SYMMETRIA JA LAATOITUS SciFest-tapahtuman yhteydessä. Matematiikan havainnollistamiskurssin loppuraportti

Transkriptio

1 SYMMETRIA JA LAATOITUS SciFest-tapahtuman yhteydessä suunniteltuja ja testattuja aktiviteetteja Matematiikan havainnollistamiskurssin loppuraportti Emma Bäver, Mirka Jääskeläinen ja Jussi Kotilainen Fysiikan ja matematiikan laitos, Itä-Suomen yliopisto Kevät 2011 Kurssin vastaava opettaja: Martti Pesonen Opettajat: Tiina Komulainen, Eric Lehman, Eric Reyssat Vertaisohjaaja: Jussi Kotilainen TIIVISTELMÄ Tämä raportti esittelee symmetriaan ja laatoitukseen liittyviä tehtäviä ja pelejä, joita voi käyttää esimerkiksi matematiikan opetuksessa, matematiikkakerhoissa tai matematiikan mestariluokkahankkeessa. Kyseiset aktiviteetit on suunniteltu ja testattu SciFest-tiedetapahtuman yhteydessä. Raportissa on mukana myös tehtävien taustalla olevaa teoriaa. Avainsanat: Symmetria, laatoitus, matematiikkakerhot, ongelmanratkaisu, matematiikan tieteenfilosofia

2 SISÄLLYS 1. JOHDANTO TAUSTAA Symmetrian teoriaa Laatoitusten teoriaa SYMMETRIAPELIT Taikapeili Pelin idea Pelin käyttö SciFestissa Pelin käyttö matematiikkakerhossa tai mestariluokalla Hämmästyttävät kuutiot Pelin idea Pelin käyttö SciFestissä Pelin käyttö matematiikkakerhossa tai mestariluokalla LAATOITUKSIIN LIITTYVÄT AKTIVITEETIT Laatoituksia monikulmioilla Käyttö SciFestissä Monikulmiolaatoitusten tekeminen matematiikkakerhossa tai mestariluokalla Penrose-laatoituksia Penrose-laatoitusten teoriaa Penrose-laatoitusten käyttö SciFestissä Penrose-laattojen käyttö matematiikkakerhoissa tai mestariluokkalla Shakkilauta-tehtävä Tehtävän käyttö SciFestissä Tehtävän käyttö matematiikkakerhossa tai mestariluokalla LÄHTEET Liitteet

3 1 1. JOHDANTO Itä-Suomen yliopistossa järjestettiin keväällä 2011 matematiikan havainnollistamista käsittelevä kurssi. Tämän kurssin tarkoituksena oli tutustuttaa opiskelijoita uusiin matemaattisiin käsitteisiin ja ajatuksiin, sekä antaa opiskelijoille tilaisuus suunnitella opittuihin tietoihin ja taitoihin liittyviä konkreettisia havainnollistamisvälineitä sekä tehtäviä ja pelejä. Näitä itse rakenneltuja tuotoksia testattiin sitten huhtikuussa 2011 olleen SciFest-tiedetapahtuman yhteydessä pidetyssä työpajan työpisteissä. Symmetria ja laatoitus työpiste oli kaikille avoin ns. non-stop paja, johon saivat käydä tutustumassa kaiken ikäiset SciFest-tapahtuman vierailijat. Usein ohikulkijoita saatiin vierailemaan pajaan hyvin suoralla markkinoinnilla: raahaamalla paikalle kädestä pitäen. Tämä havaittiin hyvin tehokkaaksi strategiaksi, sillä ilman houkuttelemista (voisiko jopa sanoa käskemistä...) moni olisi vain kävellyt pajan ohi uskaltamatta tulla tutustumaan aktiviteetteihin lähemmin.

