Radioastronomian harjoitustyö
|
|
- Karoliina Heino
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Radioastronomian harjoitustyö SPEKTRIVIIVA-ANALYYSI CLASS Tämän harjoitustyön tarkoituksena on tutustuttaa radiospektriviivojen analysointiin. Observatoriossa on käytössä tähän tarkoitukseen soveltuva ohjelma CLASS (Continuum and Line Analysis Single-dish Software). CLASS:issa käyttäjä voi ajaa myös itse kirjoittamiaan aliohjelmia (makroja). Nämä makrot sekä ohjelmassa annetut käskyt käyttävät monimutkaisempia, jo valmiiksi käännettyjä, analyysissä tarvittavia aliohjelmia. CLASS on osa GILDAS-ohjelmistopakettia, joka on valmistunut Grenoblen observatorion ja IRAM-instituutin (Institute de Radio Astronomie Millimétrique) yhteistyönä. CLASS muodostuu useista eri kielistä, joilla kullakin on oma erillinen funktionsa. Työssä oikean lopputuloksen saavuttamiseksi täytyy tuntea sekä spektriviiva-analyysin perusteet että CLASS-ohjelman suomat mahdollisuudet. CLASS antaa tutkijalle vain työkalut. Työkalujen valinnan ja käytön ratkaisee kulloinkin käytettävissä olevan havaintomateriaalin laatu sekä se, mitä tästä materiaalista halutaan saada selville. Tämän vuoksi suuri osa tästä työstä onkin ohjelman spektriviiva-analyysiin tarjoamien mahdollisuuksien esittelyä ja harjoittelua. GILDAS-ohjelmiston käyttöohjeet ovat saatavilla observatoriossa ja ne löytyvät myös Internetistä osoitteesta Harjoitustyön suoritus CLASS on asennettu observatoriossa mm. gstar-koneeseen. Työssä tarvittavan spektritiedoston data.bur voit kopioida omaan hakemistoosi observatorion kotisivulta osoitteesta Työssä tutkitaan 13 spektriä, jotka sijaitsevat siis tiedostossa data.bur. Tämän lisäksi jokaisella työn tekijällä tulee olla oma spektritiedostonsa (esim. oma.bur). On myös suositeltavaa, että kirjoitetaan työtä helpottavia makroja, jotka voidaan ajaa CLASS:issa missä nimi on kyseiselle makrolle annettu nimi. Makrot ovat normaaleja ASCII-tiedostoja, joihin on kirjoitettu CLASS:in komentoja (yksi komento/rivi). Makroille tulisi antaa nimiä, jotka ovat muotoa nimi.class. Kun ohjelman ajo lopetetaan, kirjoittaa CLASS käyttäjän kotihakemistoon tiedostot class.log ja class.mes. Näistä class.log sisältää kaikki istunnon aikana annetut 1
2 komennot, joten tiedosto on hyvä säilyttää myöhempää käyttöä varten. Tätä tarkoitusta varten tiedosto on talletettava toiselle nimelle, esim. oma.log. CLASS käynnistetään kirjoittamalla komento class. Tämän jälkeen ohjelmalle on annettava käytettävien spektritiedostojen nimet. Tämä tapahtuu komennoilla file in data file out oma new File out -komennossa optio new luo oma.bur-nimisen uuden spektritiedoston, joten sitä käytetään vain otettaessa ko. tiedosto käyttöön ensimmäistä kertaa. Ohjelman käytössä tarvitaan graanen ikkuna, joka voidaan avata antamalla CLASS:issa komento device xauto. Näiden alkutoimenpiteiden jälkeen voidaan aloittaa spektrianalysointi. Työn alkuvaiheessa on syytä ensin tutustua perusteellisesti CLASS:in suomiin mahdollisuuksiin. Erityisen tärkeää on selvittää, miten spektrin HEADER-informaatiota voidaan lukea ja käyttää hyväksi. Esim. header, set variable, examine variable, let. Seuraavassa on luettelo niistä CLASS:in komennoista, joihin harjoitustyön tekijän tulisi ainakin perehtyä. Tutki myös näihin komentoihin liittyviä parametreja ja optioita. Tärkeitä CLASS-komentoja accum base