Suuntautumisvaihtoehdot ja pääaineet

Transkriptio

1 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Matematiikkaa sanotaan tieteiden kuningattareksi, eikä syyttä, sillä tieteistä juuri matematiikassa ihmismieli voi tietoisesti kaikkein vapaimmin liikkua kohti uusia maailmoita, äärettömiä ulottuvuuksia. Ja vaikka näin on, matemaattinen päättely on ehdottoman loogista ja aukotonta, minkä vuoksi matematiikka on verraton apuväline useille muille tieteille, kansantaloudesta supersäiefysiikkaan, lääketieteestä kaaokseen ja fraktaaleihin. Yliopistomatematiikassa on laskemisen ohella huomattavan suuri paino loogisella päättelyllä ja opiskelu vaatii jossain määrin myös uuden ajattelutavan omaksumista. Tietotekniikan kehittymisen myötä on yleinen harhaluulo ollut, että matematiikka menettää merkityksensä, kun tietokoneet hoitavat jo kaiken laskemisen. Itse asiassa on käynyt päinvastoin. Tekniikan kehittyminen on avannut uusia hedelmällisiä yhteyksiä jopa matematiikan kaikkein abstraktimpien alojen ja muiden tieteiden välille. Esimerkiksi monet tiedonsiirrossa ja tietoturvassa käytettävät menetelmät perustuvat klassisen lukuteorian tuloksiin. Nykyään useilla tieteenaloilla käytetään matemaattisia malleja ongelmien analysoimisessa. Niiden avulla ongelmia voidaan kuvata pelkistetyssä muodossa, mikä on osoittautunut usein hyödylliseksi tutkittavien ilmiöiden ymmärtämisessä ja ratkaisujen etsimisessä. Tilastotiede on tiedettä satunnaiselementtejä sisältävistä matemaattisista malleista ja niiden hyödyntämisestä reaalimaailman ilmiöiden kuvaamisessa ja ymmärtämisessä. Tilastotiede on todellisuuden ilmiöitä tutkittaessa tai havainnoitaessa hankitun mittausaineiston eli datan analysointia ja ilmiöiden mallittamista käsittelevä yleinen menetelmätiede, jota tarvitaan kaikilla tieteenaloilla. Tilastotiede on tulevaisuuden tiedettä, jonka merkitys tulee kasvamaan entisestään kun olennaista tietoa etsitään räjähdysmäisesti kasvavista datamääristä. Koulutusohjelman opintojen kautta voi päätyä hyvin erilaisiin työtehtäviin yhteiskunnassa: opettajaksi eriasteisissa kouluissa ja oppilaitoksissa matematiikan, tilastotieteen ja niiden lähialojen asiantuntijaksi teollisuudessa ja muussa elinkeinoelämässä tutkijaopettajaksi akateemisissa oppilaitoksissa tutkimustehtäviin suurehkojen yritysten tutkimusyksiköissä tai erilaisten järjestöjen ja julkisyhteisöjen ylläpitämissä tutkimuslaitoksissa. Laaja-alaisuutensa ja keskeisyytensä takia matematiikan, sovelletun matematiikan ja tilastotieteen opinnot antavat myös hyvän pohjan uudelleen suuntautumiseen elämäntilanteen mahdollisesti niin vaatiessa. Suuntautumisvaihtoehdot ja pääaineet Alemmassa korkeakoulututkinnossa eli luonnontieteiden kandidaatin (LuK) tutkinnossa pääaineena voi olla joko matematiikka tai tilastotiede. LuK-tutkinnon laajuus on 120 opintoviikkoa (ov) ja se on mahdollista suorittaa kolmessa vuodessa. Ylemmässä korkeakoulututkinnossa eli filosofian maisterin (FM) tutkinnossa pääaineena on matematiikka, sovellettu matematiikka tai tilastotiede. FM-tutkinto voidaan suorittaa seuraavissa suuntautumisvaihtoehdoissa (sv): aineenopettajan sv matematiikan sv matematiikan ja tietotekniikan sv sovelletun matematiikan sv tilastotieteen sv FM-tutkinnon laajuus kussakin suuntautumisvaihtoehdossa on 160 ov, joka ajallisesti vastaa noin viittä vuotta. Jatkotutkintoina matemaattisten tieteiden koulutusohjelmassa on mahdollisuus suorittaa filosofian lisensiaatin (FL) ja filosofian tohtorin (FT) tutkinnot matematiikassa, sovelletussa matematiikassa ja tilastotieteessä. Aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa opiskelevat valmistuvat opettajiksi peruskouluun ja lukioon sekä muihin oppilaitoksiin. Matematiikan rinnalle toiseksi opetettavaksi aineeksi valitaan fysiikka, kemia tai tietojenkäsittelytiede (tietotekniikka). Opintoihin sisältyy myös 35 ov aineenopettajan pedagogisia opintoja. Lähivuosina on matemaattisten aineiden opettajia jäämässä runsaasti eläkkeelle, mistä johtuen aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdosta valmistuvien työllistymismahdollisuudet opettajan ammattiin ovat erittäin hyvät. Tähän suuntautumisvaihtoehtoon valittavien opiskelijoiden kiintiö on 35 vuosittain, ja soveltuvuuskokeet järjestetään helmikuussa. Matematiikan suuntautumisvaihtoehto on tarkoitettu lähinnä tutkijan urasta kiinnostuneille. Koska sen sisältöä koskevat rajoitukset ovat vähäisiä, opiskelija voi sopivilla kurssi- ja sivuainevalinnoilla saada valmiudet toimia matemaatikkona myös teollisuuden tai muun elinkeinoelämän palveluksessa. Sivuaineiksi voidaan valita esim. sovellettu matematiikka, tietojenkäsittelytieteet, tilastotiede, taloustiede tai fysiikka. Matematiikan ja tietotekniikan suuntautumisvaihtoehdosta valmistuu matematiikan asiantuntijoita informaatiotekniikan teollisuuden ja tutkimuksen palvelukseen. Koulutuksessa korostuu syvällinen ja laaja matematiikan menetelmien hallinta, jota tukevat opintojen loppuvaiheeseen sijoittuvat soveltavat kurssit ja riittävät ATK-opinnot. Valmistuneet ovat löytäneet työpaikkansa mm. tietoliikennetekniikan yrityksistä (matkapuhelinyritykset), ohjelmistotaloista, ammattikorkeakouluista ja valtion tutkimuslaitoksista. Sivuaineiksi sopivat esim. tietojenkäsittelytieteet (pakollinen), tilastotiede, tietolii- 1

2 kennetekniikka, taloustieteet ja fysiikka. Sovelletun matematiikan suuntautumisvaihtoehdossa perehdytään erikoisesti luonnontieteissä, tekniikassa ja taloustieteissä esiintyvien matemaattisten mallien analysointiin ja niiden ratkaisumenetelmiin. Suuntautumisvaihtoehto antaa valmiuksia toimia matemaatikkona teollisuuden ja muun elinkeinoelämän palveluksessa, opettajana ammatillisissa oppilaitoksissa sekä sovellusorienteisen matematiikan tutkijana. Sopivia sivuaineita ovat esim. fysiikka, tietojenkäsittelytieteet, tilastotiede ja teknilliset tieteet oppiaineen pääedustajan suostumuksella. Suuntautumisvaihtoehdosta valmistuneet ovat sijoittuneet erinomaisesti teollisuuteen, muuhun elinkeinoelämään ja erilaisiin opetus/tutkimustehtäviin. Tilastotieteen suuntautumisvaihtoehdossa opiskelija perehtyy sellaisiin matemaattisiin malleihin, jotka sisältävät vaihtelua ja satunnaisuutta kuvaavia suureita. Tällaisia malleja käytetään kaikilla niillä tieteen ja teknologian aloilla, joilla analysoidaan satunnaisilmiöiden tuottamia havaintoja. Tilastotieteen teoria ja siihen pohjautuvat menetelmät muodostavat sen tieteellis-metodologisen perustan joka mahdollistaa monimutkaisia ilmiöitä koskevien tilastollisten päätelmien ja ennusteiden tekemisen. Suuntautumisvaihtoehto antaa valmiuksia toimia tilastotieteen asiantuntijana erilaisissa yrityksissä, tutkimuslaitoksissa ja korkeakouluissa sekä tarjoaa hyvän pohjan jatko-opinnoista kiinnostuneelle. Suuntautumisvaihtoehdosta valmistuneet ovat viime vuosina sijoittuneet erittäin hyvin työelämään. Erityisesti teknistä, lääketieteellistä, maatalous- ja metsätieteellistä sekä taloustieteellistä tutkimusta harjoittavat yksiköt sekä lääketehtaat tarvitsevat jatkuvasti tilastotieteilijöitä. Tutkinnon rakenne ja suuntautumisvaihtoehtojen vaatimukset Opintojaksot jakautuvat Y, P, A ja S opintoihin. Yleisopintoja (Y) ovat mm. orientoivat opinnot sekä kieliopinnot. Matemaattisten tieteiden koulutusohjelman omille opiskelijoille tarkoitetuista opintojaksoista perusopinnoiksi (P) nimettyjä ovat Matematiikan perusmetodit I Lineaarialgebra I ja II Analyysi I Tilastotieteen perusteet Data-analyysin perusmenetelmät Todennäköisyyslaskennan peruskurssi, joista osa on kaikille pakollisia. P, A tai S opintojakson koodinumeron perässä ilmoittaa sen, kuuluuko ko. jakso perusopintoihin, aineopintoihin vai syventäviin opintoihin. FM-tutkinto (160 ov) koostuu kaikissa suuntautumisvaihtoehdoissa pääpiirteittäin seuraavista osa-alueista. pakolliset yleisopinnot (4-6 ov) ydin 23 ov pääaineen muut P ja A opinnot pääaineen syventävät opinnot sivuaineet/ valinnaiset opinnot. Aineopintoihin voidaan sisällyttää työharjoittelua korkeintaan 4 ov (ei aineenopettajan sv.). Työharjoittelu voidaan hyväksyä etukäteen tehdyn sopimuksen mukaisesti ja siitä on jätettävä lyhyt kirjallinen selvitys päättöseminaarin yhteydessä. Mitoitusperusteena kolmea työviikkoa vastaa 1 ov. 2