4 2 2. TAUSTAA 2.1 Symmetrian teoriaa Symmetria on varmasti kaikille tuttu käsite riippumatta siitä, onko taustalla matematiikan opintoja vai ei. Valtaosa ihmisistä pitää symmetrisiä kuvioita esteettisesti miellyttävinä, ja pyrkimys symmetriaan esiintyy kuvataiteessa ympäri maailmaa nykypäivästä aina alkuperäiskansojen tuotoksiin asti. Lapset osaavat jo hyvinkin nuoressa iässä luokitella esineitä symmetrisiin ja ei-symmetrisiin, vaikka heillä ei olisikaan täsmällistä määritelmää symmetrialle. Mikä sitten on täsmällinen määritelmä symmetrialle? Yleistämisen vuoksi on helpompi puhua pistejoukkojen symmetriasta, sillä se käsittää niin kuvat, esineet kuin epämääräisemmätkin objektit. Symmetrian määritelmää varten tarvitaan pistejoukon lisäksi myös isometrian käsite. Isometria on pistejoukon kuvaus, joka säilyttää jokaisten pisteiden keskinäiset etäisyydet. Siis jos kuvaus f on isometria, ja pisteiden A ja B välinen etäisyys on d, on pisteiden f(a) ja f(b) välinen etäisyys myös d. Jokainen kuva on tason pistejoukko. Voidaan todistaa, että jokaisen tason pistejoukon isometria on jokin seuraavista: 1. Siirto. Jokaista pistettä siirretään samaan suuntaan sama matka. 2. Kierto. Jokaista pistettä kierretään saman kulman verran saman pisteen suhteen. 3. Peilaus. Jokainen piste peilataan saman suoran suhteen. Peilaaminen tarkoittaa sitä, että pistettä siirretään pisteen ja suoran välisen etäisyyden verran kaksinkertainen matka kohtisuorasti suoran suhteen. 4. Liukupeilaus. Jokaista pistettä siirretään saman suoran suuntaisesti, jonka jälkeen jokainen piste peilataan kyseisen suoran suhteen. Piirtämällä erilaisia isometriakuvauksia on helppo havaita, että pistejoukko säilyy olennaisesti samannäköisenä ennen ja jälkeen kuvauksen. Korkeintaan pistejoukon asema tai suunta muuttuu, tai sitten pistejoukko muuttuu peilikuvakseen. Juuri tämä samannäköisenä pysyminen on isometrian ominaisuus, jota tarvitaan symmetrian mää-

5 3 rittelemiseen. Jos pistejoukolle löytyy isometriakuvaus, joka kuvaa pistejoukon itselleen, sanotaan kyseistä joukkoa symmetriseksi (kyseisen kuvauksen suhteen). Jos kuviolla on symmetria siirron (eli translaation) suhteen, puhutaan jaksollisesta kuviosta. Jos kuviolla on symmetria peilauksen suhteen, puhutaan kutsutaan peilaussuoraa symmetria-akseliksi. 2.2 Laatoitusten teoriaa Myös laatoitus on kaikille tuttu käsite. Ensimmäinen mielikuva laatoituksista liittyy todennäköisesti kylpyhuoneen lattian laatoitukseen, katukivetyksien laatoitukseen tai johonkin muuhun vastaavaan. Harva sen sijaan on törmännyt laatoituksiin ja matematiikkaan samassa yhteydessä. Toki matematiikka ulottaa lonkeronsa kaikkialle, mutta miksi silti pitäisi opiskella jotain laatoituksista matematiikan tunneilla? Eikö se kuuluisi ennemmin vaikkapa teknisten töiden tunneille? Asiaan tarkemmin perehdyttäessä yhteys on kuitenkin selvä. Yksinkertaisimmat laatoitukset, joihin jokainen on törmännyt kylpyhuoneissa, koostuvat hyvin perinteisistä matemaattisista objekteista: neliöistä, suorakulmioista tai kuusikulmioista. Jo näiden monikulmioiden esiintyminen viittaa perinteisemmän matematiikan läsnäolemiseen. Ja jos esimerkiksi rikkaan mielikuvituksen omaava remontoija pähkäilee minkä muotoisilla laatoilla kylpyhuoneen lattian voisi peittää perinteisempien laattojen sijaan, saatetaan päästä oivaltavien mutta pohjimmiltaan yksinkertaisten matemaattisten todistusten äärelle. Pelkän kylpyhuoneen laatoituksesta puhumisella ei kuitenkaan pääse vielä kovin pitkälle, vaan tarvitaan täsmällisempää matemaattista määrittelyä. Jos matemaattinen laatoitus määritellään tason päällystämisen sijaan tason jakamiseksi osiin, voidaan turvautua jo valmiiksi olemassa olevaan joukko-opin yms. käsitteistöön. Tätä määrittelyä voidaan täydentää ottamalla mallia reaalimaailmasta: koska lattian laatoitusta ei voida pitää kovin hyvänä, jos kaksi laattaa on mennyt osittain päällekkäin tai jos laattojen väliin on jäänyt aukkoja, otetaan samat kriteerit mukaan täsmälliseen määrittelyyn. Näillä eväillä voidaankin jo antaa laatoituksen täsmällinen määritelmä: laatoitus on yksinkertaisesti jonkin alueen jakamista osiin siten, että nämä osat leikkaavat korkeintaan reunapisteissään ja osien yhdiste on alkuperäinen alue.