box clear plot define device divide examine file find fit fold gauss get hardcopy header help let lines list multiply plot set align set cursor set line set mode set source set variable set window spectrum sum Tutustu myös for-lausekkeeseen ja header-muuttujaan ry[ ]. Työstä laaditaan lyhyt selostus, josta käy ilmi, mitä ja miksi on tehty mitäkin. Eri tehtäviin on syytä tehdä omat makronsa, joilla pääosa kustakin tehtävästä suoritetaan. Kustakin tehtävästä liitetään selostukseen näiden makrojen listaukset, sekä käytettyjen parametrien arvot, elleivät ne käy ilmi em. listauksesta. Tulosspektreistä ja sovituksista tulee esittää kuvat. Spektriviivan kokoaminen: Lähteen molekyyliviivaspektrin rakentamiseen tarvitaan kolme havaintoa: (1) kohde, (2) tausta ja (3) kalibraatio. Havaittaessa kohdetta nähdään sen lisäksi luonnollisesti myös tausta. Tausta täytyy siis mitata siitä aiheutuvan säteilyn eliminoimiseksi havaittavan kohteen spektristä. Koko havaintolaitteiston herkkyys taajuuden funktiona ei ole vakio havaintokaistan alueella. Jos antennilla havaitaan lähdettä, jonka intensiteetti on vakio eri taajuuksilla, ei laitteiston antama tulosspektri ole silti vakio. Alueilla, missä vastaanottimen herkkyys on suuri havaitaan voimakkaampi säteily ja siellä, missä herkkyys on pieni havaitaan taas heikompi säteily. Kun kuitenkin tiedetään intensiteetin olevan taajuuden suhteen vakio, 2
3 voidaan spektri normeerata. Absoluuttinen skaala spektrille saadaan mittaamalla tunnetun lämpötilan omaavaa kalibraatiolähdettä. Myös tämä mittaus täytyy normeerata vastaanottimen herkkyyteen, sekä ottaa huomioon spektrometrin tausta. Toisin sanoen missä T ai = S i R i R i Z Ci RC i Z Ci S Ci R Ci T C, T ai = antennilämpötila kanavassa i S i = kohteesta havaittu signaali laitteen yksiköissä kanavassa i R i = taustasta havaittu signaali laitteen yksiköissä kanavassa i S Ci = kalibraatiolähteen signaali laitteen yksiköissä kanavassa i R Ci = taustan signaali kalibraation aikana laitteen yksiköissä kanavassa i Z Ci = spektrometrin aiheuttama tausta kanavassa i T C = kalibraatiolähteen kohinalämpötila. SEST-teleskoopilla käytetään n.s. chopper-wheel-kalibrointia, jonka avulla voidaan eliminoida ilmakehän vaikutus havaintoihin eli saada ilmakehän ulkopuolelle redukoitu antennilämpötila. Tässä kalibraatiomenetelmässä kalibraatiolähteenä toimii chopper-wheelin ja ilmakehän välinen kohinalämpötilaero. Tällöin T C ei ole vakio, vaan riippuu (tosin heikosti) elevaatiosta. T C = C1 + C2 exp(τ sec z), missä C1 ja C2 ovat vakioita, z on kohteen zeniittiväli ja τ ilmakehän optinen paksuus zeniitissä. Tehtävä: Spektri 4 on 15m SEST-teleskoopilla molekyylipilvestä M17SW havaittu C 18 O spektri. Kokoa spektri 4 käyttäen havaittuja lähde-, tausta- ja kalibraatiospektrejä (1,2 ja 3). Termi ((S Ci R Ci )/(R Ci Z Ci ))/T C on tiedostossa jo valmiiksi laskettuna (kalibraatiospektri) ja Z Ci oletetaan tässä nollaksi. Vihje: Kun joudut vähentämään toisistaan eri positioista havaittuja spektrejä, täytyy ennen vähennystä antaa komento set nomatch. Kun taas eteen tulee tilanne, jossa spektrejä jaetaan keskenään, pitää CLASSissa ensin ottaa käyttöön jakava spektri, sitten vasta jaettava spektri. Taajuuskytekentä -tekniikka Edellä kuvatun positiokytkentä -tekniikan asemesta voidaan havainnoissa käyttää taajuuskytkentä -tekniikkaa.tässä menetelmässä