3 LuK-tutkintorakenne - Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma 80008Y Orientoivat opinnot Y Ruotsin kieli Y Englannin kieli 1* Y Englannin kieli 2* P Matematiikan PM I 5 * = englannin kielen vaihtoehtona saksan kieli P Analyysi I 5 **=väh ov:n kokonaisuus tai 2 väh. 10 ov:n P Lineaarialgebra I 2 kokonaisuutta P Lineaarialgebra II 3 ***=kutakin sivuainetta oltava väh. 10 ov Matematiikka Tilastotiede Analyysi II 5 Tilastotiet.perusteet 5 Seminaari(LuK-tutkielma) 3 Data-analyysin pm 5 valinn. pääaineop. 27 Tilast. päättely I 5 Lineaariset mallit 5 Proseminaari 3 valinnaiset pääaineop. 17 sivuaineopinnot** 45 Kirjall.ja suull.viestintä 2 valinnaiset opinnot 21 Tod.laskennan pk. 3 valinn. sivuaineopinnot*** 27 valinnaiset opinnot 29 Kypsyysnäyte -kirjoitetaan seminaarin/proseminaarin aiheesta FM-tutkintorakenne - Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma 80008Y Orientoivat opinnot Y Ruotsin kieli Y Englannin kieli 1* Y Englannin kieli 2* P Matematiikan PM I P Analyysi I 5 * = englannin kielen vaihtoehtona saksan kieli P Lineaarialgebra I 2 ** = (S) jaksoista osa pakollisia Ydin (23 ov) P Lineaarialgebra II 3, ks. tarkemmin tutkintovaatimukset eri sv:ssa A Analyysi II 5 ***=kurssia ei lasketa matematiikan opintoihin A Seminaari(LuK-tutkielma) 3 /805331AProseminaari 3 Aineenopettajan sv. Matematiikan sv. Sov. matematiikan sv. Mat. ja tietotekniikan sv. Tilastotieteen sv. Algebra I 5 Algebra I 5 Matematiikan ATK 5 Algebra I 5 Tilastotiet. perusteet 5 valinnaiset pääaineop. 12 valinnaiset pääaineop. 20 Numeriikan pk 4 Tod.laskennan pk 3 Tod.laskennan pk 3 Numeriikan pk:n harj.työ 1 valinnaiset pääaineop. 17 Data-analyysin pm 5 Opintoihin tulee sisältyä valinnaiset pääaineop. 15 Tilast. päättely I 5 joko Tilastotiet.perusteet 5 Lineaariset mallit 5 Tod.laskennan pk. 3 Toinen kursseista Satunn.mallien teoria 4 tai Data-analyysin per. 5 Työharjoittelu 3 Tilastotiet.perusteet*** 5 Tilast. päättely I 5 valinnaiset pääaineop opetettava aine 35 Tietojenkäsittelytiede 35 Kirjall. ja suull. viestintä 2 pedagogiset opinnot 35 sivuaine-/valinn.opinnot 65 sivuaine-/valinn.opinnot 65 sivuaine-/valinn.opinnot 20 sivuaine-/valinn.opinnot 45 sivuaine-/valinn.opinnot 21 Tilastollinen päättely II 5 Seminaari 5 Pro gradu-tutkielma 10 Harjoitusaine 3 Harjoitusaine 3 Kypsyysnäyte Pro gradu -tutkielma 15 Pro-gradu-tutkielma 15 (S) opintojaksoja 15 Kypsyysnäyte Kypsyysnäyte (S) opintojaksoja ** 25 (S) opintojaksoja 15 3

4 4

5 LuK-tutkinto (120 ov) LuK-tutkinnossa pääaine voi olla joko matematiikka tai tilastotiede. Pääaine : Matematiikka Pakolliset yleisopinnot (4 ov) Ydin (23 ov) Orientoivat opinnot 1 ov Y Matematiikan perusmetodit I 5 ov P Ruotsin kieli 1 ov Y Analyysi I 5 ov P Englannin kieli 1 1 ov Y Lineaarialgebra I 2 ov P Englannin kieli 2 1 ov Y Lineaarialgebra II 3 ov P Analyysi II 5 ov A Englannin vaihtoehtona on saksan kieli: LuK-tutkielma (seminaari) 3 ov A Saksan kieli 1 1 ov Y LuK-tutkintoon kuuluva kypsyysnäyte S Saksan kieli 2 1 ov Y kirjoitetaan opintojakson A aiheesta. Muita matematiikan aine- tai syventäviä opintoja sopimuksen mukaan väh. 27 ov. Sivuaineopinnot (vähintään 45 ov) Vähintään yksi 35 ov:n opintokokonaisuus tai kaksi vähintään 10 ov:n kokonaisuutta. Aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa opiskelevat voivat sisällyttää sivuaineopintoihin kasvatustieteen approbatur-opintokokonaisuuden (15 ov). Lisäksi valinnaisia opintojaksoja Pääaine : Tilastotiede Pakolliset yleisopinnot (6 ov) Pakolliset tilastotieteen opinnot (23 ov) Orientoivat opinnot 1 ov Y Tilastotieteen perusteet 5 ov P Ruotsin kieli 1 ov Y Data-analyysin perusmenetelmät 5 ov P Kirjall. ja suullinen viestintä 2 ov Y Tilastollinen päättely I 5 ov A Englannin kieli 1 1 ov Y Lineaariset mallit 5 ov A Englannin kieli 2 1 ov Y Proseminaari 3 ov A Englannin vaihtoehtona on saksan kieli: LuK-tutkintoon kuuluva kypsyysnäyte S Saksan kieli 1 1 ov Y kirjoitetaan opintojakson A aiheesta. Saksan kieli 2 1 ov Y Muita tilastotieteen aine- ja syventäviä opintojaksoja vähintään 17 ov. Sivuaineopinnot (vähintään 45 ov): Pakolliset sivuaineopinnot: Valinnaiset sivuaineopinnot: Matematiikan perusmetodit I 5ov P LuK-tutkintoon voi sisällyttää soveltavan Lineaarialgebra I 2 ov P alan sivuaineita (vähintään 10 ov kunkin Lineaarialgebra II 3 ov P sivuaineen opintoja). Analyysi I 5 ov P Tod.näk.laskennan perusk. 3 ov P Lisäksi valinnaisia opintojaksoja 5

6 FM-tutkinto (160 ov) Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Aineenopettajan suuntautumisvaihtoehto (160 ov) Pakolliset yleisopinnot (4 ov) Orientoivat opinnot Y Ruotsin kieli Y Englannin kieli Y Englannin kieli Y Englannin kielen vaihtoehtona on saksan kieli: Saksan kieli Y Saksan kieli Y Matematiikan opinnot Ydin (23 ov): Matematiikan perusmetodit I P Analyysi I P Lineaarialgebra I P Lineaarialgebra II P Analyysi II A Seminaari (LuK-tutkielma) A Muut pakolliset matematiikan aineopinnot (5 ov): Algebra I A Valinnaiset opinnot (vähintään 12 ov) seuraavista: Matematiikan historia A Kompleksianalyysi I A Kompleksianalyysi II A Differentiaaliyhtälöt I A Differentiaaliyhtälöt II A Todennäköisyyslaskennan peruskurssi P Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi A Algebra II A Diskreetti matematiikka A Salausmenetelmät A Numeriikan peruskurssi A Numeriikan peruskurssin harjoitustyö A Koulugeometrian perusteet (ent. Geometria) A Matemaattinen mallintaminen A tai jokin muu opintojakso sv:n vastuuhenkilön suostumuksella. HUOM! Opintojaksoa P Matematiikan perusmetodit II ei hyväksytä pääaineopintoihin. Syventävät opinnot 25 ov: Pro gradu tutkielma S Kypsyysnäyte S Matematiikan syventäviä opintojaksoja 15 6

7 Pakolliset sivuaineopinnot 35 ov Toinen opetettava aine (fys/kem/tietojenkäsittelytieteet) 35 Muut pakolliset opinnot Opettajan pedagogiset opinnot 35 Lisäksi valinnaisia sivuaine- tai pääaineopintojaksoja 21 ov Jos opintojakso P Todennäköisyyslaskennan peruskurssi puuttuu, niin opintojakso P Tilastotieteen perusteet on pakollinen. Suositeltavaa on, että valinnaiset opinnot sisältävät yhden 15 ov:n opintokokonaisuuden kouluissa opetettavaa ainetta. Jos 2. opetettava aine on esim. kemia, valinnaisiksi opinnoiksi suositellaan fysiikkaa tai tietojenkäsittelytiedettä. Opiskelijan odotetaan hallitsevan tieto- ja viestintätekniikan perustaidot, kun hän aloittaa opettajan pedagogiset opinnot. Kyseiset taidot (Windows-perusteet, tekstinkäsittely, sähköpostin ja internetin käyttö) voi opetella joko itsenäisesti tai erillisillä kursseilla. Ks. lisätietoja s.12 Suuntautumisvaihtoehdot ja pääaineet. Lisätietoa aineenopettajan koulutuksesta löytyy oppaan loppuosasta luvusta Tietoa aineenopettajan koulutuksesta. Aineenopettajan sivuainekokonaisuudet ja pedagogiset opinnot Tietojenkäsittelytieteiden (tietotekniikka) 15 ov:n kokonaisuus Pakolliset opintojaksot 10 ov: katso tietojenkäsittelytieteiden koulutusohjelma, Tietojenkäsittelytiede sivuaineena. Valinnaiset opintojaksot 5 ov: kts. lista alempana (valinnaisia kursseja). Tietojenkäsittelytieteiden 35 ov:n kokonaisuus Approbaturia (15 ov) vastaavien opintojen lisäksi väh. 8 ov. seuraavista Digitaalisen median perusteet A Ihminen tietotekniikan käyttäjänä A Johdatus ohjelmistotuoteliiketoimintaan A Johdatus tiedonhallintaan A Ohjelmistotekniikka A Oliosuuntautunut analyysi ja suunnittelu A Projektitoiminnan perusteet A Tietorakenteet A Valinnaisia kursseja (sekä 15 ov että 35 ov kokonaisuudet): Tietokoneen käytön perusteet P Tietokonejärjestelmät P Olio-ohjelmointi A Internet ja tietoverkot A ATK 0 Tietokoneen käytön perusteet P ATK 1 Ohjelmoinnin perusteet (C-kieli) P ATK II: Numeerinen mallintaminen A ATK III: Tieteellinen ohjelmointi (C++) A ATK IV: Numeerinen ohjelmointi (Fortran) S Diskreetti matematiikka A Koodausteorian perusteet A Matematiikan ATK A Salausmenetelmät A Matemaattinen logiikka S Koodausteoria S Automaatit ja formaalit kielet S Kryptografia S Optimointiteoria S tai jokin muu kurssi sopimuksen mukaan. Huom! Samaa kurssia ei voi sisällyttää sekä matematiikan että tietojenkäsittelytieteiden opintoihin. Fysiikan 15 ja 35 ov:n opintokokonaisuudet Katso fysikaalisten tieteiden koulutusohjelma, Opintokokonaisuudet sivuaineopiskelijoille. Kemian 15 ja 35 ov:n opintokokonaisuudet Katso kemian koulutusohjelma, Kemia sivuaineena. 7