6 4 Vaikka laatoitus matematiikassa tarkoittaakin alueen jakamista osiin (eli laattoihin), voi silti olla helpompi säilyttää mielikuva laatoituksesta alueen päällystämisenä. Kysymys voidaanko taso laatoittaa säännöllisillä kuusikulmioilla voidaan ilmaista kahdella tavalla: voidaanko taso peittää kokonaan säännöllisillä kuusikulmioilla ilman että ne menevät päällekkäin ja voidaanko taso jakaa säännöllisen kuusikulmion muotoisiin alueisiin siten, että kuusikulmiot leikkaavat ainoastaan reunapisteissään. 3. SYMMETRIAPELIT 3.1 Taikapeili Pelin idea Tässä pelissä on tarkoitus muodostaa pyydetty kuvio peilin ja kuvakortin avulla. Peli sisältää pienen peilin, ison kuvakortin sekä vinon pinon pikkukortteja, joissa jokaisessa on yksi mallikuva (Kuva 1). Mallikuvat on suunniteltu siten, että ne kaikki ovat symmetrisiä peilauksen suhteen. Lisäksi jokaisen mallikuvan toinen symmetriapuolisko löytyy isosta kuvakortista, joten mallikuva on mahdollista muodostaa asettamalla peili ison kuvakortin päälle siten, että kaikki muu paitsi pyydetyn mallikuvan symmetriapuolisko jäävät peilin taakse piiloon (Kuva 2). Tällöin näkyvissä oleva symmetriapuolisko peilikuvineen muodostaa pyydetyn mallikuvan. Kuva 1: Pelivälineet Peilin käyttö SciFestissa Kuva 2: Mallikuva on muodostettu isosta kuvakortista peilin avulla. Tämä symmetriapeli osoittautui suosituksi. Lähestulkoon kaikki peliä kokeilleet innostuivat sen pelaamisesta. Lisäksi kaikki alakouluikäisistä alkaen tajusivat pelin ide-

7 5 an varsin nopeasti lyhyellä ohjeistuksella (ja viimeistään muiden pelaajien esimerkin avulla). Olimme tehneet myös kirjalliset ohjeet (liitteenä), mutta niitä ei juurikaan tarvittu. Peilejä ja pohjalaattoja oli kolme kappaletta, joten kolme pelaajaa pystyi pelaamaan peliä yhtä aikaa. Annoimme pelaajien kokeilla vapaasti kuvan muodostamista, ja yleisin strategia olikin yrityksen ja erehdyksen kautta. Emme myöskään puhuneet mitään symmetria-akseleista Pelin käyttö matematiikkakerhossa tai mestariluokalla SciFest-tapahtumassa vierailijoille oli tarjolla niin paljon tehtävää ja nähtävää, että he eivät välttämättä malttaneet keskittyä kovinkaan pitkäksi aikaa yhteen aktiviteettiin. Siksi tämänkin pelin idean syvällisempi pohtiminen jäi helposti väliin. Matematiikkakerhoissa ja mestariluokkatunneilla aikaa ja mielenkiintoa löytyy kuitenkin varmasti enemmän. Tällöin voisi esimerkiksi aloittaa pelin pelaamisen pohtimalla mikä tekijä yhdistää kaikkia mallikortteja (symmetria-akselin löytyminen). Ensimmäiset havainnot ovat luultavasti triviaaleja, kuten kaikki kortit ovat samankokoisia tai kaikki kuvat ovat mustavalkoisia. Sopivalla johdattelulla voidaan kuitenkin päästä symmetriahavaintoihin. Ohjaaja voi esimerkiksi kysyä, että onko kuvilla ja peilillä jotain tekemistä keskenään (muutenkin, kuin että niitä käytetään samassa pelissä). Ohjaaja voi myös neuvoa pelaajaa katsomaan, minkälaisia kuvia saa aikaan laittamalla peilin kuvakortin päälle, jolloin tulee luultavasti havainto, että kuva säilyy samanlaisena, kun peilin laittaa symmetria-akselin päälle. Edellä esitetty pohdinta ja havainnot voidaan tehdä myös pelaamisen jälkeen ja katsoa, löytyvätkö kuviot aina helpommin symmetriaominaisuuksia tarkkailemalla. Koska symmetriaan liittyvät käsitteet, kuten symmetria-akseli, ovat monelle entuudestaan tuttuja, voi tämän pelin ottaa ylimääräisenä kevennyksenä ilman varsinaista symmetrian teorian läpikäymistä. Jos symmetrian opiskelu kuitenkin kuuluu kerhon tai mestariluokkaopetuksen sisältöön, voi peliä käyttää opetuksessa useallakin tavalla. Pelissä olevia kortteja voi käyttää jo symmetriakäsitteeseen orientoitumisvaiheessa tekemällä korteista havaintoja edellä kuvatulla tavalla. Myös itse symmetriapeliä voi pelata jo orientaatiovaiheessa. Tai sitten symmetriapelin voi ottaa esille varsinaisen symmetrian määrittelyn jälkeen, jolloin se toimii käsitteenmuodostamisprosessissa tunnistamisvaiheen tehtävänä.