havaitaan kohdetta jatkuvasti, mutta käytetään eri havaintotaajuutta ON- ja OF F -vaiheiden aikana. Taajuutta vaihdetaan niin vähän, että spektriviiva on vastaanottimen kaistassa molempien vaiheiden aikana. Efektiivinen havaintoaika siis kaksinkertaistuu varrattuna positiokytkentä -menetelmään. Lähteen spektri voidaan rekonstruoida, kun ON- ja OFF-vaiheen taajuuksien ero tunnetaan. Rekonstruointia kutsutaan foldaukseksi (folding), koska siinä taitetaan (tai tarkasti ottaen siirretään) havaitun raakaspektrin eri osat toistensa päälle. 3
4 Spektrit 5 ja 6 ovat SEST-teleskoopilla otettuja C 18 O ja 13 CO (J=1 0) spektrejä. Taajuutta on muutettu ON-vaiheen keskitaajuudesta f o OF F -vaiheessa f verran. Spektrin rekonstruointi tapahtuu seuraavasti: (1) spektriä siirretään taajuudessa f verran, (2) vähennetään näin saatu spektri alkuperäisestä spektristä ja (3) kerrotaan spektri 0.5:llä (miksi?). Taajuuskytkentä parantaa usein baselinea (kts. positiokytkentään verrattuna. alla) sekä pienentää oleellisesti kohinatasoa Tehtävä: Suorita spektrien 5 ja 6 foldaus. Kuinka käy kohinatason? Mitä rajoituksia havaintokaistan ja viivan leveys asettavat taajuuskytkennälle? Baseline Voidaan olettaa, että kontinuumisäteilyn intensiteetti spektriviivan välittömässä ympäristössä on vakio. Tällöin olisi odotettavissa, että baseline (s.o. varsinaiseen spektriviivaan kuulumaton spektrin osa) olisi vakio. Näin ei kuitenkaan yleensä ole asian laita, vaan johtuen havaintoolosuhteiden muutoksista havainnon aikana, sekä laitteistosta johtuvista efekteistä, saatta baselinen muoto poiketa ideaalista voimakkaastikin. Hyvällä baselinella saatta olla ratkaiseva merkitys havittaessa heikkoja kohteita. Jos ei voida olla varmoja baselinen todellisesta paikasta, ei voida myöskään olla varmoja spektrissä mahdollisesti näkyvien heikkojen spektriviivoja muistuttavien piirteiden todellisuudesta. Oletetaan, että todellinen baseline on jokseenkin suora. Tällöin havaittuun spektriin sovitetaan n:n asteen polynomi, joka sitten vähennetään alkuperäisestä spektristä. Varsinaiseen spektriviivaan kuuluvia kanavia ei luonnollisestikaan käytetä sovituksessa. Samoin ei myöskään ole järkevää käyttää sovituksessa koko viivan ulkopuolista spektrin osaa. Sovitettavan polynomin aste on syytä pitää mahdollisimman alhaisena (n 3). Vaikka havaittu baseline olisikin alunperin intensiteetiltään käytännöllisesti vakio, joudutaan baseline yleensä kuitenkin sovittamaan. Spektri kulkee nimittäin perin harvoin täsmälleen nollatasoa pitkin. Tällöin helpoin tapa siirtää baseline nollaan on sovittaa ensimmäisen asteen polynomi taustaan ja vähentää tämä spektristä. Tehtävä: Sovita baseline fouldaamiisi spektreihin 5 ja 6. Tutki polynomin asteen ja sovitusvälin vaikutusta tulokseen ja yritä löytää mahdollisimman hyvä yhdistelmä. Vihje: Antamalla komennot set cursor on ja set window, voidaan sovitusväli valita graasesti. Useamman spektrin yhteenlasku Nyrkkisääntönä voidaan pitää, että mitä useampi havainto, sitä luotettavampi mittaustulosten keskiarvo. Karkeasti ottaen spektriviivahavainnoissa integrointiaika vastaa havaintojen lukumäärää. Mitä pitempi integrointi, sitä parempi signaali-kohina suhde. Integrointiajan lisäksi havaintojen laatuun vaikuttavat myös olosuhteet. Hyvällä säällä ja laitteiston toimiessa moitteetomasti tehty havainto on toki luotettavampi kuin huonolla säällä epävakaalla vastaanottimella tehty. Systeemilämpötila kuvaa ilmakehän sekä havaintolaitteiston aiheuttamaa kohinalämpötilaa havainnoissa. Ilmakehän aiheuttama osa systeemilämpötilassa on erittäin riippuvainen säätilasta, sekä havaittavaan kohteen elevaatiosta. Tehollinen integraatioaika on suoraan verrannollinen todelliseen integraatioaikaan ja kääntäen verrannollinen systeemilämpötilan 4
