Tehtäväkohtaisia havaintoja. Tehtävä 1. Kuinka suuri on kellon viisarien välinen kulma, kun kello on a) 8.00 b) 12.45

Transkriptio

1 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointia vuodelta 2010 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Kuinka sopiva peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tehtäväsarjan vaikeustaso on? Minkätyyppisiä tehtäviä opiskelijat osaavat ratkaista? Mikä heitä kiinnostaa eniten? Mitkä ovat tyypilliset virheet, jotka estävät opiskelijoita pääsemästä hyvään tulokseen? Kilpailun antama kuva siitä, mikä on helppoa ja mikä vaikeaa opiskelijoille, voi poiketa oppitunnin antamasta. Siitä voi kuitenkin olla apua opettajan omassa koulutyössä. Alkukilpailusta lähetettiin työryhmälle noin 750 opiskelijan työt. Tuomaristo kävi arvostelun yhtenäistämisen takia läpi vajaat puolet näistä noin sadan parhaan listan laatimiseksi. Ne osoittavat opettajien tehneen arviointityönsä tunnollisesti pisteitysohjeen mukaan, joten muidenkin papereiden voidaan uskoa antavan totuudenmukaista kuvaa. Tehtäväsarja pyritään järjestämään vaikeustason ja tehtävän vaatiman työmäärän mukaan. Kaikki sarjan tehtävät valittu niin, että laskimen ei ole välttämätöntä, siksi päätettiin kieltää se kokonaan. Tehtävät on nähtävissä verkossa [1]. Päätettiin analysoida 500 työtä. Se on riittävä otos edellisen vuoden perusteella arvioiden. Työryhmälle lähetetyissä töissä pistemäärät vaihtelivat 10 ja 45 pisteen välillä, maksimina 48. On luonnollista, että oppilaat tutustuvat tehtäviin siinä järjestyksessä kuin ne on esitetty. Tehtäviä on paljon aikaan nähden, joten kaikkia tehtäviä kaikki eivät ehdi tekemään. Voisi siis olettaa, että joukossa on paljon oppilaita, jotka eivät ole edes yrittäneet viimeisiä tehtäviä tai valitsevat niistä helpoimmat. Tehtävien houkuttavuusjärjestys on 1,2,5,6,7,3,8,4; kriteerinä se, kuinka moni opiskelija oli yrittänyt tehtävää. Tehtävät 3 ja 4 siirtyivät omilta paikoiltaan vaikeampaan suuntaan. Helppousjärjestys vastaavasti 2,6,1,5,3,8,7,4 kriteerinä tehtävän keskiarvo. Arvioiduista paperista oli 38 % tyttöjen ja 52 % poikien työtä. Koulujen tasolla ei siis ole suurta eroa parhaiden osalta. Keskimäärin pojat pärjäävät 1,1 (vain!) pistettä paremmin. Keskimäärin tehtävittäin ero on alle 0,25 pistettä. Suurin ero 0,8 pistettä on tehtävässä 3. Tehtäväkohtaisia havaintoja Tehtävä 1. Kuinka suuri on kellon viisarien välinen kulma, kun kello on a) 8.00 b) Näyttää helpoimmalta, vain yksi opiskelija ei yrittänyt tehdä. Tästä näkökulmasta 1 on oikea paikka. Mutta keskiarvoltaan se sai vain 3. sijan. A-kohta oli useimmilla oikein. Vain alle 20 % teki sen väärin. B-kohta askarrutti enemmän. Yleisin virheellinen vastaus oli 120 tai 90. Oli siis unohdettu, että molemmat viisarit ovat jatkuvassa liikkeessä. Jotkut mainitsevat alle 120 Onko digitaalisen ajan vaikutusta se, että viisarikello muuttuu kummalliseksi?

2 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % ei yrittänyt 10 % 0 % Tehtävä 2. Koululaisten harrastuksia tutkittiin. Viidenkymmenen koululaisen joukosta 33 koululaista harrasti jääkiekkoa 24 koululaista harrasti sählyä 8 koululaista ei harrastanut jääkiekkoa eikä sählyä. Kuinka monta koululaista harrasti sekä jääkiekkoa että sählyä? Tässä sarjassa helpoin tehtävä. 75% oppilaista pärjää erinomaisesti, mikä ei ihmetytä, koska jo tokaluokkalaiset osaisivat tämän hyvin. Tehtävän toinen rooli on muodostaa myös heikoille opiskelijoille osaan jotain matematiikassa -mielikuvaa. Tehtävä 3. Kahdestatoista pienestä neliöstä voidaan muodostaa kolme suorakulmiota. Kuinka monta suorakulmiota voidaan muodostaa 196 pienestä neliöstä? Ilmoita suorakulmioiden mitat. Aika monet ymmärtävät tehtävän, mutta jostain syystä he osaavat jakaa 196 vain 1:llä, 2:lla ja 4:llä. Tässä tehtävässä pojilla oli vähän etua 0,8 pistettä. Ero on pieni, eikä kannata tutkia sen syytä. Yleisin pistemenetys: unohdettu jakaminen 7:lla tai 14:lla. Tehtävä 4. Kuinka monta yhteistä pistettä kolmion ja nelikulmion reunaviivoilla voi olla? Piirrä mallikuva jokaisesta tapauksesta.