8 6 3.2 Hämmästyttävät kuutiot Pelin idea Tämän pelin idea on hyvin samankaltainen kuin edellä esitellyn symmetriapelin. Pelivälineinä on alusta, jossa on peili sekä kaksi kuutiota. Molemmat kuutiot ovat samanlaisia, ja jokaisella kuution tahkolla on erilainen kuvio kuin kuution muilla tahkoilla. Lisäksi pelissä on kuvakortteja, joissa olevia kuvia yritetään muodostaa asettamalla kuutiot peiliä vasten sopivalla tavalla. Kuvakorttien kuvat sisältävät edellisen pelin kuvien tapaan symmetria-akselin peilauksen suhteen, joten kyseisen kuvan sai aikaiseksi muodostamalla kuvan toisen symmetriapuoliskon kuutioilla peilin viereen. Kuva 3: Mallikuva on muodostettu kuutioista peilin avulla Pelin käyttö SciFestissä Koska pelialustassa on kaksi peiliä vastakkaisella puolella, ja peli sisältää yhteensä neljä kuutiota, saattoi peliä pelata kaksi pelaajaa samanaikaisesti. Ja koska toista symmetriapeliä pystyi pelaamaan samanaikaisesti kolme henkilöä, oli näiden pelien avulla mahdollista järjestää tekemistä jopa viiden hengen porukalle yhtä aikaa. Tätä tulikin hyödynnettyä, ja pajaan houkuteltiin aina myös vähän isompiakin ohi kulkevia ryhmiä. Mystiset kuutiot osoittautui Taikapeiliä vaikeammaksi symmetriapeliksi. Useammatkin pelaajat pyörittelivät aluksi kuutioita aivan satunnaisesti, eikä kaikille ollut ilmeisesti aina oikein selvää, miten pyydetyn kuvan tulisi muodostua näkyviin. Silti monet yrittivät kuitenkin innokkaasti ja sitkeästi. Monille ensimmäisen kuvan aikaan saaminen valaisi pelin idean, ja tämän jälkeen kuvien muodostaminen olikin helpompaa. Toisille taas tästäkään ei ollut apua. Kokeilimme tällöin ohjeistaa pelaajia kertomalla suoraan, mikä on kuvan muodostumisen idea. Esittelimme mallikuvasta symmetria-

9 7 akselin käyttämällä Taikapeilistä lainattuja peilejä, peitimme symmetria-akselin toisen puolen mallikuvasta ja neuvoimme muodostamaan tämän kuvan puolikkaan kuutioiden avulla. Kokeilimme myös peittää tästä kuvasta puolet, ja neuvoimme etsimään kuutiosta sen tahkon, joka vastasi tätä mallikuvan neljännesosaa, ja tämän jälkeen etsimään toista neljännesosaa vastaavan kuution tahkon. Tästä ei kuitenkaan tuntunut olevan pelin varsinaisen idean hahmottamiseen apua. Ilmeisesti tässä tapauksessa tehtävä pureskeltiin pelaajan puolesta valmiiksi liian pieniin osiin. Pienistä vaikeuksista huolimatta tämäkin peli osoittautui varsin suosituksi SciFestvierailijoiden keskuudessa Pelin käyttö matematiikkakerhossa tai mestariluokalla Hämmästyttäviä kuutioita voi käyttää opetustarkoituksessa hyvin samantyylisesti kuin Taikapeliäkin. Eräs merkittävä lisä Hämmästyttävien kuutioiden mallikorteissa kuitenkin on: toisissa korteissa on kaksi symmetria-akselia ja toisissa vain yksi (KUVA: kumpaankin korttiin merkitty taas symmetria-akselit katkoviivalla). Jos tämän symmetriapelin kortteja käyttää opetukseen käsitteenmuodostusprosessin orientaatiovaiheessa, voi yrittää johdatella oppilaita tekemään tämän havainnon. Tämän voisi tehdä esimerkiksi siten, että erittelee muutaman kortin kahteen pinoon sen perusteella, onko niissä yksi vai kaksi symmetria-akselia, ja kysyy oppilaalta, keksiikö hän, millä perusteella kortit on lajiteltu eri pinoihin. Symmetria-akselien määrä tulee myös peliä pelatessa vastaan, sillä kahden symmetria-akselin kuvia voi kokeilla muodostaa kahdella tavalla. Sen sijaan yhden symmetria-akselin omaavissa korteissa onkin oltava tarkkana, että kuvaa yrittää muodostaa peilin ja kuutioiden avulla oikein päin. 4. LAATOITUKSIIN LIITTYVÄT AKTIVITEETIT 4.1 Laatoituksia monikulmioilla Monikulmiolaatoituksien valmistamiseen tarvitaan luonnollisesti monikulmioita. Pajallamme oli käytössä pari purkillista muovisia erivärisiä monikulmioita, jotka olivat kolmioita, nelikulmioita ja kuusikulmiota. Kaikkien monikulmioiden sivut olivat keskenään yhtä pitkät, joten niiden yhdisteleminen sujui vaivatta.