5 neliöön. Määrätyn kohinatason saavuttamiseksi täytyy siis integrointiaika kertoa neljällä, jos systeemilämpötila kaksinkertaistuu! CLASS:issa spektrien yhteenlaskeminen käy helposti sum- tai accum-komentoa käyttäen. Molemmat komennot käyttävät oletusarvoisesti yhteenlaskussa painona systeemilämpötilan neliöllä jaettua integraatioaikaa. Tehtävä: Laske spektrit 7, 8 ja 9 yhteen käyttäen painoina systeemilämpötilan neliöllä jaettua integraatioaikaa. Millä suhteellisella painolla yksittäiset spektrit vaikuttavat tulosspektriin? Tarkastele yhteenlasketun spektrin kohinatason suhdetta osaspektrien kohinaan. Huomaa, että kaikkien spektrien keskikanavan nopeus ei ole sama. Tutustu set align-komentoon. Vihje: Kohinatasoa tarkasteltaessa tarvitaan spektrien header-tiedostosta löytyviä tietoja. Gauss-sovitus: Tekninen toimenpide CLASS:issa on mahdollista sovittaa spektriin yksi tai useampia (maksimi 5) Gaussin jakaumia. Sovituksen tuloksena saadaan kunkin jakauman keskikanava, korkeus ja puoliarvoleveys. Tausta oletetaan sovitettaessa nollaksi. Tehtävä: Spektrissä 10 on viisi erillistä spektriviivaryhmää. Näistä yksi on yksikomponenttinen, kolme kaksikomponenttista ja yksi kolmekomponenttinen. Kolmekomponenttisen spektrin eri komponenttien puoliarvoleveydet ovat samat. Sovita spektriviivaryhmiin Gaussin jakaumat. Kuinka on meneteltävä taustan kanssa? Vihje: Tehtäessä sovituksia kaksikomponenttisiin viivoihin, pitäisi tehdä siis kuusi sovitusta samaan aikaan. CLASS mahdollistaa kuitenkin maksimissaan vain viiden sovituksen teon. Tässä voi toimia esimerkiksi niin, että yhteen viivaan tehdäänkin vain yksikomponenttinen sovitus ja muihin kaksikomponenttinen. Gauss-sovitus: Fysikaalinen tilanne Eräiden molekyylien spektriviivoilla on niin kutsuttu hyperhienorakenne. Spektriviiva on molekyylin jonkin atomin ydinspinin vuoksi jakautunut useampaan osaan. Näiden hyperhienorakennekomponenttien taajuuksien erotus on vakio, joten sovitettaessa Gaussin jakaumia eri komponentteihin samanaikaisesti voidaan näiden komponenttien keskitaajuuksien (tai keskinopeuksien) erotus kiinnittää ja sovittaa sama puoliarvoleveys kaikille komponenteille. Muuttujiksi jäävät siis vain komponenttien peak-antennilämpötilat, sekä yhden komponentin keskikanava. Tehtävä: HCN molekyylin spektriviiva on jakautunut kolmeen hyperhienorakennekomponenttiin. Sovita spektrissä 11 olevaan HCN (J = 1 0) spektriin Gaussin jakaumat kiinnittäen hyperhienokomponenttien keskitaajuuksien erotukset. HCN:n hyperhienorakennekomponenttien lepotaajuudet ovat F = (1 1) MHz, F = (2 1) MHz ja F = (0 1) MHz. Vihje: Viivojen nopeuserot saa laskettua Dopplerin laista. Spektriviivojen parametrit kannattaa kirjoittaa omaan tiedostoon, jonka sisältö tässä tapauksessa on
