {A,B,,Z} erkkijono (engl string): äärellinen järjestetty jono jonkin kkoston merkkejä Esim: 01001, 0000 : inäärikkoston merkkijonoj; TKTP, XYZZY : ltinlisen kkoston merkkijonoj tyhjä merkkijono (engl empty string) Tyhjässä merkkijonoss ei ole yhtään merkkiä; sitä voidn merkitä ε:llä erkkijonon x pituus x on sen merkkien määrä Esim: = 5, TKTP = 4, ε = 0 erkkijonojen välinen perusopertio on ktentio eli jonojen peräkkäin kirjoittminen Ktention opertiomerkkinä käytetään joskus selkeyden lisäämiseksi symoli Esim KALA KUKKO = KALAKUKKO; jos x = 00 j y = 11, niin xy = 0011 j yx = 1100; kikill x on xε = εx = x; kikill x, y, z on (xy)z = x(yz); kikill x, y on xy = x + y 33/295 34/295 Akkoston Σ kikkien merkkijonojen joukko merkitään Σ :ll ielivltist merkkijonojoukko A Σ snotn kkoston Σ (formliksi) kieleksi (engl forml lnguge) Esimerkki Jos Σ = {0,1}, niin Σ = {ε,0,1,00,01,10,11,000,} Esimerkki Jos Σ = {0, 1}, niin esimerkiksi seurvt ovt kkoston Σ kieliä: /0 {ε, 0, } {0,1,11,111,1111,} Σ = {ε,0,1,00,01,10,11,000} Automtit j formlit kielet Olkoon utomtti, jonk syötteet ovt jonkin kkoston Σ merkkijonoj, j tulos on yksinkertisesti muoto syöte hyväksytään / syöte hylätään (erk lyhyesti 1/0) erkitään :n syötteellä x ntm tulost (x):llä j :n hyväksymien syötteiden joukko A :llä, so A = {x Σ (x) = 1} Snotn, että utomtti tunnist (engl recognises) kielen A Σ Automttiteorin (yksi) ide: utomtin rkenne heijstuu kielen A ominisuuksiss Kääntäen: olkoon nnettun jokin toivottu I/O-kuvus f : Σ {0,1} Trkstelemll kieltä A f = {x Σ f (x) = 1} sdn vihjeitä siitä, millinen utomtti trvitn kuvuksen f toteuttmiseen 35/295 36/295
10 Vkiintuneit merkintöjä Em mtemttisille käsitteille käytetyt merkinnät ovt peritteess vpsti vlittviss, mutt esityksen ymmärrettävyyden prntmiseksi on tpn pitäytyä tietyissä käytännöissä Seurvt merkintätvt ovt vkiintuneet: Akkostot: Σ, Γ, (isoj kreikklisi kirjimi) Esim inäärikkosto Σ = {0, 1} Akkoston koko (ti yleisemmin joukon mhtvuus): Σ Alkeismerkit:,, c, (pieniä lkupään ltinlisi kirjimi) Esim: Olkoon Σ = { 1,, n } kkosto; tällöin Σ = n erkkijonot: u, v, w, x, y, (pieniä loppupään ltinlisi kirjimi) erkkijonojen ktentio: x y ti vin xy erkkijonon pituus: x Esimerkkejä: Tyhjä merkkijono: ε c = 3; olkoon x = 1 m, y = 1 n ; tällöin xy = m + n erkkijono, joss on n kpplett merkkiä : n Esimerkkejä: n = }{{} ; n kpl i j c k = i + j + k erkkijonon x toisto k kert: x k Esimerkkejä: () 2 = ; x k = k x Akkoston Σ kikkien merkkijonojen joukko: Σ Esim: {,} = {ε,,,,,,,,,} 37/295 38/295 erkkijonoinduktio Automttiteoriss tehdään usein konstruktioit induktioll merkkijonon pituuden suhteen Tämä trkoitt, että määritellään ensin toiminto tyhjän merkkijonon ε (ti joskus yksittäisen kkosmerkin) tpuksess Sitten oletetn, että toiminto on määritelty kikill nnetun pituisill merkkijonoill u j esitetään, miten se tällöin määritellään yhtä merkkiä pitemmillä merkkijonoill w = u Esimerkki Olkoon Σ mielivltinen kkosto erkkijonon w Σ käänteisjono (engl reversl) w R määritellään induktiivisesti säännöillä: 1 ε R = ε; 2 jos w = u, u Σ, Σ, niin w R = u R Induktiivist ( rekursiivist ) määritelmää voidn tietenkin käyttää lskujen perustn; esim: (011) R = 1 (01) R = 1 (1 0 R ) = 11 (0 ε R ) = 110 ε R = 110 ε = 110 Tärkeämpää on kuitenkin konstruktioiden ominisuuksien todistminen määritelmää noudttelevll induktioll Esimerkki: 39/295 40/295
11 Väite Olkoon Σ kkosto Kikill x,y Σ on voimss (xy) R = y R x R Todistus Induktio merkkijonon y pituuden suhteen 1 Perustpus y = ε: (xε) R = x R = ε R x R 2 Induktioskel: Olkoon y muoto y = u, u Σ, Σ Oletetn, että väite on voimss merkkijonoill x, u Tällöin on: (xy) R = (xu) R = (xu) R [R:n määritelmä] = (u R x R ) [induktio-oletus] = ( u R )x R [ :n liitännäisyys] = (u) R x R [R:n määritelmä] = y R x R 21 Tilkviot j tiltulut Trkstelln luksi tietojenkäsittelyjärjestelmiä, joill on vin äärellisen mont mhdollist til Tällisen järjestelmän toimint voidn kuvt äärellisenä utomttin t äärellisenä tilkoneen (engl finite utomton, finite stte mchine) Äärellisillä utomteill on useit vihtoehtoisi esitystpoj: tilkviot, tiltulut, 41/295 42/295 Esimerkki: Khviutomtti 20 c 20 c 10 c 10 c 10 c 0,00 0,10 0,20 0,30 20 c 20 c 10 c enough more thn enough! 10 c 20 c 10 c 20 c Em tilkvion esittämä utomtti rtkisee päätösongelmn riittävätkö nnetut rht khvin ostmiseen? Äärellisiä utomttej voidn yleensäkin käyttää yksinkertisten päätösongelmien rtkisujen mllintmiseen Automttimllist on muitkin kuin inäärivsteisten järjestelmien kuvmiseen trkoitettuj versioit (ns oore- j ely-utomtit), mutt niitä ei käsitellä tällä kurssill Tilkvioiden merkinnät: q q 0 q f q 1 q 2 Automtin til nimeltä q Alkutil Lopputil: utomtti hyväksyy syötejonon, joss se jonon loppuess on tällisess tilss Syötemerkin iknsm siirtymä tilst q 1 tiln q 2 43/295 44/295
12 Esimerkki C-kielen etumerkittömät reliluvut digit q 0 digit q 1 q 2 digit q 3 exp exp exp q 4 digit digit +,- digit Käytetyt lyhenteet: digit = {0,1,,9}, exp = {E,e} q 7 q 5 q 6 digit digit Äärellisen utomtin esitys tiltulun: utomtin uusi til vnhn tiln j syötemerkin funktion Esimerkki Relilukuutomtin tiltulu: digit exp + q 0 q 1 q 7 q 1 q 1 q 2 q 4 q 2 q 3 q 4 q 3 q 3 q 4 q 4 q 6 q 5 q 5 q 5 q 6 q 6 q 6 q 7 q 3 missä ilmisee lkutil j lopputil 45/295 46/295 K: itä tiltulun tyhjät pikt trkoittvt? V: Tiltulun tyhjät pikt, ti vstvsti tilkvion puuttuvt kret, kuvvt utomtin virhetilnteit Jos utomtti ohjutuu tälliseen pikkn, syötejono ei kuulu utomtin hyväksymään joukkoon uodollisesti utomtiss jtelln olevn erityinen virhetil, jot ei vin selkeyden vuoksi merkitä näkyviin Esimerkki Relilukuutomtin täydellinen kvioesitys olisi: +,- digit digit q 0 q 1 exp, +,- error digit, exp,,+,- exp 47/295 48/295