10 Käyttö SciFestissä Pajassamme oli kaksi monikulmiolaattoihin liittyvää tehtävää. Muovisten monikulmioiden mukana tuli mallikuvia eläinhahmoista, kasveista ja liikennevälineistä, jotka pystyi tekemään muovipalikoiden avulla. Toinen aktiviteetti, jota sanoimme Erilaiseksi palapeliksi, oli näiden mallikuvien muodostaminen palikoiden avulla. Kuva 4: Muovipalikat ja mallikuva Toinen aktiviteetti oli puolestaan varsinaisten laatoitusten tekeminen. Tehtävänanto oli avoin, ja kyseessä olikin dialektinen ongelma. Tehtävässä oli kolme vaihetta. Ensimmäisenä piti vain rakentaa hienon näköinen laatoitus monikulmioita käyttäen. Toisessa vaiheessa piti rakentaa laatoitus, mutta vain yhdenmuotoisia monikulmioita käyttäen. Kolmannessa vaiheessa piti yrittää rakentaa laatoitus säännöllisistä 5-, 7- ja 8-kulmioista. Tavoitteena oli, että laatoituksien rakentamista yrittänyt tekisi havaintoja siitä, milloin laatoitus onnistuu ja milloin ei. Tämän jälkeen havaintoja olisi voitu koettaa perustella ohjaajan johdolla. Avoimen ongelmanasettelun sisältävät tehtävät eivät kuitenkaan tuntuneet sopivan kovin hyvin non-stop pajaan, sillä ihmiset ratkoivat mieluiten ongelmia, jotka eivät vieneet kauhean kauan, ja joihin oli olemassa oikeat ja yksikäsitteiset ratkaisut. Kerhoihin tai mestariluokkatunneille avoimet ongelmat sopivat varmasti paremmin, sillä kerholaiset ja mestariluokkalaiset jaksavat syventyä ongelman pariin ja malttavat käyttää siihen enemmän aikaa, kun ympärillä ei ole kaikkea muuta tehtävää ja nähtävää sekä hulinaa tiedefestivaalin tapaan. Lisäksi meillä oli käytössämme kolmiopeili, jonka avulla pystyi havainnollistamaan tason laatoituksen (Kuva 5) jatkumista äärettömyyteen (Kuva 6).

11 9 Kuva 5: Laatoitus Kuva 6: Kolmiopeilin avulla syntynyt kuva Monikulmiolaatoitusten tekeminen matematiikkakerhossa tai mestariluokalla Eläinhahmojen yms. kuvien jäljentäminen mallista laattojen avulla voisi sopia hyvin matematiikkakerhojen (ja miksei mestariluokankin) välipalaksi. Kunnollista matemaattista opetustarkoitusta tälle aktiviteetille on kuitenkin vaikeampi keksiä. Sen sijaan varsinaisten laatoitusten tekeminen voi johdattaa mielenkiintoisten havaintojen ja todistusten äärelle. Tarvittavat matemaattiset tiedot, kuten monikulmioiden kulmien suuruudet, voivat löytyä jo alakoululaiseltakin. Monikulmiolaatoituksiin voitaisiin perehtyä samanlaisten dialektisten ongelmien kautta kuin SciFest-tapahtumassakin: tehtävänäsi on rakentaa kylpyhuoneen laatoitus käyttämällä purkissa olevia laattoja. Miten rakentaisit mahdollisimman hienon laatoituksen? Entä minkälaisen laatoituksen saat aikaan, jos käytettävänä onkin vain yhden muotoisia laattoja? Ensimmäisen ongelman tavoitteena on, että laatoitusten tekijä tulee tutuksi koko idean kanssa ja havaitsee, että laatoituksien tekeminen edellyttää yleensä monikulmion kulmien yhdistämistä. Tämä havainto on hyvin oleellinen jatkoa ajatellen. Toisessa ongelmassa on tarkoitus synnyttää laatoitusten tekijälle havainto, mitkä kaikki vain yhden muotoisia laattoja sisältävät laatoitukset ovat mahdollisia. Näitähän ovat ainakin kaikki keskenään kongruenteista kolmioista koostuvat laatoitukset, keskenään kongruenteista nelikulmioista muodostuvat laatoitukset sekä säännöllisistä kuusikulmioista koostuvat laatoitukset. SciFest-tapahtumaa ja matematiikkakerhoja varten hankitut muoviset laatat koostuivat juuri tällaisista paloista.

