Suurin yhteinen tekij ja pienin yhteinen jaettava 47

Transkriptio

1 6 Sis lt 2/18 Luvut Reaaliluvut Reaalilukujoukko 23 Luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut 24 Irrationaaliluvut 25 Desimaaliesitys 26 Rationaali- ja irrationaalilukujen tiheys 27 Algebralliset luvut ja transkendenttiluvut 28 Reaaliluvun itseisarvo 29 Luku Luvun m ritelm 30 Luvun laskeminen alkeellisesti 31 Sarjakehitelmi luvulle 32 Luvun historiaa 33 Neperin luku e Neperin luvun m ritelm 34 Neperin luvun arvon laskeminen 35 Neperin luvun historiaa 36 Summa ja tulo Laskulait 37 Summamerkint 38 Tulomerkint 39 Summamerkinn ll laskeminen 40 Keskiarvo Aritmeettinen keskiarvo 41 Geometrinen keskiarvo 42 Murtoluvut Murtoluvuilla laskeminen 43 Esimerkki murtolukualgebrasta 44 Alkutekij t Alkuluvut 45 Jaollisuuss nn t 46 Suurin yhteinen tekij ja pienin yhteinen jaettava 47 Salakirjoitus 48 Lukuj rjestelm t Kymmenj rjestelm 49 Muut lukuj rjestelm t 50 Esimerkkej lukuj rjestelmist 51 Kompleksiluvut Kompleksitaso 52 Kompleksilukujen yhteen- ja v hennyslasku 53 Kompleksilukujen kertolasku 54 Liittoluku; kompleksilukujen jakolasku 55 Kompleksiluvun napakulma 56 Kiertotekij ; Eulerin kaava 57

2 7 Sis lt 3/18 Potenssit ja polynomit Potenssi Kokonaislukupotenssit 58 Murtopotenssit 59 Irrationaalinen potenssi 60 Negatiivisten ja kompleksilukujen potenssit 61 Juuret Juuret 62 Juurifunktiot 63 Juurifunktion m ritelm n laajennus 64 Polynomit Polynomi 65 Binomikaava 66 Polynomien jakolasku 67 Polynomifunktio 68 Polynomien tekij ihin jako Polynomien alkeellinen tekij ihin jako 69 Reaali- ja kompleksikertoiminen tekij ihin jako 70 Tekij ihin jako polynomin nollakohtien avulla 71 Polynomin nollakohdat ja kertoimet 72

3 8 Sis lt 4/18 Yht l t ja ep yht l t Yht l t Yht l 73 Yht l iden sievent minen 74 Eri tyyppisi yht l it 75 Polynomiyht l t Ensimm isen ja toisen asteen yht l t 76 Korkeampien asteiden yht l t 77 Algebran peruslause 78 Juuriyht l t Juuriyht l n ratkaiseminen 79 Esimerkki juuriyht l n ratkaisusta 80 Itseisarvoyht l t Itseisarvoyht l n ratkaiseminen 81 Itseisarvoyht l n ratkaiseminen 82 tapa 1 Itseisarvoyht l n ratkaiseminen 83 tapa 2 Graanen esitys itseisarvoyht l n ratkaisemisessa 84 Transkendenttiyht l t Transkendenttiyht l t 85 Yht l ryhm t Yht l ryhm 86 Yht l ryhm n ratkaiseminen 87 Esimerkki 1 yht l ryhm n ratkaisemisesta 88 Esimerkki 2 yht l ryhm n ratkaisemisesta 89 Esimerkki 3 yht l ryhm n ratkaisemisesta 90 Esimerkki 4 yht l ryhm n ratkaisemisesta 91 Ep yht l t Ep yht l 92 Ep yht l iden ratkaiseminen 93 Esimerkki 1 ep yht l ist 94 Esimerkki 2 ep yht l ist 95 Esimerkki 3 ep yht l ist 96 Esimerkki 4 ep yht l ist 97 Esimerkki 5 ep yht l ist 98