8 Opettajan pedagogiset opinnot Katso kasvatustieteiden tiedekunnan aineenopettajakoulutuksen opintooppaasta. Matematiikan suuntautumisvaihtoehto (160 ov) Pakolliset yleisopinnot (4 ov) ja ydin (23 ov) kuten aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa. Muut matematiikan opinnot Algebra I A Valinnaiset (vähintään 20 ov) esimerkiksi seuraavista: Matematiikan historia A Kompleksianalyysi I A Kompleksianalyysi II A Todennäköisyyslaskennan peruskurssi P Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi A Topologia A Diskreetti matematiikka A Matemaattinen mallintaminen A Algebra II A Differentiaaliyhtälöt I A Differentiaaliyhtälöt II A Koulugeometrian perusteet (ent. Geometria) A Salausmenetelmät A Numeriikan peruskurssi A Numeriikan peruskurssin harjoitustyö A Matematiikan ATK A tai jokin muu opintojakso sv:n vastuuhenkilön suostumuksella. HUOM! Opintojaksoa P Matematiikan perusmetodit II ei hyväksytä pääaineopintoihin. Näiden lisäksi aineopintoihin voi sisällyttää työharjoittelun. Syventävät opinnot (vähintään 43 ov): Harjoitusaine S Pro gradu tutkielma S Kypsyysnäyte S Ainakin yksi seuraavista kursseista: Analyysi III S Automaatit ja formaalit kielet S Funktionaalianalyysi S Lukuteoria S Osittaisdifferentiaaliyhtälöt S Reuna- ja alkuarvotehtävät S Valinnaiset (vähintään 20 ov) edellisistä tai seuraavista: Differentiaaliyhtälöt S Epälineaarinen analyysi S Integraaliyhtälöt S Koodausteoria S Kryptografia S Matemaattinen logiikka S Matriisiteoria S Numeerinen analyysi S Ryhmäteoria S tai jokin muu opintojakso sv:n vastuuhenkilön suostumuksella. Sivuaine- ja valinnaiset pääaineopinnot 65 ov Sivuaineina voivat olla fysiikka, teoreettinen fysiikka, kemia, tietojenkäsittelytiede, taloustiede, tilastotiede, sovellettu matematiikka tai suuntautumisvaihtoehdon vastuuhenkilön kanssa erikseen sovittavan tieteenalan opinnot. Suositellaan, että ainakin yhdestä sivuaineesta on vähintään 10 ov:n sivuainemerkinnän edellyttämät opinnot. Opintojaksojen valinnassa on hyvä kääntyä matemaattisten tieteiden ja opetusta antavan laitoksen puoleen. Sovelletun matematiikan suuntautumisvaihtoehto (160 ov) Pakolliset yleisopinnot (4 ov) ja ydin (23 ov) kuten aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa. Muut sovelletun matematiikan opinnot Matematiikan ATK P 8

9 Numeriikan peruskurssi A Numeriikan peruskurssin harjoitustyö A Valinnaiset (vähintään 15 ov) esimerkiksi seuraavista: Differentiaaliyhtälöt I A Kompleksianalyysi I A Kompleksianalyysi II A Todennäköisyyslaskennan peruskurssi P Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi A Algebra I A Matemaattinen mallintaminen A Tilastollinen päättely I A Satunnaismallien teoria A Matemaattiset apuneuvot A Optimoinnin perusteet A Signaalit ja järjestelmät (mat. jaoksen kurssi) 3 HUOM! Opintojaksoa P Matematiikan perusmetodit II ei hyväksytä pääaineopintoihin. Syventävät opinnot (vähintään 43 ov): Harjoitusaine S Pro gradu tutkielma S Kypsyysnäyte S Ainakin yksi seuraavista kolmesta kurssista: Numeerinen analyysi S Reuna- ja alkuarvotehtävät S Optimointiteoria S Valinnaiset (vähintään 15 ov) edellisistä tai seuraavista: Analyysi III S Matriisiteoria S Funktionaalianalyysi S Osittaisdifferentiaaliyhtälöt S Fourier-analyysi ja distribuutioteoria S Integraaliyhtälöt S Tilastollinen päättely II S Aikasarjojen spektrianalyysi S Sovelletun matematiikan erikoistyö S Vapaasti valittava 5 ov matemaattisten tieteiden koulutusohjelman syventävistä opintojaksoista HUOM! Edellinen ohjelma on ohjeellinen. Suuntautumisvaihtoehdon vastuuhenkilön suostumuksella poikkeamat ovat mahdollisia. TARKISTA! Sivuaine- ja valinnaiset pääaineopinnot 65 ov Sivuaineopinnot voivat koostua teoreettisen fysiikan, tietojenkäsittelytieteen, tietoliikennetekniikan, tilastotieteen, matematiikan sekä suuntautumisvaihtoehdon vastuuhenkilön suostumuksella jonkin muun luonnontieteellisen tai teknillisen tiedekunnan tieteenalan opinnot. Suositellaan, että ainakin yhdestä sivuaineesta on vähintään 10 ov:n sivuainemerkinnän edellyttämät opinnot. Opintojaksojen valinnassa on hyvä kääntyä matemaattisten tieteiden ja opetusta antavan laitoksen puoleen. Matematiikan ja tietotekniikan sv. (160 ov) Tässä suuntautumisvaihtoehdossa pääaineeksi voidaan valita matematiikka, sovellettu matematiikka tai tilastotiede. Pakolliset yleisopinnot (4 ov) ja ydin (23 ov) kuten aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa. Muut matematiikan opinnot Algebra I A Todennäköisyyslaskennan peruskurssi P Valinnaiset (vähintään 17 ov) esimerkiksi seuraavista: Kompleksianalyysi I A Kompleksianalyysi II A Diskreetti matematiikka A Matemaattinen mallintaminen A Differentiaaliyhtälöt I A Koodausteorian perusteet A Salausmenetelmät A Numeriikan peruskurssi A Numeriikan peruskurssin harjoitustyö A 9

10 Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi A Myös jokin muu sv:n vastuuhenkilön kanssa erikseen sovittava matematiikan, sovelletun matematiikan tai tilastotieteen kurssi kelpaa. Valinnaisista kursseista on syytä ottaa huomioon, että ne vaikuttavat syventävien kurssien valintaan; Koodausteorian kurssilla (800667S) on hyödyksi Koodausteorian perusteet (801326A) jne. HUOM! Opintojaksoa P Matematiikan perusmetodit II ei hyväksytä pääaineopintoihin. Syventävät opinnot (43 ov): Harjoitusaine S Pro gradu tutkielma S Kypsyysnäyte S Lisäksi opiskelijan on valittava vähintään 25 ov matematiikan, sovelletun matematiikan tai tilastotieteen syventäviä kursseja niin, että ne muodostavat luontevan kokonaisuuden. Tilastotieteen opintoja (vähintään 10 ov) Pakollinen kurssi on Tilastotieteen perusteet P Lisäksi on valittava väh. 5 ov tilastotieteen kursseja, joista ensisijaisesti suositellaan: Data-analyysin perusmenetelmät P Tilastollinen päättely I A Huom! Tilastollinen päättely I luennoidaan joka toinen kevätlukukausi (seuraavan kerran kl 2004). Pääaineesta riippumatta edellytetään Tietojenkäsittelytieteiden opintoja (vähintään 35 ov): Katso aineenopettajan sv:n kohdalta tietojenkäsittelytieteiden 35 ov vaatimukset. Niille, jotka suunnittelevat informaatiotekniikkaan liittyvää työuraa, suositellaan yhdeksi sivuainekokonaisuudeksi seuraavaa 15,5 opintoviikon tietoliikenteen opintokokonaisuutta Pakolliset opinnot Tietoliikennetekniikan perusteet (2-3 periodi) P Digitaalisen tiedonsiirron perusteet (4-5 periodi) A Digitaaliset suodattimet (1-2 periodi) A Tiedonsiirron matemaattiset menetelmät (5-6 periodi) 2, S Tietoliikenteen simuloinnit ja työkalut (4-6 periodi) S Digitaalinen tiedonsiirto S Jos kiinnostusta riittää, niin lisäksi suositellaan seuraavia valinnaisia kursseja Valinnaisia kursseja Johdatus tieto- ja tietoliikenneverkkoihin (1-3 periodi) A Matkaviestintäjärjestelmät I (1-3 periodi) S Tilastotieteen suuntautumisvaihtoehto (160 ov) Pakolliset yleisopinnot (6 ov) Orientoivat opinnot Y Ruotsin kieli Y Kirjallinen ja suullinen viestintä Y Englannin kieli Y Englannin kieli Y Englannin kielen vaihtoehtona on saksan kieli: Saksan kieli Y Saksan kieli Y Pakolliset matematiikan opintojaksot (23 ov) ydin kuten aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa paitsi A Seminaari, jonka korvaa A Proseminaari; lisäksi Todennäköisyyslaskennan peruskurssi P Pakolliset tilastotieteen perus- ja aineopinnot Tilastotieteen perusteet P Data-analyysin perusmenetelmät P Tilastollinen päättely I A Lineaariset mallit A Satunnaismallien teoria A 10

11 Proseminaari A Työharjoittelu A Valinnaiset tilastotieteen aineopinnot (väh. 13 ov) esim. seuraavista: Aikasarja-analyysi A Kliininen biostatistiikka A Koesuunnittelu A Luokitettujen aineistojen analysointi A tai jokin muu opintojakso tilastotieteen sv:n vastuuhenkilön suostumuksella.*) Huom! Perusopintojaksot ja proseminaari pidetään joka vuosi, kun taas pakolliset aineopinnot kahden vuoden välein niin, että seuraavan kerran Tilastollinen päättely I luennoidaan kl. 2004, Lineaariset mallit kl ja Satunnaismallien teoria sl Yksittäisiä valinnaisia opintojaksoja luennoidaan korkeintaan joka toinen vuosi. Tilastotieteen syventävät opinnot (43 ov): Tilastollinen päättely II S Tilastotieteen seminaari S Harjoitusaine S Pro gradu tutkielma S Kypsyysnäyte S Valinnaiset opintojaksot (vähintään 15 ov) esimerkiksi seuraavista: Pitkittäis- ja paneeliaineistojen analysointi S Epidemiologian tilastolliset menetelmät S Luokitettujen aineistojen analysointi S Aikasarja-analyysi S Ekonometrian tilastolliset perusteet S Valinnaisiksi opintojaksoiksi voidaan tilastotieteen sv:n vastuuhenkilön suostumuksella valita myös muita opintojaksoja*) Huom! Pakollisista syventävistä opinnoista seminaari pidetään joka lukuvuosi, mutta Tilastollinen päättely II kahden vuoden välein; seuraavan kerran kl Yksittäisiä valinnaisia opintojaksoja luennoidaan korkeintaan joka toinen vuosi. *)Valinnaisiksi opintojaksoiksi kelpaavat muutkin soveltuvat tilastotieteen erikoiskurssit - myös sellaiset, joita pidetään muissa tiedekunnissa ja yliopistoissa sekä valtakunnallisissa ja kansainvälisissä koulutustilaisuuksissa- esim. seuraavista aiheista: koesuunnittelu, otantamenetelmät, Bayes-menetelmät, monimuuttujamenetelmät, parametrittomat ja robustit menetelmät, spatiaalinen tilastotiede, kemometria. Kelpoisuudesta ja korvaavuudesta on syytä sopia etukäteen jonkun oman laitoksen tilastotieteen professorin kanssa. Kunakin lukukautena matemaattisten tieteiden laitoksella luennoitavista erikoiskursseista löytyvät tuoreimmat tiedot laitoksen ilmoitustaululta tai verkkosivulta Joitakin harvoin luennoitavia erikoiskursseja on mahdollista suorittaa sopimuksen mukaan myös kirjatenttinä. Sivuaine- ja valinnaiset opinnot (45 ov) voivat sisältää ylimääräisiä tilastotieteen ja matematiikan kursseja ja/tai opintokokonaisuuksia yhdestä tai useammasta muusta oppiaineesta. Erityisen hyödyllinen ja tärkeä sivuaine on tietojenkäsittelytiede. Ohjelmoinnin perustaidot ovat olennainen osa tilastotieteilijän ammattitaitoa.toiseksi sivuaineeksi suositellaan jotakin reaalitiedettä, jossa tilastotiedettä sovelletaan. Esimerkkeinä perinnöllisyystiede, muut biologiset tieteet, maantiede, taloustieteet sekä jotkin teknillisen tiedekunnan tai lääketieteellisen tiedekunnan oppiaineet. Suosituksena on, että ainakin yhdestä sivuaineesta suoritetaan vähintään 10 ov:n sivuainemerkinnän edellyttämät opinnot. Opiskelu ja opintojen kulku Koulutusohjelman opetus koostuu luennoista, laskuharjoituksista, demonstraatioista ja seminaarityyppisestä työskentelystä. Opintojaksot luennoidaan syyslukukaudella ja kevätlukukaudella välisenä aikana. Opinnoissa menestymisen kannalta on tärkeää, että luennoille ja laskuharjoitustilaisuuksiin osallistutaan aktiivisesti ja että harjoitustehtävien pohtimiseen ja omatoimiseen ratkaisemiseen käytetään riittävästi aikaa ennen harjoituksia. Jos kurssista on luentomoniste tai oppikirja, oppimista voi tehostaa merkittävästi tutustumalla esitettäviin asioihin jo ennen opetustilannetta. Opintojaksot ovat ensimmäisen vuoden aikana eri suuntautumisvaihtoehdoissa lähes samat. Toisena vuotena opetus osittain eriytyy, joten suuntautumisvaihtoehdon valinta on kaikkien hyvä tehdä jo toisen vuoden aikana. Aineenopettajan suuntautumisvaihtoehtoon valittavien määrä on rajoitettu (35/vuosi). Opiskelijoilla on mahdollisuus hakeutua aineenopettajan suuntautumisvaihtoehtoon kevätlukukausittain (helmi-maaliskuun vaihde). Valintaa tehtäessä otetaan huomioon soveltuvuuskokeesta saatu pistemäärä (50 %) ja pääaineen opintomenestys (50 %). Opintomenestys lasketaan opintojaksoista Matematiikan perusmetodit I, Analyysi I, Lineaarialgebra I ja II sekä yhdestä muusta matema- 11

