4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen

4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen 4. Liikemäärä ja implssi 4-. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = = 89 kg 8,0 m/s 70 kgm/s. b) 05-kiloisella polstajalla on yhtä sri liikemäärä, jos nopes on kgm 7 p v = = s 6,8 m/s. m 05 kg 4-. Maalivahdin ja jääkiekon liikemäärät ovat yhtä sret, kn m v = m j v j. Maalivahdin nopes on tällöin 40 m 0,70 kg j j 3,6 s v = = 0,080 m/s. m 83 kg Jos törmäys on kimmoton eli maalivahti ottaa kiekon kiinni, niin kiekko ja maalivahti antavat toisilleen liikemääränsä srisen implssin ja molemmat pysähtyvät. Jos kiekko kimpoaa maalivahdista, niin törmäyksen jälkeen kiekon nopes on paljon srempi kin maalivahdin nopes. Tämä joht siitä, että törmäyksessä kmpaankin osapoleen vaikttaa koko ajan yhtä sri voima, joten kmpikin antaa toiselle yhtä sren implssin, josta aihet yhtä sret liikemäärien mtokset. Kiekon massa on paljon pienempi kin maalivahdin, joten kiekon nopeden mtos on paljon srempi. 4-3. Piirros a) kvaa kappaleen nopetta. Kva esittää esimerkiksi pystysoraa heittoliikettä. Kappaleella on alssa alknopes. Painovoima antaa implssin, joka on alkperäiselle liikesnnalle vastakkainen. Voiman vaiktksesta nopes pienenee, lakipisteessä kappale pysähtyy (v = 0) ja liike sntat alaspäin eli voiman kanssa samansntaiseksi. Tämän jälkeen kappale on kiihtyvässä liikkeessä kohti maanpintaa. 4-4. a) Voiman antama implssi on I = FΔt = 6 N 5 s = 40 Ns. b) Implssi on yhtä sri kin liikemäärän mtos: I = mδ v. Nopeden mtos on I 40 Ns Δ v = = 5,3 m/s. m 45 kg 86

4-5. Ennen Osma Jälkeen v maila v o F v + Mailan pallolle antama implssi on yhtä sri kin pallon liikemäärän mtos: FΔ t = mδ v = 0. Sovitaan pallon alkperäisen liikkeen snta positiiviseksi, jolloin pallon snta lyönnin jälkeen on negatiivinen. Saadaan skalaariyhtälö FΔ t = m( v) = m( v v ). 0 0 Maila vaikttaa palloon voimalla m m 0,057 kg 30 0 m( v v0 ) s s F = = 40 N. Δt 0,0 s Keskimääräisen voiman srs on 40 N. Miinsmerkki tarkoittaa, että mailan palloon kohdistama voiman snta on sama kin pallon snta lyönnin jälkeen. 4-6. Mailan pallolle antama implssi on yhtä sri kin pallon liikemäärän mtos: FΔ t = mδ v = m v v. Sovitaan pallon alkperäinen snta positiiviseksi. Saadaan skalaariyhtälö FΔ t = m( v ), josta voima on m m 0,065 kg 35 5 m( v v) s s F = = 0,98kN. Δt 0,0040 s Keskimääräisen voiman srs on 0,98 kn. Miinsmerkki tarkoittaa, että voiman snta on pallon alkperäiselle liikesnnalle vastakkainen. 87

