Tenniksen pistelasku Useimmat meistä ovat joskus katsoneet TV:stä tennisottelua. Katsoja kokee jännitystä voidessaan seurata kuinka pisteden kertyminen johtaa ottelun päättymisen toisen pelaajan voittoon ja toisen tappioon. Pistelaskun etenemistä on vaikeampi seurata - osittain laskennassa käytettyjen englanninkielisten ilmausten vuoksi. Aluksi on tärkeätä ymmärtää, että pelaaja pyrkii aina periaatteessa voittamaan 'pelin' (engl. Game). Kuusi tai enemmän pelin voittoa johtaa 'erän' voittamiseen. Pelaaja voi voittaa koko 'ottelun' voittamalla useamman 'erän': peli, erä ja ottelu (Game, Set and Match). Myös yksittäisen pelin pistelasku voi kuulostaa monimutkaiselta, sillä ensin mainitaan aina syöttövuorossa olevan pelaajan pisteet. Lisäksi pisteet eivät kerry yksittäin, vaan 'pallon' voittaja saa 15 pistettä. Pelaaja, joka voittaa ensimmäisenä neljä palloa, eli neljä kertaa 15 pistettä ja yhteensä 60 pistettä, voittaa pelin. Tämä pätee kuitenkin vain silloin, kun vastustaja on voittanut vähintään kaksi palloa vähemmän. Pelitilanteen hahmottamista vaikeuttaa lisäksi se, että kolmen voitetun pallon jälkeen pelaajalla ei olekaan 45 vaan ehkäpä taannoisten pelaajien hengästymisestä johtuen lyhyemmin 40 pistettä (forty). Erikoista on myös se, että nolla pistettä on englannin kielessä "love eikä "Zero" (!). Yksinkertaisimmassa tapauksessa pelaaja voittaa vastustajansa siten, että tämä ei onnistu keräämään yhtään pistettä. Mutta mitä tapahtuu tilanteessa, jossa erävoittoa varten molemmilta pelaajilta puuttuu vielä yhden pallon voitto? Vastaus on yksinkertainen: Peliä jatketaan niin pitkään, että jompi kumpi pelaajista voittaa kaksi palloa enemmän. Pistelasku yksinkertain en tenniksen pistelasku englantilainen pistelasku pistelasku 0-0 0-0 pelaaja 1 1-0 15-0 Fifteen-Love pelaaja 2 1-1 15-15 Fifteen all pelaaja 1 2-1 30-15 Thirty-Fifteen pelaaja 1 3-1 40-15 Forty-Fifteen pelaaja 2 3-2 40-30 Forty-Thirty pelaaja 2 3-3 40-40/ tasatilanne Deuce pelaaja 2 3-4 etu pelaaja 2 Advantage player 2 pelaaja 1 4-4 tasatilanne Deuce pelaaja 1 5-4 etu pelaaja 1 Advantage player 1 pelaaja 1 6-4 peli Game player 1 Esimerkki tenniksen pelitilanteen kehittymisestä, pelaaja 1 syöttää Tämän pistelaskentatavan historiasta olisi paljonkin kerrottavaa, mutta tässä kerrottakoon vain, että asiantuntijat eivät ole alkuunkaan yksimielisiä siitä, juontuuko laskutapa pienten kolikoiden arvosta (15), joita käytettiin vedonlyönnissä vaiko kentän mitoista, joissa pelaaja voi johdossa ollessaan siirtyä aina 15 tuumaa eteenpäin kohti kentän keskustaa. Kahden yksikön voittomarginaalia sovelletaan paitsi palloihin, niin myös peleihin. Niinpä erävoittoon vaaditaan kuusi pelivoittoa ja vähintään kaksi enemmän kuin vastustajalla. Kentältä voi kuitenkin poistua voittajana myös "vain" yhden erän vastustajaa enemmän voittaneena: Riippuen turnauksesta voiton perusteena voi olla "paras kolmesta" tai "paras viidestä". Sivu 1 / 7
Matematiikan näkökulmasta tarkastellen tämä laskutapa on mielenkiintoinen, koska tällöin ei voi välttyä miettimästä, voiko tämä laskentatapa vaikuttaa ottelun lopputulokseen. Lähestykäämme tätä kysymystä kuvittelemalla kaksi tasavahvaa ja väsymätöntä henkilöä pelaamassa tennistä. Pelaajat voittavat ja häviävät palloja yhtä suurella todennököisyydellä. Ajatellaanpa, että toinen pelaajista voittaa pallon 55 %:n todennäköisyydellä ja häviää pallon 45% todennäköisyydellä, ja lasketaan sitten voittaako hän ottelun samalla todennäköisyydellä, vai muuttuuko todennäköisyys pistelaskumenetelmästä johtuen. Tästä teemasta löytyy Internetistä artikkeli, jonka kirjoittaja on Mannheimin yliopiston matematiikan professori Jürgen Potthoff. Samaa ajatusta voi työstää myös oppilaiden kanssa. Laskutoimitukset voivat olla aika vaativia, jos käytössä on vain normaali tieteislaskin. Grafiikkalaskin soveltuu tämän tyyppisiin tehtäviin oivallisesti. Kaikki mahdolliset pelitilanteet voi merkitä kaavioon, johon sitten täydennetään vastaavat todennäköisyydet. Todennäköisyydet oikealla näkyville viidelle pelitilanteelle voi laskea jo yläkoulutasolla todennäköisyyslaskennan kertolaskusääntöjen avulla. Nämä pelitilanteet ovat tärkeitä, sillä niistä ei enää voi palata takaisin muihin pelitilanteisiin. Tennisottelun puukuvaaja Todennäköisyys P1 sille, että 0-0 tilanteesta päästään ottelun voitto. tilanteeseen ilman, että tätä ennen päädytään johonkin muuhun tilanteeseen, voidaan laskea seuraavasti: P1 = 0,55 4 + 4 (0,45 0,55 4 ) = 0,2562 P2, todennäköisyys vastaavasti sille, että päädytään tilanteeseen 40-30, voidaan laskea seuraavasti: P2 = 4 0,55 3 0,45 2 = 0,256 = 0,1348 Sivu 2 / 7
FX-9860GII: Päävalikko ja laskelmat RUN-MAT-sovelluksessa Näiden laskelmien tulokset näkyvät seuraavassa taulukossa: Ottelun voitto P1 0,2562 40-30 P2 0,1348 30-30 P3 0,3675 30-40 P4 0,1102 ottelun häviö P5 0,1312 Todennäköisyydet viiden ergodisen lopputuloksen saavuttamiselle Tämä taulukko voidaan laatia helposti grafiikkalaskimen taulukkolaskennan avulla. FX-9860GII: Päävalikko ja laskelmat S-SHT-taulukkolaskennassa Jos pelaajat ovat saavuttaneet jonkin viidestä pelitilanteesta, he voivat tuossa tilanteessa teoriassa hyppiä siihen ja takaisin loputtomasti. Käytännössä on tietysti niin, että nämä tilanteet ottelun voitto ja ottelun häviö johtavat siihen, että seuraava peli alkaa. Matemaattisesti tarkastellen näiden tilanteiden suhtee todennäköisyys tuloksen vaihtumiseksi toiseksi on 100%, toisin kuin muiden kolmen pelitilanteen kohdalla. Todennäköisyys kolmen muun pelitilanteen muuttumiselle jompaan kumpaan seuraavista tilanteista on 55% tai 45%. Näiden pelitilanteiden pysyminen ennallaan on mahdotonta, eli tämän todennäköisyys on 0%. Markovin ketju, ergodiset pelitilanteet Sivu 3 / 7
Siirtyminen pelitilanteesta toiseen voidaan kuvata siirtymämatriisilla: päätepiste lähtö piste ottelun voitto 40-30 ottelun voitto 40-30 40-40 30-40 ottelun häviö 40-40 30-40 ottelun häviö Siirtymämatriisi, ergodiset pelitilanteet Tarkasteluun voidaan ottaa myös todennäköisyydet voittaa ottelu näistä viidestä tilanteesta lähtien. Kaksi näistä todennäköisyydestä selviää asiayhteydestä: P1,1 on oltava yksi, eli 100%, sillä jo voitettua ottelua ei voi enää hävitä. P1,5 on oltava nolla, sillä jo hävittyä ottelua ei voi enää voittaa. Muut todennäköisyydet voidaan laskea siirtymämatriisin avulla, sillä: Kertominen siirtymämatriisilla ei aiheuta muutoksia. Tästä seuraavat yhtälöt kolmella tuntemattomalla on mahdollista ratkaista FX-9860GII-laskimella. Yhtälöiden syöttäminen grafiikkalaskimeen FX-9860GII: EQUA-sovelluksen päävalikko ja valinnat Sivu 4 / 7
FX-9860GII: Yhtälömatriisien (kaavamatriisien) ja ratkaisuvektorien syöttäminen Laskimella voidaan tietenkin myös osoittaa todeksi matriisi/vektoriyhtälö: FX-9860GII: Siirtymämatriisin ja ratkaisuvektorien kertominen RUN-MAT-sovelluksessa. Matriisien ja vektorien määrittäminen tapahtuu alavalikon Mat (F3) -valinnan kautta. FX-9860GII: Siirtymämatriisin ja ratkaisuvektorin määrittäminen alavalikon Mat-valinnan kautta Löydettyjä todennäköisuuksia P1,2 = 0,8195, P1,3 = 0,599 ja P1,4 = 0,3295 voi käyttää pelin voittamisen todennäköisyyden laskemiseen. Todennäköisyys lasketaan seuraavasti: P(peli) = P1 P1,1 + P2 P1,2 + P3 P1,3 + P4 P1,4 + P5 P1,5 = 0,6231 = 62,31% FX-9860GII: Pelin voittamisen todennäköisyyden laskeminen P(Spiel) taulukkolaskennassa Sivu 5 / 7
Samalla tavalla lasketaan erän ottelun todennäköisyydet. Voidaan todeta, että pelin voittamisen todennäköisyys, P(peli) = 82,2%, kun taas todennäköisuus voittaa ottelu kolmen erän voitolla, P(ottelu) = 95,7%. Kaikki tämä perustuu vakiona pysyvään todennäköisyyteen voittaa pallo 55%:n todennäköisyydellä. Mikäli tarkasteluun otetaan tämä pallon voiton todennäköisyyden, P(pallo), muitakin tekijöitä, päästään seuraavaan kuvaukseen. P(pallo) P(peli) P(erä) P(ottelu) 51% 52,5% 57,3% 63,6% 55% 62,3% 82,2% 95,7% 60% 73,6% 96,6% 100% 70% 90,1% 100% 100% Voittotodennäköisyydet tenniksessä perustuen pallon voittamisen todennäköisyyteen Yllättävä johtopäätös on, että tämä tenniksen laskentatapa suosii vahvempia pelaajia. Jo 55%:n todennäköisyydellä voittaa pallo vahvemmalla pelaajalla on melkein 96%:n mahdollisuus voittaa ottelu. Todellisuudessa sen todennäköisyys vaihtelee, millä pelaaja voittaa pallon. Vahvat ja heikot hetket vaihtelevat pelissä, omalla syöttövuorolla voitetaan yleensä enemmän palloja jne. Tästä huolimatta matematiikka selittää suuren osan pelin jännittävyydestä: Heti kun pelaaja on otteissaan vahvempi kuin vastustaja, hän alkaa tenniksen laskutavan takia voittaa enemmän pelejä. Tämä ei riipu ottelun tilanteesta, joten tennisottelujen suunta voi muuttua hetkenä minä hyvänsä. Juuri tämä tekee tennisottelujen seuraamisesta kiehtovaa. Sivu 6 / 7
Tässä esimerkissä käytetään FX-9860GII-grafiikkalaskinta. Tennisottelun tutkimiseen muuntuvilla todennäköisyyksillä P(pallo) voidaan käyttää lisäksi ClassPad 330 -laitetta, jonka Computer-Algebra-System-ohjelmisto kykenee myös laskemaan muuttujilla. ClassPad 330: Ratkaisuvektorin laskeminen yleisesti ja arvolle p = 55% Sivu 7 / 7