Tilayhtälötekniikasta



Samankaltaiset tiedostot
Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

SIMULINK 5.0 Harjoitus. Matti Lähteenmäki

2. kierros. 2. Lähipäivä

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Säätötekniikan alkeita

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

Harjoitus 5: Simulink

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

Insinöörimatematiikka D

MATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h)

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Insinöörimatematiikka D

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Mat Systeemien identifiointi, aihepiirit 1/4

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

Insinöörimatematiikka D

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

SIMULINK S-funktiot. SIMULINK S-funktiot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

1 Di erentiaaliyhtälöt

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

8. kierros. 2. Lähipäivä

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Lisämateriaalia: tilayhtälön ratkaisu, linearisointi. Matriisimuuttujan eksponenttifunktio:

Y (s) = G(s)(W (s) W 0 (s)). Tarkastellaan nyt tilannetta v(t) = 0, kun t < 3 ja v(t) = 1, kun t > 3. u(t) = K p y(t) K I

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

12. Differentiaaliyhtälöt

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

y + 4y = 0 (1) λ = 0

Insinöörimatematiikka D

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Matemaattinen Analyysi

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Insinöörimatematiikka D

Differentiaaliyhtälön ratkaisu. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Esimerkki: läpivirtaussäiliö. Esimerkki: läpivirtaussäiliö

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Mat Systeemien identifiointi

Tilaesityksen hallinta ja tilasäätö. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 6: Tilasäätö, tilaestimointi, saavutettavuus ja tarkkailtavuus

Matemaattinen Analyysi

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Dierentiaaliyhtälöistä

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

8. kierros. 1. Lähipäivä

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Lyhyt tutustumiskierros Simulink-ohjelman käyttöön hydrauliikan simuloinnissa

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

Insinöörimatematiikka D

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Ominaisarvo ja ominaisvektori

1 Rajoittamaton optimointi

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Identifiointiprosessi

Numeeriset menetelmät

Transkriptio:

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö kuvaa yhden tilamuuttujan dynaamisen riippuvuuden muista tilamuuttujista ja tulosuureista. Systeemin kertaluku määrää tilamuuttujien lukumäärän. BL40A0000 SSKO KH Esim. Jousi-massa-vaimennin systeemin tilayhtälö Jousi-massa-vaimennin systeemin differentiaaliyhtälö on && x + b x& + k x = F Kyseessä on nyt toisen kertaluvun systeemi, jolloin systeemille voidaan valita kaksi tilamuuttujaa. Valitaan tilamuuttujiksi esimerkiksi massan paikkakoordinaatti ja nopeus eli paikan. aikaderivaatta x ( t) = x( t) dx( t) x 2 ( t ) = = x& dt Valittujen tilamuuttujien perusteella systeemin differentiaaliyhtälö voidaan esittää yhtälöryhmänä x& = x x& 2 2 k = x b x2 + F BL40A0000 SSKO KH 2

Esim. Jousi-massa-vaimennin systeemin tilayhtälö Lineaariset tilayhtälöt esitetään yleisesti matriisimuodossa x & = Ax + Bu missä x on tilamuuttujavektori ja u on ohjausvektori: x u x = u = xn u m ikäli systeemimatriisit A ja B ovat ajasta riippumattomia, puhutaan aikainvariantista systeemistä, uutoin systeemi on aikavariantti. Systeemimatriisi A määrää systeemin dynaamisen luonteen eli se on vastaavassa asemassa kuin siirtofunktion karakteristinen polynomi. Yhtälön tapauksessa systeemimatriiseiksi saadaan = k 0 b = 0 A _ B BL40A0000 SSKO KH 3 Esim. Jousi-massa-vaimennin systeemin tilayhtälö Systeemin lähtö kuvataan matriisiyhtälöllä y = Cx + Du Jousi-massa-vaimennin systeemin tapauksessa, jos massan paikka x mitataan, saadaan C matriisiksi C =[0]. ikäli kyseessä on yhden tulosuureen (ohjaussuureen) ja yhden lähtösuureen systeemi (SISO), käytetään systeemiyhtälöistä muotoa x & = Ax + bu y = Cx + du missä ohjaus u ja lähtö y ovat yksiulotteisia eli skalaariarvoisia muuttujia. BL40A0000 SSKO KH 4 2