4 9 Sis lt 5/18 Funktio Funktiok site Funktiok sitteen m rittely 99 Esimerkkej funktioista 100 Surjektio, injektio, bijektio 101 Yhdistetty funktio 102 K nteisfunktio 103 Funktion kuvaaja 104 Reaalifunktiot Reaalifunktion k site; alkeisfunktiot 105 Funktion kasvavuus ja v henevyys 106 Funktion jaksollisuus; parillisuus ja parittomuus 107 Reaalifunktion k nteisfunktio 108 K nteisfunktion kuvaaja 109

5 10 Sis lt 6/18 Alkeisfunktiot Rationaalifunktiot Rationaalifunktion lauseke 110 Asymptootit 111 Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion m rittely ja perusominaisuudet 112 Yleisen eksponenttifunktion lausuminen Neperin luvun avulla 113 Eksponenttifunktio sovelluksissa 114 Logaritmifunktio Logaritmifunktion m rittely 115 Logaritmin laskus nn t 116 Eksponentti- ja logaritmiyht l t 117 Logaritmifunktion historiaa 118 Trigonometriset funktiot Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa 119 Trigonometristen funktioiden t rke t arvot 120 Trigonometristen funktioiden yleinen m rittely 121 Trigonomteristen funktioiden perusominaisuudet 122 Trigonometristen funktioiden merkkikaaviot 123 Trigonometristen funktioiden kuvaajat 124 Trigonometristen funktioiden historiaa 125 Trigonometrian kaavat Ulkoa muistettavat peruskaavat 126 Helposti johdettavat kaavat 127 Trigonometristen funktioiden lausuminen toistensa avulla 128 Trigonometriset yht l t 129 Esimerkki 1 trigonometrisesta yht l st 130 Esimerkki 2 trigonometrisesta yht l st 131 Arcus-funktiot Arcus-funktioiden m ritelm t 132 Arcus-funktioiden kuvaajat; p haarat ja sivuhaarat 133 Arcus-funktioita koskevia kaavoja 134 Hyperbelifunktiot Hyperbelifunktioiden m rittely 135 Ketjuk yr ja katenoidi 136 Hyperbelifunktiot ja trigonometriset funktiot 137 Hyperboliset kaavat 138 Area-funktiot Area-funktioiden m ritelm t 139 Area-funktioiden kuvaajat 140 Area-funktioiden lausuminen logaritmin avulla 141

6 11 Sis lt 7/18 Lukujonon ja funktion raja-arvo Lukujonot Lukujonon k site 142 Eksplisiittisesti ja rekursiivisesti m ritellyt lukujonot 143 Aritmeettinen ja geometrinen jono 144 Lukujonon raja-arvo Esimerkki lukujonon raja-arvosta 145 Lukujonon raja-arvon m ritelm 146 Lukujonon suppeneminen ja hajaantuminen; raja-arvo Lukujonon raja-arvon laskeminen 148 Esimerkkej lukujonojen raja-arvoista 149 Lukujonojen standardiraja-arvoja 150 Alaraja-arvo ja yl raja-arvo 151 Sarjat Sarjan k site ja suppeneminen 152 Esimerkki 1 sarjoista 153 Esimerkki 2 sarjoista 154 Geometrinen sarja 155 Funktion raja-arvo Esimerkki funktion raja-arvosta 156 Funktion raja-arvon m ritelm 157 Toispuoliset raja-arvot; raja-arvo 1 ja raja-arvo rett myydess 158 Funktioiden raja-arvon laskeminen 159 Esimerkkej funktioiden raja-arvoista 160 Funktioiden standardiraja-arvoja 161 Funktion jatkuvuus Jatkuvuuden m ritelm 162 Esimerkkej funktioiden ep jatkuvuuksista: hyppyep jatkuvuus 163 Lis esimerkkej funktioiden ep jatkuvuuksista 164

