Vektorit Opiskelijan ohjeet
|
|
- Saija Manninen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vektorit Opiskelijan ohjeet Ohjelmointipaketti lukioon Työ on tehty osana Helsingin yliopiston kurssia Ohjelmointi matematiikan opetuksessa. Työtä saa vapaasti jakaa eteenpäin, muokata sekä käyttää. Tekijät: Antti Jylhä-Ollila Tom Olander Heli Virtanen
2 Sisältö 1 Tunti Turtle-kertaus / Python-kertaus Tehtävänannot Kotitehtävät Tunti Tehtävänannot Kotitehtävät Tunti Tehtävänannot Kotitehtävät A Tunti 1 - esitiedot 8 B Tunti 2 - esitiedot 11 C Tunti 3 - esitiedot 13 1
3 1 Tunti Turtle-kertaus / Python-kertaus Kertaukseen liittyvä tiedosto löytyy tekstimuodosta liitteestä A sekä tiedostona opiskelijan ohjeiden kansiosta. Lue tämä läpi. Ota kaikissa tiedostoissasi käyttöön vectorskirjasto ja lisää koodisi loppuun waitforclick(), jotta ehdit nähdä koodisi tulokset. 1.2 Tehtävänannot Lataa [opettajan antamasta paikasta] tausta, jolla jolla saat valmiin koordinaatistoakselin. Koordinaatistossa kilpikonnaasi edustaa sana pen. Tee seuraavat tehtävät laittaen kilpikonnasi (pen) piirtämään ne. Koordinaatistossa oletuksena on, että x-akselin maksimiarvo on 10 ja minimiarvo on -10, samoin y-akselille. 1. Piirrä vektori 5 i. Vektorin päässä on nuoli. [Kuva 1] 2. Piirrä vektori 7 i + 2 j. Vektorin päässä on nuoli. Käytä hyväksesi trigonometriaa. [Kuva 2] 3. Muunna koordinaatiston kokoa niin, että x ja y vaihtelevat välillä -15 ja 15. Piirrä 10 erikokoista vektoria v = a i + b j, joiden komponentit a ja b arvotaan molemmat yksitellen väliltä Kaikki vektorit lähtevät origosta. [Kuva 3] Lisäksi muuta tehtävän vektoreiden ominaisuuksia: a) Lisää värejä. b) Muuta vektorin paksuutta. c) Muunna tehtävää niin, että kaikki 10 vektoria osuvat ympyrän kehälle (säde = 10). [Kuva 4] Kuva 1: Esimerkkikuva piirrettävästä vektorista tehtävään 1. Kuva 2: Esimerkkikuva piirrettävästä vektorista tehtävään 2. 2
4 Kuva 3: Esimerkkikuva piirrettävistä vektorista tehtävään 3. Kuva 4: Esimerkkikuva piirrettävistä vektorista tehtävään Kotitehtävät Valitse ainakin toinen tehtävistä 1a tai 1b. 1. Piirrä vektorit sekä niiden summa a + b sekä erotus a b, kun a) a = 4 i, b = 3 j b) a = 2 i 4 j, b = 3 i + 5 j. 2. Piirrä neliö vektoreilla. Mikä on näiden vektoreiden summavektori? 3. Piirrä vektoreilla säännöllinen kuusikulmio. Mikä on näiden vektoreiden summavektori? 3
5 2 Tunti 2 Esimerkki kirjaston käytöstä löytyy liitteestä B. 2.1 Tehtävänannot Lataa vektori-kirjasto [opettajan antamasta paikasta]. Muista myös koordinaatiston skaalaaminen tarvittaessa. Testaa kirjaston toiminta piirtämällä seuraavat vektorit: a = 5 i, b = 2 i + 2 j, c = 3 i 8 j ja d = 5 i + 4 j. 1. Laske ja piirrä seuraavat vektorit: a) a + b ja b + a b) c + d c) c d ja d c d) a + b + c d. 2. Piirrä vektori b viisi kertaa peräkkäin. Vaihda väriä, laske vektori e = 5 b ja piirrä se. a) Miltä näyttää vektori 5 b? b) Piirrä vektorit 2 c + 3 d ja 2( c b). 3. Palauta koordinaatiston kooksi (-10,10). Aloituspiste on (0,0). Valitse vektorille suunta (eli kulma) ja piirrä yksikkövektoreita tähän suuntaan, kunnes seuraava vektori ei enää mahdu koordinaatistoon. [Kuva 5] a) Laske kulma, jossa vektori osui reunaan ja lähetä se samassa kulmassa eteenpäin kääntyen oikealle. b) Automatisoi vektoreiden piirto niin, että aina kun seuraava vektori ei mahdu enää ruudulle, kimpoaa reunasta niin, että tulokulma on sama kuin lähtökulma. Vektoreita piirtyy niin kauan kunnes ohjelma lopetetaan tai kunnes on piirretty haluttu määrä (esim. 50) vektoreita. c) Mallinna kitkaa, eli joka kerta kun vektori on piirretty edellisen perään, seuraavan vektorin pituus on 99.5% edellisen vektorin pituudesta. Lopeta ajo, kun vektorin pituus on alle 0,01. d) Mitä tämä vektoreiden joukko voisi esittää? 2.2 Kotitehtävät Tee ainakin ensimmäinen tehtävä. 1. Käytössäsi on vektori a = 3 i 5 j. Piirrä se. Vaihda väriä ja piirrä vektorin komponenttivektorit. 4