13 22 Äärellisiin utomtteihin perustuv ohjelmointi j relilukuutomtin täydellinen tuluesitys olisi: digit exp + q 0 q 1 q 7 error error error q 1 q 1 q 2 q 4 error error q 6 q 6 error error error error error error error error error error Annetun äärellisen utomtin pohjlt on helppo lti utomtin toimint vstv ohjelm Esim relilukuutomttiin perustuv syötejonon syntksitestus: 49/295 50/295 from sys import stdin q=0 for c in stdinredline()strip("\n"): if q==0: if cisdigit(): q=1 elif c=="": q=7 else: q=99 elif q==1: if cisdigit(): q=1 elif c=="": q=2 elif c=="e" or c=="e": q=4 else: q=99 elif q==2 or q==3: if cisdigit(): q=3 elif c=="e" or c=="e": q=4 else: q=99 elif q==4: if cisdigit(): q=6 elif c=="+" or c=="-": q=5 else: q=99 elif q==5 or q==6: if cisdigit(): q=6 else: q=99 elif q==7: if cisdigit(): q=3 else: q=99 if q in [2,3,6]: print "On reliluku" else: print "Ei ole reliluku" 51/295 52/295
14 Pelkän syntksitestin toteutus: Semnttisten toimintojen liittäminen äärellisiin utomtteihin Esimerkki Khdeksnjärjestelmän lukuj tunnistv utomtti j siihen perustuv syöteluvun rvonmääritys ( muuttminen kymmenjärjestelmään ) +,- d q 0 q 1 q 2 Lyhennysmerkintä d = {0,1,,7} d d from sys import stdin q=0 for c in stdinredline()strip("\n"): if q==0: if c=="+" or c=="-": q=1 elif c in " ": q=2 else: q=99 elif q==1: if c in " ": q=2 else: q=99 elif q==2: if c in " ": q=2 else: q=99 if q == 2 print "Oktliluku!" else: print "Virheellinen oktliluku" 53/295 54/295 Täydennys syöteluvun rvon lskevill opertioill ( luvun muuttminen kymmenjärjestelmään ): from sys import stdin q=0 sgn=1 # SE: etumerkki vl=0 # SE: itseisrvo for c in stdinredline()strip("\n"): if q==0: if c=="+": q=1 elif c=="-": sgn=-1 # SE q=1 elif c in " ": vl=int(c) # SE q=2 else: q=99 elif q==1: if c in " ": vl=int(c) q=2 else: q=99 elif q==2: if c in " ": vl=8*vl+int(c) q=2 else: q=99 if q == 2: print "Oktliluku", sgn*vl else: print "Virheellinen oktliluku" # SE # SE # SE 55/295 56/295
15 23 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest ohjusyksiköstä, jonk toimint säätelee utomtin siirtymäfunktio δ, sekä merkkipikkoihin jetust syötenuhst j nämä yhdistävästä nuhpäästä, jok kullkin hetkellä osoitt yhtä syötenuhn merkkiä q 0 t Automtin toimint : Automtti käynnistetään erityisessä lkutilss q 0, siten että trksteltv syöte on kirjoitettun syötenuhlle j nuhpää osoitt sen ensimmäistä merkkiä Yhdessä toimint-skeless utomtti lukee nuhpään kohdll olevn syötemerkin, päättää ohjusyksikön tiln j luetun merkin perusteell siirtymäfunktion mukisesti ohjusyksikön uudest tilst, j siirtää nuhpäätä yhden merkin eteenpäin Automtti pysähtyy, kun viimeinen syötemerkki on käsitelty Jos ohjusyksikön til tällöin kuuluu erityiseen (hyväksyvien) lopputilojen joukkoon, utomtti hyväksyy syötteen, muuten hylkää sen Automtin tunnistm kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko 57/295 58/295 Täsmällinen muotoilu: ääritelmä Äärellinen utomtti on viisikko = (Q,Σ,δ,q 0,F), missä Q on utomtin tilojen äärellinen joukko; Σ on utomtin syötekkosto; δ : Q Σ Q on utomtin siirtymäfunktio; q 0 Q on utomtin lkutil; F Q on utomtin (hyväksyvien) lopputilojen joukko Esimerkki Relilukuutomtin formli esitys: = ({q 0,,q 7,error},{0,1,,9,,E,e,+,-}, δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä δ on kuten iemmin tulukoss; esim δ(q 0,0) = δ(q 0,1) = = δ(q 0,9) = q 1, δ(q 0,) = q 7, δ(q 0,E) = δ(q 0,e) = error, δ(q 1,) = q 2, δ(q 1,E) = δ(q 1,e) = q 4, jne 59/295 60/295
16 Tilnne (q,w) joht suorn tilnteeseen (q,w ), merkitään (q,w) (q,w ), Automtin tilnne on pri (q,w) Q Σ Erityisesti utomtin lkutilnne syötteellä x on pri (q 0,x) Intuitio: q on utomtin til j w on syötemerkkijonon jäljellä olev, so nuhpäästä oikelle sijitsev os jos on w = w ( Σ) j q = δ(q,) Tällöin snotn myös, että tilnne (q,w ) on tilnteen (q,w) välitön seurj Intuitio: utomtti ollessn tilss q j lukiessn nuhll olevn merkkijonon w = w ensimmäisen merkin siirtyy tiln q j siirtää nuhpäätä yhden skelen eteenpäin, jolloin nuhlle jää merkkijono w Jos utomtti on yhteydestä selvä, reltiot voidn merkitä yksinkertisesti (q,w) (q,w ) 61/295 62/295 Tilnne (q,w) joht tilnteeseen (q,w ) t tilnne (q,w ) on tilnteen (q, w) seurj, merkitään (q,w) (q,w ), jos on olemss välitilnnejono (q 0,w 0 ), (q 1,w 1 ),, (q n,w n ), n 0, siten että (q,w) = (q 0,w 0 ) (q 1,w 1 ) (q n,w n ) = (q,w ) Erikoistpuksen n = 0 sdn (q,w) (q,w) millä thns tilnteell (q, w) Jälleen, jos utomtti on yhteydestä selvä, merkitään yksinkertisesti (q,w) (q,w ) Automtti hyväksyy merkkijonon x Σ, jos on voimss muuten hylkää x:n (q 0,x) (q f,ε) jollkin q f F; Toisin snoen: utomtti hyväksyy x:n, jos sen lkutilnne syötteellä x joht, syötteen loppuess, johonkin hyväksyvään lopputilnteeseen Automtin tunnistm kieli määritellään: L() = {x Σ (q 0,x) (q f,ε) jollkin q f F} 63/295 64/295
17 24 Äärellisten utomttien minimointi Esimerkki erkkijonon 025E2 käsittely relilukuutomtill: (q 0,025E2) (q 1,25E2) (q 2,25E2) (q 3,5E2) (q 3,E2) (q 4,2) (q 6,ε) Kosk q 6 F = {q 2,q 3,q 6 }, on siis 025E2 L() Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so smn kielen tunnistv) tilmäärältään minimlinen utomtti Annetun äärellisen utomtin knss minimointi (ekvivlentin minimiutomtin määrittäminen) on sekä käytännössä että teoreettiselt knnlt tärkeä tehtävä: siten voidn esimerkiksi selvittää, tunnistvtko kksi nnettu utomtti smn kielen Tehtävä voidn rtkist seurvss esitettävällä tehokkll menetelmällä enetelmän perusiden on pyrkiä smistmn keskenään selliset syötteenä nnetun utomtin tilt, joist lähtien utomtti toimii täsmälleen smoin kikill merkkijonoill 65/295 66/295 Olkoon = (Q,Σ,δ,q 0,F) äärellinen utomtti Ljennetn :n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään δ (q,x) = q se (q,x) (q,ε) :n tilt q j q ovt ekvivlentit, merkitään jos kikill x Σ on q q, δ (q,x) F jos j vin jos δ (q,x) F; toisin snoen, jos utomtti q:st j q :st lähtien hyväksyy täsmälleen smt merkkijonot Lievempi ekvivlenssiehto: tilt q j q ovt k-ekvivlentit, merkitään jos kikill x Σ, x k, on q k q, δ (q,x) F jos j vin jos δ (q,x) F; toisin snoen, jos mikään enintään k:n pituinen merkkijono ei pysty erottmn tiloj toisistn Ilmeisesti on: (i) q 0 q joss sekä q että q ovt lopputiloj ti kumpikn ei ole; j (ii) q q joss q k q kikill k = 0,1,2, Esitettävä minimointilgoritmi perustuu syötteenä nnetun utomtin tilojen k-ekvivlenssiluokkien hienontmiseen (k + 1)-ekvivlenssiluokiksi kunnes svutetn täysi ekvivlenssi (1) 67/295 68/295