12 10 Kolmannessa ongelmassa laatoitusten tekijälle annetaan tarkoituksella laattoja, joista ei saa aikaiseksi laatoituksia. Näitä ovat esimerkiksi säännölliset 5-, 7- tai 8-kulmiot (voidaan itse asiassa todistaa, että mikään kupera monikulmio, jossa on kulmia 7 tai enemmän, ei voi olla ainoan mallinen laatta laatoituksessa). Tavoitteena on saada aikaiseksi loogis-kognitiivinen ristiriita: laatoitusten tekijä yllättyy, kun laatoittaminen ei enää onnistukaan. Jos tämä ristiriita tulee hyvin voimakkaana, eli laatoittaja yllättyy ihan tosissaan, motivoi se varmasti etsimään laatoituksen epäonnistumisen syitä. Todennäköisesti ensimmäiset perustelut sille, miksi laatoitus ei enää onnistu, on luokkaa tähän väliin ei mahdu enää laattaa. Tällainen perustelu olisi aika hyvä lähtökohta. Se pitäisi vain saada muokattua oikeiden kysymysten avulla muotoon, jossa osataan perustella laatan väliin mahtumattomuus monikulmioiden kulmien suuruuksien avulla. Näitä kysymyksiä voisivat olla miten tilanne eroaa neliölaatoituksista? Entä kolmiolaatoituksista? tai miksi neliö- ja kolmiolaatoituksissa laatta mahtui väliin?. Jotta ohjaaja voisi esittää näitä kysymyksiä, on laatoittajan täytynyt tehdä kolmio ja neliölaatoituksia ja havaita niiden onnistuvan (tämähän oli toisen ongelman tarkoitus). Pikkuhiljaa laatoitusten tekijän tulisi päästä johtopäätökseen, että laatoitus on mahdollinen, jos monikulmiosta löytyy sellaiset kulmat, joiden summa on 180 tai 360 astetta, kuten on kolmioiden ja nelikulmioiden mutta ei säännöllisten 5-, 7- tai 8-kulmioiden tapauksessa.

13 Penrose-laatoituksia Penrose-laatoitusten teoriaa Penrose-laatat ovat matemaatikko Roger Penrosen kehittämiä laattoja, joilla on mahdollista rakentaa ainoastaan jaksottomia laatoituksia. Jaksottomuushan tarkoitti sitä, että laatoituksella ei ole symmetriaa translaation suhteen. Penrose-laattoja on muutama erilainen ryhmä, joista tunnetuimmat ovat Penrose-suunnikkaat sekä leija- ja nuolilaatat (leija- ja nuolilaatat kuuluvat siis samaan ryhmään) (Kuva 7). Kumpaankin ryhmään liittyy myös yhdistämissäännöt, jotka takaavat laatoitusten jaksottomuuden. Väistämättömän jaksottomuuden lisäksi Penrose-laattoihin liittyy myös muita mielenkiintoisia ominaisuuksia. Kuva 7: Leija- ja nuolilaatat (vas.) ja suunnikkaat Penrose-laatoitusten käyttö SciFestissä SciFest-pajassamme oli värillisestä paperista valmistettuja laminoituja Penroselaattoja, joilla laatoitusten tekemistä sai kokeilla. Valittavana oli sekä suunnikkaat että leija- ja nuolilaatat, joskin jälkimmäiset jäivät vähemmälle huomiolle. Suunnikaslaattoja oli valittavana myös vähän suuremmassa koossa, ja niille olikin varattu oma pöytänsä, jossa laatoittajan taitojaan sai käydä testaamassa (Kuva 8). Monet kokeilijat huomasivatkin, että laatoitusta tehtäessä saa olla tarkkana, sillä asettelemalla laattoja sattumanvaraisesti voi tulla tilanteeseen, jossa yhdistämissäännöt estävät laatoituksen jatkamisen pitemmälle.

14 12 Kuva 8: Penrosen suunnikaslaatoitus Penrose-laattojen käyttö matematiikkakerhoissa tai mestariluokkalla Jos Penrose-laatoituksia haluaa tehdä kerhoissa tai mestariluokilla, kannattaa ne jättää ehkä siihen vaiheeseen, kun laatoituksia on tehty jo monikulmioilla. Toisaalta laatoitusten tekeminen yhdistämissääntöjen mukaan on hauskaa puuhaa, varsinkin jos laattoja on käytettävissä reilusti, joten Penrose-laatoitusten tekemisen voi ottaa myös ylimääräiseksi välipalaksi. Varsinaista opetuksellista näkökulmaa voi kokeilla saada irti seuraavilla keinoilla: Jaksottomuuden havaitseminen: oppilaille annetaan laatat, mutta ei mainita mitään yhdistämissäännöistä. Jos joku kysyy mitä laatoissa olevat pisteet (tai mitkä nyt sitten ovatkin yhdistämissääntöjä varten tehdyt merkinnät) tarkoittavat, kannattaa vain sanoa jotain ympäripyöreää, kuten se selviää sitten myöhemmin tai liekö tulostusvirhe. Oppilaiden tehtävänä on muodostaa erilaisia laatoituksia. Kun laatoitussääntöjä ei huomioida, on lopputuloksena todennäköisesti myös jaksollisia laatoituksia. Jos laattoja on käytettävissä tarpeeksi paljon, kannattaa säilyttää nämä laatoitukset. Seuraava tehtävä on muodostaa laatoituksia huomioiden yhdistämissäännöt. Kun oppilaat saavat valmista aikaiseksi, voidaan heiltä kysyä esimerkiksi mitä eroja havaitsette viimeisimmässä laatoituksessa ja aiemmin valmistamissanne.

