Jos pudotat lyijykuulan aanpinnan läheisyydessä, sen vauhti kasvaa joka sekunti noin 9,8 etrillä sekunnissa kunnes törää aahan. Tai jos suoritat autolla lukkojarrutuksen kuivalla asvaltilla jostain kohtuullisesta nopeudesta, auton vauhti vähenee vakioarvolla joka sekunti. Liikettä sanotaan tasaisesti kiihtyväksi, jos kappaleen nopeus uuttuu jollain vakioarvolla aikayksikköä kohti. Näin ollen yös hidastuva liike onkin fysiikassa kiihtyvää! Tasaisesti kiihtyvän liikkeen tapauksessa kuten yleensäkin liikettä käsiteltäessä tavoitteena on esittää liikkuvan kappaleen rata ajan funktiona. Tässä luvussa liike on aina suoraviivaista. Tasaisen kiihtyvyyden ääritelä ei häästytä. Se ilaisee vain kiihtyvyyden äärän aikayksikössä. Kiihtyvyyttä erkitään usein a:lla. Kiihtyvyys aikavälillä [t 2 ;t 1 ] on a= v t = v 2 v 1 t 2 t 1, issä nopeus on siis uuttunut v 2 :sta v 1 :een. Kiihtyvyyden ääritelän yhtälön osoittajassa on siis etrejä sekunnissa ja niittäjässä sekunteja, joten kiihtyvyyden yksikkö on s 2 eli etriä neliösekunnissa. Kuten ääritelästä huoaat, kyseessä on tarkein sanottuna keskikiihtyvyys tarkasteltavalla aikavälillä. Mitä tarkoittaa etriä neliösekunnissa? On uistettava, että eillä on käytössä tietyllä tavalla kehittynyt ja kehitetty kirjaaistyökalu. Se, itä e kirjoitae, on allin alli tai allista tehty alli. Käytössä oleva kirjaaistyökalu on aika hyvä, utta ei täydellinen. Tää alli tuottaa uun uassa neliösekunnin. Sitä ei ole pakko ottaa ihan todesta. Kun tutkija havaitsee jonkin iliön, hän kehittää ielessään idean siitä, istä tuossa iliössä on kysyys. Sitten hän tiivistää tuon iliön testattavaksi teoriaksi ja esittää sen edelleen ateaattisena allina. Tuon ateaattisen allin hän kirjoittaa yhtälöinä näkyviin. Metri neliösekunnissa on siis tuon kirjaaistavan tulos. Ei uuta. Itse todellisuus on sitten jossain kaukana, tutkijan ieleensä rakentaan käsityksen tuolla puolen. Metrin neliösekunnissa -kaltaiset asiat ovat tään ketjun tai hierarkian tässä eidän päässäe. Tarkastellaan kiihtyvän liikkeen ensiäisessä esierkissä linja-auton liikettä pysäkiltä toiselle. 1(11)
Seuraavan esierkin kole kuvaa esittävät sen nopeutta ajan funktiona. Vaaka-akselilla on aika lähdöstä sekunteina iloitettuna. Esierkki 9 2(11)
Hetkellä nolla sekuntia auto lähtee liikkeelle paikaltaan. Vihreä viiva, joka päättyy 12 sekunnin kohdalla, esittää auton kiihtyvyyttä nollasta 14 etriin sekunnissa eli nollasta noin viiteen kyppiin eli tietysti viiteen kyeneen kiloetriin tunnissa. Koska vihreä viiva on aivan suora, keskikiihtyvyyden laskeinen on ielekästä sikälikin, että kiihtyvyys on ollut saa koko 12 sekunnin ajan. Olisikohan tuossa autossa laadukkaat autoaattivaihteet! Kiihtyvyydeksi saan a 1 = v 14 t = s 0 s 12 s 0 s =1,2. s 2 Välillä 12 sekuntia 20 sekuntia vauhti kasvaa tuosta 14 etristä sekunnissa 20 etriin sekunnissa eli kiihtyvyys on a 2 = v 20 t = s 14 s 20 s 12 s =0,75. s 2 Tätä kuvaa turkoosi viiva, joka on taas hellittäättöän suora, joten kiihtyvyys on ollut aivan tasaista. Järjestyksessä keskiäisen kuvan tylsännäköinen ja epäääräisen värinen vaakaviiva erkitsee kiihtyvyyttä nolla: a 3 = v 20 t = s 20 s 200 s 20 s =0 s =0. 2 Viieisessä kuvassa, toinen vihreä viiva, kuljettaja jarruttaa esierkillisen tasaisesti nopeudesta noin 20 etriä sekunnissa paikalleen. Mahdollinen sivuttaisliike esierkiksi kaartainen 3(11)
pysäkille ei näy kuvassa kuten ei näkynyt yöskään lähtövaiheen kaartainen tielle. Kiihtyvyydeksi saan nyt Onko 1,2 kiihtyvyys on a 3 = v 0 t = s 20 s 230 s 200 s =0,67. s 2 s 2 suuri kiihtyvyys? Nopea auto kiihtyy nollasta sataan viidessä sekunnissa eli sen 28 s 0 s a 4 = 5s =5,6 s 2, kun joillekin oottoripyörille luvataan saa nopeus puolessa tuosta ajasta eli kaksinkertainen kiihtyvyys noin 11 s 2. Tää on jo nopeapaa kuin pienikokoisen, utta suuriassaisen esineen kiihtyvyys vetovoian vaikutuksesta aanpinnan lähellä, kun se putoaa vapaasti. Vapaasti putoavan kappaleen kiihtyvyys on g = 9,80665 s 2 silloin, kun ilanvastus tai ikään uukaan ei hidasta liikettä. Itse asiassa tuo ainittu oottoripyörän kiihtyvyys edellyttää, että kui sulaa kiinni asvalttiin, koska teoreettisesti suurin ahdollinen kiihtyvyys on tuo yhden g:n kiihtyvyys. Sitä suureat kiihtyvyydet edellyttävät kuuuudessa sulavaa kuia, rattaita, iukuppeja tai uuta vastaavaa keinoa takertua tiehen. Pelkän tien ja renkaan välisen kitkan varassa se ei onnistu. Maan vetovoian kiihtyvyys Maan pinnan lähellä on g =9,80665 s 2 Kiihtyvyys 1,2 ei siis ole erityisen suuri. Eri asia sitten on, itä asiasta arvelee s 2 ruuhkabussissa pystyssä taiteileva atkustaja. Jos kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä ja sen kiihtyvyys on a, niin niin ajan t kuluttua sen vauhti on uuttunut äärällä 4(11)
Nopeuden uutos kiihtyvyydellä a ajan t kuluttua on v=at Esierkki 10 Raketti lähtee paikaltaan kiihtyvyydellä 0,5 g jonka kiihtyvyyden se säilyttää uuttuattoana viiden sekunnin ajan, inkä jälkeen polttoaine loppuu. Laske raketin loppunopeus polttoaineen loppuishetkellä. Loppunopeus on v=v 0 at=0 0,5 9,80665 s 2 5 s 24,5 s, koska nyt alkunopeus v 0 on nolla. Vastaus: Raketin loppunopeus on noin 24,5 /s. Käytännössä raketin kiihtyvyys kasvaisi koko ajan koska sen assa pienenee sitä ukaa kuin sen polttoaine vähenee, utta työntövoia pysyy saana. Esierkki 11 Kaksivaiheinen säähavaintoraketti lähtee paikaltaan aan suhteen kiihtyvyydellä 1 g, joka kiihtyvyys kestää 40 sekuntia. Ensiäisen vaihe hylätään heti kun sen polttoaine on loppu, jolloin toinen vaihe käynnistetään. Toinen vaihe toiii 30 sekuntia ja antaa kiihtyvyyden 1,5 g. Laske raketin loppunopeus. Vakio g saadaan taulukkokirjasta tai laskiesta. Sen arvo on g=9,80665 s 2. Likiarvo 9,8 s 2 riittää usein. Koska raketti lähtee paikaltaan, v 0 = 0, niin ensiäisen vaiheen sauessa raketin vauhti on v 1 =v 0 at=9,80665 s 2 40 s=392 s. Raketin loppunopeus toisen vaiheen jälkeen on v=v 1 1,5 9,80665 s 2 30 s=835 s. Vastaus: Raketin loppunopeus on noin 835 etriä sekunnissa. 5(11)