4-7. v maila v v F + Tehtävä voidaan ratkaista yksikäsitteisesti vain, kn oletetaan, että pallon liikesnnat ennen ja jälkeen lyönnin ovat vastakkaisia. Kviosta implssi saadaan pinta-alan avlla, I 0,4 Ns. Implssi on yhtä sri kin liikemäärän mtos, I =. Sovitaan pallon snta osman jälkeen positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö I = m( v ) = +. Pallon nopes osman jälkeen on v I m 00 m 0,4 Ns 0,50 kg 3,6 s 4 m/s 50 km/h. = = 0,50 kg 4. Törmäykset ja liikemäärän säilymislaki 4-8. Aivastksessa losvirtaavilla kaasilla on pieni massa mtta sri nopes. Päällä on sri massa kaasihin verrattna, joten kaasjen antama implssi aihettaa vain pienen nopeden mtoksen. Kaasjen ja pään liikkeiden snnat ovat vastakkaiset. 4-9. Kn henkilö kävelee veneen pohjaa pitkin kohti laitria, vene liikk laitrista poispäin. Jos henkilö yrittää hypätä veneestä laitrille, vene liikahtaa jalkojen alta poispäin laitrista ja hyppääjä ptoaa todennäköisesti veteen. 4-0. Medsa ja merimakkara liikkvat sihkttamalla vettä. 4-. Oletetaan, että als on avardessa, jolloin ilman vaiktsta ei tarvitse tarkastella. Palamiskaast synnyttävät polttokammiossa korkean paineen. Tästä johten kaast poistvat srella nopedella losvirtassttimesta. Kaasjen paine aihettaa kammion seinämiin voiman, joka on Newtonin voiman ja vastavoiman lain mkaan yhtä sri mtta vastakkaissntaisen kin seinämien kaasihin aihettama voima. Näin rakettimoottori syöksee los srella nopedella polttoaineen palamiskaasja. Raketti liikk vastakkaiseen sntaan kin kaassihk. Koska alksen massa on paljon srempi kin kaasjen massa, alksen nopeden mtos on pienempi kin kaasjen. Palamiskaasjen ja raketin liikemäärien mtokset ovat itseisarvoiltaan yhtä sret samassa ajassa. Myös kaassihkjen snta vaikttaa liiketilan mtokseen. 88

4-. Kn yksi pallo os palloryhmään, tapaht monta törmäystä pallojen törmätessä toisiinsa. Loplta pallot eivät modosta yhtenäistä ryhmää. Metallin, esimerkiksi kparin, pinnalla on atomeja vierekkäin. Kn kparin pintaa pommitetaan ioneilla, törmäysten seraksena kpari-ioneja irtoaa yksitellen pinnasta. Irronneet ionit voidaan kerätä jonkin pinnan päälle. Näin kyseiselle pinnalle modost hyvin oht kparikalvo. Tätä menetelmää ktstaan sptteroinniksi. Se on eräs ohtkalvojen valmiststekniikka. 4-3. Törmäys edellä ajavaan atoon on parempi vaihtoehto: nopeden mtos jää pienemmäksi. Matkstajiin ja atoihin kohdistvat voimat jäävät pienemmiksi ja siten törmäyksestä aihetvat vahingot pienemmiksi. Kysymykseen ei voi antaa tyhjentävää vastasta. Törmäys edellä ajavaan voi aihettaa myös den törmäyksen esimerkiksi vastaantlijaan. 4-4. a) Trvallisina pidetyissä atoissa on mm. vahva trvakori ja siinä kokoon painva etosa, kokoon painvat pskrit, trvapalkit ovissa, kokoon painva ohjaspyörä, ilmatyynyt matkstajille, sivttaistörmäyssojat (trvaverhot), lkkitmattomat jarrt, listonestojärjestelmä sekä etosa, joka vähentää kevyen liikenteen vahinkoja törmäystilanteessa. b) Pienissä nopeksissa pskrit estävät aton korin törmäysvahingot. Aton liike-energiaa kl pskrien rikkomistyöhön törmäystilanteessa. Törmäykseen klva aika pitenee pskrien ansiosta, jolloin matkstajiin kohdistva pysäyttävä voima pienenee. c) Hirven ja aton kolarissa varioihin vaikttavia tekijöitä ovat mm. aton korin rakenne sekä aton koko ja massa, aton nopes, kljettajan reaktioaika, hirven snta atoon nähden, hirven massa, osmakohta sekä atossa että hirvessä ja hirven korkes shteessa atoon. Myös tien pinta ja kitkakerroin vaikttavat jarrtkseen ja väistöön, joten ne vaikttavat myös syntyviin varioihin. 4-5. Kysymyksessä on törmäys ja tällöin hidastvs kovalle lattialle kaadttaessa modost sremmaksi kin sperlon-kasaan kaadttaessa. Lisäksi sperlonkasassa pysäyttävä voima kohdist laajemmalle pinnalle, jolloin ihmisen kovat osat, kten polvet, kyynärpäät ja pää, eivät varioid, koska niihin kohdistva paine kosketskohdassa jää pieneksi. 4-6. a) Osa pallojen potentiaalienergiasta mnt törmäyksessä lämmöksi ja ääneksi. Lisäksi energiaa kl myös ilmanvastksen voittamiseen. b) Pallot törmäävät heti koripallon pompatta lattiasta. Pallojen keskinäisessä törmäyksessä koripallosta kohdist voima ylöspäin tennispalloon ja tennispallosta alaspäin koripalloon. Pallojen välisessä vorovaiktksessa molempiin palloihin vaikttaa yhtä sri voima (Newtonin III laki). Tämä voima aihettaa kevyemmälle tennispallolle homattavasti sremman nopeden mtoksen kin koripallolle. 89