6 Yllä olevat parametrit voi sitten lukea sisään ennen Gauss-sovituksen tekoa. Perustele mistä tiedostossa esiintyvät lukuarvot tulevat? Apua löytyy CLASS:in manuaalista. Optinen paksuus hyperhienokomponenttien avulla Molekyyliviivan kirkkauslämpötila T b riippuu molekyylin virityslämpötilasta T ex, taustalämpötilasta T bg ja väliaineen optisesta paksuudesta τ seuraavasti (oletetaan, että hν/kt << 1) T b = (T ex T bg ) (1 e τ ). Taustalämpötilaksi oletetaan seuraavassa 3 K:n taustasäteily (eli T bg = 2.7 K). HCN:n hyperhienokomponenteille [(F = 0 1), (F = 2 1) ja (F = 1 1)] voidaan johtaa optiset paksuudet τ F τ F = 2F jossa F on siirtymän lähtötason F -arvo (F = 0, 1, 2) ja τ on J = 1 0 siirtymän hypoteettinen optinen kokonaispaksuus (τ = τ 2 + τ 1 + τ 0 ). Katso esim. Snyder and Buhl (1973) ApJ 185, L79. Tehtävä: Mitkä ovat HCN:n hyperhienokomponenttien suhteelliset intensiteetit, kun τ 1? Laske edellisen tehtävän HCN viivan optinen kokonaispaksuus käyttäen hyväksi hyperhienorakennekomponenttien intensiteettien suhteita T A (0 1)/T A (2 1) ja T A (1 1)/T A (2 1). Vihje: Tässä tehtävässä tarvitaan hieman Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi II:n tietoja (esim. antenniyhtälö). Tarvittavat intensiteetit saadaan Gauss-sovituksesta. τ, Optisen paksuuden määrittäminen kahden isotoopin avulla Havaitaan saman molekyylin eri isotooppien emittoimaa saman siirtymän säteilyä. Oletetaan, että runsaammin esiintyvän molekyylin säteily on optisesti paksu ja vähemmän runsaan optisesti ohut. Tällöin runsaamman isotoopin (yläindeksi i) spektriviivan kirkkauslämpötila on T i b = (T i ex T bg ) (1 e τ i ) (T i ex T bg ), missä T i ex on molekyylin eksitaatiolämpötila ja T bg on taustasäteilyn lämpötila (T bg = 2.7K). Vähemmän runsaan isotoopin (yläindeksi j) kirkkauslämpötila on T j b = (T j ex T bg ) (1 e τ j ), missä τ on isotoopin j optinen paksuus. Kun oletetaan, että molempien isotooppien eksitaatiolämpötilat ovat samat, voidaan vähemmän runsaan isotoopin optinen paksuus ratkaista. Tehtävä: Spektreissä 12 ja 13 on hiilimonoksidin isotoopien 12 CO ja 13 CO samassa positiopisteessä havaitut J = 1 0 siirtymän spektriviivat. Laske 13 CO viivan optinen paksuus viivan keskinopeudella. Vihje: Nyt tarvitaan baseline-sovitusta, foldausta ja Gauss-sovitusta. 6
7 CO:n eksitaatiolämpötila ja pylvästiheys Olettamalla, että havaittavassa kohteessa vallitsee paikallinen termodynaaminen tasapaino (LTE), voidaan CO:n eksitaatiolämpötila T ex ja 13 CO:n pylvästiheys N 13CO laskea T ex = T 12 CO ex = 5.54 [ ln ( 1 + )] T ( 12 CO) N 13CO = τ 13CO ω (T ex 0.91), 1 exp ( 5.29/T ex ) missä ω on 13 CO viivan puoliarvolevelys [km s 1 ]. Tehtävä: Laske CO:n virityslämpötila ja 13 CO:n pylvästiheys. 7
Radioastronomia harjoitustyö; vedyn 21cm spektriviiva
Radioastronomia harjoitustyö; vedyn 21cm spektriviiva Tässä työssä tehdään spektriviivahavainto atomaarisen vedyn 21cm siirtymästä käyttäen yllä olevassa kuvassa olevaa Observatorion SRT (Small Radio Telescope)
LisätiedotWien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:
1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2
LisätiedotMittaukset ja kalibrointi
Mittaukset ja kalibrointi Teleskoopin vaste (esim. jännitteenä tai countteina) riippuu paitsi lähteen vuontiheydestä, myös antennista, vastaanottimesta, säästä, elevaatiosta, jne... Havainnot täytyy kalibroida
LisätiedotKohina. Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N)
Kohina Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N) N on suoraan verrannollinen integraatioaikaan t ja havaittuun taajuusväliin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotRadioastronomian käsitteitä