18 Algoritmi perustuu seurvn: 1 Kksi (k-ekvivlentti) til q 1 k+1 q 2, jos j vin jos q 1 0 q2 j δ(q 1,) k δ(q 2,) kikill Σ 2 Jos jollkin k:n rvoll pätee, että kikki keskenään k-ekvivlentit tilt ovt myös k + 1-ekvivlenttej, niin keskenään k-ekvivlentit tilt ovt keskenään ekvivlenttej Tod Induktioskel: oletetn, että keskenään k-ekvivlentit tilt ovt p-ekvivlenttej jollkin p Keskenään k-ekvivlentit tilt ovt siis k + 1-ekvivlenttej, eli ym perusteell niistä siirrytään kikill kkosill keskenään k-ekvivlentteihin (p-ekvivlentteihin) tiloihin; k-ekvivlentit tilt ovt siis p + 1-ekvivlenttej (Perustpus esim p = 0) Algoritmi IN-FA [Äärellisen utomtin minimointi] Syöte: Äärellinen utomtti = (Q,Σ,δ,q 0,F) Tulos: :n knss ekvivlentti äärellinen utomtti, joss on minimimäärä tiloj enetelmä: 1 [Turhien tilojen poisto] Poist :stä kikki tilt, joit ei void svutt tilst q 0 millään syötemerkkijonoll 2 [0-ekvivlenssi] Osit :n jäljelle jääneet tilt khteen luokkn: ei-lopputiloihin j lopputiloihin 69/295 70/295 3 [k-ekvivlenssi (k + 1)-ekvivlenssi] Trkst, siirrytäänkö smn ekvivlenssiluokkn kuuluvist tiloist smoill merkeillä in smnluokkisiin tiloihin Jos kyllä, lgoritmi päättyy j minimiutomtin tilt vstvt :n tilojen luokki uuss tpuksess hienonn ositust jkmll kunkin äskeistä ehto rikkovn k-ekvivlenssiluokn tilt uusiin, pienempiin (k + 1)-ekvivlenssiluokkiin sen mukn, mihin luokkn kustkin tilst siirrytään milläkin kkosell, j toist koht 3 uudell osituksell Luse 21 Algoritmi IN-FA muodost nnetun äärellisen utomtin knss ekvivlentin äärellisen utomtin, joss on minimimäärä tiloj Tämä utomtti on tilojen nimeämistä pitsi yksikäsitteinen Algoritmin suoritus päättyy in: kullkin skelen 3 suorituskerrll, viimeistä lukuunottmtt, vähintään yksi luokk ositetn pienemmäksi Askel 3 jk k-ekvivlenssiluokt (k + 1)-ekvivlenssiluokiksi: kksi til ovt (k + 1)-ekvivlentit, jos j vin jos molemmt ti ei kumpikn ovt hyväksyviä lopputiloj j kummstkin siirrytään jokisell kkosell k-ekvivlentteihin tiloihin Kun k-ekvivlenssiluokt ovt myös k + 1-ekvivlenssiluokt, kunkin luokn tilt ovt k-ekvivlenttej kikill k eli ekvivlenttej (1ii) Jokisess ekvivlenssiluokss on inkin yksi lkutilst svutettv til, joten kikki luokt ovt trpeellisi Yksikäsitteisyys todistettu opetusmonisteess 71/295 72/295
19 Esimerkki Trkstelln ll esitetyn utomtin minimointi Viheess 1 utomtist poistetn til 6, johon ei päästä millään merkkijonoll Viheess 2 ositetn utomtin tilt 1 5 ei-lopputiloihin (luokk I) j lopputiloihin (luokk II), j trkstetn siirtymien käyttäytyminen osituksen suhteen: I : 1 2,I 3,I 2 4,II 2,I 3 2,I 3,I II : 4 3,I 5,II 5 1,I 4,II Luokss I on nyt khdentyyppisiä tiloj ({1,3} j {2}), joten ositust täytyy hienont j trkst siirtymät uuden osituksen suhteen: I : 1 2,II 3,I 3 2,II 3,I II : 2 4,III 2,II III : 4 3,I 5,III 5 1,I 4,III Nyt kunkin luokn sisältämät tilt ovt keskenään smnlisi, joten minimointilgoritmi päättyy 73/295 74/ Epädeterministiset äärelliset utomtit Sdun minimiutomtin tilkvio on seurv: I II III Epädeterministiset utomtit ovt muuten smnlisi kuin deterministiset, mutt niiden siirtymäfunktio δ ei liitä utomtin vnhn tiln j syötemerkin muodostmiin preihin yksikäsitteistä uutt til, vn joukon mhdollisi seurvi tiloj Epädeterministinen utomtti hyväksyy syötteensä, jos jokin mhdollisten tilojen jono joht hyväksyvään lopputiln Vikk epädeterministisiä utomttej ei voi sellisinn toteutt tietokoneohjelmin, ne ovt tärkeä päätösongelmien kuvusformlismi 75/295 76/295
20 Esimerkki Epädeterministinen utomtti, jok tutkii sisältääkö syötejonoon osjono : q 0 q 1 Automtti hyväksyy esim syötejonon, kosk sen on mhdollist edetä seurvsti: (q 0,) (q 0,) (q 1,) (q 2,) (q 3,ε) Automtti voisi päätyä myös hylkäävään tiln: (q 0,) (q 0,) (q 0,) (q 0,) (q 0,ε), q 2 q 3 Epädeterministinen utomtti, jok tutkii sisältääkö syötejono osjono : q 0 q 1 Huom: utomtti ei hyväksy syötejono, kosk lkutilnteest (q 0,) ei ole mhdollist päästä (inon) hyväksyvään lopputilnteeseen (q 3,ε) millään tvll q 2 q 3 mutt tällä ei ole merkitystä voidn jtell, että utomtti os ennust j vlit in prhn mhdollisen vihtoehdon 77/295 78/295 ääritelmä 22 Epädeterministinen äärellinen utomtti on viisikko = (Q,Σ,δ,q 0,F), missä Q on äärellinen tilojen joukko; Σ on syötekkosto; δ : Q Σ P (Q) on utomtin joukkorvoinen siirtymäfunktio; q 0 Q on lkutil; F Q on (hyväksyvien) lopputilojen joukko Esimerkki -utomtti, jok tunnist, sisältääkö syöte merkkijonon : Siirtymäfunktio: q 0 q 1 q 2 q 0 {q 0,q 1 } {q 0 } q 1 /0 {q 2 } q 2 {q 3 } /0 q 3 {q 3 } {q 3 } Nyt esimerkiksi δ(q 0,) = {q 0,q 1 } j δ(q 1,) = /0 q 3 79/295 80/295