6 Kuva 5: Kuva alueen reunaan osumisesta ja siitä jatkamisesta. 2. Käytössä on kaksi vektoria, b = 4, 5 i + 2, 3 j ja c = 3, 2 i + 5, 7 j. Laske ja piirrä seuraavat vektorit t b + s c, a) Kun t = 3 ja s = 4. b) Kun t = 3 ja s = 4. c) Kun t = 3 ja s = 4. d) Kun t = 3 ja s = Jatka edellistä tehtävää, ja automatisoi se käyttäen esimerkiksi for-looppia, kun s = { 1, 0, 1} ja t = { 2, 1, 0, 1, 2}. 4. Jatka kotona tuntitehtäviä. 5
7 3 Tunti Tehtävänannot Lataa vektori-kirjasto [opettajan antamasta paikasta]. Muista myös koordinaatiston skaalaaminen tarvittaessa. Tutustu myös esitietoihin! Testaa kirjaston toiminta piirtämällä seuraavat alaspäin aukeavat paraabelit, jotka kulkevat kaikki origon kautta ja joiden huippupisteet ovat (4,4), (3,7) ja (8,3). 1. Piirrä alaspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on pisteessä (5,3). [Kuva 6] a) Piirrä paraabelin tangentin suuntainen vektori pisteeseen, missä x-koordinaatti on 0. b) Piirrä toisella värillä edellisen vektorin i-komponentti, jonka pituus on 1. Piirrä vielä kolmannella värillä a-kohdan vektorin j-komponentti (pituus k). Kulmakertoimen k saat kirjaston komennolla getk(x0), tämä kertoo tangentin kulmakertoimen kohdassa x = x0. c) Tee funktio, joka piirtää nämä kaikki kolme vektoria, kun funktiolle annetaan x-koordinaatin arvo. Testaa toiminta piirtämällä vektorit, kun x-koordinaatti on 0, 5 ja Paraabelin yhtälö on muotoa y = a x x + b x + c. Piirrä paraabeli käyttämällä apuna paraabelin yhtälöä, kun a = 3 25, b = 6 5 ja c = 0.Tangentin kulmakertoimen pisteessä x0 saat yhtälöstä k = 2 a x0 + b. a) Piirrä paraabelin pisteelle, jossa x=0 tangentin suuntainen vektori ja sen ikomponentti (pituus 1) sekä j-komponentti (pituus k). b) Tee funktio, joka piirtää tangentin suuntaisen vektorin sekä sen komponenttivektorit halutussa x-koordinaatissa eri väreillä. c) Testaa toiminta, kun x-koordinaatti on 0, 5 ja Heität palloa lähtökulmassa α = 50 astetta ja pallo saa alkunopeuden v 0 = 10 m s. Putoamiskiihtyvyys g = 9.81 m s 2. (a) Tallenna muuttujaan a kulman arvo radiaanena, eli a=math.radians(50). Tallenna muuttujaan v0 alkunopeus, eli v0=10 ja muuttujaan g putoamiskiihtyvyyden arvo, g=9.81. (b) Laske alkunopeuden x- ja y-komponentit, v0x = v0*math.cos(a) ja v0y = v0*math.sin(a). (c) Tee funktiot, jotka laskevat nopeuden sekä paikan seuraavien kaavojen avulla: vx(t) = v0x vy(t) = v0y - g*t x(t) = v0x*t y(t) = v0y*t - 0.5*g*t*t Lisäksi seuraavasta voi olla hyötyä: t = x(t) / v0x 6
8 (d) Piirrä lentoradan kuva, kunnes y-koordinaatti muuttuu negatiiviseksi. (e) Piirrä tangenttivektori ja sen komponentit, kun x-arvo on 0, 5 ja 8. Vihje: Laske t tietyllä x, saat y:n. vx(t) ja vy(t):stä ovat komponenttivektoreiden kertoimet. Kuva 6: Esimerkkikuva paraabelista ja piirretyistä tangenttivektoreista komponentteineen. 3.2 Kotitehtävät 1. Sovitaan vektoreiden aloituskohdaksi origo. Piirrä vektori a = 4.5 i 2.8 j. Laske vektorin pituus. Luo uusi vektori, missä a:n komponentit jaetaan a:n pituudella ja piirrä se. Piirrä kuvaan lisäksi ympyrä, jonka keskipiste on origo ja säde on 1 (turtle circle, yksikköympyrä). Mitä huomaat uuden vektorin pituudesta ja suunnasta? 2. Jatka tuntitehtäviä valmiiksi kotona. 7