12 tiikan tai tilastotieteen opintojaksosta. Opinto-ohjaus Uusille opiskelijoille järjestetään ensimmäisen opiskeluvuoden syksyllä pienryhmäohjausta, johon osallistuminen on pakollista (Orientoivat opinnot, Y, 1 ov). Pienryhmäohjauksessa tutustutaan vanhemman opiskelijan johdolla uuteen opiskeluympäristöön ja saadaan tietoa opiskeluun liittyvistä käytännön asioista. Tavoitteena on valmentaa uusi opiskelija korkeakouluyhteisön aktiiviseksi jäseneksi. Opiskelun tukena ovat päivittäin myös tutorit, joina toimivat opettajat ja edistyneet opiskelijat. He opastavat laitoksella varatussa tilassa kotitehtävien ratkaisemisessa, oppimateriaaliin perehtymisessä ja muissa opiskeluun liittyvissä ongelmissa. Laitoksen opintoneuvojat ja amanuenssi opastavat kaikkien vuosikurssien opiskelijoita mm. opiskelun suunnitteluun liittyvissä kysymyksissä. Heidän puoleensa voi yleensäkin kääntyä kaikissa opiskeluun liittyvissä käytännön asioissa. Yksittäiseen opintojaksoon liittyvissä kysymyksissä tulee kuitenkin kääntyä opintojakson vastuuhenkilön puoleen. Matematiikka ja tilastotiede sivuaineina Matematiikasta ja tilastotieteestä voi saada 10 ov:n sivuainemerkinnän sekä suorittaa 15 ov:n, 35 ov:n ja 65 ov:n opintokokonaisuudet. Huom! Ensisijaisesti opiskelija suorittaa ne matematiikan ja tilastotieteen kurssit, jotka hänen oman koulutusohjelmansa opetussuunnitelmassa on mainittu. 10 ov:n sivuainemerkinnät Matematiikka sivuainemerkinnän saa suorittamalla 10 opintoviikkoa 15 ov:n opintokokonaisuuden muodostavista opinnoista Tilastotiede Sivuainemerkinnän saa suorittamalla joko Tilastotieteen perusmenetelmät I 5 ov (806109P) Tilastotieteen perusmenetelmät II 5 ov (806110P) tai vaihtoehtoisesti Tilastotieteen perusteet 5 ov (805165P) Data-analyysin perusmenetelmät 5 ov (806112P) Matematiikan 15 ov:n opintokokonaisuus Pakolliset opinnot Matematiikan perusmetodit I P/800147P Lineaarialgebra I P Valinnaiset opinnot, 8 ov seuraavista Lineaarialgebra II P Analyysi I P Algebra I A Koulugeometrian perusteet A Matematiikan historia A Differentiaaliyhtälöt I A Kompleksianalyysi I A Todennäköisyyslaskennan peruskurssi P Salausmenetelmät A Matematiikan perusmetodit II P tai jokin muu matematiikan kurssi matematiikan pääedustajan suostumuksella Luokanopettajien matematiikan 15 ov:n opintokokonaisuus Pakolliset opinnot Matematiikan perusmetodit I P Koulumatematiikan perusteet P Valinnaiset opinnot, 7 ov seuraavista Lineaarialgebra I P Lineaarialgebra II P Algebra I A 12

13 Koulugeometrian perusteet A Matematiikan historia A Salausmenetelmät A Matematiikan didaktiikka 2 tai jokin muu matematiikan kurssi matematiikan pääedustajan suostumuksella. Taloustieteen matematiikan 15 ov:n opintokokonaisuus Pakolliset opinnot Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I P Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II P Talousmatematiikka P Valinnaiset opinnot Lineaarialgebra I P Lineaarialgebra II P Algebra I A Matematiikan 35 ov:n opintokokonaisuus Täydennetään 15 ov:n opintokokonaisuus 35 ov:ksi niin, että mukana ovat seuraavat pakolliset kurssit: Matematiikan perusmetodit I 5 ov (801111P/800147P) Lineaarialgebra I 2 ov (802118P) Lineaarialgebra II 3 ov (802119P) Analyysi I 5 ov (800120P) *) Analyysi II 5 ov (800122A) tai Matematiikan perusmetodit II 5 ov (800148P) Valinnaiset, tarpeellinen määrä seuraavista: Algebra I 5 ov (800333A) Koulugeometrian perusteet 3 ov (801389A) Matematiikan historia 3 ov (801390A) Differentiaaliyhtälöt I 3 ov (800345A) Differentiaaliyhtälöt II 2 ov (800346A) Kompleksianalyysi I 3 ov (801385A) Kompleksianalyysi II 2 ov (801386A) Todennäköisyyslaskennan peruskurssi 3 ov (801195P) Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi 2 ov (801396A) Salausmenetelmät 2 ov (801346A) Algebra II 5 ov (800343A) Numeriikan peruskurssi 4 ov (801387A) Numeriikan peruskurssin harjoitustyö 1 ov (801388A) Matemaattinen mallintaminen 5 ov (800337A) tai jokin muu matematiikan tai sovelletun matematiikan kurssi oppiaineen vastuuhenkilön suostumuksella. Huom! Jos tarkoituksena on saada aineenopettajan pätevyys, suositellaan yhdeksi valinnaiseksi kurssia Algebra I 5 ov. *) Kursseja Analyysi II 5 ov ja Matematiikan perusmetodit II 5 ov ei voi molempia sisällyttää minimivaatimuksiin. 65 ov:n opintokokonaisuus (sivulaudatur) suoritetaan aineenopettajan sv:n matematiikan opintojen mukaisesti. Sivuaineopiskelijoilla matematiikan arvosana määräytyy suoritettujen opintojaksojen keskiarvosta. Tilastotieteen 15 ov:n opintokokonaisuus Täydennetään tilastotieteen 10 ov:n sivuainemerkintään vaadittavat suoritukset sopivalla tilastotieteen aineopintojaksolla tai jaksoilla. Ensisijaisesti suositellaan opintojaksoja Koesuunnittelu, Kliininen biostatistiikka, Lineaariset mallit, Johdatus monimuuttujamenetelmiin ja Tilastollinen päättely I. Tilastotieteen 35 ov:n opintokokonaisuus Täydennetään tilastotieteen 10 ov:n sivuainemerkintään vaadittavat suoritukset sopivilla tilastotieteen opintojaksoilla, joihin sisältyvät ainakin opintojaksot Lineaariset mallit, Tilastollinen päättely I ja Proseminaari. 13

14 Huomattakoon, että Tilastollinen päättely I ja Lineaariset mallit edellyttävät vähintään opintojaksojen Matematiikan perusmetodit I ja II, Lineaarialgebra I sekä Todennäköisyyslaskennan peruskurssi laajuiset esitiedot matematiikassa.. Kuulustelut ja arvosanojen laskeminen Useat perus- ja aineopintoihin kuuluvat opintojaksot voi suorittaa välikokeilla. Kurssin suorittaminen edellyttää tällöin riittävän pistemäärän saavuttamista jokaisesta välikokeesta. Pisterajoista ilmoitetaan kurssin aloitusluennoilla. Opintojaksojen loppukokeita järjestetään pääsääntöisesti kahdesta neljään kertaan lukuvuodessa. Loppukokeet järjestetään Linnanmaalla salissa L1 klo matemaattisten tieteiden laitoksen ilmoitustaululla lukukauden alussa ilmoitettavina maanantaipäivinä. Ilmoitustaululla ilmoitetaan tarkemmin myös se, mitä loppukokeita kunakin päivänä voi tenttiä. Mikäli opiskelija haluaa tenttiä loppukoelistalle kuulumattoman opintojakson, niin hänen tulee ottaa yhteyttä laitoksen amanuenssiin tai opintojakson vastuuhenkilöön. Loppukokeisiin on ilmoittauduttava viimeistään tenttipäivää edeltävänä torstaina. Matematiikan loppukokeiden ilmoittautumislistat ovat 2. kerroksen hissiaulassa olevassa kansiossa ja tilastotieteen loppukokeiden ilmoittautumislistat ovat 3. kerroksen hissiaulassa olevassa kansiossa. Käytettävä arvosteluasteikko : 1; 1+; 1,5; 2-; 2; 2+;2,5; 3-, 3 (esim 1+ = 1 1 / 4 ja 2 = 1 3 / 4 ). Arvosteluasteikkoa noudatetaan syyslukukaudesta 2002 alkaen. Syventävien opintojen hyväksyttyä arvosanaa saa yrittää korottaa kerran. Yritykseksi katsotaan vastauspaperin palauttaminen tarkastettavaksi. LuK-tutkinnon pääaineen arvosana on pääaineen opintojen keskiarvo. Aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdossa opiskeleville pääaineen arvosana FM-tutkintoa varten lasketaan seuraavasti: 1) Kahdeksasta parhaasta matematiikan P / A opintojaksosta lasketaan keskiarvo A1 (kunkin jakson paino on yksi), 2) kerrotaan se kahdella, 3) lisätään kolmen syventävän kurssin arvosanat S1, S2, S3 ja 4) jaetaan saatu summa viidellä, jolloin tulokseksi saadaan luku X. Lopullinen arvosana saadaan myöhemmin olevan taulukon mukaisesti. Matematiikan, matematiikan ja tietotekniikan sekä sovelletun matematiikan suuntautumisvaihtoehdoissa opiskeleville pääaineen arvosana FM-tutkintoa varten lasketaan seuraavasti: 1) Kahdeksasta parhaasta P / A opintojaksosta lasketaan keskiarvo A1 (kunkin jakson paino on yksi), 2) kerrotaan se kahdella, 3) lisätään viiden syventävän kurssin arvosanat S1, S2, S3, S4, S5 ja 4) jaetaan saatu summa seitsemällä, jolloin tulokseksi saadaan luku X. Lopullinen arvosana saadaan jäljempänä olevan taulukon mukaisesti. Sivuaineopiskelijoilla matematiikan arvosana määräytyy suoritettujen opintojaksojen keskiarvosta. Tilastotieteen kokonaislaatuarvosana määräytyy suoritettujen tilastotieteen kurssien arvosanojen painotetun keskiarvon perusteella. Sivuaineessa painoina ovat kurssien opintoviikot. Pääaineessa perus- ja aineopintojen kurssien painoina ovat opintoviikot ja syventävien opintojen kurssien painoina ovat opintoviikkomäärät kerrottuna luvulla 1,5. Kaikissa edellämainituissa tapauksissa lopullinen arvosana määräytyy seuraavasti: 1/3 tyydyttävät tiedot 1 < X < 1, 63 2/3 hyvät tiedot 1,63 < X < 2,38 3/3 erinomaiset tiedot X 2,38. Kurssikuvaukset Yleisopinnot Orientoivat opinnot 1 ov (800008Y) Jakson tarkoituksena on perehdyttää opiskelija korkeakoulun opiskelujärjestelmään ja ympäristöön, antaa tietoja koulutusalan historiasta ja yhteiskunnallisesta merkityksestä sekä oman koulutusohjelman tavoitteista ja sisällöstä. Työtavat: h, harj. 1 sl. pakollinen Opintosuoritusmerkintä: Laitoksen opintoneuvoja. Pienryhmäohjaus 1 ov (800009Y) Jakson aikana opiskelija toimii pienryhmän ohjaajana omassa koulutusohjelmassaan. Työtavat: h, sl Opintojakso on vapaaehtoinen. Opintosuoritusmerkintä: Laitoksen opintoneuvoja. 14