Radioastronomian käsitteitä allonpituusalue ~ 100 m - 1 mm MHz 300 GHz Leveä aallonpituusalue: erilaisia antenneja, monenlaista tekniikkaa Ei (suoraan) kuvia Signaali yleensä
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotIDL - proseduurit. ATK tähtitieteessä. IDL - proseduurit
IDL - proseduurit 25. huhtikuuta 2017 Viimeksi käsiteltiin IDL:n interaktiivista käyttöä, mutta tämä on hyvin kömpelöä monimutkaisempia asioita tehtäessä. IDL:llä on mahdollista tehdä ns. proseduuri-tiedostoja,
LisätiedotATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014
18. syyskuuta 2014 IDL - proseduurit Viimeksi käsiteltiin IDL:n interaktiivista käyttöä, mutta tämä on hyvin kömpelöä monimutkaisempia asioita tehtäessä. IDL:llä on mahdollista tehdä ns. proseduuri-tiedostoja,
Lisätiedot1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä
1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä 1.1 Vuontiheys ja pintakirkkaus Vuontiheys ( flux density ) kertoo, kuinka paljon säteilyenergiaa taajuskaistassa [ν,ν+1hz] virtaa 1 m 2 pinta-alan läpi sekunnissa.
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotFysikaalisen kemian syventävät työt CCl 4 -molekyylin Ramanspektroskopia
Fysikaalisen kemian syventävät työt CCl 4 -molekyylin Ramanspektroskopia Tiina Kiviniemi 11. huhtikuuta 2008 1 Johdanto Tämän työn tarkoituksena on tutustua käytännön Ramanspektroskopiaan sekä molekyylien
LisätiedotNimi: Muiden ryhmäläisten nimet:
Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotOhjeita. Datan lukeminen
ATK Tähtitieteessä Harjoitustyö Tehtävä Harjoitystyössä tehdään tähtikartta jostain taivaanpallon alueesta annettujen rektaskensio- ja deklinaatiovälien avulla. Karttaan merkitään tähdet aina kuudenteen
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotKanavamittaus moderneja laajakaistaisia HFjärjestelmiä
Kanavamittaus moderneja laajakaistaisia HFjärjestelmiä varten MATINEn tutkimusseminaari 18.11.2015 Partnerit: Oulun Yliopisto/CWC, Kyynel Oy, Tampereen Teknillinen Yliopisto Rahoitus: 63 512 Esittäjä:
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotTyö 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotMaastotietokannan torrent-jakelun shapefile-tiedostojen purkaminen zip-arkistoista Windows-komentojonoilla
Maastotietokannan torrent-jakelun shapefile-tiedostojen purkaminen zip-arkistoista Windows-komentojonoilla Viimeksi muokattu 5. toukokuuta 2012 Maastotietokannan torrent-jakeluun sisältyy yli 5000 zip-arkistoa,
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotXFYS4336 Havaitseva tähtitiede II
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva
LisätiedotLaskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 5 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 5 Vastaukset Harjoituksen aiheena ovat aliohjelmat ja abstraktit tietotyypit sekä olio-ohjelmointi. Tehtävät tehdään C-, C++- ja Java-kielillä.
LisätiedotPlanck satelliitti. Mika Juvela, Helsingin yliopiston Observatorio
Planck satelliitti Mika Juvela Helsingin yliopiston Observatorio kosmista taustasäteilyä tutkiva Planck satelliitti laukaistaan vuonna 2008 Planck kartoittaa koko taivaan yhdeksällä radiotaajuudella 30GHz
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotKirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.
Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita
LisätiedotHarjoitus 4 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä
LisätiedotMrSmart 8-kanavainen lämpötilamittaus ja loggaus, digitoija ja talletusohjelma
MrSmart 8-kanavainen lämpötilamittaus ja loggaus, digitoija ja talletusohjelma Kuva 1 MrSmart on digitointilaite PC:lle Yleistä MrSmart on sarjaliikenteellä toimiva sarjaliikennedigitoija. Laite mittaa
LisätiedotCh4 NMR Spectrometer
Ch4 NMR Spectrometer Tässä luvussa esitellään yleistajuisesti NMR spektrometrin tärkeimmät osat NMR-signaalin mittaaminen edellyttää spektrometriltä suurta herkkyyttä (kykyä mitata hyvin heikko SM-signaali
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I
Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotTAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja tietokonetekniikan laitos. Harjoitustyö 4: Cache, osa 2
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja tietokonetekniikan laitos TKT-3200 Tietokonetekniikka I Harjoitustyö 4: Cache, osa 2.. 2010 Ryhmä Nimi Op.num. 1 Valmistautuminen Cache-työn toisessa osassa
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto Luento 23.4.2009, T. Hackman & J. Näränen 1. Yleisesti tärkeätä Peruskäsitteet Mitä havaintomenetelmää kannatta käyttää? Minkälaista teleskooppia millekin
LisätiedotMoottorin kierrosnopeus Tämän harjoituksen jälkeen:
Moottorin kierrosnopeus Tämän harjoituksen jälkeen: osaat määrittää moottorin kierrosnopeuden pulssianturin ja Counter-sisääntulon avulla, osaat siirtää manuaalisesti mittaustiedoston LabVIEW:sta MATLABiin,
LisätiedotSamurai helppokäyttöinen ohjelma melun ja värähtelyjen mittauksiin
Samurai helppokäyttöinen ohjelma melun ja värähtelyjen mittauksiin SAMURAI on SINUS Messtechnik GmbH:n uusin ohjelmisto melun ja tärinän mittauksiin ja reaaliaikaiseen analysointiin. Tiedonkeruulaitteena
LisätiedotRAKE-vastaanotinsimulaatio. 1. Työn tarkoitus. 2. Teoriaa. 3. Kytkentä. Tietoliikennelaboratorio Versio
OAMK / Tekniikan yksikkö LABORATORIOTYÖOHJE Tietoliikennelaboratorio Versio 15.10.2004 RAKE-vastaanotinsimulaatio 1. Työn tarkoitus Tämän harjoitustyön tarkoituksena on RadioLab-simulointiohjelman avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I
2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
Lisätiedot(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit.
Tehtävä 1 Oletetaan, että ruiskutussuuttimen nestepisaroiden halkaisija d riippuu suuttimen halkaisijasta D, suihkun nopeudesta V sekä nesteen tiheydestä ρ, viskositeetista µ ja pintajännityksestä σ. (a)
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
Lisätiedottään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla
2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella
LisätiedotOperaattoreiden ylikuormitus. Operaattoreiden kuormitus. Operaattoreiden kuormitus. Operaattoreista. Kuormituksesta
C++ - perusteet Java-osaajille luento 5/7: operaattoreiden ylikuormitus, oliotaulukko, parametrien oletusarvot, komentoriviparametrit, constant, inline, Operaattoreiden ylikuormitus Operaattoreiden kuormitus
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
Lisätiedot7.4 Fotometria CCD kameralla
7.4 Fotometria CCD kameralla Yleisin CCDn käyttötapa Yleensä CCDn edessä käytetään aina jotain suodatinta, jolloin kuvasta saadaan siistimpi valosaaste UV:n ja IR:n interferenssikuviot ilmakehän dispersion
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotIDL - datan sovitus. ATK tähtitieteessä. IDL - esimerkiksi linfit. IDL - esimerkiksi linfit
IDL - datan sovitus 3. toukokuuta 2017 IDL sisältää monia yleisimpiä funktioita, joita voi helposti sovittaa datapisteisiin. Jos valmiista funktioista ei löydy mieleistä, voi oman mielivaltaisen sovitusfunktion
LisätiedotKondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan
VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotPienimmän Neliösumman Sovitus (PNS)
Pienimmän Neliösumman Sovitus (PNS) n = Havaintojen määrä (Kuvan n = 4 punaista palloa) x i = Havaintojen ajat/paikat/... (i = 1,..., n) y i = y(x i) = Havaintojen arvot (i = 1,..., n) σ i = Havaintojen
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotXFYS4336 Havaitseva tähtitiede II
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy ja J. J. Condon and
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla.