Esierkki 12 Lennokki lähtee paikaltaan kiihtyvyydellä 3 s 2 ja lentää sitten vakionopeudella 185 k/h kaksi tuntia. Kahden tunnin lennon jälkeen lennokki laskeutuu täydellä atkanopeudellaan. Se tarvitsee 50 etriä pitkän kiitoradan ennen kuin pysähtyy. Laske atka, jonka lennokki lentää alun kiihdytysvaiheen aikana sekä laskeutuiskiihtyvyys. Aluksi kannattaa laskea aika, jonka lennokki tarvitsee alun kiihdytykseen. Koska lennokki lähtee paikaltaan, niin alkunopeus on taas nolla, joten voit ratkaista ajan yhtälöstä 185 v=at t= v a = 3,6 s 3 s 2 17,13 s. Koska kiihtyvyys on tasaista, se erkitsee uun uassa sitä, että keskivauhti kiihdytysjakson aikana on alkunopeuden ja loppunopeuden keskiarvo eli v keski = v v alku loppu = 1 2 2 v v v = 0=0 1 alku loppu 2 v = 1 loppu at (1) 2 Koska toisaalta tiedetään, että keskinopeus on atkan pituuden ja atkaan käytetyn ajan osaäärä eli v keski = s t, josta s=v keski t, niin sijoittaalla keskinopeus yhtälöstä (1) saadaan s=v keski t= 1 2 at t= 1 2 at 2. Kun tähän kaavaan sijoitetaan a = 3 s 2 ja t 17 s, niin saadaan tulos, että lennokki lentää kiihdytysvaiheen aikana atkan s 440. Koska laskeutuessaan lennokki jarruttaa täydestä lentonopeudesta 185 k/h paikoilleen, niin sen keskinopeus laskeutuisvaiheen aikana on puolet tästä eli 92,5 k/h. Tästä saadaan pysähtyiseen tarvittava aika. Ratkaistaan yllä olevasta yhtälöstä a ja sijoitetaan kaavaan: s= 1 2 at2 a= 2s t 2 26 s 2 2,7 g. 6(11)
Vastaus: Lennokki lentää alun kiihdytysvaiheen aikana atkan 440 etriä. Laskeutuiskiihtyvyys on noin 26 s 2. Hiean yleisepi kaava, joka kytkee yhteen tasaisen kiihtyvyyden ja atkan, ottaa huoioon, että aina ei lähdetä liikkeelle paikalta eikä origosta. Jos atka alkaa hetkellä t = 0 etäisyydeltä s 0 alkuvauhdilla v 0, niin ajan hetkenä t Tasaisesti kiihtyvän kappaleen ajassa t kulkea atka s=s 0 v 0 t 1 2 a t 2 (1) Seuraavassa esierkissä valotan tasaisesti kiihtyvän liikkeen ja atkan yhteyttä vähän toisella tavalla. Esierkki 13 Kuuden kypin rajoitus vaihtuu liikennevaloissa suoraan 120:ksi ja oottoritie alkaa. Moottoripyöräilijä saa näissä valoissa niin sanotun lentävän lähdön eli valo vaihtuu vihreäksi juuri kun hän on tulossa kohtaan, jossa pitäisi jo jarruttaa. Hän kiihdyttää kuudesta kypistä sataan kahteen kyppiin 5,3 sekunnissa. Saavutettuaan nopeuden 120 k/h pyörän kuljettaja säilyttää sen seuraavat 18 inuuttia, inkä jälkeen hän kääntyy rapille hidastaatta vauhtiaan ja pysähtyy täydestä nopeudesta vasta rapin jälkeen tasaisesti jarruttaen 16 sekunnissa. Kuinka pitkän atkan hän ajoi laskettuna 120 k/h rajoituksen alusta? Kun kappale kulkee tasaisella vauhdilla 120 kiloetriä tunnissa, se etenee 18 inuutissa atkan s a=0 =v t=120 k h 18 60 h=36 k. Entä tasaisesti kiihtyvä pyörä? Piirretään apukuva. Oletetaan, että oottoripyörä kykenee ylläpitäään saaa, tasaista kiihtyvyyttä 60:sta aina 120:aan, ihin se ei todellisuudessa tarkkaan ottaen pysty. Me siis approksioie eli arvioie sen liikettä tasaisella kiihtyvyydellä. Sen vauhti ajan funktiona näyttäisi siis seuraavalta. Sininen, nouseva viiva kuvaa pyörän nopeutta 7(11)