3 Tehtävä 4 paljasti mielenkiintoisia havaintoja monen yhdeksäsluokkalaisen osaamisesta, esimerkiksi ei ole käsitystä siitä, mikä on piste janalla on vain kaksi pistettä: päätepisteet nelikulmion sijaan käytetty jopa ympyrää toiset keksivat vain leikkaustapauksia, kun toiset vain kosketustapauksia. Yli 20 % ei edes yrittänyt. ja 10 % yrittäneistä vain eivät ansainneet yhtään pistettä. Ennakkoon arveltiin, että osa kilpailijoista unohtaisi kuperan nelikulmion, muttei se ollut päävirheenä. Hieno tehtävä. Suositellaan tehtävän jatkuvaa käyttöä matematiikan tunneilla. Esimerkiksi, kertaustunneilla. Se auttaa paljastamaan opiskelijoiden väärinkäsityksiä ja korjaamaan niitä mahdollisimman pian. Tehtävä 5. Viime keväänä islantilainen tulivuori sekoitti Euroopan lentoliikenteen. Tuhkaa nousi ilmaan noin sata miljoonaa kuutiometriä. a) Kuvitellaan tuhka 2 metriä paksuksi kerrokseksi moottoritielle. Tien leveys on 50 metriä. Kuinka monta kilometriä pitkälle matkalle tuhkaa riittäisi? b) Euroopan maa-ala on noin 10 miljoonaa neliökilometriä. Kuinka paksu tuhkakerros olisi, jos tuhka olisi levinnyt tasaisesti tälle alueelle? Ilmoita vastaus millimetreinä. c) Maailman suurimmat konttialukset kuljettavat noin konttia kerrallaan. Kolmeen konttiin mahtuu yhteensä 100 kuutiometriä tavaraa. Kuinka monta tällaista laivaa olisi tarvittu tuhkamäärän kuljettamiseksi Islannista? Harva kilpailija jätti ajankohtaisen tulivuoritehtävän yrittämättä. Ainakin a-kohta onnistui monelta, osa kompastui b-kohdassa. Yleisin virhe: kymmenpotenssit ja vastaavat laskut ovat väärin. Tehtävä 6. Kolme vaeltajaa kulkee samaa kolmionmuotoista reittiä. Anna ja Bella kävelevät samalla vauhdilla, mutta Claran vauhti on kaksi kertaa niin suuri kuin heidän. Anna ja Bella lähtevät lähteen luota kello 10 vastakkaisiin suuntiin. Clara lähtee vanhan tammen luota kello 11 samalla hetkellä, kun Anna ohittaa tammen ensimmäistä kertaa. Milloin Clara ja Bella kohtaavat ensi kerran? Taas helppo tehtävä. Kuitenkin vasta kuudes houkuttavuusjärjestyksessä, ilmeisesti pitkän tekstinsä takia. Ehkä aliarvioimme opiskelijoiden osaamista: yli 50 % teki sen mainiosti. Yleisin pistemenetys: selityksen puute tai unohdettu kellonaika.

4 Tehtävä 7. Lähde kohdasta a. Kulje nuolten suuntaan. Tee merkitty laskutoimitus tai jatka ehdon määräämään suuntaan. a) Mikä luku on x, jos a = 6? b) Mikä luku on x, jos a = 1/9? c) Mitkä positiiviset luvut a antavat kaikki saman tuloksen x? Uusi tehtävätyyppi. Idea on ymmäretty oikein. Neliöjuuri sekaluvusta aiheutti ongelmia. Myös abstrakti kohta c jäi monelta yrittämättä. Seuraava taso: ehdotettu kokonaislukua 3 ja 8 välillä. En löytänyt papereita, joista näkyisi selvästi, että myös desimaaliluvut kelpaavat. Jossain töissä on kokeiltu muutamaa kokonaislukua ja vastaus annettu muodossa 3 a 8, mutta ei mainittu, onko a kokonaisluku vai reaaliluku. Omat opettajat antoivat 6 pistettä, mutta se ei ole täydellinen vastaus. Otetaan se huomioon jatkossa niin, että mikäli joskus löytyy vastaava tehtävä, niin annetaan täsmällisemmät pisteytysohjeet. Tehtävä 8. Verohallinnon verkkosivulla oli seuraava ohje arvonlisäveron laskemiseksi tuotteen verollisesta hinnasta: " Tuotteen hintaan sisältyvä arvonlisäveron määrä selviää käyttämällä laskukaavaa: verollinen hinta x sovellettava verokanta/100 + sovellettava verokanta. Esimerkki: Tuotteen verollinen hinta on euroa ja siihen sovelletaan normaalia 22 %:n verokantaa. Vero saadaan laskemalla x 22/122 = 901,64 euroa. Tuotteen veroton hinta on ,64 = 4 098,36 euroa." a) Kirjoita lihavoitu ohje yhtälönmuotoisena laskukaavana käyttäen seuraavia muuttujannimiä: a = arvonlisävero v = verollinen hinta k = sovellettava verokanta. b) Mikä on veron suuruus täsmälleen ohjeen mukaan laskettuna? c) Kirjoita edellä kirjoittamasi kaava sillä tavalla korjattuna, että siitä saadaan arvonlisäverolle esimerkissä ilmoitettu oikea tulos. A-kohta näyttää helpolta. Yli 50 prosenttia pärjää tässä hyvin. Jotkut menettivät pisteet, kun kirjoittivat kaavan oikein eivätkä täsmälleen tehtävätekstin lihavoidun ohjeen mukaisesti. Yhteenvetoa Tytöt pärjäävät yhtä hyvin kuin pojat. Eniten virheitä aiheuttivat murtoluvut, sulkeiden avaaminen, kymmenen potenssit, negatiivisen lukujen laskutoimitukset ja luvun jakaminen alkutekijöihin.

5 [1] Peruskoulun matematiikkakilpailun tehtävät kilpailukaudelta > kilpailutehtäviä.