9 A Tunti 1 - esitiedot # # Miten käyttää vectors-kirjastoa # # Jos vectors.py kirjasto on samassa hakemistossa kuin koodisi, # niin voit tuoda kirjaston näin: from vectors import * # Kirjasto mahdollistaa koordinaatiston käytön: koord = CoordinateSystem() # Koordinaatiston oletusarvot ovat sekä x että = [-10,10], # mutta voidaan tarvittaessa muuttaa: koord.setaxes(-20,10,-10,20) # Huomaa, että piirtoikkuna on aina saman kokoinen, # joten todellinen koordinaatiston koko # ei välttämättä ole sama kuin määrittelemämme. # Kirjasto pyrkii pitämään i ja j yksikkövektorit # samanpituisina näytöllä, # jolloin voidaan käyttää perinteisiä laskukaavoja koskien kulmia. # Määritelty alue on joka tapauksessa aina näkyvillä, # mutta ikkuna voi olla myös suurempi. # Kirjasto käyttää Turtle-grafiikkaa, # joten kaikki perinteiset Turtle-ominaisuudet ovat käytettävissä. # Turtle-kynä on muutujassa "pen". # piirrä jana pisteestä (4,4) pisteeseen (-4,4) # sinisellä värillä ja kynäpaksuudella 3 pen.penup() pen.goto(4,4) pen.pencolor("blue") pen.width(3) pen.pendown() pen.goto(-4,4) # piirrä ympyrä alkaen pisteestä (0,-4), # muodostaen säännöllisen 50-kulmion # jonka keskipiste on (0,0) kun säde on 4 pen.penup() pen.pencolor("black") 8
10 pen.width(1) pen.goto(0,-4) pen.pendown() pen.circle(4,steps=50) # Näin kopioit muuttujan pen arvoa toiseen muuttujaan. # Kyseessä on viittaus olioon, # joten kaikki ominaisuudetkin periytyvät. # Huomaa, että tämänkin jälkeen # pen toimii viittauksena turtleen. kilppari = pen kilppari.pencolor("pink") kilppari.width(5) kilppari.goto(4,-4) ### TRIGONOMETRIA ### # Trigonomtriset funktiot Pythonissa (tarvitaan kun lasketaan kulmilla) # Pythonissa kaikki trigonometriset funktiot # saadaan käyttöön math-kirjastolla # import math # Matematiikassa ja ohjelmointikielissä käytetään # useimmiten radiaaneja yksikkönä, # joten meidän pitää osata tehdä # muunnoksia asteiden ja radiaanien välillä # asteista radiaaneihin: # kulma_radiaaneina = math.radians(kulma_asteina) # radiaaneista asteisiin: # kulma_asteina = math.degrees(kulma_radiaaneina) # tavalliset trigonometriset funktiot (käyttävät radiaaneja!): # s = math.sin(kulma) # c = math.cos(kulma) # t = math.tan(kulma) # Jos haluamme laskea esim sin(50astetta), # niin se tehdään esim näin: # s = math.sin(math.radians(50)) # tämän lisäksi tarvitsemme myöskin # "käänteisfunktiot" näille, eli arcus-funktiot # Arcustrigonometrisia funktioita käytetään, # kun halutaan laskea kulman koko. # kulma = math.asin(vastainen_kateetti / hypotenuusa) # kulma = math.acos(viereinen_kateetti / hypotenuusa) 9
11 # kulma = math.atan(vastainen_kateetti / viereinen_kateetti) # tämän lisäksi on hyödyllistä käyttää # seuraavaa versiota atan-funktiosta: # kulma = math.atan2(vastainen_kateetti, viereinen_kateetti) # atan2-funktio pystyy käsittelemään # kaikkia kulmia välillä [0,2pi] = [0,360] astetta # HUOM! arcus-funktiot palauttavat kulman radiaaneissa!!!!! # Jos haluamme laskea atan2(5,3) # ja saada vastauksen asteina, niin voimme tehdä esimerkiksi: # k = math.degrees(math.atan2(5,3)) # satunnaislukugeneraattori Pythonissa # lue sisään random kirjasto import random # asetetaan satunnaisukuja x- ja y-muuttujallie x = random.random() #.random() ei ota attribuutteja y = random.randrange(1,5) # x saa satunnaisen arvon välillä [0,1[, # eli kaikki mahdolliset arvot 0 ja 1 välillä, # mukaanlukien 0 ja poislukien 1. # y saa satunnaisen kokonaisarvon välillä [1,5[, # eli joukosta {1, 2, 3, 4}, # huomaa että 5 ei kuulu joukkoon! # Pyhtonissa on myös olemassa random.randint(1,5), # mutta tässä tapauksessa 5 kuuluu maalijoukkoon, # ja tätä halutaan harvoin ohjelmoinnissa. # Python sulkee ikkunan heti kun ohjelma päättyy, # ja emme kerkeä näkemään aikaansannostamme. # Kirjastossa on olemassa metodi jolla ohjelma pysähtyy # ja jää odottamaan, # että käyttäjä klikkaa ikkunaa ennen sammuttamista. koord.waitforclick() 10
12 B Tunti 2 - esitiedot # # Miten käyttää vectors-kirjastoa # # Jos vectors.py kirjasto on samassa hakemistossa kuin koodisi, # niin voit tuoda kirjaston näin: from vectors import * # Kirjasto mahdollistaa koordinaatiston käytön: koord = CoordinateSystem() # Koordinaatiston oletusarvot ovat sekä x että y = [-10,10], # mutta voidaan tarvittaessa muuttaa: #koord.setaxes(-20,10,-10,20) # Kirjasto käyttää Turtle-grafiikkaa, # joten kaikki perinteiset Turtle-ominaisuudet ovat käytettävissä. # Turtle-kynä on muuttujassa "pen". # Määritellään vektoreita käyttämällä kirjastoa a = Vector(1,1) b = Vector(-2,2) # Määritellään vektori käyttämällä apumuuttujia # komponenttienkertoimille c_i = 5.5 c_j = 3.1 c = Vector(c_i, c_j) # Piirretään vektorit, oletusvärisenä (musta) # ja käyttämällä värimääritystä # (ns. Web-väri nimet toimivat ja HEX-värikoodit) a.draw() b.draw("red") c.draw("#0000ff") # HEX-värikoodi (#RRGGBB): # - alkaa aina #-merkillä ja sen perään 6 merkkiä RrGgBb # - Rr punaisen värikomponentin määrä hexalukuna # - Gg vihreän värikomponentin määrä hexalukuna # - Bb sinisen värikomponentin määrä hexalukuna # Hexaluvut: [00,FF] vastaa 10-järjestelmässä [0,255] 11
13 # hexa Rr => 10-järjestelmässä R*16 + r # hexanumerot: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, # missä A ~ 10, B ~ 11, C ~ 12, D ~ 13, E ~ 14, F ~ 15) # Huomaa, että vektorit piirretään niin, # että seuraavan vektori on aina edellisen päätepiste # (ihan niinkuin turtle-grafiikassa muutenkin) # Jos halutaan aloittaa pirtäminen toisesta piseestä: pen.penup() # kynä on oletusarvoisesti alhaalla, joten nostetaan se pen.goto(-1,1) Vector(-4,5).draw("#FF88AA", 2) # vektorit piirretään vaikka Turtle-kynä olisikin ylhäällä! pen.goto(-1,1) Vector(-7,-8).draw("#44AA66", 8) # Huomaa miten nuolen paksuutta muutettiin # Python sulkee ikkunan heti kun ohjelma päättyy, # ja emme kerkeä näkemään aikaansannostamme. # Kirjastossa on olemassa metodi jolla ohjelma pysähtyy # ja jää odottamaan, # että käyttäjä klikkaa ikkunaa ennen sammuttamista. koord.waitforclick() 12
14 C Tunti 3 - esitiedot # # Miten käyttää vekctors-kirjastoa # # Jos vectors.py kirjasto on samassa hakemistossa kuin koodisi, # niin voit tuoda kirjaston näin: from vectors import * # Kirjasto mahdollistaa koordinaatiston käytön: koord = CoordinateSystem() # Koordinaatiston oletusarvot ovat sekä x että = [-10,10], # mutta voidaan tarvittaessa muuttaa: koord.setaxes(-2,20,-2,20) # Kirjasto käyttää Turtle-grafiikkaa, # joten kaikki perinteiset Turtle-ominaisuudet ovat käytettävissä. # Turtle-kynä on muutujassa "pen". # Kirjastossa on valmiina metodi jolla voi piirtää paraabelin, # joka menee origon kautta # alustetaan paraabeli p p = ParabelOrigo() # määritellään paraabelin huippu p.top(10, 10) # piirretään paraabeli, voidaan valita väri ja paksuus p.draw("red", 2) # Kirjastossa voidaan myös käyttää paraabelin yhtälöä hyväksi # alustetaan paraabeli q q = ParabelOrigo() # annetaan paraabelin yhtälöstä y = ax^2 + bx + c parametreina a ja b, # koska kyseessä on paraabeli origon läpi, niin c on aina 0. q.equation(-.15, 3) # piirretään paraabeli q.draw("blue", 4) # kun paraabeli o määritelty sadaan paraabelin # y-arvo syötteellä x funktiolla.gety(x): # haetaan paraabeli p:n y-arvo, kun x on 10 y = p.gety(10) 13