kiihdytyksen aikana ja vihreä vaakaviiva tasaisen nopeuden osuuden alkua. Lisään kuvaan vielä ustan katkoviivan kuvaaaan pyörän liikkeen pohjana ollutta kuuden kypin alkunopeutta. Tällöin jaan nopeuskäyrän alle jäävän alan kahteen osaan: kuuden kypin alkunopeuden osuus, joka on suorakulio ja siihen kiihdytyksen tuoaa lisää, joka on puolestaan kolio. Kuten tunnettua, jos pyörä jatkaisi tasaisella 60 kiloetrin nopeudella tunnissa, se kulkisi 6 sekunnissa atkan s 0 =60 k h 5,3 s=88. Kun katsot seuraavaa kuvaa, niin huoaat, että tää 88 etriä on yös kuvan sen suorakulion pinta-ala, joka jää sinisen pilkkuviivan eli suoran y = 60 k/h, nopeusakselin eli pystyakselin, aikaakselin eli vaaka-akselin sekä suoran x = 5,3 s väliin. v, [k/h] 8(11) t, [s]
Sovelletaan nyt tätä havaintoa kiihtyvyyden tuoaan lisään eli suorakulion yläpuolella olevaan kolioon. Sen ala on s 1 = 1 5,3 s 120 k/h 60 k/h =44 2 eli yhteensä 132 etriä. Saatuaan lentävän lähdön liikennevaloista oottoripyörä etenee kiihdytyksen aikana 132 etriä. Ajorupeaan lopuksi oottoripyörä tai ainakin sen kuljettaja! jarruttaa 120:sta paikalleen 16 sekunnissa. Kaaviokuvana se näyttää seuraavalta: Tään kolion ala on s jarrutus = 1 2 120 k/h 16 s=267. Yhteensä atkaa kertyi siis 36 k + 132 + 267 = 36 399. Vastaus: Moottoripyöräilijä ajoi yhteensä noin 36,4 kiloetriä. Huoaa, että kaavassa s jarrutus = 1 2 120 k/h 16 s=267 tää s jarrutus on jarrutusvaiheen alku- ja loppunopeuksien keskiarvo sekä aika, joka jarrutukseen kului kuten yhtälössä (1) ja sen seurausyhtälöissä. 9(11)
Huoaa, että jos Esierkissä 13 kuvat olisivat ahtuneet kaikki rinnakkain järkevässä ittakaavassa esitettyinä, näkisit heti, että pyörän kulkea koko atka on sen alueen pinta-ala, joka jää nopeutta esittävän käyrän ja vaaka-akselin väliin. Ehkä kysyt: Mistä lähtien etri on ollut pinta-alan yksikkö? Minä vastaan: Siitä lähtien, kun atka on ollut keskinopeuden ja atkaan käytetyn ajan tulo. Esierkki 14 Laske Esierkki 13:n oottoripyörän keskivauhti. Keskivauhdin laskeiseen tarvitset aina atkan, joka on kuljettu sekä tähän atkaan käytetyn ajan. Tässä tapauksessa atka on 36 399 etriä ja aika on 16 sekuntia + 5,3 sekuntia + 18 inuuttia eli aika on noin 1101 sekuntia. Keskinopeus v on siis v 36 399 1101 s 33 s 119 k h. Vastaus: Pyörän keskinopeus oli 119 kiloetriä tunnissa. Esierkki 15 Rautakuula lähtee nopeudella 500 Kuinka kaukana se on silloin lähtöpaikastaan laskettuna? s suoraan ylös. Kuinka kauan kestää, että se pysähtyy? Merkitään kuulan nopeutta kirjaiella v ja sen alkunopeutta kirjaiella v 0. Koska vetovoia hidastaa kuulan nopeutta joka sekunti noin 9,81 etrillä sekunnissa, saadaan yhtälö v=v 0 g t=500 s 9,81 s 2 t ja koska etsitään ajan t hetkeä, jona v = 0, niin 10(11)
500 s 9,81 s 2 t=0, josta t = 51 s. Etäisyys lähtöpaikasta eli tällä kertaa korkeus lähtökorkeuteen verrattuna on s= 1 2 a t 2 = 1 2 g t 2 1 2 9,81 s 2 51 s 2 =12 758, koska nyt a = g ja g 9,81 s 2. Vastaus: Kuula pysähtyy 51 sekunnin kuluttua ja se nousee noin 13 kiloetrin korkeuteen. 11(11)