21 Epädeterministisen utomtin tilnne (q, w) voi joht suorn tilnteeseen (q,w ), merkitään (q,w) (q,w ), jos on w = w (missä Σ) j q δ(q,) Snotn myös, että tilnne (q,w ) on tilnteen (q,w) mhdollinen välitön seurj Usemmn skelen mittiset tilnnejohdot, merkkijonojen hyväksyminen j hylkääminen ym käsitteet määritellään smoin snoin kuin deterministisillä utomteill Kosk yhden skelen johdon määritelmä kuitenkin nyt on toinen, niiden sisältö muovutuu hiemn eriliseksi Luse 22 Olkoon A = L() jonkin epädeterministisen äärellisen utomtin tunnistm kieli Tällöin on olemss myös deterministinen äärellinen utomtti, joll A = L( ) Todistus Olkoon A = L(), = (Q,Σ,δ,q 0,F) Iden on lti deterministinen äärellinen utomtti, jok simuloi :n toimint kikiss sen kullkin hetkellä mhdollisiss tiloiss rinnkkin Formlisti: utomtin tilt vstvt :n tilojen joukkoj: missä = ( Q,Σ, ˆδ, ˆq 0, F), Q = P (Q) = {S S Q}, ˆq 0 = {q 0 }, F = {S Q S sisältää jonkin q f F}, ˆδ(S,) = q Sδ(q,) 81/295 82/295 Esimerkki -utomttiin q 0 q 1 q 2 q 3 inimoimll j nimeämällä tilt uudelleen stu utomtti {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1, q 3 } {q 0, q 2, q 3 } sovellettun em konstruktio tuott seurvn deterministisen utomtin (vin lkutilst svutettvt tilt esitetty): {q 0, q 3 } {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1, q 3 } {q 0, q 2, q 3 } yksinkertistuu muotoon: {q 0, q 3 } s 0 s 1 s 2 s 3, 83/295 84/295
22 [Todistus jtkuu] Trkstetn, että utomtti todell on ekvivlentti :n knss, so että L( ) = L() ääritelmien mukn on: Väite (2): x L() joss (q 0,x) (q f,ε) jollkin q f F j x L( ) joss ({q 0 },x) (S,ε), missä S sis jonkin q f F Osoitetn siis, että kikill x Σ j q Q on: (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S Väitteen (2) todistus tehdään induktioll merkkijonon x pituuden suhteen (i) Tpus x = 0: (q 0,ε) (q,ε) joss q = q 0 ; smoin ({q 0 },ε) (S,ε) joss S = {q 0 } (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (2) 85/295 86/295 Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S 87/295 88/295
23 Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S 89/295 90/295 Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S 91/295 92/295
24 Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S 93/295 94/295 Väite (2): (q 0,x) (q,ε) joss ({q 0 },x) (S,ε) j q S (ii) Induktioskel: Olkoon x = y; oletetn, että väite (2) pätee y:lle Tällöin: (q 0,x) = (q 0,y) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,) j (q,) (q,ε) joss q Q se (q 0,y) (q,ε) j (q,) (q,ε) joss (indol) q Q se ({q 0 },y) (S,ε) j q S j q δ(q,) joss ({q 0 },y) (S,ε) j q S se q δ(q,) joss ε-utomtit Jtkoss trvitn vielä yksi äärellisten utomttien mllin ljennus: epädeterministinen äärellinen utomtti, joss sllitn ε-siirtymät Tällisell siirtymällä utomtti tekee epädeterministisen vlinnn eri jtkovihtoehtojen välillä lukemtt yhtään syötemerkkiä Esimerkiksi kieli {, } voitisiin tunnist seurvll ε-utomtill: ε ({q 0 },y) (S,ε) j q q S δ(q,) = ˆδ(S,) joss ({q 0 },y) (S,) j q ˆδ(S,) = S joss ({q 0 },y) (S,) j (S,) (S,ε) j q S joss ({q 0 },x) = ({q 0 },y) (S,ε) j q S ε 95/295 96/295
25 ääritelmä ε-utomtti on viisikko missä siirtymäfunktio δ on kuvus = (Q,Σ,δ,q 0,F), δ : Q (Σ {ε}) P (Q) uut määritelmät ovt kuten tvllisill epädeterministisillä äärellisillä utomteill, pitsi suorn tilnnejohdon määritelmä: ε-utomttien tpuksess reltio (q,w) (q,w ) Luse 23 Olkoon A = L() jollkin ε-utomtill Tällöin on olemss myös ε-siirtymätön epädeterministinen utomtti, joll A = L( ) Todistus Olkoon = (Q,Σ,δ,q 0,F) jokin ε-utomtti Automtti toimii muuten ivn smoin kuin, mutt se hrpp ε-siirtymien yli suorittmll kustkin tilst lähtien vin ne idot siirtymät, jotk ovt siitä käsin jotkin ε-siirtymäjono pitkin svutettviss on voimss, jos on w = w (missä Σ) j q δ(q,); ti w = w j q δ(q,ε) 97/295 98/295 Formlisti määritellään nnetun tiln q Q ε-sulkeum ε (q) utomtiss kvll ε (q) = {q Q (q,ε) (q,ε)}, so joukkoon ε (q) kuuluvt kikki ne utomtin tilt, jotk ovt svutettviss tilst q pelkillä ε-siirtymillä Automtin siirtymäsäännöt voidn nyt kuvt seurvsti: missä = (Q,Σ, ˆδ,q 0, F), ˆδ(q,) = q ε (q) δ(q,); F = {q Q ε (q) F /0} Esimerkki Poistmll edellisen konstruktion mukisesti ε-siirtymät ε-utomtist sdn tvllinen epädeterministinen utomtti: 1 lkuperäinen ε-utomtti: ε ε 2 ε 4 5 ε ε 7 8 ε-siirtymien poiston jälkeen: Trkstelln utomtti ε-siirtymien poiston jälkeen: 1 iksi lkutil 1 on hyväksyvä lopputil? svuttmttomien tilojen poiston jälkeen: 2 iksi ei hitt, että til 7 ei void svutt lkutilst? / /295
26 26 Säännölliset lusekkeet Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä Olkoot A j B kkoston Σ kieliä Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B} Ktentio: AB = {xy Σ x A j y B}; Potenssit: { A 0 = {ε}, A k = AA k 1 = {x 1 x k x i A i = 1,,k} (k 1); Sulkeum t Kleenen tähti : ääritelmä 23 Akkoston Σ säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti säännöillä: 1 /0 j ε ovt Σ:n säännöllisiä lusekkeit; 2 on Σ:n säännöllinen luseke kikill Σ; 3 jos r j s ovt Σ:n säännöllisiä lusekkeit, niin (r s), (rs) j r ovt Σ:n säännöllisiä lusekkeit; 4 muit Σ:n säännöllisiä lusekkeit ei ole A = A k k 0 = {x 1 x k k 0, x i A i = 1,,k} 101/ /295 Kukin Σ:n säännöllinen luseke r kuv kielen L(r), jok määritellään: L(/0) = /0; L(ε) = {ε}; L() = {} kikill Σ; L((r s)) = L(r) L(s); L((rs)) = L(r)L(s); L(r ) = (L(r)) Esimerkki Akkoston {, } säännöllisiä lusekkeit: r 1 = (()), r 2 = (), r 3 = ( ), r 4 = (( ())) Lusekkeiden kuvmt kielet: L(r 1 ) = ({}{}){} = {}{} = {} L(r 2 ) = {} = {ε,,,,} = {() i i 0} L(r 3 ) = {}({}) = {,,,,} = { i i 0} L(r 4 ) = ({}{,}) = {,} = {ε,,,,,} = {x {,} kutkin -kirjint x:ssä seur 1 ti 2 -kirjint } 103/ /295
27 Sulkumerkkien vähentämissääntöjä: Operttoreiden prioriteetti: Yhdiste- j tulo-opertioiden ssositiivisuus: L(((r s) t)) = L((r (s t))) L(((rs)t)) = L((r(st))) peräkkäisiä yhdisteitä j tuloj ei trvitse sulutt Yksinkertisemmin siis: r 1 =, r 2 = (), r 3 =, r 4 = (( )) Esimerkki C-kielen etumerkittömät reliluvut numer = (dd d dd )(e(+ ε)dd ε) (dd e(+ ε)dd ), missä d on lyhennemerkintä lusekkeelle d = ( ) j e on lyhennemerkintä lusekkeelle e = (E e) Usein merkitään myös lyhyesti rr r + Esimerkki (d + d d + )(e(+ ε)d + ε) (d + e(+ ε)d + ) 105/ /295 Säännöllisten lusekkeiden sieventäminen Säännöllisillä kielillä on yleensä useit vihtoehtoisi kuvuksi, esim: ääritelmä 24 Kieli on säännöllinen, jos se voidn kuvt säännöllisellä lusekkeell Σ = L(( ) ) = L(( ) ) = L( ( ) ( ) ) ääritelmä Säännölliset lusekkeet r j s ovt ekvivlentit, merk r = s, jos L(r) = L(s) Lusekkeen sieventäminen = yksinkertisimmn ekvivlentin lusekkeen määrittäminen Säännöllisten lusekkeiden ekvivlenssitestus on epätrivili, mutt peritteess meknisesti rtkev ongelm 107/ /295