Lineaarisen aikajatkuvan tilayhtälön ratkaiseminen atlabissa atlab tarjoaa useita vaihtoehtoja lineaaristen aikajatkuvien (ja myös aikadiskreettien) tilayhtälöiden ratkaisemiseksi. atlabin perusfunktioihin kuuluu seitsemän erilaista alkuarvoongelmien ratkaisemiseen soveltuvaa funktiota eli nk. odenn-funktiot (ks. help funfun). Control System Toolbox tarjoaa kaksi helppokäyttöistä funktiota lineaaristen tilayhtälömuotoisten systeemien ratkaisemiseen: initial funktiota voidaan käyttää nk. vapaan vasteen (u=0), eli homogeenisen tilayhtälön, ratkaisemiseen alkuehdolla x 0 =x(t 0 ). Lsim funktiolla puolestaan voidaan määrittää lineaarisen aikainvariantin systeemin vaste mille tahansa mielivaltaiselle ohjaussignaalille u(t). Funktion käyttö ei rajoitu mitenkään tilayhtälömalleihin vaan sitä voidaan soveltaa myös siirtofunktiomalleille. Tosin vain tilayhtälömuotoisella systeemillä alkuehto voi olla nollasta poikkeava. BL40A0000 SSKO KH 5 illä, kuten kaikilla muillakin simulointi- ympäristöillä, on tietyt tehtävätyypit joiden käsittelyyn ohjelma kykenee paremmin kuin joihinkin muihin. Esimerkkinä mainittakoon sähköisten piirien simuloiminen, mikä edelleen, ainakin analogia- ja digitaalielektroniikan osalta, soveltuu paremmin piirisimulaattoreiden kuin in ratkaistavaksi. Sen sijaan järjestelmät joista voidaan laatia matemaattisia malleja ja jotka sisältävät säätöpiirejä soveltuvat hyvin ympäristöön BL40A0000 SSKO KH 6 3

uutamia tekniikan esimerkkejä: sähkökoneet erilaiset muuttajat (taajuus-, tasasähkö-, ) prosessiteollisuuden prosessit (säiliösysteemit, virtaussysteemit,...) lämpötekniikan probleemat mekaaniset järjestelmät signaalinkäsittely- ja säätöjärjestelmät JA PALJON UITA SOVELLUKSIA! BL40A0000 SSKO KH 7 Useimmat fysikaaliset systeemit ovat aikajatkuvia, joten niitä voidaan mallintaa differentiaaliyhtälöillä. Yleensä käytettävät DY:t ovat lineaarisia ja aikainvariantteja. Tällöin niiden kuvaamiseen riittävät seuraavat aikajatkuvien systeemimallien peruslohkot: s Integrator Gain du/dt Derivative Kaikille aikajatkuville lohkoille löytyy yleensä vastaava diskreettiaikainen lohko. BL40A0000 SSKO KH 8 4

Edellisten peruslohkojen avulla voidaan mallintaa mikä tahansa lineaarinen aikainvariantti differentiaaliyhtälö tai -yhtälöryhmä. Peruslohkojen lisäksi usein tarvittavia lohkoja ovat siirtofunktio- ja tilamallilohkot s+ Transfer Fcn x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space BL40A0000 SSKO KH 9 Työskentelyesimerkki: käynnistyy joko kirjoittamalla komentoikkunassa simulink tai näpäyttämällä työkalurivin painiketta BL40A0000 SSKO KH 0 5

Käynnistyttyä avautuu in kirjastoselainikkuna Uusi malli Lohkokirjastopuu BL40A0000 SSKO KH Uusi malli painikkeesta avautuu tyhjä ikkuna, johon simulointimallin rakentamisen voi aloittaa Simulointiin liittyvät parametrit Start alli kasataan tälle alueelle raahaamalla lohkoja kirjastosta BL40A0000 SSKO KH 2 6

Valmiin mallin simulointi aloitetaan valikosta Simulation -> Start tai suoraan painikkeesta. Samasta valikosta löytyy myös simuloinnin aseteltavat parametrit Ratkaisualgoritmi Aika-asetukset Algoritmin ohjausparametrit BL40A0000 SSKO KH 3 Avustustoiminnot Jokaista -lohkoa kaksoisnäpäyttämällä avautuu lohkon parametri-ikkuna. Saman ikkuna Help painikkeesta avautuu kattava dokumentaatio ko. lohkosta. -malleja voi ajaa myös komentoikkunasta käsin sim-komennolla ilman, että mallin tarvitsee olla edes avattuna. linmod komennolla saa -mallista lineaarisen (tai linearisoidun) tilamallin atlabin työtilaan. BL40A0000 SSKO KH 4 7

Esimerkki: Van der Pol n yhtälö & y μ 2 ( y ) y& + y = 0 BL40A0000 SSKO KH 5 8