15 MATEMATIIKAN OPINTOJAKSOJEN KUVAUKSET Matematiikan opintojaksojen kuvaukset esitetään seuraavassa järjestyksessä: ydin muut perus- ja aineopinnot syventävät opinnot Kussakin ryhmässä opintojaksot on esitetty aakkosjärjestyksessä. Ydin Analyysi I 5 ov (800120P) Kurssi on suoraa jatkoa kurssille Matematiikan perusmetodit I (801111P, mat). Ne syksyllä esitetyt asiat, jotka kurssin P Matematiikan perusmetodit I/sov suorittaneille ovat uusia, kerrataan lyhyesti. Perustavoitteet, matemaattisen ajattelun kehittäminen ja laskurutiinin parantaminen, ovat samat kuin syksyn kurssilla. Keskeisiä asioita tällä kurssilla ovat alkeistopologia (avoimet ja suljetut joukot, kasaantumispisteet), reaalilukujonot ja sarjat, integraalilaskenta (epäoleelliset integraalit), funktiojonot ja sarjat sekä niiden derivointi ja integrointi. Sovellusten kannalta merkittäviä ovat erityisesti potenssisarjat kuten Taylorin sarjat sekä trigonometrisiin funktioihin perustuvat Fourier-sarjat. Työtavat: 56h luentoja, 52 h laskuharjoituksia, välikokeet tai testit, vaihtoehtona suoraan loppukokeella. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste, suositellaan kirjaa R. A. Adams: A complete course- Calculus, 4 th edition. Esitiedot: P Matematiikan perusmetodit I /mat tai P Matematiikan perusmetodit I /sov. Ajoitus ja kohderyhmä: 1. opintovuoden kevät, pakollinen matematiikan pääaineopiskelijoille sekä matematiikan 35 ov sivuainekokonaisuudessa. Vastuuhenkilö: Juha Berkovits Analyysi II 5 ov (800322A) Matematiikan perusmetodien (801111P) ja Analyysi I:n (800120P) kursseilla olet oppinut differentiaali- ja integraalilaskennan perustiedot yhden reaalimuuttujan reaalifunktioista. Analyysi II tarjoaa tilaisuuden oppia ne useamman muuttujan reaalifunktioista ja jopa vektorifunktioista. Sovellutuksina voidaan tutkia vapaita ja sidottuja ääriarvoja, vektorikenttiä, polkuintegraaleja sekä pinta- ja tilavuusintegraaleja. Työtavat: 56 h luentoja 42 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Oppikirjoja: Luentomoniste Analyysi II, P. Baxandall & H. Liebeck: Vector calculus, Oxford. Ajoitus ja kohderyhmä: 2.v syksy. Pakollinen kaikissa suuntautumisvaihtoehdoissa sekä 35 ov sivuaineopintokokonaisuuksissa. Esitiedot: Analyysi I ja Lineaarialgebra I, II. Vastuuhenkilö: Vesa Mustonen Lineaarialgebra I, 2 ov (802118P) Kurssilla kästeltävät asiat ovat välttämättömiä lähes kaikilla myöhemmillä matematiikan kursseilla ja sovellusalueita löytyy myös muilta tieteenaloilta. Sisältö: Lineaariset yhtälöryhmät ja niiden ratkaiseminen Gaussin eliminointimenetelmällä, matriisialgebra, R n. Työtavat: 22 h luentoja, 18 h harjoituksia, loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste (K. Väänänen), Lineaarialgebra; David C. Lay, Linear algebra and its applications, Addison-Wesley. Ajoitus ja kohderyhmä: 1. opintovuoden syksy, pakollinen kaikissa suuntautumisvaihtoehdoissa sekä matematiikan 35 sivuainekokonaisuudessa. Esitiedot: Lukion laaja matematiikka. Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen Lineaarialgebra II, 3 ov (802119P) Kurssilla kästeltävät asiat ovat välttämättömiä lähes kaikilla myöhemmillä matematiikan kursseilla ja sovellusalueita löytyy myös muilta tieteenaloilta. Sisältö: Vektoriavaruudet ja sovellusten kannalta tärkeät sisätuloavaruudet, lineaariset kuvaukset, determinantit, lineaaristen kuvausten ja matriisien ominaisarvot ja ominaisvektorit, Hermiten matriisit ja muodot. Työtavat: 34 h luentoja, 26 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste: K. Väänänen, Lineaarialgebra; David C. Lay, Linear algebra and its applications, Addison- Wesley. Ajoitus ja kohderyhmä: 1. opintovuoden syksy, pakollinen kaikissa suuntautumisvaihtoehtoissa sekä matematiikan 35 sivuainekokonaisuudessa. Esitiedot: Lineaarialgebra I Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen Matematiikan perusmetodit I 5 ov (801111P) Kurssin keskeistä sisältöä ovat raja-arvon käsite, jatkuvuus, derivaatta ja sen sovellukset sekä integraalilaskenta. Koska kurssilla tarkastellaan reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, on suurin osa käsitteistä tuttuja jo lukion kursseista. Differentiaali- ja integraalilaskennan perusteorian hallinta on välttämätöntä jatko-opintojen kannalta. Kurssin päätavoitteena on opiskelijan totuttaminen matemaattiseen teorianmuodostukseen - huomiota kiinnitetään laskemisen ohella myös määritelmiin ja todistustehtäviin. Ero lukioon on varsin suuri ja vaatii uuden ajattelutavan omaksumista. Tarkoituksen on antaa opiskelijalle riittävä käytännön laskutaito sekä kyky ymmärtää matemaattista päättelyä. Todistustekniikoiden omaksumiseksi kurssilla käydään läpi lukuisia lyhyitä helpohkoja todistuksia. Työtavat: 56 h luentoja, 42 h laskuharjoituksia, välikokeet tai testit, vaihtoehtona suoraan loppukokeella. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste riittää, suositellaan kirjaa R. A. Adams: A complete course- Calculus, 4 th edition. Sama kirja 15