28 Sievennyssääntöjä: r (s t) = (r s) t r(st) = (rs)t r s = s r r(s t) = rs rt (r s)t = rt st r r = r r /0 = r εr = r /0r = /0 r = ε r r r = (ε r) ikä thns säännöllisten lusekkeiden tosi ekvivlenssi voidn joht näistä lskuleist, kun lisätään päättelysääntö: jos r = rs t, niin r = ts, edellyttäen että ε / L(s) Khden lusekkeen ekvivlenssin totemiseksi knntt usein päätellä erikseen kummnkin kuvmn kielen sisältyminen toiseen erkitään lyhyesti: r s, jos L(r) L(s) Tällöin siis r = s joss r s j s r Esimerkki Todetn, että ( ) = ( ) 1 Selvästi ( ) ( ), kosk ( ) kuv kikki kkoston {, } merkkijonoj 2 Kosk selvästi ( ), niin myös ( ) ( ) 109/ / ÄÄRELLISET AUTOAATIT JA SÄÄNNÖLLISET KIELET r = : r = s t : Luse 24 Jokinen säännöllinen kieli voidn tunnist äärellisellä utomtill r = ε : ε ε s ε Todistus Seurvn klvon induktiivisen konstruktion vull voidn mielivltisen säännöllisen lusekkeen r rkennett seurten muodost ε- utomtti r, joll L( r ) = L(r) Tästä utomtist voidn poist ε-siirtymät Lemmn 24 mukisesti, j trvittess voidn syntyvä epädeterministinen utomtti determinisoid Luseen 22 konstruktioll Esitettävästä konstruktiost on syytä huomt, että muodostettviin ε- utomtteihin tulee in yksikäsitteiset lku- j lopputil, eikä minkään os-utomtin lopputilst lähde eikä lkutiln tule yhtään ko osutomtin sisäistä siirtymää r = ( Σ) : r = st : s t ε r = s : ε t ε s ε ε ε 111/ /295
29 Esimerkki Lusekkeest r = (( )) sdn näiden sääntöjen mukn seurv ε-utomtti: ε ε ε ε ε ε ε Edellä esitetty utomtti on selvästi hyvin redundntti Käsin utomttej suunniteltess ne knnttkin usein muodost suorn (mikäli tietää, mitä on tekemässä) Esim lusekkeest r = (( )) on suhteellisen helppo muodost seurv yksinkertinen epädeterministinen tunnistj-utomtti: ε 113/ /295 Luse 25 Jokinen äärellisellä utomtill tunnistettv kieli on säännöllinen Todistus Trvitn vielä yksi äärellisten utomttien ljennus: lusekeutomtiss voidn siirtymien ehtoin käyttää mielivltisi säännöllisiä lusekkeit Formlisointi: erk RE Σ = kkoston Σ säännöllisten lusekkeiden joukko Lusekeutomtti on viisikko = (Q,Σ,δ,q 0,F), missä siirtymäfunktio δ on äärellinen kuvus δ : Q RE Σ P (Q) Yhden skelen tilnnejohto määritellään: (q,w) (q,w ) jos on q δ(q,r) jollkin sellisell r RE Σ, että w = zw, z L(r) uut määritelmät smt kuin iemmin Todistetn: jokinen lusekeutomtill tunnistettv kieli on säännöllinen Olkoon jokin lusekeutomtti Säännöllinen luseke, jok kuv :n tunnistmn kielen, muodostetn khdess viheess: (so δ(q,r) /0 vin äärellisen monell prill (q,r) Q RE Σ ) 115/ /295
30 1 Tiivistetään ekvivlentiksi enintään 2-tiliseksi lusekeutomtiksi seurvill muunnoksill: (i) Jos :llä on useit lopputiloj, yhdistetään ne seurvsti ε (ii) Poistetn :n muut kuin lku- j lopputil yksi kerrlln seurvsti Olk q jokin :n til, jok ei ole lku- eikä lopputil; trkstelln kikki reittejä, jotk :ssä kulkevt q:n kutt Olk q i j q j q:n välittömät edeltäjä- j seurjtil jollkin tällisell reitillä Poistetn q reitiltä q i q j oheisen kuvn (i) muunnoksell, jos tilst q ei ole siirtymää itseensä, j kuvn (ii) muunnoksell, jos tilst q on siirtymä itseensä: (i): ε r s q i q q j q i rs q j ε (ii): t r s q i q q j q i rt s q j 117/ /295 2 Tiivistyksen päättyessä jäljellä olev 2-tilist utomtti vstv säännöllinen luseke muodostetn seurvll tvll: (i): r Smll yhdistetään rinnkkiset siirtymät seurvsti: r q i r s q j q i r s q j (ii): r 1 r 2 r 3 r 1 r 2(r 3 r 4 r 1 r 2) r 4 119/ /295
31 Esimerkki 3 KIELIOPIT JA ERKKIJONOJEN TUOTTAINEN Kielioppi = muunnossysteemi merkkijonojen (kielen snojen ) tuottmiseen tietystä lähtöjonost lken, osjonoj toistuvsti nnettujen sääntöjen mukn uudelleenkirjoittmll Kielioppi on yhteydetön, jos kusskin uudelleenkirjoitusskeless korvtn yksi erityinen muuttuj- t välikesymoli jollkin siihen liitetyllä korvusjonoll, j korvus voidn in tehdä symoli ympäröivän merkkijonon rkenteest riippumtt ( )() ( ) ( )() ( ) ( ( )() ( )) Sovelluksi: rkenteisten tekstien kuvminen (esim ohjelmointikielten BNF-syntksikuvukset, XL:n DTD/Schem-määrittelyt), yleisemmin rkenteisten olioiden kuvminen (esim syntktinen hhmontunnistus) 121/ /295 Yhteydettömillä kieliopeill voidn kuvt (tuott) myös ei-säännöllisiä kieliä Esimerkki Yhteydetön kielioppi kielelle L mtch (lähtösymoli S): (i) S ε, (ii) S (S) Esimerkiksi merkkijonon ((())) tuottminen: S (S) ((S)) (((S))) (((ε))) = ((())) Esimerkki Kielioppi C-tyyppisen ohjelmointikielen ritmeettisille lusekkeille (yksinkertistettu) E T E + T T F T F F (E) Esimerkiksi lusekkeen ( + ) tuottminen: E T T F F F (E) F (E + T) F (T + T) F (F + T) F ( + T) F ( + F) F ( + ) F ( + ) 123/ /295
32 ääritelmä 31 Yhteydetön kielioppi on nelikko missä V on kieliopin kkosto; G = (V,Σ,P,S), Σ V on kieliopin päätemerkkien joukko; sen komplementti N = V Σ on kieliopin välikemerkkien t -symolien joukko; P N V on kieliopin sääntöjen t produktioiden joukko; S N on kieliopin lähtösymoli Produktiot (A, ω) P merkitään tvllisesti A ω erkkijono γ V tuott t joht suorn merkkijonon γ V kieliopiss G, merkitään γ G γ jos voidn kirjoitt γ = αaβ, γ = αωβ (α,β,ω V, A N), j kieliopiss G on produktio A ω Jos kielioppi G on yhteydestä selvä, voidn merkitä γ γ erkkijono γ V tuott t joht merkkijonon γ V kieliopiss G, merkitään γ G γ jos on olemss jono V:n merkkijonoj γ 0,γ 1,,γ n (n 0), siten että γ = γ 0, γ 0 G γ 1 G G γ n, j γ n = γ Erikoistpuksen n = 0 sdn γ G γ millä thns γ V Jälleen, jos G on yhteydestä selvä, voidn merkitä γ γ 125/ /295 erkkijono γ V on kieliopin G lusejohdos, jos on S G γ Pelkästään päätemerkeistä koostuv G:n lusejohdos x Σ on G:n luse Kieliopin G tuottm t kuvm kieli koostuu G:n luseist: L(G) = {x Σ S G x} Esimerkki Tspinoisten sulkujonojen muodostmn kielen L mtch = {( k ) k k 0} tuott kielioppi Esimerkki G mtch = ({S,(,)},{(,)},{S ε,s (S)},S) Yksinkertisten ritmeettisten lusekkeiden muodostmn kielen L expr tuott kielioppi G expr = (V,Σ,P,E), Formli kieli L Σ on yhteydetön, jos se voidn tuott jollkin yhteydettömällä kieliopill missä V = {E,T,F,,+,,(,)}, Σ = {,+,,(,)}, P = {E T, E E + T, T F, T T F, F, F (E)} 127/ /295