4-7. Ennen v v = 0 Jälkeen + Koiran ja jäniksen törmäys on kimmoton, jolloin liikemäärän säilymislaki + = ( m + m ). on Jänis on alksi paikallaan, joten v = 0. Sovitaan koiran alkperäinen liikesnta positiiviseksi, jolloin m v = (m + m ). Koiran ja jäniksen yhteinen nopes heti törmäyksen jälkeen on 9kg 3,0m/s = =,6 m/s. m+ m 9 kg+ 4, kg Nopes on,6 m/s koiran liikesntaan. 4-8. Ennen Jälkeen v v + Atojen törmäys on kimmoton, jolloin liikemäärän säilymislaki on m m + = +. Sovitaan atojen alkperäinen liikesnta positiiviseksi, jolloin m v + m v = (m + m ). Atojen yhteinen nopes heti törmäyksen jälkeen on 0 m 85 m 940 kg + 90 kg + 3,6 s 3,6 s = = m+ m 940 kg+ 90 kg 6 m/s 94 km/h. Atot liikkvat törmäyksen jälkeen nopedella 94 km/h kmmankin aton alkperäiseen sntaan. 90

4-9. Ennen Jälkeen v v + a) Atojen törmäys on kimmoton, jolloin liikemäärän säilymislaki on m m + = +. Sovitaan liikesnta pohjoiseen positiiviseksi, jolloin m m = +. Atojen yhteinen nopes heti törmäyksen jälkeen on 96 m 75 m 500 kg 700 k g + 3,6 s 3,6 s = = m+ m 500 kg+ 700 kg 3,9 m/s 4 km/h. Atot liikkvat nopedella 4 km/h etelään päin. b) Aton nopeden mtos on 96 km/h ( 4 km/h) = 0 km/h. Aton liikesnta mtt. Aton nopeden mtos on 75 km/h 4 km/h = 6 km/h. Aton liikesnta ei mt. c) Mekaanisesta energiasta mnt liike-energioiden erotksen srinen osa lämmöksi ja mihin energiamotoihin. Q=Δ Ek = + ( m+ m ) = 96m 75m 500 kg + 700 kg 500 kg+700 kg 3,87 m/s 3,6s 3,6s,MJ. 4-0. a) Tapa : Hidastmisaikana voiman implssi aihettaa matkstajan liikemäärän mtoksen: F Δ t = m Δ v = = m v v. 9