16 sopii tueksi myös kursseille Analyysi I, Analyysi II ja Differentiaaliyhtälöt I. Ajoitus ja kohderyhmä: 1. opintovuoden syksy. Kurssi kuuluu ydinopintoihin. Se on pakollinen kaikissa suuntautumisvaihtoehdossa sekä matematiikan 15 ja 35 ov:n sivuainekokonaisuuksissa. Esitiedot: Lukion laaja matematiikka Vastuuhenkilö: Juha Berkovits Seminaari (LuK-tutkielma) 3 ov (801323A) Työtavat: Opiskelijat ilmoittautuvat lukukausien alussa seminaariryhmiin. Kullekin ryhmälle annetaan aihe, josta kukin osallistuja pitää kaksi esitelmää ja laatii niistä myös kirjallisen esityksen. Esitiedot: Pakolliset perus- ja aineopinnot oltava suoritettuina (ydin). Huom! Luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon suorittaja kirjoittaa kypsyysnäytteensä seminaarin aiheesta. Muut perus- ja aineopinnot Algebra I 5 ov (800333A) Tutkitaan aritmetiikan ja algebrallisten rakenteiden perusteita. Tällaisia ovat mm. kongruenssit, jakojäännösluokat, alkuluvut, Eukleideen algoritmi, aritmetiikan peruslause, Euler-Fermat n kaava, aritmeettiset funktiot. Ryhmät (jakojäännösryhmät, permutaatioryhmät, tekijäryhmät), morfismit, renkaat, polynomirenkaat, ideaalit, kokonaisalueet, kunnat, ja äärelliset kunnat. Tavoitteena on kyky ymmärtää matematiikan ja fysiikan käyttämää slangia eli abstraktia järjestelmää, jossa toimitaan suuressa määrin symbolien ja niiden välisten pelisääntöjen avaruudessa. Mainittakoon esimerkkinä ominaisuus, että ei-kommutatiivisissa ryhmissä (kvanttimekaniikka) on alkioita, joille α β β α. Työtavat: 56h luentoja, 28 h harjoituksia; välikokeet tai loppukoe. Yhteys muihin opintohin: Algebra I on välttämätön edellytys kursseilla Algebra II, Algebrallinen topologia, Automaatit ja formaalit kielet, Lukuteoria, Koodausteoria, Ryhmäteoria, Salakirjoitukset, Kryptografia, jne. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste (Niemenmaa) Algebra I; Herstein: Abstract Algebra; J. F. Fraleigh: Abstract Algebra. Ajoitus ja kohderyhmä: 1.v syksy. Kurssi on pakollinen matematiikan ja aineenopettajan suuntautumisvaihtoehdoissa sekä aineenopettajan ja luokanopettajan 35 ov kokonaisuuksissa. Esitiedoiksi on eduksi mutta ei välttämätöntä: Lukion syv. kurssi: Logiikka ja lukuteoria. Vastuuhenkilö: Markku Niemenmaa Algebra II 5 ov (800343A) Kurssilla tarkastellaan ensin permutaatioryhmien teoriaa ja perehdytään symmetristen ja alternoivien ryhmien rakenteeseen. Lisäksi nähdään, miten permutaatioryhmiin liittyviä tuloksia voidaan hyödyntää eräissä kombinatorisissa tarkasteluissa. Kurssin toisessa osassa tarkastellaan äärellisten kuntien ominaisuuksia, polynomirenkaita sekä kuntalaajennusten teoriaa. Kurssin kolmannessa osassa johdetaan klassiset juurikaavat kolmannen ja neljännen asteen polynomeille. Voidaanko sitten vastaava juurikaava johtaa viidennen asteen polynomeille? Nyt avuksi tarvitaan Galois n teoria, jossa juurikaavojen olemassaolo liitetään tarkasteltavan polynomin Galois n ryhmän ominaisuuksiin. Kurssin lopuksi esitellään viidennen asteen polynomi, jolla ei ole klassista juurikaavaa. Tavoitteena on syventää opiskelijoiden algebrallista ajattelutapaa ja antaa valmiuksia esimerkiksi lukuteorian, koodausteorian ja ryhmäteorian syventäviä kursseja varten. Työtavat: 56h luentoja, 28 h harjoituksia; välikokeet tai loppukoe. Esitiedot: Algebra I. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste Algebra II; I. N. Herstein: Abstract Algebra, Prentice Hall, Inc., Vastuuhenkilö: Markku Niemenmaa. Differentiaaliyhtälöt I 3 ov (800345A) Differentiaaliyhtälöiden merkitys perustuu niiden käyttökelpoisuuteen matemaattisten mallien muodostamisessa. Esimerkiksi, jos tutkittavan systeemin tilan muutosnopeus riippuu vain ajasta ja tilasta kullakin hetkellä, saadaan tilayhtälöksi differentiaaliyhtälö. Sen ratkaisu sekä alkutila määräävät systeemin tilaa kuvaavan funktion, mikäli em. riippuvuus on tarpeeksi säännöllinen. Sisältö: 1. ja 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöt, korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt, sekä differentiaaliyhtälöryhmät. Tavoite: antaa valmiuksia differentiaaliyhtälöiden ja -ryhmien ratkaisemiseen tarkasti tai likimääräisesti, myös tietokoneavusteisia menetelmiä käyttäen, sekä niiden soveltamiseen havaintomaailman ilmiöiden matemaattisina malleina Työtavat: Luentoja 36 h, harjoituksia 27 h; välikokeet tai loppukoe. Oppikirjoja: Luentomoniste, Martio-Sarvas: Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Gaudeamus 1982, Differentiaaliyhtälöt II kurssiesittelyn kirjallisuus. Esitiedot: Matematiikan perusmetodit I tai Analyysi I. Ajoitus ja kohderyhmä: matemaattisten tieteiden, fysikaalisten tieteiden, geotieteiden, tähtitieteen, taloustieteiden ym. opiskelijat. Vastuuhenkilö: Nimetään myöhemmin. Differentiaaliyhtälöt II 2 ov (800346A) Kurssin tavoitteena on kehittää valmiuksia sovellusten kannalta tärkeiden lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Kurssilla tarkastellaan aluksi kyseisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa esiintyviä erikoisfunktioita, ratkaisemiseen tarvittavia ortogonaalikehitelmiä ja integraalimuunnoksia. Niitä sovelletaan sitten mallintamisessa käytettävien lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Sisältö: Erikoisfunktioista, esimerkkeinä Gammafunktio ja Besselin funktiot. Funktioavaruuksista, funktioiden sisätulo, ortogonaalisuus, ortogonaalipolynomit ja ortogonaalikehitelmät. Sovelluksina funktioiden esittäminen Fourier- sarjoina ja Sturm-Liouvillen reunaarvoprobleemat. Integraalimuunnoksista, mm. Laplace- ja Fourier-muunnokset. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, esim. lämpö- ja aaltoyhtälöiden sekä Laplacen yhtälön ratkaiseminen ortogonaalikehitelmien ja integraalimuunnosten avulla. Työtavat: 25 h luentoja ja 15 h harjoituksia; loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: George Simmons, Differential equations with applications and historical notes, McGraw-Hill,Inc. 1991; R. Kent Nagle & E. B. Saff, Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Addison-Wesley, 1996; W. R. Derric & S. I. Grossman, Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, Addison-Wesley, Esitiedot: Matematiikan perusmetodit I tai Analyysi I, Differentiaaliyhtälöt I. Vastuuhenkilö: Nimetään myöhemmin. Kompleksianalyysi I 3 ov (801385A) 16

17 Sisältö: Napaesitys, Eulerin esitys, De Moivren kaava; Cauchy-Riemannin yhtälöt, käänteisfunktiot, logaritmit ja potenssifunktiot päähaaroineen. Polkuintegraalien, Cauchyn integraalikaavan ja potenssisarjojen ominaisuuksien avulla kehitetään residylaskenta, jonka sovellutuksina saadaan mm. algebran peruslause, Liouvillen lause ja määrättyjä integraaleja. Möbius-kuvaus. Työtavat: 34 h luentoja, 30 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: S. Lang: Complex Analysis, Springer, M.R. Spiegel: Complex Variables, F. Schaum s Outline Series, Schaum Publ. Co. Esitiedot: Ydin. Vastuuhenkilö: Petri Ola Kompleksianalyysi II 2 ov (801386A) Sisältö: Residylaskentaa, maksimi- ja argumenttiperiaate, Fourier-muunnos, summia, satulapistemenetelmä, Gammafunktio, Betafunktio. Työtavat: 22 h luentoja, 15h harjoituksia, loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: S. Lang: Complex Analysis, Springer, M.R. Spiegel: Complex Variables, F. Schaum s Outline Series, Schaum Publ. Co. Esitiedot: Ydin ja Kompleksianalyysi I. Vastuuhenkilö: Petri Ola Koulugeometrian perusteet (ent. Geometria) 3 ov (80189A) Kurssilla käsitellään lähinnä peruskoulun yläasteen ja lukion geometriaan liittyviä kokonaisuuksia. Tarkoituksena on antaa opiskelijalle valmius opettaa geometriaa koulussa. Kurssin alkuosa on painottunut klassisen geometrian tulosten käsittelyyn. Loppuosassa tarkastellaan avaruusgeometrian alkeita. Työtavat: 34 h luentoja, 30 h harjoituksia, loppukoe. Esitiedot: Kurssi ei edellytä esitietoja. Vastuuhenkilö: Martti Kumpulainen Matemaattinen mallintaminen 5 ov (80037A) poistetaan (vrt Erkki Laitisen kurssi) Kurssin antaa valmiuksia matemaattisten mallien konstruoimiseen sekä niiden soveltamiseen havaintomaailman tapahtumien ja rakenteiden säännönmukaisuuksien kuvaamisessa, selittämisessä, ennustamisessa ja hyödyntämisessä. Sisältö: Matemaattinen malli, sen rakentaminen, analysointi ja tulkinta. Populaation kasvumalleja. Mallin sovitus dataan. Mallintaminen differentiaaliyhtälöiden avulla. Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmien avulla. Mallintaminen differenssiyhtälöillä. Dimensioanalyysiä. Runsaasti useiden soveltavien tieteiden piiriin kuuluvia käytännönläheisiä sovelluksia. Työtavat: 56 h luentoja, 42 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Esitiedot: Matematiikan perusmetodit I ja Differentiaaliyhtälöt I. Kohderyhmä: Matemaattisten tieteiden ja soveltavien tieteiden opiskelijat. Vastuuhenkilö: Nimetään myöhemmin. Matematiikan ATK 5 ov (801344A) Nykyisin käytetään tutkimuksessa ja tuotekehityksessä matemaattisia malleja, kun halutaan tietää miten luonto tai jokin laite toimii. Mallit joudutaan melkein aina ratkaisemaan numeerisesti tietokoneella, koska analyyttisten ratkaisujen löytäminen on käytännön tehtävissä usein mahdotonta. Matematiikan ATKn kurssilla opiskelija oppii numeerisen tietokoneohjelman tekemisen perusteet. Ohjelmoinnin perusteita ei opeteta, vaan tavoitteena on ohjata opiskelijaa valitsemaan oikeat menetelmät hyvän numeerisen tietokoneohjelman tekemiseksi. Kurssilla opetetaan FORTRAN 90/95-ohjelmointikielen standardi ja käydään läpi lyhyesti UNIX-käyttöjärjestelmän tärkeimmät komennot ja piirteet. Ohjelmointi tapahtuu ATK-keskuksen UNIX-koneissa. Lisäksi perehdytään ATK-keskuksen UNIX-koneissa toimivien numeeristen ja graafisten aliohjelmakirjastojen käyttöön. Työtavat: Kurssi koostuu luennoista (20h), ohjatusta päätetyöskentelystä (40h) ja harjoitustöistä. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Kurssimateriaali koostuu verkossa olevista käyttöohjeista ja ohjelmistojen on-line manuaaleista. Fortrankielen opiskelussa käytetään kirjaa: Fortran 90/95, J. Haataja, J. Rahola, J. Ruokolainen, 1998 (ks. Esitiedot: Kurssin kannalta on hyödyllistä tuntea ohjelmoinnin ja tietokoneen käytön perusteet. Ajoitus ja kohderyhmä: Kurssi luennoidaan keväisin ja se on tarkoitettu matemaattisten mallien numeerisesta ratkaisemisesta kiinnostuneille opiskelijoille. Vastuuhenkilö: Erkki Laitinen, erkki.laitinen@oulu.fi Matematiikan historia 3 ov (80190A) Kurssi alkaa muinaisen Egyptin ja Mesopotamian matematiikasta. Huomattava osa ajasta käytetään kreikkalaisen matematiikan, erityisesti geometrian ja analyysin varhaisvaiheiden, käsittelyyn. Keskiajan matematiikasta tarkastellaan ainakin islamin valtapiirissä tapahtunutta kehitystä sekä tulevan kehityksen ennakointia Euroopassa. Uuden ajan alussa italialaiset algebrikot ratkaisevat kolmannen ja neljännen asteen yhtälöitä. Tämän jälkeen alkaakin yleinen matematiikan nousu, numeeriset laskentamenetelmät kehittyvät, nykyaikainen algebrallinen symboliikka alkaa kehittyä, Fermat ja Descartes luovat analyyttisen geometrian ja nykyaikainen lukuteoria saa alkunsa. Samanaikaisesti differentiaali- ja integraalilaskentaa ennakoidaan geometrisilla ja fysikaalisilla tarkasteluilla. Vihdoin Newton ja Leibniz keksivät, että edellisen vuosisadan geometriset tarkastelut voidaan korvata täysin formaaleilla laskutoimituksilla. Differentiaali- ja integraalilaskennan täsmällinen looginen perusta tosin luodaan vasta seuraavan kahdensadan vuoden aikana. Tähän kehitykseen luodaan yleiskatsaus. Työtavat: 30 h luentoja, välikokeet tai loppukoe. Lisäksi viime vuosina on kokeiltu kurssin esseemuotoista suorittamista. Esitiedot: Kurssia suunniteltaessa on ajateltu erityisesti opettajiksi valmistuvia eikä se vaadi lukion matematiikkaa laajempia esitietoja. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste; C. J. Boyer: Tieteiden kuningatar; J. Fauvel & J. Gray: The History of Mathematics. A reader. Vastuuhenkilö: Nimetään myöhemmin Numeriikan peruskurssi 4 ov (801387A) Numeriikan peruskurssilla tutkitaan menetelmiä, joiden avulla pystytään ratkaisemaan tietokoneella tehtäviä, joiden analyyttinen ratkaiseminen on hankalaa tai mahdotonta. Vaikka tietokoneiden nopea kehitys on tehnyt mahdolliseksi ratkaista matemaattisia ongelmia, joista aiemmin ei edes osattu uneksia, tulee muistaa, että tietokoneella voidaan tuottaa täysin uskottavan näköisiä tuloksia, jotka ovat kuitenkin täyttä puppua. Numeerisen laskennan filosofia voidaankin kiteyttää suurelta osin R. W. Hammingin toteamukseen The purpose of computing is insight, not numbers. 17

