--F- A:Lar. Ð EW Ðåry ÐË. Matemaattinen Analyysi. Rl to. R2 to R3 rl. Ct(qù:8.ooqr q! f (qt,qz,qz):{e +nrd <+ maksimin välr.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "--F- A:Lar. Ð EW Ðåry ÐË. Matemaattinen Analyysi. Rl to. R2 to R3 rl. Ct(qù:8.ooqr q! f (qt,qz,qz):{e +nrd <+ maksimin välr."

Leena Karjalainen
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 48 Rl to R2 to R3 rl 12-14 t4-16 8-10 F104 F345 F345 (1.t2.) (1.12.) (2e.tt.) 1.

1 Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 48 Rl to R2 to R3 rl t F104 F345 F345 (1.t2.) (1.12.) (2e.tt.) 1. Kolmen tuotteen þsyntäfunktiot ovat pr : q q q3 pz : q q2* h : q1 -l 0.005q q3 Tuotannon kustannukset ovat ' Cv(qù :3.00qt q21 Cz(qz) : 4.ooqz - 0.0o5ql Ct(qù:8.ooqr q! Maksimoidaan voitto. Kirjoita voiton maksimin välttämätön ehto. Ottje: Välttämättömän ehdon saa helposti Lagrangen menetelmällä. Toisaalta voit käyttää myös periaatetta f (qt,qz,qz):{e +nrd <+ maksimin välr. ehto: d '2-- -!f 2. Muutetaan tehtävän 1 problematiikkaa seuraavasti: Kolmas tuote on kilpailijan valmistama. 'Meidän firma' valmistaa tuotteita ja 2. Muodosta 'Meidän firman' tavoitefunktio P(qt,qz) ja kirjoita sen maksimin välttämätön ehto. Miten päätösmuuttujien q1 ja q2 optimiarvot riippuvat kilpailijan tuotantomäärästä? 3. a) Määritä jonon (an) raja-arvo limna*a', kt)n an:,r(i t ), ',n : 1,2,... () +n - l.) b) Mä irirä jonon (å,) raja-arvo lim,'*bn,kun bn: ø*.?)',n: 1,2,... c) Määritä jonon (c") raja-arvo lim -1- c, kun cn : sup{br,b2,..., år}, missä å, on sama kuin b-kohdassa. 4. Osoita majoranttiperiaatteella, että sarj a A:Lar k:l E k:r (2k _ L) suppenee. (Ohje: Majoranttiperiaate, lause sivu 107. ) 5. Suppenevatko seuraavat sarjat? Ð EW Ðåry ÐË (Ohje: Suhdetesti,lause sivu 108.) (le + t) --F-

Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 48 Rl to R2 to R3 rl tz-t4 t4-16 8-10 Fl04 F345 F345 (t.t2.) (t.t2.) (2e.tt.) 1.

$Toisaalta voit käyttää myös periaatetta f (qt,qz,%):{ld+f d ê maksimin vält. ehro: d: -}l_ln { te,,\",4= } * (,1, * (*n4r* fln?: -' ( c,ko} *(*(q,} * (ufçu = ( o - O,r7,, - Qot "1- - Ð,Õ.$ $q*)2, t( Ë-öuð14t- o,,1,. *9*fz\4^ *_,.o * 0,0?t, * Ò,ñÇ?.- ô,rtq*) qr 3 ]t* 6,oz"Lro - lq* * ÒptÇq=, * 8Q* + olõ!?g? : ì1, * /lx - *{z?" - Ò,tg 1,*- a,önç' { - o,rrr4 * üj?- 4,?$