Valitaan alkperäinen liikesnta positiiviseksi, jolloin FΔ t = m v v. Pysäyttävä voima on m 75 m 0 v v s 3,6 s F = m = 65kg 34 kn. Δt 0,040s Voiman snta on kljettajan alkperäistä liikesntaa vastaan ja sen srs on 34 kn. Tapa : Newtonin II lain mkaan matkstajan liikeyhtälö on F = ma. Matkstajaan kohdistva voima skalaariyhtälönä on m 75 m 0 s 3,6 s = = = 65 kg 34 kn. 0,040 s v v F ma m t Voiman snta on kljettajan alkperäistä liikesntaa vastaan ja sen srs on 34 kn. b) Hidastavan voiman ja painon shde on F = mg 33850 N 65 kg 9,8m/s 53. 4-. a) Kn mies (massa = m ) työntää pariaan (naisen massa = m ), he erkanevat ja liikkvat vastakkaisiin sntiin. Tapahtmassa kokonaisliikemäärä säilyy. Alksi liikemäärä on nolla, joten 0 = m + m. Kn miehen liikkeen snta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö 0 = m m, josta m miehen nopes on =. m Työntöön käytetty energia 40 J mtt listelijoiden liike-energiaksi eli m + m = 40J. Sijoitetaan tähän miehen nopes : m m + m = 40J. m Yhtälö sievenee motoon m m m + = 80J. Tästä ratkaistaan naisen nopes, joka on 9

= 80J = 80J 0,98 m/s. + + 50kg m (50,0 kg) m m 75kg Miehen nopes on m 50kg 0,98 m/s 0,65m/s = = vastakkaiseen sntaan. m 75kg b) Listelijoiden liike-energia kl kitkatyöhön. Nainen lik matkan s, jolloin saadaan yhtälö = 0. m F s μ Kitkavoima F = μn, jossa N = m g. Yhtälöstä μ m μ m gs = 0 saadaan naisen likmaksi matkaksi (0,98m/s) s =,4m. μg = 0,00 9,8m/s Vastaavalla tavalla ratkaistaan miehen likma matka, joka on (0,65 m/s) s =,m. μg = 0,00 9,8m/s 4-. Kahden kappaleen systeemi on eristetty, joten liikemäärä säilyy, kn lanka katkaistaan. Kappaleiden yhteenlaskett liikemäärä ennen katkaisa on yhtä sri kin katkaisn jälkeen: m m v m m + = +. Kappale jää katkaisn jälkeen paikalleen, joten = 0. Liikemäärän säilymislain mkaan kappaleiden yhteenlasketn liikemäärän snta ennen katkaisa on sama kin liikkvan kappaleen liikemäärän snta. Saadaan skalaariyhtälö m + m v = m Sremman esineen nopes katkaisn jälkeen on. m (,0 kg+,0 kg) 0,50 m m v = = m,0 kg yhdistelmän alkperäiseen liikesntaan. ( + ) s 0,75 m/s 4-3. Alksen ja lotaimen yhteenlaskett massa on m ja pelkän lotaimen massa 0,5 m. 93