7 12 Sis lt 8/18 Derivaatta Derivaatta Derivaatan m ritelm 165 Derivoituvuus 166 Dierentiaali 167 Korkeammat derivaatat 168 Esimerkkej derivaatan laskemisesta erotusosam r n raja-arvona 169 Derivaatan historiaa 170 Derivointis nn t Summan, vakiokerrannaisen, tulon ja osam r n derivaatta 171 Yhdistetyn funktion derivaatta 172 K nteisfunktion derivointi 173 Implisiittinen derivointi 174 Alkeisfunktioiden derivaatat Luettelo derivaatoista 175 Derivaattojen johtamisesta: standardiraja-arvojen k ytt 176 Derivaattojen johtamisesta: k nteisfunktiot 177 Maksimit ja minimit Funktion kasvavuus ja v henevyys; paikalliset riarvot 178 riarvon laadun tutkiminen 179 Absoluuttinen maksimi ja minimi 180 Esimerkki 1 maksimien ja minimien laskemisesta 181 Esimerkki 2 maksimien ja minimien laskemisesta 182 K yr n kuperuus K yr n kuperuus 183 K nnepiste 184 Nopeus ja kiihtyvyys Hetkellinen nopeus ja kiihtyvyys 185 Esimerkki nopeuden laskemisesta 186 Newtonin iteraatio Newtonin iteraatiomenetelm n idea 187 Newtonin iteraation kaavat 188 Esimerkki Newtonin iteraatiosta 189 Vaihtoehtoinen tapa johtaa iteraatiokaavat 190 Dierentiaaliyht l t Dierentiaaliyht l n k site 191 Esimerkki 1 dierentiaaliyht l ist 192 Esimerkki 2 dierentiaaliyht l ist 193

8 13 Sis lt 9/18 Integraali Integraalifunktio Integraalifunktion k site 194 Suoria integrointikaavoja I 195 Suoria integrointikaavoja II 196 Integraalifunktion jatkuvuudesta 197 M r tty integraali M r tyn integraalin m rittely 198 Esimerkki 1 Riemannin summasta 199 Esimerkki 2 Riemannin summasta 200 M r tyn integraalin ja integraalifunktion yhteys 201 M r tyn integraalin laskus nn t 202 Esimerkkej m r tyn integraalin laskemisesta 203 Ympyr n alan laskeminen integroimalla 204 M r tyn integraalin historiaa 205 Integroimistekniikkaa Sijoitusmenettely 206 Esimerkkej sijoitusmenettelyst I 207 Esimerkkej sijoitusmenettelyst II 208 Osittaisintegrointi 209 Esimerkkej osittaisintegroinnista 210 Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen Tasoalueen pinta-ala 211 Esimerkki pinta-alan laskemisesta 212 Tilavuuden laskeminen 213 Esimerkki tilavuuden laskemisesta 214 Py r hdyspinnan ala 215 Esimerkki py r hdyspinnan alan laskemisesta 216 Massakeskipiste Massakeskipisteen m rittely 217 Esimerkki massakeskipisteen laskemisesta 218 Hitausmomentti Hitausmomentin m rittely 219 Esimerkki hitausmomentin laskemisesta 220