2 Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 48 Rl to R2 to R3 rl tz-t4 t Fl04 F345 F345 (t.t2.) (t.t2.) (2e.tt.) 1. Kolmen tuotteen þsyntäfunkfiot ovat Tuotannon kustannukset ovat pr : q1-0.ol0q q3 pz : q q2* h : 2O.O0O - O.020qy -l 0.OO5q2 - O.250q3 C {qt) : 3.ooq t - o.o2oq21 Cz(qz) : 4'0oqz q Cz(qù:8.00q -o-oloql Maksimoidaan voitto. Kirjoita voiton maksimin välttämätön ehto. Ohje: Välttämättömän ehdon saa helposti Lagrangen menetelmällä. Toisaalta voit käyttää myös periaatetta f (qt,qz,%):{ld+f d ê maksimin vält. ehro: d: -}l_ln { te,,\",4= } * (,1, * (*n4r* fln?: -' ( c,ko} *(*(q,} * (ufçu = ( o - O,r7,, - Qot "1- - Ð,Õ. q*)2, t( Ë-öuð14t- o,,1,. *9*fz\4^ *_,.o * 0,0?t, * Ò,ñÇ?.- ô,rtq*) qr 3 ]t* 6,oz"Lro - lq* * ÒptÇq=, * 8Q* + olõ!?g? : ì1, * /lx - *{z?" - Ò,tg 1,*- a,önç' { - o,rrr4 * üj?- 4,?u - u,ôq,q= * o, o e" 1: Ð Va til-; ^oq^ -&^{r, { träfi i-) { Z - toaå ,ûq4* - Ò,ort1r : O d, r 1,, Qr'tg ^ o,ozc*-, ô,tq?., * o,*t?t = O,lt o q Ò 0r{a + fiôl \<- - o,4g 1,1,: ô éå i : L q., Ò,02.42 * a,öltgt *? 1 ",o- a' r 0),1\,. - o,o, 4= ' lt lò,ölra, -O,ôt 4z+ O,^Oq, = tz

$) ) l=.' $ ^--'t'{q {a*.,a-z a-u) - (q, 4* %.u) "ç J"' ( Yr-*r 91,*r /-. v,/ 6Íb û,ð? o,0ll u ç{ *"^' 1 dp{.$ $s,,t? -atöl -qû Ût hy* ){ z A 4' q.'e Ei 4a-*o^.,,^ (Å*"L t*; *&/* &r &k:44 r la,\ ti?, V uç,, 2.$

3 ) ) l=.' $ ^--'t'{q {a*.,a-z a-u) - (q, 4* %.u) "ç J"' ( Yr-*r 91,*r /-. v,/ 6Íb û,ð? o,0ll u ç{ *"^' 1 dp{."-,' t [+ t{,l\ a T A4 -i t - o,t8 - o,o t -ô,o7 *A,oøf - o,ol orooç -o,az o,wç -ÒîL )( *T /1 lq \E :L 1) \/ )2t r lz clt -fl 4z Xz 2 rsri *; * ê> *2Aq = Ç \ ô,öz ôr r r, s,,t? -atöl -qû Ût hy* ){ z A 4' q.'e Ei 4a-*o^.,,^ (Å*"L t*; *&/* &r &k:44 r la,\ ti?, V uç,, 2. Muutetaan tehtävåin 1 problematiikkaa seuraavasti: Kolmas tuote on kilpailijan vahiltama. 'Meidän firma' valmistaa tuotteita ja2. Muodosta 'Meidän firman tavoitefunktio P(qt,qz) ja kirjoita sen maksimin välttämätön ehto. Miten päätösmuuttujien 41 ja q2 optimiarvot riippuvat kilpailijan tuotantomäåirästä?

$t 1t \> 1"-b {'u = \'b (J ( ßff1 îl (f)l b i'o ',J/ e Zo'e )Lto / =(;r )$ $9: (): z't, t",', -,\.o,o - 'þ,2ouü - 'hqs,tç - lb srcro r' r.tzo,o * L_ 1.$

4 ( 2Lot o {3ç6- t, t þ + l.t 1t \> 1"-b {'u = \'b (J ( ßff1 îl (f)l b i'o ',J/ e Zo'e )Lto / =(;r ) <) tð s*'o * ll a lì,/ -r-z7oa- L = zlolotte r tb *o'o tl -o'o 'Þ A,Q (Ð 9: (): z't, t",', -,\.o,o - 'þ,2ouü - 'hqs,tç - lb srcro r' r.tzo,o * L_ 1.T qã -..L O=- a b /} :21 T-P *'n \4\,4 u*v:yy/ ï) O