15 Shakkilauta-tehtävä Shakkilauta-tehtävä sisälsi shakkilaudan sekä 32 dominolaattaa (Kuva 9). Tavoitteena oli laatoittaa shakkilauta dominolaatoilla. Tämä on varsin helppoa, mutta kun shakkilaudasta otetaan kaksi ruutua pois, tilanne muuttuu mielenkiintoiseksi. Jos lukija ei ole tähän ongelmaan vielä törmännyt, kannattaa kokeilla sen ratkaisemista ennen kuin jatkaa lukemista eteen päin. Siis: onko mahdollista laatoittaa shakkilauta, jonka vastakkaiset kulmat on poistettu, 31 dominolaatalla? Kuva 9: Shakkilauta ja dominolaatat Tehtävän käyttö SciFestissä Annoimme vierailijoille ensimmäiseksi tehtäväksi päällystää shakkilaudan dominolaatoilla. Kaikki suoriutuivat tästä tehtävästä varsin pian, ja pitivät sitä liian helppona. Seuraavaksi otimme pois ruudut shakkilaudan kulmista, kummatkin samalta sivulta, ja tehtävä säilyi muuten samana. Tämäkin haaste osoittautui kohtalaisen helpoksi. Seuraavaksi tehtävä muuttui siten, että shakkilaudalta oli poistettu kaksi ruutua, mutta vastakkaisista kulmista. Nyt tehtävään olikin jo huomattavasti vaikeampi keksiä ratkaisua. Sopivasti johdattelevien kysymysten avulla tehtävän ratkaisijat tekivät aina oikean havainnon, ja keksivät vielä pitävän perustelunkin sille. Tehtävän ratkaisu on seuraava: shakkilautaa, josta on poistettu kaksi samanväristä ruutua, ei ole mahdollista laatoittaa dominopaloilla. Koska yksi dominopala peittää aina yhden mustan ja yhden valkoisen ruudun, voidaan shakkilauta peittää ainoastaan siten, että mustia ja valkoisia ruutuja on peitetty yhtä paljon. Mutta jos laudalta on poistettu kaksi valkoista ruutua, on mustia ruutuja kaksi enemmän, ja näin ollen laudalle jää aina kaksi peittämätöntä mustaa ruutua.

16 14 Tämä tehtävä oli varsinainen menestys. Lähes jokainen sen ratkaisemista yrittänyt kokeili erilaisia laatoitusvaihtoehtoja innokkaasti. Myös ratkaisun miettiminen ja perustelun esittäminen onnistui kaikilta aina alakouluikäisistä vanhempiin vierailijoihin asti, kunhan ohjaaja vain esitti tarpeeksi paljon johdattelevia kysymyksiä Tehtävän käyttö matematiikkakerhossa tai mestariluokalla Tämä tehtävä on varsinainen helmi. Se on varsin yksinkertainen eikä oikeastaan edes vaikuta matemaattiselta, joten se ei herätä ennakkoluuloja matematiikkaallergistenkaan keskuudessa. Sitä voi yrittää ratkaista alakouluikäisetkin ilman kummempia matemaattisia valmiuksia, mutta silti tämän tehtävän avulla voidaan harjoittaa ja demonstroida ainakin seuraavia matematiikkaan liittyviä asioita: havaintojen tekeminen, lauseiden keksiminen, lauseiden todistaminen ja matemaattisen todistamisen luonne sekä matematiikan ero luonnontieteisiin. Havaintojen tekeminen: kun pelaajien on annettu ensiksi tehdä muutama onnistunut laatoitus, ja tämän jälkeen poistetaan kaksi samanväristä laattaa, he tekevät todennäköisesti havainnon, että tehtävä vaikuttaa mahdottomalta. Tässä vaiheessa monet tuskin kuitenkaan hoksaavat, että mikä on laatoituksen onnistumattomuuden varsinainen syy. Ohjaajan kannattaa antaa muutamia lisätehtäviä vaihtelemalla aina sopivasti poistettujen ruutujen paikkaa, jolloin yleensä päästään tavoiteltuun hypoteesiin; laatoitus ei onnistu jos poistetut ruudut ovat samanvärisiä. Lauseiden keksiminen: havaintojen tekeminen on vahvassa yhteydessä lauseiden keksimiseen. Kun tehty havainto ilmaistaan täsmällisesti, se muuttuu lauseeksi. Tässä tapauksessa lause voisi kuulua vaikkapa seuraavasti: shakkilaudan laatoittaminen dominopaloilla ei onnistu, jos shakkilaudasta on poistettu kaksi samanväristä ruutua. Ohjaajan ei kuitenkaan kannata itse antaa lausetta, vaan kertoa pelaajille, miksi havainto kannattaa ilmaista täsmällisesti, ja antaa heidän hoitaa lauseen muotoileminen. Lauseiden todistaminen: matematiikassa lauseen keksimistä ja esittämistä seuraa aina lauseen todistaminen. Tässä tapauksessa hyväksi havaittuja kysymyksiä lauseen todistuksen keksimiseksi olivat mm. minkälaisia ruutuja yksi dominolaatta aina peittää?, montako mustaa ja montako valkoista ruutua shakkilaudassa aina on? ja montako mustaa ruutua ja montako valkoista ruutua jää jäljelle, kun kaksi mustaa ruutua poiste-