9 14 Sis lt 10/18 Geometrian perusk sitteet Geometria Geometrian synty 221 Paralleeliaksiooma; erilaisia geometrioita 222 Euklidinen ja ep euklidinen geometria 223 Projektiivinen geometria 224 Koordinaatistot Koordinaatiston ja koordinaattien k site 225 Suorakulmainen koordinaatisto tasossa 226 Suorakulmainen koordinaatisto avaruudessa 227 Tason napakoordinaatisto 228 Lieri koordinaatit 229 Pallokoordinaatit 230 Vektori Vektorik site 231 Vektorien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen 232 Vektorit koordinaatistossa 233 Vektorialgebra Skalaaritulo 234 Vektorin komponentti 235 Vektoritulo 236 Vektoritulon laskeminen 237 Kolmitulot 238 Determinantti Determinantti 239 Piste Pisteen identiointi 240 Pisteen paikkavektori erilaisissa koordinaatistoissa 241 Kahden pisteen et isyys 242 Suora Suora geometrisena perusk sitteen 243 Suoran vektoriesitys 244 Suoran yht l 245 Suoran kulmakerroin 246 Kulmakertoimen laskeminen 247 Taso Taso geometrisena perusk sitteen 248 Tason vektoriesitys 249 Tason yht l 250 Koordinaattiakseleiden ja -tasojen suuntaiset tasot 251 Suora kolmiulotteisessa avaruudessa 252

10 15 Sis lt 11/18 Geometriset probleemat Geometriset probleemat Geometristen probleemojen tyypit 253 Geometristen probleemojen ratkaisumenetelm t 254 Synteettist geometriaa Esimerkki 1 synteettisest geometriasta 255 Esimerkki 2 synteettisest geometriasta 256 Analyyttista geometriaa Esimerkki 1 analyyttisest geometriasta 257 Esimerkki 2 analyyttisest geometriasta 258 Vektorigeometriaa Esimerkki 1 vektorigeometriasta 259 Esimerkki 2 vektorigeometriasta 260 Esimerkki 3 vektorigeometriasta 261 Algebralliset menetelm t geometriassa Esimerkki 1 algebrallisista menetelmist geometriassa 262 Esimerkki 2 algebrallisista menetelmist geometriassa 263 Esimerkki 3 algebrallisista menetelmist geometriassa 264

11 16 Sis lt 12/18 Kulma, kolmio, monikulmio ja -tahokas Kulma Tasokulma 265 Kulman mittaaminen 266 Avaruuskulma 267 Diedrikulma 268 Kolmio Kolmio: perusominaisuudet 269 Tasakylkinen, tasasivuinen, suorakulmainen kolmio 270 Kolmioiden yhtenevyys 271 Yhtenevyyslauseet I 272 Yhtenevyyslauseet II 273 Kolmioiden yhdenmuotoisuus 274 Yhdenmuotoisuuslauseet 275 Kulmanpuolittajat ja keskijanat 276 Korkeusjanat ja keskinormaalit 277 Sinilause ja kosinilause 278 Sini- ja kosinilauseen todistamisesta 279 Pythagoraan lause Pythagoraan lause 280 Muistikolmiot 281 Pythagoraan lauseen historiaa 282 Monikulmiot Monikulmio 283 Avaruusmonikulmio 284 S nn lliset monikulmiot 285 S nn llisten monikulmioiden laskemisesta 286 Laatoituksista 287 Monitahokkaat Monitahokas 288 S nn lliset monitahokkaat 289 Symmetrisist monitahokkaista 290 S nn llisi monitahokkaita on vain viisi 291

12 17 Sis lt 13/18 K yr t ja pinnat K yr Tasok yr 292 Parametriesityksen muodostaminen 293 Avaruusk yr 294 K yr n tangentti 295 Pinta Pinnan esitysmuodot 296 Esimerkkej pintojen parametriesityksist 297 Ympyr Ympyr ja sen yht l 298 Ympyr n parametriesitys 299 Sektori ja segmentti 300 Keh kulma 301 Tangenttikulma 302 Pisteen potenssi 303 Pallo Pallon yht l 304 Pallon tasoleikkaukset 305 Geodeettiset viivat; pallokolmiot 306 Kartio ja lieri Kartio 307 Katkaistu kartio 308 Lieri 309 Toisen asteen k yr t Toisen asteen k yr 310 Ellipsi 311 Hyperbeli 312 Liittohyperbeli ja asymptootit 313 Paraabeli 314 Kartioleikkaukset 315 Kartioleikkausten napakoordinaattiyht l t 316 Toisen asteen pinnat Toisen asteen pinta 317 Ellipsoidi 318 Hyperboloidit 319 Paraboloidit 320 Lieri t 321