$.. c) Määritäjonon (cn) raja-arvo l\mn-- *cn, kun cn: sup{år,b2,...,bn}, missäå,, on sama kuin b-kohdassa.? l*/ /;"^ Vt 4.>* â þ'l.:ù"pç1 t -t Lc+ r +'[=l *t= L.$ $l *t l** J. AL l/, + +?k*-l i..'...+ -L Yr l." +{,c 'l.l-lmt k* + tl^-,)(t^", ) (k",j l,-,ã t [<?. ' L þ.â" U. ---- *?r*,. k(u*, ) Lfut kf[c"r\ 2.$

5 3. a) Mäåiritä jonon (an) ruja-arvo limn- *an,kvn an: #*,,n : 1,2,... b) Mä iritä jonon (år) raja-arvo limza*bn,kun b, ' (-l)n,n: L,2,... c) Määritäjonon (cn) raja-arvo l\mn-- *cn, kun cn: sup{år,b2,...,bn}, missäå,, on sama kuin b-kohdassa.? l*/ /;"^ Vt 4.>* â þ'l.:ù"pç1 t -t Lc+ r +'[=l *t= L. l *t l** J. AL l/, + +?k*-l i..'...+ -L Yr l." +{,c 'l.l-lmt k* + tl^-,)(t^", ) (k",j l,-,ã t [<?. ' L þ.â" U *?r*,. k(u*, ) Lfut kf[c"r\ 2. f L þ( b**rr-h*l>,,7,1*n*, [*þf(] -à C a,o^ "Lr- Ç* [s f@e û"ì'( otu{a ä' n&(n*.,o*^\l"f,r^ -à l*^ o rnn 5o fl d"* ),) Cv'r: ôurn, c^ f:^ cn h lab,.1, )u* n tr "u;/r.u t^ { bh-r,l^ vt l-*r^ L.^ (r^\ ç-ù,ü,*.'.* f C L^ V^ r.l k,(;* -t:l l -sa,

$4. Osoita majoranttiperiaatteella, että sarj a A:Ë oo:l-+ k:t fr:l \' ') suppenee. (Ohje: Majoranttþeriaate,lause 4.4.1 sivu 107. ) êì Z.$ $[a tn*ulá' o"( q*"**('**-n'31' L ), /,-<-<,L '*Y- '-f l=,ã (*ù tr^'" t4 1 "/"1ã* ëu'vtn o Ça r"*-^-n CQ \J A L zk* 11= + w (^ 4n- K: L/*r ) fe l\, _ &, K, ) ø* V: $ +t æ!$

6 4. Osoita majoranttiperiaatteella, että sarj a A:Ë oo:l-+ k:t fr:l \' ') suppenee. (Ohje: Majoranttþeriaate,lause sivu 107. ) êì Z.l^-' { Z{z &L-t ê < 'z**' Ò ç le, ^ kze l 6,o{.o* k :1^ 6lot tutwtrû'v{t- A *'$n,..,. ak k-ç * t) Í, tu E b, *þ',,j[ff* w,<.[a tn*ulá' o"( q*"**('**-n'31' L ), /,-<-<,L '*Y- '-f l=,ã (*ù tr^'" t4 1 "/"1ã* ëu'vtn o Ça r"*-^-n CQ \J A L zk* 11= + w (^ 4n- K: L/*r ) fe l\, _ &, K, ) ø* V: $ +t æ! ---N* t 1 Zt r, J_ '(. ñ 4 é. (r-å) :. 2N -1 2-t\t Zñ+z (t-à) v 2N+r : rv7 V^lÅL-* N : '6 6ìf Z 2k-t - t kal. z - l )-( = tu'>jl'.. J- +l-* l- f + a 1 tç ÔtôTraí þ' = *=fivo,úovël ir 6t t;*/ô'/gy 0 ltçúlt7dt r ô,cni?xt ^ A < t,fq<v L A L l,lzz,á.+= t,6to lo,õl

$V.o,{^'l-^"-- N = ll l1 : -L { l- *-.!-* J*.Ì-Lrt 2 o zç9 ) *J.--* Çt\ r +v*t r j +l* Ì' ç 6f, tzì! ôa\ '"* ' 2o4Z 4 ô qî V.$ $"*ol b1 / z (2r + ( l+z) -vl,(;^,(,*i* Zvr/ff f Pr+r y7 4Þ 4..\ z ^ otr, --\ g"q,r{a u* -(*va il tr ) Í--*, Ø+r 1* 4n*t. n+? h+\ gn A"n v'tþ&?$