18 Numeriikan peruskurssilla on tavoitteena antaa opiskelijalle valmiudet tehdä itsenäisesti kohtuullisen tehokkaita tietokonealgoritmeja numeriikan perustehtävien ratkaisemiseksi. Toisaalta kurssi antaa valmiuden perehtyä syvällisemmin numeerisen matematiikan teoriaan ja vaativampiin numeerisiin tehtäviin. Työtavat: 45h luentoja, 22h harjoituksia. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Kurssin runkona käytetään luentomonistetta Raino A. E. Mäkinen: Numeeriset menetelmät, Jyväskylän yliopisto, Muuta kurssiin liittyvää kirjallisuutta on esim. D. Conte, S. de Böer: Elementary Numerical Analysis. An Algorithm Approach ja Atkinson: Elementary Numerical Analysis. Esitiedot: Kurssin kannalta hyödyllisiä, mutta ei välttämättömiä, esitietoja opetetaan kursseilla: Matematiikan perusmetodit I, Analyysi I, Lineaarialgebra I, II ja Matematiikan ATK. Ajoitus ja kohderyhmä: Kurssi luennoidaan syksyisin ja se on tarkoitettu numeerisen matematiikan ratkaisumenetelmistä kiinnostuneelle kuulijakunnalle. Kurssi on pakollinen sovelletun matematiikan suuntautumisvaihtoehdossa. Vastuuhenkilö: Erkki Laitinen, Numeriikan peruskurssin harjoitustyö 1 ov (801388A) Harjoitustyön tekemiseksi vaaditaan C- tai Fortran ohjelmointitaito. Vastuuhenkilö: Erkki Laitinen, erkki.laitinen@oulu.fi Salausmenetelmät (ent. Salakirjoitukset) 2 ov (801346A) Salakirjoitusta on käytetty vuosisatoja. Aikaisemmin sen käyttö rajoittui lähinnä sotilaallisiin tai diplomaattisiin tarkoituksiin. Tietokoneisiin perustuvan tiedonvälityksen yleistyminen viimeisten vuosikymmenien aikana merkitsee sitä, että salausmenetelmiä tarvitaan päivittäin lähes kaikilla yhteiskunnan alueilla. Myös menetelmät ovat muuttuneet; aikaisempien menetelmien tilalle ovat tulleet ns. julkisen avaimen salaukset, joiden perusteet esitettiin noin 40 vuotta sitten. Samalla kävi ehkä yllättäen ilmi, että modernien salaus- ja allekirjoitusmenetelmien eräänä keskeisenä perustan toimivat vuotta vanhat lukuteorian tulokset. Tästä johtuen kurssi aloitetaan alkeislukuteorian tarkastelulla. Tämän jälkeen tutustutaan perinteisiin salausmenetelmiin ja sitten tarkastellaan kolmea julkisen avaimen menetelmää, jotka ovat RSA, diskreetti logaritmi ja selkäreppu. Työtavat: Luentoja 22 h, harjoituksia 15 h, loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste: K. Väänänen Salausmenetelmät; Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag (Graduate Texts in Mathematics, 114). Esitiedot: Ei tarvita. Ajoitus ja kohderyhmä: Milloin tahansa, asiasta kiinnostuneet. Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen Todennäköisyyslaskennan peruskurssi 3 ov (801195P) Kurssin keskeisiä käsitteitä ovat todennäköisyysfunktio, todennäköisyysavaruus, satunnaismuuttuja, odotusarvo, diskreetti jakauma ja jatkuva jakauma. Lukion todennäköisyyslaskennan kertauksen jälkeen uusina asioina tulee todennäköisyyden aksioomat, ehdollinen todennäköisyys, odotusarvon laskusäännöt, tapahtumien riippumattomuus ja eräät tilastotieteen tarvitsemat jakaumat. Kurssin tavoitteena on tutustuttaa opiskelija satunnaismalleihin ja näihin liittyviin matemaattisiin ongelmiin. Kurssin suorittamisessa keskeisellä sijalla on erilaisten todennäköisyyteen liittyvien tehtävien ratkaisu. Työtavat: 32 h luentoja, 16 h harjoituksia, suoritus yhdellä loppukokeella. Oppimateriaali ja kirjallisuus: P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I, Limes Monet kirjastossa olevat todennäköisyyslaskennan oppikirjat. Ajoitus ja kohderyhmä: 2.v syksy, pakollinen tilastotieteen pääaineopiskelijoille. Esitiedot: Matematiikan perusmetodit I ja Analyysi I. Vastuuhenkilö: Petri Ola Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi 2 ov (801396A) Kurssi on suoraa jatkoa opintojaksolle Todennäköisyyslaskennan peruskurssi(801195p). Uusina asioina tulee todennäköisyysjakauman momentit, riippumattomat satunnaismuuttujat, summan jakauma, satunnaisotos, todennäköisyyslaskennan keskeinen raja-arvo-lause, kaksiulotteinen jakauma ja korrelaatio. Kurssin tavoitteena on opettaa opiskelijoita ymmärtämään todennäköisyyden aksioomat ja käyttämään stokastisia malleja. Laskuharjoituksissa tulee runsaasti erilaisia esimerkkejä, joissa sovelletaan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Työtavat: 20 h luentoja, 20 h harjoituksia, suoritus yhdellä loppukokeella. Esitiedot: Todennäköisyyslaskennan peruskurssi ja Analyysi I. Oppimateriaali ja kirjallisuus: P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I, Limes 1993; monet kirjastossa olevat todennäköisyyslaskennan oppikirjat. Ajoitus ja kohderyhmä: 2.v syksy. Valinnainen kaikissa suuntautumisvaihtoehdoissa. Suositellaan erityisesti tilastotieteen pääaineopiskelijoille. Vastuuhenkilö: Petri Ola Topologia 5 ov (80029A) Joukko-oppia, metriset avaruudet, Bairen lause, topologiset avaruudet, operaatiot topologisilla avaruuksilla, suppeneminen topologisissa avaruuksissa, separaatiot, Urysohnin lemma, Tietzen laajennuslause, kompaktit avaruudet, Tychonoffin lause, yhtenäiset avaruudet. Työtavat: 56 h luentoja ja 42 h harjoituksia. Oppimateriaali ja kirjallisuus: S. Willard: General Topology; K. Suominen & K. Vala: Topologia; R. Engelking: Outline of General Topology. Esitiedot: Analyysi I ja Lineaarialgebra I, II. Vastuuhenkilö: Mahmoud Filali Syventävät opinnot Analyysi III 5 ov (800624S) 18

19 Muutaman viime vuoden aikana kurssi on muotoutunut kokonaisuudeksi, joka sisältää analyysin perusteet metrisessä avaruudessa, normiavaruudessa ja Hilbertin avaruudessa, johdatuksen Lebesguen mittaan ja integraaliin. Näin se pyrkii tarjoamaan pohjatiedot matematiikan, tilastotieteen ja fysikaalisten tieteiden syventäville opinnoille, mutta samalla antamaan mahdollisimman laajan katsauksen analyysin eri osa-alueista matematiikan aineenopettajiksi aikoville. Työtavat: 56 h luentoja, 30 h harjoituksia, kolme välikoetta tai loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste Analyysi III; C. Aliprantis & O. Burkinshaw: Principles of real analysis and Problems in real analysis, Academic Press. Esitiedot: Analyysi I, Analyysi II, Lineaarialgebra I, II. Vastuuhenkilö: Vesa Mustonen Analyysin seminaari Seminaari on matemaattisten tieteiden laitoksen tutkija- ja tutkijakoulutusseminaari. Laitosten tutkijat esittelevät omien tutkimustensa tuloksia sekä muita ajankohtaisia tutkimusaloja. Lisäksi vierailijat antavat oman värinsä seminaarin toimintaan. Seminaarin vetäjänä toimii Lassi Päivärinta. Automaatit ja formaalit kielet 5 ov (800654S) Kurssi liittyy tietotekniikan teoreettisiin perusteisiin ja mekaaniseen laskettavuuteen. Ohjelmointikielet, niiden syntaksiluokat ja matematiikan aksiomatisoidut teoriat ovat esimerkkejä formaaleista kielistä. Niiden luokittelua voidaan suorittaa matemaattisia koneita tai formaalisia kielioppeja käyttäen. Tällaisia koneita ovat äärellistilaiset deterministiset/epädeterministiset automaatit, pinoautomaatit ja Turing-koneet, jotka ovat sanojen hyväksyjä - hylkääjä -systeemejä. Niiden avulla saatavat kieliperheet voidaan karakterisoida myös Chomskyn määrittelemillä kieliopeilla, joissa sanat generoidaan annetusta alkumerkistä lähtien kieliopin johtamissäännöillä. Kieliopit luokitellaan johtamissääntöjen muotoa koskevilla rajoituksilla. Osoitamme esimerkiksi, että ns. context-free kielioppien generoimat kielet ovat samat kuin pinoautomaattien hyväksymät kielet ja että yleiset kieliopit vastaavat Turing -koneita samassa mielessä. Kaikkien efektiivisesti aksiomatisoitujen matematiikan teorioiden teoreemajoukot ovat yleisiä esimerkkejä Turing -koneiden hyväksymistä kielistä. Turing -koneen keskeinen asema mekaanisen laskettavuuden teoriassa johtuu siitä, että se on intuitiivisen algoritmikäsitteen yleisesti hyväksytty matemaattinen täsmennys. Turing -koneita käyttäen voidaan osoittaa, että monet keskeiset kieliteoreettiset kysymykset ovat algoritmisesti ratkeamattomia. Matematiikan eri osa-alueista löytyy lukuisia esimerkkejä algoritmisesti ratkeavista ja ratkeamattomista kysymyksistä. Työtavat: 56 h luentoja, 28 h harjoituksia, loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste; J. Hopcroft, R. Motwani, J. Ullman: Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, Addison-Wesley Esitiedot: Kurssin suorittaminen ei edellytä esitietoja. Vastuuhenkilö: Paavo Turakainen Differentiaaliyhtälöt 5 ov (801634S) Differentiaaliyhtälöiden merkitys perustuu niiden käyttökelpoisuuteen matemaattisten mallien muodostamisessa. Jos esimerkiksi tutkittavan systeemin tilan muutosnopeus riippuu vain ajasta ja tilasta kullakin hetkellä, saadaan tilayhtälöksi differentiaaliyhtälö. Tässä opintojaksossa esitetään mm. mitä säännöllisyysehtoja em. riippuvuuden tulisi noudattaa, jotta saadulla differentiaaliyhtälöllä olisi annettuja alku- tai reunaehtoja kohti joko yksikäsitteinen ratkaisu tai ääriratkaisut, sekä tutkitaan ratkaisujen riippuvuutta datasta. Klassisten tulosten lisäksi osoitetaan tuoreisiin tutkimustuloksiin nojautuen, että tarvittavat säännöllisyysehdot sallivat sekä aika-, että tilariippuvuuksissa monen tyyppistä epäjatkuvuutta. Todistusmenetelmät ovat pääosin konstruktiivisia. Sisältö: 1. ja 2. kertaluvun tavallisten ja funktionaalisten differentiaaliyhtälöiden alku- ja reuna-arvoprobleemoista. Kustakin probleematyypistä esitetään paitsi teoreettisia, myös konkreettisia esimerkkejä, joiden ratkaisemisessa käytetään tietokoneavusteisia menetelmiä. Työtavat: Luentoja 56 t, harjoituksia ja demonstraatioita 42 t. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Seppo Heikkilä & V. Lakshmikantham: Monotone iterative techniques for discontinuous nonlinear differential equations, Marcel Dekker Inc., New York-Basel-Hong Kong, S. Carl & S. Heikkilä: Differential equations in ordered spaces, CRC Press, U.S.A., Esitiedot: Differentiaaliyhtälöt I; Analyysi III suositeltava. Ajoitus ja kohderyhmä: Matemaattisten tieteiden ja fysikaalisten tieteiden opiskelijat. Vastuuhenkilö: Nimetään myöhemmin. Epälineaarinen analyysi 5 ov (800669S) Kurssin keskeisenä aiheena on topologisen asteen konstruoiminen aluksi äärellisulotteisen avaruuden jatkuville kuvauksille (Brouwerin aste) ja sitten Banachin avaruuden sopivaa tyyppiä oleville kuvauksille (Leray-Schauderin aste). Asteteorian sovellutuksina johdetaan yhtälöiden ratkeavuutta koskevia tuloksia. Työtavat: 56 h luentoja, 28 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Kurssi voidaan suorittaa myös kirjatenttinä. Oppimateriaali ja kirjallisuus: N. Lloyd: Degree theory, Cambridge University Press. K. Deimling: Nonlinear Functional Analysis, Springer. Esitiedot: Analyysi II. Vastuuhenkilö: Vesa Mustonen Funktionaalianalyysi 5 ov (800651S) Funktionaalianalyysi on analyysiä ääretönulotteisissa vektoriavaruuksissa. Kurssilla esitellään tavallisimmat Banach- ja Hilbert - avaruudet. Banachin avaruuksien lineaarisille operaattoreille todistetaan kolme funktionaalianalyysin peruslausetta. Sovellusesimerkkinä tutkitaan integraaliyhtälöitä Neumannin sarjan ja Fredholmin teorian avulla. Kurssilla käsitellään myös Fourier -sarjoja sekä hieman myös epälineaaristen operaattoreiden teoriaa. Työtavat: 56 h luentoja, 42 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Oppikirjoja: W. Rudin: Real and Complex Analysis, McGraw Hill; M. Reed - B. Simon: Methods of modern mathematical physics I: Functional Analysis, Academic Press. Vastuuhenkilö: Lassi Päivärinta Harjoitusaine 3 ov (800691S) Ennen pro gradu -tutkielmaa opiskelijan on kirjoitettava yksi harjoitusaine (ei koske aineenopettajia), jonka tarkoituksena on perehdyttää opiskelija matemaattiseen tutkimustyöhön. Tarkasteltavina seikkoina ovat aiheen ymmärtäminen, kirjallisuuden käyttö ja kirjoitetun tekstin ulkoasu. Ennen ainetta on suoritettava vähintään kaksi syventävää kurssia. 19