13 18 Sis lt 14/18 Tangentti ja normaali, geometriset kuvaukset Tangentti ja normaali Sekantti ja tangentti 322 Tangenttitaso 323 Normaali 324 Projektio 325 Geometriset kuvaukset Geometrinen kuvaus 326 Euklidiset kuvaukset: siirto ja kierto 327 Euklidiset kuvaukset: peilaus ja skaalaus 328 Projektiokuvaukset 329 Aksonometria; perspektiivikuvat 330 Mandelbrotin joukko 331 Mandelbrotin joukon kuva 332

14 19 Sis lt 15/18 Pinta-aloja ja tilavuuksia Pinta-aloja ja tilavuuksia Laskemisesta ja m rittelyst 333 Tasokuviot 334 Kappaleet I 335 Kappaleet II 336

15 20 Sis lt 16/18 Diskreetti matematiikkaa Joukko-oppi Joukon k site 337 Osajoukko 338 Joukkoalgebraa 339 Reaalilukujoukon v lit 340 Logiikka Formaali logiikka 341 Propositiologiikka 342 Esimerkki: ep suora todistus 343 Predikaattilogiikka 344 Logiikka ja matematiikka 345 Matemaattinen induktio Induktion periaate 346 Esimerkki matemaattisesta induktiosta 347 Lukum r n laskeminen Samapituisten merkkijonojen lukum r I 348 Samapituisten merkkijonojen lukum r II 349 Joukon osajoukkojen lukum r 350 J rjestysten eli permutaatioiden lukum r 351 J rjestettyjen osajonojen lukum r 352 p-alkioisten osajoukkojen eli kombinaatioiden lukum r 353 Toisiaan leikkaavien joukkojen alkioiden lukum r 354 Binomi- ja multinomikertoimet Kertoma 355 Binomikertoimet 356 Pascalin kolmio 357 Multinomikertoimet 358

16 21 Sis lt 17/18 Todenn k isyys Todenn k isyyslaskenta Todenn k isyyslaskennan perusk sitteet 359 Todenn k isyysfunktio P 360 Esimerkkej kombinatorisesta todenn k isyyslaskennasta 361 Ehdollinen todenn k isyys 362 Tapahtumien riippumattomuus 363 Stokastinen muuttuja 364 Todenn k isyyslaskennan historiaa 365 Todenn k isyysjakaumat Diskreetit jakaumat 366 Jatkuvat jakaumat 367 Kertym funktio 368 Jakauman tunnusluvut 369 Normaalijakauma 370 Tilastomatematiikka Tilastodata 371 Tilastodatan esitt minen 372 Datan tunnusluvut 373 Matemaattinen tilastotiede 374 Estimointi 375 Tilastollinen testaus 376 Korrelaatio 377 Korrelaatiokerroin 378

17 22 Sis lt 18/18 Matematiikka tieteen Matematiikan merkinn t Yleist matematiikan merkinn ist 379 Kreikkalaiset kirjaimet 380 Matematiikka Matematiikan osa-alueet 381 Mathematical Reviews -lehden ylimm n tason ryhm jako 382 Matematiikan varhaishistoria 383 Matematiikan historia renessanssiajasta l htien 384 Matemaatikot Vanha aika, ennen Kristusta 385 Vanha aika, j lkeen Kristuksen 386 Keskiaika luku luvun alkupuoli luvun puoliv li luvun loppupuoli 391 Valistusaika (1700-luku) 392 Ranskan vallankumouksen ja Napoleonin aika luvun puoliv li luvun loppupuoli 395 Vuosisadan vaihde luvun alku luvun puoliv li 398 Kirjallisuutta 399