7 V.o,{^'l-^"-- N = ll l1 : -L { l- *-.!-* J*.Ì-Lrt 2 o zç9 ) *J.--* Çt\ r +v*t r j +l* Ì' ç 6f, tzì! ôa\ '"* ' 2o4Z 4 ô qî V. lt't YY = L 2-tz tn ( 60 64Ço4qz -*2 O 6-Õ-0 t glg z y = ô, otr < z?öa lt &açqç 4 gffið,zz ë- A- { t, éaaq Ç{. + Qroo t-t gy 5. Suppenevatko seuraavat sarjat? a) _L_ry Ðå (Ohje: Suhdetesti, lause sivu ---t-.)ery a,u ^ +/)ê,t; âh*r k:.- þt +7" a t"t k Vnn' (n*t t4qþ?, > ç*'lo 4^ Y f -ü'u"e*? "*ol b1 / z (2r + ( l+z) -vl,(;^,(,*i* Zvr/ff f Pr+r y7 4Þ 4..\ z ^ otr, --\ g"q,r{a u* -(*va il tr ) Í--*, Ø+r 1* 4n*t. n+? h+\ gn A"n v'tþ&? n4r /h+z\ n+z\\ {"_)tñ/ àæ> --lr+ \--.\/,æ 'ilìn =.N &; V +Qvr + Q /-\._ tt 9ê. 2v2+4n =å + t L /Å* h **éh^i.ler,ú +"**,-

$) Á l vior. #-^,o.n^ /'vf 1.Y^ Ç "t. ( r V - L'l^'C-( t*+*t.*t,j+{^*".= + x-' + >r--+ x.-1 -'t Y-\ = -x-z -L{\ -3x-*- ttf\' Q D-t-rtÃ ft,n +ttj æ '-t t *2+2 Lt Yz,. >< K.+;{"t ãt.t. Y x-t Z4lêt + rr' f.$

8 ) Á l vior. #-^,o.n^ /'vf 1.Y^ Ç "t. ( r V - L'l^'C-( t*+*t.*t,j+{^*".= + x-' + >r--+ x.-1 -'t Y-\ = -x-z -L{\ -3x-*- ttf\' Q D-t-rtÃ ft,n +ttj æ '-t t *2+2 Lt Yz,. >< K.+;{"t ãt.t. Y x-t Z4lêt + rr' f.t Y.L X)aax -L,3 (x - t)z (x 5 r lzç t t{+t nll ZL (z-r z -_l /r*' z -l -l 3 ç",t\.f i r^ Ç ç' vt't [e1 "4 a..-(øaut {cav -t^ +" + U d, a(v l'( -Xa ) Y =Z.) f *{"t*"**" -t >- -r k-?-, )r-3å. -.. * [, x-' - Z' Y'-. -a'x-\-.. - l' \- - ' k'*t-.l').*n*.,. t2 ><-u +f {3 t f x-kt-...2l X * X rb + ao çr" t+tæ Yz y1 +'.. g 't z ì, S ( k*r \" 7 t-' -t x-s k-r 5 -t (\*r z- = -)< t*' t rx -.)- -4 nz / tu,/- ^L <- al* lr = \ '*' )t Å_ x ('z-r7a -.\ z- (x-r \ XH f x*,)\ "F XQ - )<? (y--,)\ 4>. \ ll X o( d.y, yt- k.l

Samankaltaiset tiedostot

VOLKER BECK P. =H. o:_ie!r n^: =:l - dö5i6 = '1 arcii - a; +; s*. P <,R< qe 5 +ä a. c g-;i-(d1. ::qp io > iädaa :; 3fE,:E A. Ö!\lo: Y.

$VOLKER BECK P. =H. o:_ie!r n^: =:l - dö5i6 = '1 arcii - a; +; s*. P <,R< qe 5 +ä a. c g-;i-(d1. ::qp io > iädaa :; 3fE,:E A. Ö!\lo: Y.$ -Tl (D 'f.g) = (,g L! (D =5.T 0) \ (:) ( P. =H ''. @ 5q 9