Lineaarialgebra a, kevät 2018

Samankaltaiset tiedostot
Lineaarialgebra a, kevät 2018

Lineaarialgebra a, kevät 2018

Lineaarialgebra a, kevät 2019

Kotilaskut 1 yms. Maple:lla Maple 2017 versio. Työarkkien yhteensopivuus taaksepäin ei ole taattu!

Lineaarialgebra a, kevät 2019 Harjoitus 6 (ratkaisuja Maple-dokumenttina) > restart; with(linalg): # toteuta ihan aluksi!

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Lineaarialgebra b, kevät 2019

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarinen yhtälöryhmä

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 5 Maplella

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

5 Lineaariset yhtälöryhmät

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

Insinöörimatematiikka D

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

a b 1 c b n c n

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Insinöörimatematiikka D

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Avaruuden R n aliavaruus

Ennakkotehtävän ratkaisu

Insinöörimatematiikka D

Lineaarialgebra b, kevät 2019

Toispuoleiset raja-arvot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

10 Matriisit ja yhtälöryhmät

Matematiikka B2 - TUDI

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Lineaarialgebraa. Mat Matematiikan peruskurssi KP3-II Luentokalvojen tekstit Lay: luvut ,1.7,1.8 Heikki Apiola

Johdatus lineaarialgebraan

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

Käänteismatriisi 1 / 14

Lineaarialgebra b, kevät 2019

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Neliömatriisin adjungaatti, L24

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Insinöörimatematiikka D

LINEAARIALGEBRA. Martti E. Pesonen. Jaetun kurssin a-osan alkua 4. tammikuuta 2016

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

LU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Transkriptio:

Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 2, mm. Maplella restart; # unohduttaa aikaisemmat asiat Maplen muistista with(linalg); # lataa lineaarialgebraan liittyviä Maplefunktioita (1) Tehtävä 1. Yhtälöryhmien ekvivalenttius (todistustehtävä) Aluksi tutkiskelua: YRI := {c = a*x + b*y, f = d*x + e*y}; (1.1) solve(yri,{x,y}); (1.2) YRII := {a*x + b*y = c,(d-alpha*a)*x + (e-alpha*b)*y = f- alpha*c}; solve(yrii,{x,y}); (1.3) (1.4) Yhtälöryhmien ratkaisut näyttävät samoilta, mutta ongelmana ovat ne monet tapaukset, joissa ae - bd = 0. Todistus, joka on vapaa nolluustarkasteluista: Ensiksikin, yhtälöryhmissä on samat tuntemattomat x ja y. Toiseksi, osoitetaan yhtälöryhmien ratkaisujoukot RI ja RII samoiksi, siis toistensa osajoukoiksi. a) Ensimmäisen yhtälöryhmän I ratkaisut ovat myös toisen ratkaisuja. Olkoon pari (, ) yhtälöryhmän I ratkaisu. Koetetaan sijoittaa ensimmäisen yhtälöryhmän tieto toiseen: sijoitusi := {x = x[1], y = y[1]}; (1.5)

toteutuvati := subs(sijoitusi,yri); sijyrii := subs(sijoitusi,yrii); simplify(subs(toteutuvati,sijyrii)); (1.6) (1.7) (1.8) mikä siis toteutuu! b) Toisen yhtälöryhmän II ratkaisut (, ) ovat ensimmäisenkin ratkaisuja. Tämä on Maplesijoittelulla hankalampaa, joten tehdään toisin. Tiedetään siis, että (*) ja (**). Täten yhtälöryhmän I eka yhtälö (samana) toteutuu. Toista varten ratkaistaan yllä olevasta (**) - ottaen huomioon myös yhtälön (*) - = = = f. Siis myös toinen yhtälöistä I toteutuu. Näin ratkaisujoukot on todettu samoiksi, ja siten yhtälöryhmät ovat yhtäpitävät eli ekvivalentit. Tehtävä 2. Mitkä tuntemattomat voidaan valita mielivaltaisesti? a)-kohta: Viedään restart; with(linalg): x := vector(4); print(x); # vektoria x tarvitaan vasta ratkaisun lopulla! (2.1) R1 := 2*x[1] - 2*x[2] - 3*x[3] + 2*x[4] = 3; R2 := 2*x[1] - 2*x[2] + 4*x[3] + 6*x[4] = 2; R3 := 3*x[1] - 3*x[2] + 2*x[3] + 2*x[4] = -3; (2.2) Gaussin prosessilla porrasmuotoon (Maplessa ei voi tässä käyttää mitään pilkkuja Ri'): # R1 saa edeltävän arvonsa R2 := R2 - R1; R3 := R3-3/2*R1; (2.3)