Als ja lotain modostavat eristetyn systeemin. Irtoamistapahtmassa kokonaisliikemäärä säilyy eli 0 = 0,5lotain + 0,85 als. Molempien kappaleiden liikesnta säilyy alkperäisenä, joten saadaan skalaariyhtälö 0 = 0,5lotain + 0,85 als. Alknopes on v = 0,5( v 500km/h) + 0,85 v. 0 als als Alksen nopes irtoamisen jälkeen on vals = v0 + 0,5 500 km/h = 00 km/h + 0,5 500 km/h 00 km/h. 4-4. Veneen ja veden vorovaiktsta ei tnneta, joten sitä ei oteta homioon. Tällöin tyttöä ja venettä tarkastellaan eristettynä systeeminä. Tytön liikemäärä hypyn aikana on yhtä sri kin veneen ja tytön yhteenlaskett liikemäärä tytön pysähdyttyä veneen pohjalle. Vektoriyhtälöstä = ( m+ m) saadaan skalaariyhtälö = ( m+ m), kn liikesnnat hypyn aikana ja hypyn jälkeen ovat samat. Skalaariyhtälöstä tytön massaksi saadaan m 34kg,5m/s = = = 5 kg.,5m/s,5m/s m v 4-5. Ennen Osma Lopptilanne v v = 0 80,0 mm Koska loti jää kappaleen sisään, törmäys on kimmoton. Liikemäärän säilymislain mkaan saadaan yhtälö = ( m + m ). Liikesnta ennen osmaa ja osman jälkeen on sama. Saadaan skalaariyhtälö ( m + m ) m m v = ( + ), josta =. m Välittömästi törmäyksen jälkeen yhdessä liikkvilla kappaleilla on maksimiliikeenergia, jonka painovoima mntaa potentiaalienergiaksi, kn kappaleet nosevat langan varassa. Sovitaan alkasema potentiaalienergian nollatasoksi. Kn kappaleet pysähtyvät ylimmässä pisteessä, niillä on potentiaalienergia, joka on yhtä sri kin liike-energia oli potentiaalienergian nollatasolla: Ep = ( m+ m) gh= ( m+ m). Yhteinen nopes heti törmäyksen jälkeen on = gh. Sijoitetaan tämä lodin nopeden yhtälöön. Lodin nopedeksi ennen osmaa saadaan 94

v ( m + m ) 4,5g 500 g gh + m 4,5g = = 9,8m/s 0,080 m 40 m/s. 4-6. Ennen Osman jälkeen Lopptilanne L v P = 0 P h v L a) Törmäyksessä kokonaisliikemäärä säilyy. Merkitään lodin massaa m L ja ppalan massaa m P. Lodin liikemäärä ennen osmaa on yhtä sri kin lodin ja ppalan yhteenlaskett liikemäärä osman jälkeen: = L L m +. L L m Ennen ja jälkeen osman nopeksien snnat ovat samat, joten saadaan skalaa- P P riyhtälö m m = +. L L L L P P Ppalan nopedeksi osman jälkeen saadaan m 0,00 kg 000 m/s 0,00 kg 40 m/s,475 m/s,5 m/s. L L L L P = = = mp 4,0kg b) Heti törmäyksen jälkeen ppalan liike-energia on srin. Asetetaan potentiaalienergian nollataso osmakorkedelle. Ppala lähtee nosemaan, ja painovoima mntaa sen liike-energian potentiaalienergiaksi: m = mgh. P Ppala nosee korkedelle P (,475 m/s) h = = 0,m. g 9,8m/s Ilmanvastksen voksi ppala ei nose aivan tälle korkedelle. 95

4-7. Ennen Osman jälkeen Lopptilanne v = 0 v m m s G G G a) Mekaniikan energiaperiaatteen mkaan vaakasoralla pinnalla, jossa potentiaalienergia on nolla, alkhetken liike-energian ja lkoisen työn smma on yhtä sri kin liike-energia lopphetkellä. Saadaan yhtälö E k,a + W = E k,l. Nyt kitka mntaa koko liike-energian mihin energiamotoihin, W = F μ s, joten saadaan yhtälö E k,a F μ s = 0. Liike-energia heti osman jälkeen on E F s Mgs k = μ = μ = 0, 500 kg 9,8m/s 0,40 m,3j. b) Liikemäärän säilymislain mkaan lodin liikemäärä ennen osmaa on yhtä sri kin lodin ja kappaleen yhteenlaskett liikemäärä osman jälkeen: m m = +. Lodin ja kappaleen liikesnta osman jälkeen on sama kin lodin liikesnta ennen osmaa. Saadaan skalaariyhtälö = m + m, jota mokataan: m = m( v ) = mδ v= m. Lodin nopeden mtos on m Δ v =. m Toisaalta kappaleen saama liike-energia on Ek = m, josta nopedeksi saadaan E k =. m Lodin nopeden mtos on m E,979J,500kg k Δ v = m,500 kg = m 0,00 kg 90 m/s. 96