33 Esimerkki Toinen kielioppi kielen L expr tuottmiseen on missä V = {E,,+,,(,)}, Σ = {,+,,(,)}, G expr = (V,Σ,P,E), P = {E E + E, E E E, E, E (E)} Huom: Vikk kielioppi G expr näyttää yksinkertisemmlt kuin kielioppi G expr, sen ongelmn on ns rkenteellinen moniselitteisyys, mikä on monesti ei-toivottu ominisuus Vkiintuneit merkintätpoj Välikesymoleit: A,B,C,,S,T Päätemerkkejä: kirjimet,,c,,s,t numerot 0,1,,9 erikoismerkit (sulut jne) lihvoidut ti lleviivtut vrtut snt (if, for, end, ) ielivltisi merkkejä (kun välikkeitä j päätteitä ei erotell): X,Y,Z Päätemerkkijonoj: u,v,w,x,y,z Sekmerkkijonoj: α,β,γ,,ω 129/ /295 Produktiot, joill on yhteinen vsen puoli A, voidn kirjoitt yhteen: joukon sijn kirjoitetn A ω 1, A ω 2, A ω k A ω 1 ω 2 ω k Kielioppi esitetään usein pelkkänä sääntöjoukkon: A 1 ω 11 ω 1k1 A 2 ω 21 ω 2k2 A m ω m1 ω mkm Tällöin päätellään välikesymolit edellisten merkintäsopimusten mukn ti siitä, että ne esiintyvät sääntöjen vsempin puolin; muut esiintyvät merkit ovt päätemerkkejä Lähtösymoli on tällöin ensimmäisen säännön vsempn puolen esiintyvä välike; tässä siis A 1 131/295 Eräitä konstruktioit Olkoon L(T) välikkeestä T johdettviss olevien päätejonojen joukko Olkoon nnettu produktiokokoelm P, joss ei esiinny välikettä A, j joll B:stä voidn joht L(B) j vstvsti C:stä L(C) Lisäämällä P:hen jokin seurvist produktioist sdn uusi kieliä: produktio A B C A BC A AB ε (vsen rekursio) ti A BA ε (oike rekursio) kieli yhdiste L(A) = L(B) L(C) ktentio L(A) = L(B)L(C), j Kleenen sulkeum L(A) = L(B) 132/295
34 32 Säännölliset kielet j yhteydettömät kieliopit Välikkeiden keskeisupotus on yhteydettömille kieliopeille omininen konstruktio, jok tekee usein (muttei in) kielestä epäsäännöllisen: lisäämällä produktio sdn L(A) = A BAC ε L(B) i L(C) i i=0 Yhteydettömillä kieliopeill voidn siis kuvt joitkin ei-säännöllisiä kieliä (esimerkiksi kielet L mtch j L expr ) Osoitetn, että myös kikki säännölliset kielet voidn kuvt yhteydettömillä kieliopeill Yhteydettömät kielet ovt siten säännollisten kielten ito yliluokk Yhteydetön kielioppi on oikelle linerinen, jos sen kikki produktiot ovt muoto A B ti A ε, j vsemmlle linerinen, jos sen kikki produktiot ovt muoto A B ti A ε Osoittutuu, että sekä vsemmlle että oikelle linerisill kieliopeill voidn tuott täsmälleen säännölliset kielet, minkä tki näitä kielioppej nimitetään myös yhteisesti säännöllisiksi Todistetn tässä väite vin oikelle linerisille kieliopeille 133/ /295 Luse 31 Jokinen säännöllinen kieli voidn tuott oikelle linerisell kieliopill Todistus Olkoon L kkoston Σ säännöllinen kieli, j olkoon = (Q,Σ,δ,q 0,F) sen tunnistv (deterministinen ti epädeterministinen) äärellinen utomtti uodostetn kielioppi G, joll on L(G ) = L() = L Kieliopin G päätekkosto on sm kuin :n syötekkosto Σ, j sen välikekkostoon otetn yksi välike A q kutkin :n til q kohden Kieliopin lähtösymoli on A q0, j sen produktiot vstvt :n siirtymiä: (i) kutkin :n lopputil q F kohden kielioppiin otetn produktio A q ε; (ii) kutkin :n siirtymää q q (so q δ(q,)) kohden kielioppiin otetn produktio A q A q Esimerkki Automtti: Vstv kielioppi:, 1 2 A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 ε A 2 135/ /295
35 Konstruktion oikeellisuuden trkstmiseksi merkitään välikkeestä A q tuotettvien päätejonojen joukko L(A q ) = {x Σ A q G x} Induktioll merkkijonon x pituuden suhteen voidn osoitt, että kikill q on Erityisesti on siis x L(A q ) joss (q,x) (q f,ε) jollkin q f F L(G ) = L(A q0 ) = {x Σ (q 0,x) (q f,ε) jollkin q f F} = L() = L Luse 32 Jokinen oikelle linerisell kieliopill tuotettv kieli on säännöllinen Todistus Olkoon G = (V, Σ, P, S) oikelle linerinen kielioppi uodostetn kielen L(G) tunnistv epädeterministinen äärellinen utomtti G = (Q,Σ,δ,q S,F) seurvsti: G :n tilt vstvt G:n välikkeitä: Q = {q A A V Σ} G :n lkutil on lähtösymoli S vstv til q S G :n syötekkosto on G:n päätekkosto Σ G :n siirtymäfunktio δ jäljittelee G:n produktioit siten, että kutkin produktiot A B kohden utomtiss on siirtymä q A qb (so q B δ(q A,)) 137/ / KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELA G :n lopputiloj ovt ne tilt, joit vstviin välikkeisiin liittyy G:ssä ε-produktio: F = {q A Q A ε P} Konstruktion oikeellisuus voidn jälleen trkst induktioll G:n tuottmien j G :n hyväksymien merkkijonojen pituuden suhteen Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu (käytännössä esiintyvää) muoto 139/ /295
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotAutomaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä
T 79.1001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.3 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest
LisätiedotMutta esimerkiksi 0-kertaisesti pumpattaessa: Siten L ei voi olla säännöllinen.
2.8 Säännöllisten kielten rjoituksist Krdinliteettisyistä on oltv olemss (pljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituv määrä, säännöllisiä lusekkeit vin numeroituvsti. Voidnko löytää konkreettinen,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Lisätiedot2.2 Automaattien minimointi
24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss
LisätiedotT /1002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y