LisätiedotTeleWell TW-LTE/4G/3G USB -modeemi Cat 4 150/50 Mbps
TeleWell TW-LTE/4G/3G USB -modeemi Cat 4 150/50 Mbps Pikaohje Laite toimii Windows XP SP3, Windows 7,8,10 ja Mac OSx 10.5 tai käyttöjärjestelmissä, Linux tuki netistä ladattavilla ajureilla USB portin
LisätiedotATK tähtitieteessä. Osa 5 - IDL datan sovitusta ja muita ominaisuuksia. 25. syyskuuta 2014
25. syyskuuta 2014 IDL - datan sovitus IDL sisältää monia yleisimpiä funktioita, joita voi helposti sovittaa datapisteisiin. Jos valmiista funktioista ei löydy mieleistä, voi oman mielivaltaisen sovitusfunktion
LisätiedotMaatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
Lisätiedot4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta
4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,
Lisätiedot5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö
5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme
LisätiedotJulkaiseminen verkossa
Julkaiseminen verkossa H9T1: Tiedostojen vienti internetiin Yliopiston www-palvelin, kielo Unix käyttöjärjestelmästä hakemistorakenne etäyhteyden ottaminen unix-koneeseen (pääteyhteys) komentopohjainen
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Datan käsittely. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Datan käsittely Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 3. Datan käsittely Luennon sisältö: Havaintovirheet tähtitieteessä Korrelaatio Funktion sovitus Aikasarja-analyysi 3.1 Havaintovirheet Satunnaiset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut
Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotYHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1
Lisätiedotlinux linux: käyttäjän oikeudet + lisää ja - poistaa oikeuksia
L6: linux linux linux: käyttäjän oikeudet Käyttäjällä, username, on käyttöoikeus rajattuun levytilaan du -h /home/username/ tulostaa käytetyn levytilan. Yhteenvedon antaa du -h /home/jetsu/ - -summarize
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotRAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS
466111S Rakennusfysiikka, 5 op. RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS Opettaja: Raimo Hannila Luentomateriaali: Professori Mikko Malaska Oulun yliopisto LÄHDEKIRJALLISUUTTA Suomen rakentamismääräyskokoelma,
LisätiedotATK tähtitieteessä. Osa 5 - IDL datan sovitusta ja muita ominaisuuksia. 25. syyskuuta 2014
25. syyskuuta 2014 IDL - datan sovitus IDL sisältää monia yleisimpiä funktioita, joita voi helposti sovittaa datapisteisiin. Jos valmiista funktioista ei löydy mieleistä, voi oman mielivaltaisen sovitusfunktion
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotFUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan Plots/Insert Plot/XY plot Huomaa - ja y-akselin paikanvaraajat (ja näissä valmiina yksikön syöttöruutu). Siirrä - akselia ylös/alas. Palauta origo perinteiseen
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät Luento 2, : Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät 2008 Luento 2, 24.1.2007: Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen 1 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Optinen ikkuna Radioikkuna Ilmakehän
Lisätiedot9. Polarimetria. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, Syksy 2017 Thomas Hackman (Kalvot JN, TH, MG & VMP)
9. Polarimetria Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, Syksy 2017 Thomas Hackman (Kalvot JN, TH, MG & VMP) 1 9. Polarimetria 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä 3. Polarisaattorit 4.
LisätiedotHarjoitus 1 -- Ratkaisut
Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotFYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa
FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva
LisätiedotRadiospektroskopia Linnunrata (valokuva) Linnunrata (valokuva+co)
Radiospektroskopia Linnunrata (valokuva) Linnunrata (valokuva+co) Kaasun säteily Atomeilla ja molekyyleillä on diskreettejä energiatiloja Ne lähettävät tai absorboivat säteilyä siirtyessään energiatilalta
Lisätiedot