17 15 taan?. Näitä tai muitakaan kysymyksiä ei pidä esittää kuitenkaan turhan nopeasti, vaan aina sitä mukaa, kun huomaa ettei lauseen keksijältä tule enää omia ideoita tai hän alkaa vaikuttaa vähän turhautuneelta. Kun lauseen todistus on keksitty, voi ohjaaja perustella, miksi todistuksen selkeä ja täsmällinen kirjoittaminen on tärkeää, ja pyytää todistuksen keksijää kirjoittamaan todistuksensa ylös. Matemaattisen todistamisen luonne: kun lause on löydetty ja todistettu, voi ohjaaja mainostaa sen pitävyyttä ja erinomaisuutta (tämä kohottaa varmasti pelaajan, joka juuri on keksinyt itse lauseen, itsetuntoa). Ohjaaja voi kertoa, että koska todistus on selvästi pitävä ja looginen, voidaan olla absoluuttisen varmoja, ettei laatoitus onnistu jos shakkilaudasta on poistettu kaksi samanväristä ruutua. Matematiikassa varma on aina varmaa. Tätä voi havainnollistaa lupaamalla suuren rahapalkkion sille, joka onnistuu laatoittamaan shakkilaudan, jonka valkoiset kulmapalat on poistettu. Oppilaat/kerholaiset ymmärtävät varmasti vitsin idean, eli on helppo luvata palkkio, jos tietää ettei sitä 100 % varmuudella tarvitse maksaa. Matematiikan ero luonnontieteisiin: jos ohjaaja on kieroutunut luonne, hän voi tässä vaiheessa ruveta ylistämään matematiikan paremmuutta luonnontieteisiin verrattuna. Matematiikassa varma on aina varmaa, mutta luonnontieteissä mikään ei ole absoluuttisen varmaa. Luonnontieteilijä voi tehdä vain oletuksia ja johtopäätöksiä toistuvien havaintojen ja mittausten pohjalta, mutta varsinainen asian varmaksi todistaminen ei luonnontieteissä onnistu. Shakkilautatehtävässä luonnontieteiden menetelmä olisi tehdä mahdollisimman monta yritystä laatoittaa shakkilauta, ja jos mikään yrityksistä ei onnistu, vetää johtopäätös ettei laatoittaminen ole mahdollista. Tämä johtopäätös ei kuitenkaan ole mitään matemaattisen todistuksen avulla saadun absoluuttisen varmuuden rinnalla. LIITTEET Kirjalliset työohjeet SciFest-työpistettä varten

18 Taikapeili Etsi pienemmässä kortissa oleva kuva asettamalla peili isomman kortin päälle sopivasti.

19 Erilainen palapeli Muodosta purkissa olevilla palikoilla kortissa näkyvä kuvio. Huom. Kortit ja palikat eivät ole samassa mittakaavassa.

20 Hämmästyttävät kuutiot Muodosta peilin ja palikoiden avulla kortissa näkyvä kuvio. Voit kilpailla kaverin kanssa, kumpi on nopeampi muodostamaan kuvioita. Tai sitten voit kokeilla itseksesi, kuinka monta kuviota saat muodostettua ennen kuin tiimalasin hiekka on valunut.

21 Penrose-laatoitus 1. Kokeile saatko aseteltua laatat (joko siniset ja keltaiset TAI punaiset ja vaaleat) siten, että laatat ovat vieretysten, eikä niiden väliin jää aukkoja. 2. Entä saatko aseteltua laatat siten, että samanlaiset merkit tulevat kohdakkain? Eroaako näin syntynyt kuvio 1-kohdassa muodostamastasi kuviosta?

22 Salaperäinen shakkilauta Saatko peitettyä shakkilaudan 32 dominolaatalla? Entä jos shakkilaudasta on poistettu vastakkaiset kulmat? Shakkilauta, josta on poistettu vastakkaiset kulmat

23 Kylpyhuoneen laatoitus 1. Herra Hakkarainen haluaa laatoittaa kylpyhuoneen lattian. Keksitkö mahdollisimman värikkään ja hienon laatoituksen purkissa olevista palikoista? 2. Rouva Hakkarainen on kuitenkin tarkka ja haluaa, että lattialaatat ovat kaikki samanvärisiä. Keksitkö rouvaa miellyttävän laatoituksen? 3. Hakkaraisten tyttärellä on myös muutamia ideoita. Saisitko hänen keksimistä laatoista laatoituksia aikaiseksi? (Nämä laatat löytyvät muovitaskusta)