15 # kun paraabeli on määritelty saadaan # paraabelin tangentin kulmakerroin tietyssä pisteessä # funktiolla.getk(x): # haetaan paraabelin p:n tangentin kulmakerroin kun x on 5 k = p.getk(5) # miten tämä lasketaan ja mikä hyöty tästä on # tulee myöhemmällä matematiikan kurssilla! # Funktiot toimivat Pythonissa melkein # samoin kuin matematiikassakin # matematiikan fuktio f(x) = 10x - 5 # tehdään Pythonissa seuraavasti: def f(x): return 10*x -5 # Funktion käyttö sen jälkeen kun se on määritelty on helppoa: y = f(10) # y saa arvon 10*10-5 = 95 # HUOM! Pythonissa funktio on pakko määritellä # ohjelmakoodissa ennenkuin sitä voidaan käyttää!!! # Python sulkee ikkunan heti kun ohjelma päättyy, # ja emme kerkeä näkemään aikaansannostamme. # Kirjastossa on olemassa metodi jolla ohjelma pysähtyy # ja jää odottamaan, että käyttäjä klikkaa # ikkunaa ennen sammuttamista. koord.waitforclick() 14
Vektorit Opettajan ohjeet
Vektorit Opettajan ohjeet Ohjelmointipaketti lukioon Työ on tehty osana Helsingin yliopiston kurssia Ohjelmointi matematiikan opetuksessa. Työtä saa vapaasti jakaa eteenpäin, muokata sekä käyttää. Tekijät:
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla (Opettajan ohje)
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla (Opettajan ohje) TAVOITTEET Tämän kokonaisuuden tavoitteena on tutustuttaa oppilaat Pythonilla ohjelmointiin ja erityisesti Turtle moduulin
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 3.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 3.2.2010 1 / 36 Esimerkki: asunnon välityspalkkio Kirjoitetaan ohjelma, joka laskee kiinteistönvälittäjän asunnon
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotVektoreita GeoGebrassa.
Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotTrigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.2.2011 1 / 37 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti
LisätiedotTYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotRatkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotGeogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
LisätiedotAloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
LisätiedotLäpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotHarjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotGEOGEBRAN TYÖKALUT. Siirrä-työkalu. Siirrä
GEOGEBRAN TYÖKALUT Siirrä-työkalu Siirrä Valitse objekti ja siirrä objektia vetämällä sitä hiiren vasemmalla näppäimellä. Käyttämällä siirrä toimintoa voit myös poistaa objektin painamalla Deletenäppäintä.
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotVektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.
Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
Lisätiedot3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita
3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotTYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Valitse Näkymät->Geometria PIIRRETÄÄN KOLMIOITA: suorakulmainen kolmio keksitkö, miten korostat suoraa kulmaa? tasakylkinen kolmio keksitkö,
LisätiedotMatikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedot