Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Taulukosta selviää, että propositio ei ole kotradiktio 2. Ovatko propositiot p q ja p q ekvivaletit? Ratkaisu: Totuustauluko p q p q p q 0 0 0 0 0 0 perusteella ovat. 3. Esitä seuraava päättely propositiologiika merkiöillä: Premissit Hau polttaa orttia tai Hau o tupakkalakossa, Hau ei polta orttia ; johtopäätös Hau o tupakkalakossa. Oko päättely loogisesti sitova? Ratkaisu: Olkoo p Hau polttaa orttia, q Hau o tupakkalakossa. Päättely esitetää muodossa p q, p q. Loogie sitovuus selvitetää totuustaulukolla p q p q p 0 0 0 0 0 0 0 josta selviää, että premissit ovat yhtäaikaisesti tosia vai tauluko toisella rivillä. Tällöi myös johtopäätös q o tosi, jote päättely o loogisesti sitovaa. 4. Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia, ku muuttujat ovat reaalilukuja? a( x( y(y < x b( x( y(y < x c ( x( y(x y y x d ( x( y(x y ( z(x < z < y Vastaus: Tosia a ja c, epätosia b ja d. 5. Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia, ku muuttujat ovat kokoaislukuja? a( x( y(y < x b( x( y(y < x c ( x( y(x y y x d ( x( y(x y ( z(x < z < y Vastaus: kute edellisessä tehtävässä.
6. Esitä seuraava päättely predikaattilogiika merkiöillä: Premissit Kaikki o kultaa mikä kiiltää, Sormus o kultaa ; johtopäätös: Sormus kiiltää. Oko päättely loogisesti sitova? Ratkaisu: Olkoot Ku(x x o kultaa ja Ki(x x kiiltää sekä s sormus. Päättely voidaa esittää muodossa ( x(ki(x Ku(x, Ku(s Ki(s. Päättely ei ole loogisesti sitova. Voidaa esimerkiksi valita toie tulkita predikaateille: Ku(x x [0, 2], Ki(x x [0, ], s, 5. Tällöi premissit ovat yhtäaikaa tosia mutta johtopäätös, 5 [0, ] epätosi. 7. Todista iduktiolla, että ku N. (2i (2i + 2 +, Ratkaisu: Iduktio lähtökohta ; yhtälö o muotoa tosi. Iduktio-oletus: Iduktioväite: + Iduktioväittee todistus: + (2i (2i + 3 2 +, (2i (2i + 2 +, (2i (2i + + 2( + +, (2i (2i + + (2( + (2( + + 2 + + (2 + 3 + (2 + ( + (2 + (2 + 3 (2 + (2 + 3 (2 + (2 + 3 + 2 + 3. Toie yhtäsuuruus seuraa iduktio-oletuksesta. 8. Todista iduktiolla, että (2i 2, ku N. Ratkaisu: Iduktio lähtökohta ; yhtälö o muotoa 2 2, tosi. Iduktio-oletus: (2i 2, + Iduktioväite: (2i ( + 2
Iduktioväittee todistus: + (2i (2i + 2 + 2 + 2 + ( + 2. 9. Selvitä mitä seuraavat joukot ovat: a R Z b 2 {a,b,c} c ( k, k, d [ k, k] k Vastaus: a Z b {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} c {0} d R. 0. Määritellää relaatio R R R seuraavasti: R {(x, x 2 x R}. Oko R jouko R ekvivalessirelaatio? Etä oko R fuktio? Vastaus: R ei ole ekvivalessirelaatio, koska esim. (2, 2 / R. R o kuiteki fuktio, koska jokaista alkukuvaa x vastaa tarkallee yksi kuva x 2.. Olkoo A {, 2, 3}, B {a, b, c, d}, ad C {α, β, γ} ja S : A B relaatio S {(, a, (2, c, (3, d} sekä R : B C relaatio R {(a, α, (a, γ, (c, β, (d, β}. Muodosta S ja R S ja selvitä, oko joki maiituista relaatioista fuktio. Vastaus: S {(a,, (c, 2, (d, 3}, R S {(, α, (, γ, (2, β, (3, β}. S o fuktio: jokaisella lähtöjouko alkiolla o tarkallee yksi kuva. R ei ole fuktio: a:lla o kaksi kuvaa α ja β, eikä b:llä ole laikaa kuvaa. R S ei ole fuktio: :llä o kaksi kuvaa, α ja γ, S ei ole fuktio: b:llä ei ole kuvaa. 2. Kokoaislukuje joukossa jaollisuus tarkoittaa seuraavaa: a jakaa b: (merkitää a b jos o olemassa sellaie kokoaisluku c, että b ac. Määritellää kokoaislukuje joukossa biäärie relaatio ehdolla a b 7 (b a. Selvitä, oko a ekvivalessi b totaalie järjestys. Ratkaisu: a o ekvivalessi: Koska 0 7 0, pätee t (a a kaikille kokoaisluvuille a, siis a a. Oletetaa sitte, että a b, mikä merkitsee sitä, että b a 7 c (c Z. Tällöi myös a b 7 ( c, jote b a. Trasitiivisuude toteeäyttämistä varte oletetaa, että a b ja b c, mikä merkitsee sitä, että b a 7d ja c b 7d 2 jolleki kokoaisluvuille d ja d 2. Tällöi c a c b + b a 7d 2 + 7d 7(d + d 2, mikä siis merkitsee sitä, että 7 (c a, siis a c. b ei ole totaalie järjestys, sillä atisymmetrisyys ei päde. O esimerkiksi voimassa 7 0 ja 0 7, vaikka 0 7. 3. Oko kokoaislukuje joukossa relaatio x y a ekvivalessi? b totaalie järjestys? Ratkaisu: a ei ole ekvivalessi, sillä symmetria ei päde: esimerkiksi 2, mutta 2 ei päde. b ei ole myöskää totaalie järjestys, sillä atisymmetria ei päde: esimerkiksi ( (sillä ( ja, vaikka. 4. Mikä o joukko f([, 2], ku f(x x 2. Etä joukko f ([, 2]? Sopimukse mukaa fuktio määrittelyjoukko o R (laaji mahdollie reaalilukujoukko Vastaus: f([, 2] [0, 4], f ([, 2] {x R x 2 [, 2]} [ 2, 2]. k
5. Mikä o fuktio f(x ta x määrittelyjoukko M? Oko f : M R surjektio? etä ijektio? Etsi jotki sellaiset joukot A, B R, että f : A B, f(x ta x o bijektio. Vastaus: Tagettifuktio ta x voidaa määritellä aia, ku x π jolleki kokoaisluvulle, siis määrittelyjoukko o M R \ {π Z}. Tagettifuktio f : M R o surjektio, sillä kaikki reaaliluvut esiityvät kuvaa (kuvaajaa vetoamie o riittävä perustelu tässä yhteydessä, mutta ei ijektio, sillä esim ta 0 ta π 0. Jos valitaa A ( π 2, π 2 ja B R, saadaa aikaa bijektio. 4x 2 3 x 6. Oko lausekkeella f(x Mikä o määrittelyjoukko A? määritelty fuktio f : A R alkeisfuktio? Vastaus: f o alkeisfuktio, koska se saadaa polyomifuktioista juureotolla ja jakolaskulla. Lauseke o määritelty, jos x ja 4x 2 3 0. Näi olle määrittelyjoukko o ( R \ ( 3 2, 3 2 \ {}. ( 3 7. Olkoo A. Laske seuraavista matriiseista e, jotka ovat määriteltyjä: AA T, A T A, A 2, A + A T, A(A T A. 0 2 ( 3 ( 5 Vastaus: AA T, A 5 5 T A 2 38 5 5, A(A T A 5 5 20 3 5 0 A 2 ja A + A T eivät ole määritelty. 8. Etsi kaikki 2 2-matriisit X, jotka toteuttavat yhtälö AX XA, ( olipa A 0 mikä hyväsä 2 2-matriisi. Ohje: tarkastele erityisesti A: arvoja 0 0 ja ( 0 0 0. Ratkaisu: ai 2, a R. 9. Fiboacci luvut( F määritellää F 0 0, F ja F F ( +F 2, ku 2. Olkoo A. Todista iduktiolla, että A 0 F+ F F F aia ku N. Ratkaisu: Iduktio lähtökohta havaitaa helposti oikeaksi.. ( ( A + A A F+ F 0 F F ( ( F+ + F F + F F+2 F + F + F F + F 20. Olkoot f : R 2 R 2 ja g : R 2 R 2 lieaarikuvauksia: f(x, y (x + 2y, x + y ja g(x, y (x y, x + y. Muodosta kuvaus g f a suoraa sijoittamalla ja b matriisituloa käyttäe. Vastaus: a g(f(x, y g(x+2y, x+y (x+2y ( x+y, x+2y x+y (2x + y, 3y. ( ( ( 2 2 b A f, A g, jote A g A f. 0 3
2. Ratkaise yhtälöpari { x + 3y + 2z + 8w x + 4y + 2z + w 0 Gaussi elimioitimeetelmää käyttämällä. Ratkaisu: Yhtälöryhmä augmetoitu matriisi muutuu Gaussi meetelmällä muotoo ( 0 2 4, 0 0 3 mikä vastaa yhtälöryhmää { x + 2z w 4 y + 3w Ratkaisu voidaa lukea tästä suoraa: missä z, w R. 22. Ratkaise yhtälöryhmä (x, y, z, w ( 2z + w 4, 3w +, z, w ( 2z, 0, z, 0 + (w, 3w, 0, w + ( 4,, 0, 0 z( 2, 0,, 0 + w(, 3, 0, + ( 4,, 0, 0, x + y + z + w x + 2y + 3z + 4w 2 x y + z w 2 x y z w 2 Gaussi elimioitimeetelmää käyttämällä. Ratkaisu: Vastaus: x 3 2, y 5 4, z 0, w 3 4. 23. Kuika moiulotteise R 4 : aliavaruude vektorit (, 2, 2, 3, (2, 0,, ja (0,,, 0 geeroivat? Ratkaisu: Gaussi meetelmällä saadaa matriisi 2 2 3 2 0 0 0 porrasmuotoo 2 2 3 0 0 0 0 7 mistä ähdää, että matriisi aste o 3. Täte siis kysytyt vektorit geeroivat kolmiulotteise aliavaruude. 24. Matriisi A o viosymmetrie, jos A T A. Osoita, että viosymmetrise 3 3-matriisi determiatti o olla. Ratkaisu: 3 3-matriisi A jokaiselta riviltä voidaa ottaa yhteiseksi tekijäksi, mistä ähdää, että det( A ( 3 det(a det(a. Koska toisaalta det(a det(a T, saadaa det(a det( A det(a T det(a, siis det(a det(a, mistä seuraa det(a 0.