4-8. Ennen v B = 0 Jälkeen Törmäyksessä liikemäärä säilyy, jolloin A A + 0 = m A A + m B B. Valitaan vann A snta ennen törmäystä positiiviseksi snnaksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö A A = m A A + m B B. Vann B nopedeksi saadaan m 80 kg 5,0 m/s 80 kg (, 45m/s) A A A A B = = mb 30kg,65m/s. Koska vierimisvasts on pieni, mekaaninen energia säilyy törmäyksen jälkeen. Vann B liike-energia mnt potentiaalienergiaksi m = m gh. B Ylätasanteen srin korkes on B B (,65 m/s) h = = 0,3m. g 9,8 m/s 97

4-9. y x Oletetaan, että kiekko liikk pitkin x-akselia ja kiekko pitkin y-akselia, kmpikin positiiviseen sntaan, ja että kiekot törmäävät origossa. Kiekot tarttvat törmäyksessä yhteen, joten törmäys on kimmoton. Kokonaisliikemäärä säilyy eli + = ( m + m ). Liikemäärä säilyy myös x- ja y-snnissa komponenteittain: = ( m+ m) x ja = ( m+ m) y. Ratkaistaan nopeden komponentit: 7kg,6m/s x = = 0,94 m/s ja m + m 7kg + 5 kg 5kg 3,8m/s y = = m+ m 7kg + 5 kg,6m/s. Kiekkojen yhteinen nopes törmäyksen jälkeen on = + = (0,94 m/s) + (,6 m/s),9 m/s. x y Sntaklma α positiivisen x-akselin shteen saadaan trigonometrian avlla: y,6m/s tan α = =, josta α 60. 0,94 m/s x 98

4-30. F Pallon saama implssi on I =Δ p = 0. Implssi voidaan arvioida kvaajasta fysikaalisena pinta-alana (likimain kolmion alana): I,5ms 4,4kN = 3,3Ns. Pallon saama implssi vaakasnnassa on I 3,3Ns vx = = = m/s. m 0,5 kg Pallon nopes pystysnnassa on v y =, m/s. Nopedeksi saadaan x y I = ja nopes v= v + v = m/s +,m/s 5m/s. vy Nopeden sntaklma on α: tanα =, josta α 7 vaakatasoon nähden vx alaviistoon. x 99

4-3. N p A p B W p x E p y p p A SW S Asetetaan koordinaatisto siten, että pohjois eteläsnta on y-akselin snta. Aton B nopeden vaaka- ja pystykomponentit ovat vb y = 90 km/h cos45 = 63,64 km/h ja vb x = 90 km/h sin45 = 63,64 km/h. Kolaritilanteessa kokonaisliikemäärä säilyy. Tarkastellaan liikemäärää erikseen x- ja y-snnissa. y-snta: A A+ B By = ( ma+ mb) y Kn valitaan positiivinen snta y-akselin snnaksi, saadaan skalaariyhtälö + = ( m + m). A A B By A B Nopeden y-komponentti on + 500kg 60km/h + 800kg 63,64km/h y A A B By y = = ma + mb 300 kg x-snta: B Bx = ( ma+ mb) x Kn valitaan positiivinen snta x-akselin snnaksi, saadaan skalaariyhtälö = ( m + m). B Bx A B x Nopeden x-komponentti on B Bx 800 kg 63,64 km/h x = =, km/h. ma + mb 300 kg Atojen yhteinen nopes on = + 65 km/h. x y Lasketaan tämän nopeden snta α: x,km/h tanα = =, 6,3km/h y joten klma on α 0 pohjois eteläsnnasta lonaaseen päin. p p B 6,3km/h. 00

Testaa, osaatko. abc,. a, 3. c, 4. abc, 5. abc, 6. a, 7. c, 8. abc, 9. c, 0. b 0