20 Arvostelu: hyväksytty/ hylätty. Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Integraaliyhtälöt 5 ov (800690S) Useat matemaattisen fysiikan ja tekniikan ongelmat voidaan palauttaa integraaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tässä esitetään tyypillisten perusmallien tarkastelussa tarvittava matemaattinen teoria. Siinä on keskeistä vahvan funktionaalianalyysin hyväksikäyttö. Kurssissa palautetaan mieliin tarvittavat funktionaalianalyysin perusasiat ja tutkitaan erityisesti ns. toisen lajin integraaliyhtälöiden ratkeavuutta (Fredholmin teoria) sekä ensi lajin yhtälöiden ominaisuuksia. Punaisena lankana on erään konkreettisen reuna-arvotehtävän (potentiaaliyhtälö Dirichlet n reunaehdolla) täydellinen ratkaisu. Lopuksi esitetään eräitä numeerisia ratkaisumenetelmiä ja niihin liittyvää virheanalyysiä. Työtavat: 56 h luentoja, 28 h harjoituksia, välikokeet tai loppukoe. Esitiedot: Analyysi I, II sekä Lineaarialgebra I ja II ovat riittäviä, Analyysi III:n tiedot eduksi. Kurssin menestyksellinen suorittaminen antaa myös hyvät valmiudet jatkokoulutukseen. Vastuuhenkilö: Jukka Saranen Koodausteoria 5 ov (800667S) Kurssilla käsitellään tiedonsiirrossa tarvittavien virheitä korjaavien koodien teoriaa. Kyseessä on varsin uusi matematiikan osa-alue, joka on kehittynyt ja laajentunut voimakkaasti viimeisten kolmen vuosikymmenen aikana, jolloin myös tarve kehittää entistä tehokkaampia virheitä korjaavia koodeja on koko ajan lisääntynyt. Kurssin tavoitteena on antaa opiskelijoille hyvä näkemys tällaisten koodien rakenteesta ja käytöstä. Kurssi keskittyy lohkokoodien tarkasteluun. Äärellisten kuntien perusteiden esittelyn jälkeen käydään läpi lineaariset koodit ja sykliset koodit, erityisesti käsitellään esimerkiksi Reedin-Mullerin koodien, BCH-, RS- ja Goppa-koodien keskeiset ominaisuudet. Ryöppyvirheiden korjausta tarkastellaan erikseen. Myös äärellisten kuntalaajennusten jälkifunktion keskeiset ominaisuudet käsitellään, samoin jälkifunktion käyttö syklisten koodien ja hajaspektritekniikan vaatimien koodijonojen esittämisessä. Matematiikan ja tietotekniikan suuntautumisvaihtoehdossa opiskelevien lisäksi kurssi soveltuu myös muiden suuntautumisvaihtoehtojen opiskelijoille, jotka ovat kiinnostuneita lukuteorian ja algebran moderneista sovellutuksista. Työtavat: Luentoja 56 h ja harjoituksia 28 h, välikokeet tai loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste (K. Väänänen) Koodausteoria; Steven Roman, Coding and Information theory, Springer- Verlag (Graduate Texts in Mathematics, 134). Esitiedot: Lineaarialgebra I, II ja Algebra I suositeltavia (ja osittain välttämättömiäkin). Ajoitus ja kohderyhmä: vuosikurssi, matematiikan ja tietotekniikan sv:n opiskelijat, kaikki lukuteorian ja algebran moderneista sovellutuksista kiinnostuneet. Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen Kryptografia 5 ov (801698S) Tutkitaan salaus-, avaimenvaihto- ja allekirjoitusjärjestelmiin liittyviä matemaattisia perusteita. Tällaisia ovat alkulukutesteihin ja tekijöihinjakomenetelmiin liittyvät ryhmä- ja lukuteoreettiset perusteet, laskentaan ja erityisesti äärellisten kuntien laskutoimituksiin liittyvät kompleksisuusarvioinnit, nopea potenssi ja diskreetti logaritmi äärellisessä syklisessä ryhmässä sovellettuna äärellisen kunnan kertolaskuryhmässä ja elliptisen käyrän yhteenlaskuryhmällä. Johdetaan yhteenlaskukaavat projektiivisella ja affiinilla Weierstrassin elliptisellä käyrällä. Tarkasteltavia järjestelmiä ovat Diffie-Hellman avaimenvaihto sekä ElGamal salaus ja allekirjoitus äärellisessä syklisessä ryhmässä sekä edelliset sovellettuna äärellisissä kunnissa tai niiden yli määritellyillä elliptisilllä käyrillä kuten DSA, ECDSA, Massey- Omura ja RSA. Edellisiin liittyviä testejä ja algoritmeja: Fermat, Lenstra, Lucas, Miller-Rabin, neliöseula, Pohlig-Hellman, Pollardin p-1 ja rho, Pseudoalkuluvut, Solovay-Strassen. Työtavat: Luentoja 56 h, harjoituksia 28 h, välikokeet tai loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste (Väänänen: Kryptografia); Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (ISBN ); Koblitz: Algebraic Aspects of Cryptography (ISBN ). Esitiedot: Kurssien Algebra I ja Algebra II hallinta tarpeen. Vastuuhenkilö: Tapani Matala-aho Lukuteoria 5 ov (800657S) Lukuteoria on vanhimpia matematiikan osa-alueita. Se on kuitenkin edelleen aktiivisen tutkimuksen kohteena ja viimeisten vuosikymmenien aikana on ehkä hieman yllättäen huomattu, että lukuteorialla on runsaasti sovellutuksia modernissa tiedonsiirrossa. Kurssin tarkoituksena on antaa monipuolinen näkemys keskeisiin lukujoukkoihin ja lukujen eri esitystapoihin, joiden tuntemus on välttämätöntä erityisesti aineenopettajille. Kurssi antaa myös valmiuksia jatko-opintoihin ja tutkimustyöhön lukuteorian ja sen sovellutusten eri alueilla. Aluksi tarkastellaan reaalilukujen erikantaisia kehitelmiä ja ketjumurtoesityksiä sekä irrationaalisuutta. Rationaalilukujen algebrallisten laajennusten perusteiden jälkeen käsitellään yksityiskohtaisesti neliökuntia ja ympyräkuntia. Erityisesti käydään läpi neliökuntien kokonaislukujen renkaan jaollisuustarkasteluja ja ideaaliteoriaa. Kurssi päättyy muutamiin yksinkertaisimpiin transkendenttisuustarkasteluihin. Työtavat: lu 56 h ja harj 28h, välikokeet tai loppukoe. Oppimateriaali ja kirjallisuus: Luentomoniste Lukuteoria. Esitiedot: Lineaarialgebra I, II ja Algebra I suositeltavia (osittain välttämättömiä). Ajoitus ja kohderyhmä: vuosikurssi Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen Matemaattinen logiikka 5 ov (800652S) Perinteisesti logiikka määritellään opiksi muodollisesti oikeasta päättelystä. Useat luonnollisen kielen virkkeet ovat luonteeltaan päätteleviä. Formalisoimalla niissä esiintyvät sanat kuten ei, ja, tai, jos - niin voidaan virkkeet esittää syntyvän formaalin kielen ilmaisuina. Formaali systeemi saadaan, kun kielen ilmaisuista osa valitaan ns. aksiomeiksi ja annetaan täsmälliset päättelysäännöt. Tällöin voidaan todistuksen ja teoreeman käsite määritellä hyvin luonnollisella ja täsmällisellä tavalla ilmaisuissa esiintyvien symbolien tulkinnasta riippumatta. Edessämme ovat tämän jälkeen seuraavat matemaattisen logiikan peruskysymykset: * Onko systeemi ristiriitainen eli onko olemassa sellaista ilmaisua, että se itse ja sen negaatio olisivat molemmat teoreemoja? * Jos systeemi on ristiriidaton, niin onko olemassa sellaista tulkintaa (mallia), jossa kaikki teoreemat ovat tosia? * Onko systeemi formaalisti täydellinen eli onko jokaiselle suljetulle ilmaisulle se itse tai sen negaatio teoreema? * Onko systeemi semanttisesti täydellinen halutun tulkinnan suhteen eli saadaanko teoreemoina kaikki ne ilmaisut, jotka ovat tosia kyseisessä tulkinnassa? Historiaa ja paradokseja koskevan johdannon jälkeen kurssilla käsitellään edellä mainittuja kysymyksiä, kun formaaleina systeemeinä 20