matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Transkriptio

1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Leipätyönä sovellettu matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki Matematiikan ja tilastotieteen laitos

2 Tapio Helin 1 / 22

3 Sisältö Matematiikasta yleisesti Käänteisten ongelmien maailma Matematiikkaa teleskoopin läpi Tapio Helin 2 / 22

4 Matematiikasta yleisesti Luonnontieteiden kieli: study of quantity, structure, space and change (Wikipedia, 2015) Eksakti ja universaali tiede Johann Wolfgang von Goethe: Matemaatikot muistuttavat ranskalaisia: mitä tahansa heille sanoo, he kääntävät sen omalle kielelleen ja saman tien se on jotakin aivan muuta. Karkea jako puhtaaseen ja sovellettuun matematiikkaan Tapio Helin Matematiikasta yleisesti 3 / 22

5 Sovellettua vai ei? Sovelletun ja puhtaan matematiikan raja on usein veteen piirretty...deals with mathematical methods that find use in science, engineering, business, computer science, and industry. (Wikipedia, 2015) Puhtaan matematiikan metodeista ei siis hyötyä missään? Päinvastoin! Sovellettu matematiikka on silta yllä mainittujen elämänalueiden ja puhtaan matematiikan välillä. Tapio Helin Matematiikasta yleisesti 4 / 22

6 Missa soveltavia matemaatikkoja tavataan? Sovellettua matematiikkaa on kaikkialla! c GE Healthcare Tapio Helin Matematiikasta yleisesti 5 / 22

7 Suora ja käänteinen ongelma Suora ja käänteinen eli inversio-ongelma kulkevat käsi kädessä. Inversio-ongelma on tyypillisesti anti-kausaalinen: tunnetaan seuraus, halutaan selville syy epästabiili: pieni mittausvirhe aiheuttaa suuren virheen Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 6 / 22

8 Suora ja käänteinen ongelma Suora ja käänteinen eli inversio-ongelma kulkevat käsi kädessä. Inversio-ongelma on tyypillisesti anti-kausaalinen: tunnetaan seuraus, halutaan selville syy epästabiili: pieni mittausvirhe aiheuttaa suuren virheen Inversio-ongelmien ala kehittää stabiileja ratkaisumenetelmiä epästabiileihin ongelmiin! c GE Healthcare Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 7 / 22

9 Röntgen- eli tietokonetomografia on hyvä esimerkki käänteisestä ongelmasta c GE Healthcare Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 8 / 22

10 Röntgenkuvauksessa mitataan säteilyn kumulatiivista vaimennusta kudoksen läpi Lähde Detektori Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 9 / 22

11 Röntgenkuvauksessa mitataan säteilyn kumulatiivista vaimennusta kudoksen läpi Lähde Detektori Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 10 / 22

12 Röntgentomografiassa otetaan röntgenkuvia useasta suunnasta Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 11 / 22

13 Röntgentomografia on inversio-ongelma: Jos mittaustulokset tunnetaan, mikä on kudoksen rakenne? 9 tuntematonta, 11 mittausta Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 12 / 22

14 Ongelman epästabiilisuus näkyy, kun vähennetään mittauksia Ratkaisu ei ole yksikäsitteinen! Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 13 / 22

15 Käytännössä ratkaisuun tarvitaan tietokone 9 tuntematonta, 11 mittausta miljoonia tuntemattomia, satojatuhansia mittauksia Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 14 / 22

16 Käytännössä ratkaisuun tarvitaan tehokas tietokone 9 tuntematonta, 11 mittausta miljoonia tuntemattomia, satojatuhansia mittauksia Oikea 3d-ongelma on edelleen haastava! Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 15 / 22

17 Godfrey Hounsfield ja Allan McLeod Cormack kehittivät röntgentomografian Cormack (vasen) ja Hounsfield (yllä) saivat Nobel-palkinnon Oikealla: ensimmäisiä tomografiakuvia. Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 16 / 22

18 Johann Radon keksi vuonna 1917 miten ratkaista funktio sen viivaintegraaleista Radonin alkuperäinen ratkaisu on perusta nk. Filtered Back- Projection (FBP) menetelmälle, jolla lähes kaikki tämän päivän tietokonetomografialaitteet tuottavat kuvan. Matemaattisen keksinnön matka jokapäiväiseen elämään voi olla pitkä! Johann Radon ( ) Tapio Helin Käänteisten ongelmien maailma 17 / 22

19 Post-doc Ita vallassa Ita valta liittyi ESO:n (European Southern Observatory) ja seneksi 2008 ja maksoi osan ja senmaksusta tieteellisilla projekteilla Projektit kohdistettiin ESO:n seuraavan sukupolven teleskooppihankkeeseen Itse tyo skentelin projektissa nimelta : European Extremely Large Telescope arvioitu ka ytto o notto 2024 budjetti noin 1,1 Mrd. euroa pa a peilin halkaisija 39 metria Tapio Helin Mathematical algorithms and software for ELT adaptive optics Matematiikkaa teleskoopin la pi 18 / 22

20 Ilmakehätomografia Moderni teleskooppikuvantaminen kärsii ilmakehän turbulenssista kuvat sumentuvat Adaptiivinen optiikka on teknologia, joka pyrkii reaaliajassa kompensoimaan turbulenssin vaikutusta Teknologiaan liittyy inversio-ongelma nimeltä ilmakehätomografia Tapio Helin Matematiikkaa teleskoopin läpi 19 / 22

21 Ilmakehätomografia: haasteet Matemaatikoille uusi tutkimusala Data on massiivista, mutta ratkaisu tarvitaan reaaliajassa (alle 1 ms) ESO:n lähtökohta: Mooren laki ei riitä Projektille asetettu tiukat vaatimukset myös kuvan laadun suhteen Valonlähteitä voidaan luoda voimakkailla lasereilla Tapio Helin Matematiikkaa teleskoopin läpi 20 / 22

22 Ratkaisua etsimässä Alan standardi oli O(n 2 )-tyyppinen ratkaisu, joka ei riitä tavoitteisiin Ilmakehän turbulenssin tilastollisten mallien käyttö hidasta Monien vaiheiden jälkeen onnistuttiin kehitettämään ensimmäinen O(n)-tyyppinen algoritmi ongelman ratkaisuun Yudytskiy, M., Helin, T. and Ramlau, R., J. of Opt. Soc. of America A 31(3), Helin, T. and Yudytskiy, M., Inverse problems 29(8), Tapio Helin Matematiikkaa teleskoopin läpi 21 / 22

23 Lopuksi tuloksista Tapio Helin Matematiikkaa teleskoopin la pi 22 / 22