T-791001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet T/Y Hrri Hnpää Tietojenkäsittelyteorin lortorio, TKK Syksy 2007 Hrri Hnpää 1 T 791001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet T/Y Introduction to Theoreticl
LisätiedotT /1002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y
T-791001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet T/Y Hrri Hnpää Tietojenkäsittelyteorin lortorio, TKK Syksy 2006 Hrri Hnpää 1 Luento 0: Aiheen esittely j kurssin käytännöt Luento 1: temttisi peruskäsitteitä;
LisätiedotAiheet. ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria M := Äärelliset automaatit vs. säännölliset lausekkeet. Äärelliset automaatit
Aiheet ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Luento 4: Säännölliset lusekkeet Alto-yliopisto Perustieteiden korkekoulu Tietotekniikn litos Kevät 2016 Säännöllisten lusekkeiden syntksi Säännöllisten lusekkeiden
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
Lisätiedotuv n, v 1, ja uv i w A kaikilla
2.8 Säännöllisten kielten rajoituksista Kardinaliteettisyistä on oltava olemassa (paljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituva määrä, säännöllisiä lausekkeita vain numeroituvasti. Voidaanko
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 5: Säännöllisten kielten pumppauslemma; yhteydettömät kieliopit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Alue ja aiheet: Orposen
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria. Tähän mennessä: säännölliset kielet. Säännöllisten kielten pumppauslemma M :=
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 5: Säännöllisten kielten pumppauslemma; yhteydettömät kieliopit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Alue ja aiheet: Orposen prujun
LisätiedotKertausta: kielet ja automaatit. ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria. Alue ja aiheet. Äärelliset automaatit
Kertust: kielet j utomtit Lskennllisen ongelmn rtkisevi tietokoneohjelmi j -litteit voidn trkstell utomttein ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Luento 2: Äärelliset utomtit Alto-yliopisto Perustieteiden korkekoulu
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016
lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet
LisätiedotQ = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },
T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 2, 18. 22. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Formuloi luennoll (monisteen s. 17) esitetty yksinkertinen khviutomtti täsmällisesti äärellisen
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotAutomaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria)
1.6 Aakkostot, merkkijonot ja kielet Automaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria) 1011 Input Automaton Output Automaatin käsite
Lisätiedot2.5 Säännöllisten kielten rajoituksista
68 2.5 Säännöllisten kielten rjoituksist Minkä thns kkoston formlej kieliä (= päätösongelmi, tunnistusongelmi) on ylinumeroituv määrä kun ts säännöllisiä lusekkeit (= merkkijonoj) on numeroituv määrä Näin
LisätiedotLaskennan perusmallit 2013: Kertausta
Lskennn perusmllit 13: Kertust Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi 8. helmikuut 13 Lähtökoht j trkstelun kohde Lskentongelmt erityisesti
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Valinnaisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluva tutkielma. Lauri Kumpulainen. Büchin automaateista
TAMPEREEN YLIOPISTO Vlinnisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluv tutkielm Luri Kumpulinen Büchin utomteist Luonnontieteiden tiedekunt Tietojenkäsittelytieteiden tutkinto-ohjelm Huhtikuu 2017 Tmpereen
LisätiedotLuento 1: Alue ja tavoitteet. ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria. Tietojenkäsittelyteoria
Luento 1: Alue ja tavoitteet ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 1: Matemaattiset peruskäsitteet ja formaalit kielet Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Orposen prujun
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 1: Matemaattiset peruskäsitteet ja formaalit kielet Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Luento 1: Alue ja tavoitteet Orposen
LisätiedotLaskennan mallit Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58226 Lskennn mllit Erilliskoe 4.2.2, rtkisuj (Jyrki Kivinen). [6+6+3+3 pistettä] () Kieli A koostuu niistä kkoston {, } merkkijonoist, joiss esiintyy osjono. Esitä kielelle A sekä deterministinen äärellinen
LisätiedotArvostelu OHJ Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan syksy op. Viikkoharjoitukset. Materiaali. Kurssista voi selvitä parhaalla mahdollisella
OHJ-300 Johtus tietojenkäsittelyteorin syksy 006 6 op Luennot: prof Tpio Elom j DI Jussi Kujl m, to 6 T B 8 8 3 - työmtkt 6 9 j 6 309 - perioituko 9 3 0 Viikkohrjoitukset 59 Teknyo Timo Aho ti 0 sli T
LisätiedotOutput. Input Automaton
16 Aakkostot, merkkijonot ja kielet Automaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria) 1011 Input Automaton Output Automaatin käsite
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotLaskennan perusmallit (LAP)
Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014
LisätiedotYhteydettömän kieliopin jäsennysongelma
Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelmalla tarkoitetaan laskentaongelmaa Annettu: yhteydetön kielioppi G, merkkijono w Kysymys: päteekö w L(G). Ongelma voidaan periaatteessa
LisätiedotTäydentäviä muistiinpanoja epädeterministisistä äärellisistä automaateista
Täydentäviä muistiinpnoj epädeterministisistä äärellisistä utomteist Antti-Juhni Kijnho 2. mrrsuut 25 NFA Trstelln seurv NFA:t. 2 3 Sen toimint merijonoll voidn esittää päätöspuun: 3 3 2 2 3 3 TIEA24 Automtit
LisätiedotT /2 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y