R2 := R2; R3 := R3-13/2/7*R2; (2.4) R1 := 1/2*R1; R2 := 1/7*R2; R3 := -7/33*R3; (2.5) Tästä näkyy, että ei ole vapaa, ei myöskään silloin. Kumpi tahansa tai (vain yksi!) voidaan valita mielivaltaisesti. b)-kohta: Takaisinsijoitus, tai vaikka Maple, ottaen huomioon kohdan a) tulos: solve({r1,r2,r3}, {x[1],x[3],x[4]}); (2.6) Valitaan, jolloin sij2 := {x[2] = t}; ratk2 := subs(sij2, solve({r1,r2,r3},{x[1],x[3],x[4]})); (2.7) (2.8) evalm(x) = subs(ratk2 union sij2,evalm(x)); (2.9) Vektorimuotoon vielä, tee itse! Tehtävä 3. Gaussin menetelmä Maplea käyttäen a)-kohta restart; with(linalg): x := vector(4); (3.1) R1 := x[1] + x[2] + 2*x[3] + 3*x[4] = 6; R2 := 2*x[1] - 4*x[2] - 4*x[3] - 4*x[4] = 0; R3 := x[1] + 6*x[2] - 3*x[3] + 4*x[4] = 1;

(3.2) R2:= R2-2*R1; R3 := R3-1*R1; (3.3) R2:= R2; R3 := R3 - (5/(-6))*R2; (3.4) R2:= -1/6*R2; R3 := -3/35*R3; Tämä on porrasmuoto, josta nähdään, että x4 voidaan valita mielivaltaisesti. Arvot x3, x2 ja x1 saadaan takaisinsijoituksella: solve(subs({x[4] = t}, R3), x[3]); # ratkaistaan x[3] = (3.5) (3.6) solve(subs({x[4] = t, x[3] = -22/35*t+9/7},R2),x[2]); # sitten x[2] = (3.7) solve(subs({x[4] = t, x[3] = -22/35*t+9/7, x[2] = -29/35* t+2/7}, R1), x[1]); # ja lopulta x[1] = (3.8) Ratkaisu on yksiparametrinen joukko, suora x = [,,, ], t in R. b)-kohta restart; R1 := x[1] - x[3] - 2*x[4] = -2:

R2 := 2*x[1] - x[2] - x[3] + 2*x[4] = 7: R3 := 3*x[1] - 3*x[2] + x[3] - x[4] = 4: R4 := 4*x[1] + 4*x[2] - 3*x[3] + 2*x[4] = 31: R2:= R2-2*R1; R3 := R3-3*R1; R4 := R4-4*R1; (3.9) R2:= R2; R3 := R3-3*R2; R4 := R4 + 4*R2; (3.10) R2:= R2; R3 := R3; R4 := R4-5*R3; (3.11) R2:= -1*R2; R3 := R3; R4 := (1/99)*R4; (3.12) Tämä on porrasmuoto, josta x[3] = solve(subs({r4}, R3), x[3]); (3.13) x[2] = solve(subs({r4,%}, R2), x[2]); x[1] = solve(subs({r4, %, %%},R1 ), x[1]); # %% viittaa "toissatulokseen"! (3.14) (3.15) takaisinsijoitus antaa:

Tehtävä 4. Rivioperaatioilla porrasmuotoon ja sitten redusointi lopusta alkaen restart; with(linalg): x := vector(4); print(x); (4.1) R1 := 2*x[1] + 2*x[2] - 2*x[3] = 1; R2 := 4*x[1] + 2*x[2] - 2*x[3] - 3*x[4] = 4; R3 := 2*x[1] - x[2] - 3*x[3] - 2*x[4] = -2; (4.2) R2:= R2-2*R1; R3 := R3-1*R1; (4.3) R2:= R2; R3 := R3-3/2*R2; (4.4) R1 := 1/2*R1; R2:= -1/2*R2; R3 := -1/4*R3; (4.5) Tämä on porrasmuoto. Edelleen eliminoidaan johtavan x3:n yläpuoli: R1 := R1 - (-1)*R3; R2 := R2 - (-1)*R3; R3 := R3;

(4.6) R1 := R1 - R2; R2 := R2; R3 := R3; (4.7) Nähdään, että voidaan valita vapaasti ja muut ratkaista sen avulla: solve(subs({x[4] = t}, R3), x[3]); # ratkaistaan x[3] = (4.8) solve(subs({x[4] = t, x[3] = 5/8*t+3/2},R2),x[2]); # sitten x[2] = (4.9) solve(subs({x[4] = t, x[3] = 5/8*t+3/2, x[2] = -7/8*t+1/2}, R1), x[1]); # ja lopulta x[1] = (4.10) Ratkaisu: Vektorimuodossa (toimii vain, jos x oli edellä määritelty 4-vektoriksi): evalm(x) = subs({x[1] = 3*t/2+3/2, x[2] = -7*t/8+1/2, x[3] = 5*t/8+3/2, x[4] = t},evalm(x)); (4.11) Tehtävä 5. Mahdollisia ja mahdottomia matriisien laskutoimituksia restart; with(linalg): A := transpose(matrix(2,3,[4,2,-3,-2,-1,2])): # yksi tapa määritellä B := matrix([[2,-4], [3,-1]]): # toinen tapa riveittäin C := matrix(1,2, [4, -2]):

De:= matrix(1,3, [2, -3, 5]): print(a, B, C, De); (5.1) Vain kohdat d), e) ja f) ovat kelvollisia dimensioiltaan (selvitä muiden viat tarkemmin!) ja tulokset ovat map(evalm,[b &* transpose(a), C&*B, transpose(de)&*c]); (5.2) Tehtävä 6. Matriisien laskusääntöjen pohdiskelua restart; with(linalg): A := matrix([[3,-2],[2,4]]): B := matrix([[5,2],[-1,-3]]): print(a,b); (6.1) a) Tässä osaset laskettuina: map(evalm,[ A^2, B^2, A &* B, (A+B)^2, A^2+2*A&*B+B^2, (A+B)^2 -(A^2+2*A&*B+B^2)]); (6.2) b) Tässä osaset laskettuina: map(evalm,[ A-B, A+B, (A-B)&*(A+B), A^2, B^2, A^2-B^2, (A-B)&*(A+B) - (A^2-B^2)]); (6.3) print(evalm(a &* B), evalm(b &* A)); # ei-vaihdannaiset (6.4)

Kohtien a) ja b) erotustenhan pitäisi olla nollia, jos normaalit lukujen laskusäännöt pätisivät. Mutta kun ei ole, jotain on pielessä. Koko homma on kiinni kertolaskun vaihdannaisuuden puuttumisesta (ks. yllä). Onko se ainut syy? Matriisien laskusääntöjen (Lause 3.3.2) avulla voidaan laskea: = = =, joten supistelemalla yhteenlaskussa (siis vähennyslaskulla) saadaan - ( ) =. Kohdassa b) taas = ja siten - ( ) =. Yllättävä käytös juontaa siis juurensa täsmälleen ei-vaihdannaisuudesta. Tehtävä 7. Vastaesimerkit tulon nollasäännölle ja tulon supistussäännölle yhtälössä Käy esimerkiksi hyvinkin yksinkertaisilla matriiseilla: A := matrix(3,3,[1,0,0,0,0,0,0,0,0]): B := matrix(3,3,[0,0,0,0,1,0,0,0,0]): C := matrix(3,3,[0,0,0,0,0,0,0,0,1]): print(a,b,c); (7.1) multiply(a,b); (7.2) multiply(a,c), multiply(b,c); # samat tulot (7.3) Tehtävä 8. Lineaarialgebra alkutesti Moodlessa.