T-79.1001/2 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y Tietojenkäsittelytieteen laitos, Aalto-yliopisto Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietojenkäsittelytieteen laitos Syksy 2013 T 79.1001/1002
LisätiedotQ on automaatin tilojen äärellinen joukko; Σ on automaatin syöteaakkosto; δ : Q Σ Q on automaatin siirtymäfunktio; q 0 Q on automaatin alkutila;
Q on utomtin tilojen äärellinen joukko; Σ on utomtin syötekkosto; δ : Q Σ Q on utomtin siirtymäfunktio; q Q on utomtin lkutil; F Q on utomtin hyväksyvien tilojen joukko. Siirtymäfunktio δ on määritelmän
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y T /1002
Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y T-79.1001/1002 Pekka Orponen Tietojenkäsittelyteorian laboratorio, TKK Syksy 2005 Luento 0: Aiheen esittely ja kurssin käytännöt Luento 1: Matemaattisia peruskäsitteitä
LisätiedotTestaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin
Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.
LisätiedotRajoittamattomat kieliopit
Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 2: Äärelliset automaatit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Kertausta: kielet ja automaatit Laskennallisen ongelman ratkaisevia
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotOlkoon G = (V,Σ,P,S) yhteydetön kielioppi. Välike A V Σ on tyhjentyvä, jos A. NULL := {A V Σ A ε on G:n produktio};
3.6 Cocke-Younger-Kasami -jäsennysalgoritmi Osittava jäsentäminen on selkeä ja tehokas jäsennysmenetelmä LL(1)-kieliopeille: n merkin mittaisen syötemerkkijonon käsittely sujuu ajassa O(n). LL(1)-kieliopit
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y T /1002
Tietojenkäsittelyteorian perusteet T/Y T-79.1001/1002 Pekka Orponen Tietojenkäsittelyteorian laboratorio, TKK Kevät 2006 Luento 0: Aiheen esittely ja kurssin käytännöt Luento 1: Matemaattisia peruskäsitteitä;
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotPinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. kesäkuuta 2013 Sisällys Aikataulumuutos Tämänpäiväinen demotilaisuus on siirretty maanantaille klo 14:15 (Ag Delta).
LisätiedotKieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.
Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen
LisätiedotT Tietojenkäsittelyteorian perusteet
Luento 0: Aiheen esittely ja kurssin käytännöt Luento 1: Matemaattisia peruskäsitteitä Luento 2: Merkkijonot ja kielet; numeroituvat ja ylinum. joukot Timo Latvala Tietojenkäsittelyteorian laboratorio,
LisätiedotHavaitaan: muuttujan NykyisetTilat arvot kuuluvat potenssijoukkoon P(Q).
Algoritmi SimulteNFA tulkk epädeterministisen lskennn deterministiseksi. Yksittäinen syötemerkki käsitellään (phimmss tpuksess) jss O( Q ). Tästä tulkkuksest päästään eroon kääntämällä lskent deterministiseksi,
LisätiedotLyhyt johdatus joukko-oppiin ja relaatioihin
Lyhyt johtus joukko-oppiin j reltioihin Tommi Syrjänen 1 Johnto Tämän oppn trkoituksen on esittää lyhyt tiivistelmä joukko-opin j reltioien perusteist. Esitys seur pääpiirteissään kirjn Lewis, Ppimitriou:
LisätiedotTäydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista
Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Antti-Juhani Kaijanaho 15. maaliskuuta 2012 1 Apumääritelmä Määritelmä 1. Olkoon Σ merkistö, jolla on olemassa täydellinen järjestys ( ) Σ 2.
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotChomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit
Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
LisätiedotM = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )
6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
LisätiedotS BAB ABA A aas bba B bbs c
T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotLaskennan perusmallit (LAP)
Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, kesä 3 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. toukokuuta 3 Sisällys Äärellisiä automaatteja ON PUSH PUSH OFF Q T J Q C C H S C,Q C,Q 0 40 60 80 00, 70 90 Deterministinen
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3
T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w
LisätiedotPRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista
PRO GRADU -TUTKIELMA Eev Mäkelä Hiloist j Boolen lgeroist TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunt Mtemtiikk Mrrskuu 2017 Tmpereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunt MÄKELÄ, EEVA: Hiloist j Boolen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen
Lisätiedot6.2 Algoritmin määritelmä
6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut
T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 1. Esitä tilakaaviona NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ), missä Q = { q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, Σ = { a, b, c }, F = { q 4 } ja δ on
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. syyskuuta 2016 Sisällys Neuvoja opintoihin tee joka päivä ainakin vähän uskalla mennä epämukavuusalueelle en
Lisätiedot4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi:
T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 12 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: Hyväksyykö annettu Turingin kone
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotAutomaatit. Muodolliset kielet
Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Äärellisiä automaatteja PUSH ON PUSH OFF Q T Q J C C H S C,Q C,Q 0 50s 1e
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotRekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää
Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää S AB CA... A CB...... ja kutsua Derives(S, abcde), niin kutsu Derives(B,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotÄärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi
Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää
LisätiedotPinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
Lisätiedot