Tutkivaa oppimista? 1 Siltanosturi Kuva 1.1: Siltanosturi. Vaunuun, jonka massa on m 1, on ripustettu elastisella vaijerilla massa m 2. Halusin kokeilla matematiikan, tietotekniikan ja mekaniikan tutkivaa oppimista. Millainen mekaniikan ongelma voisi olla riittävän mielenkiintoinen ja opettavainen ansaitakseen muutaman päivän mittaisen projektin? Mekaniikka tarjoaa järjestelmät tarjoaa hyviä matematiikan ja ohjelmoinnin harjoitustehtäviä, koska ongelmat ovat niin konkreettisia, että opiskelija voi ymmärtää, mitä on ratkaisemassa. Silti yksinkertaisenkin mekaanisen järjestelmän toiminta voi olla yllättävän monimutkaista ja siksi mielenkiintoinen tutkimuskohde. Otin tutkimuskohteeksi yksinkertaisen siltanosturin, joka liikkuu vain yhdessä suunnassa eikä kahdessa, niin kuin siltanosturit yleensä. Rakennuksilla tyypillisesti käytettävän pyörivän nosturin toimintaa olisi ollut vielä mielenkiintoisempi tutkia, mutta arvelin sen liian monimutkaiseksi ensimmäiseksi harjoitukseksi. 1
Nosturini vaijeri on elastinen kuin benji-köysi. Ei siksi, että oikeiden nosturien vaijerit ovat noin venyviä, vaan koska elastisuus teki tehtävästä mielenkiintoisemman. En onnistunut johtamaan liikeyhtälöitä Newtonin mekaniikan perusteella, mutta onneksi löysin googlaimella vinkkejä Lagrangen mekaniikasta. Webistä löysin monta esimerkkiä Lagrangen mekaniikan soveltamisesta siltanosturiin, mutta kesti pitkään, ennen kuin löysin mitään vinkkiä siitä, miten ottaa huomioon järjestelmään vaikuttavat ulkoiset voimat. Monissa artikkeleissa kerrottiin, että vain tietyntyyppisiä voimia voi sisällyttää Lagrangen yhtälöön ja eräällä kysymys-vastaus palstalla jopa väitettiin, että moinen ei edes ole mahdollista. Jatkoin kuitenkin sinnikkäästi etsimistä, koska säätötekniikkaa lukeneena minusta tuntui oudolta tarkastella järjestelmää, jota ei voi ohjata. Lopulta löysin artikkelin, jonka mukaisesti sisällytin ulkoiset voimat Lagrangen yhtälöön. En perehtynyt Lagrangen yhtälön johtamiseen, joten en tiedä varmaksi, onko ratkaisu matemaattisesti pätevä. Tyydyin siihen, että yhtälöiden simulointi tuotti järkevän näköisen tuloksen. Lagrangen yhtälön soveltaminen on insinöörilaskentoa, sen johtaminen ja johtamiseen perehtyminen matematiikkaa. Tällä kertaa tyydyin verryttelemään insinöörilaskentoa. Pikaisen googlailun perusteella näytti, että kukaan ei näyttänyt innostuneen opetustarkoituksessa simuloimaan nosturia tai muita esimerkkeinä käyttämiään järjestelmiä. Vaikutti siltä, että opetuksessa käytettävien esimerkkien tehtävät oli keksitty sopivasti niin, että ne saattoi ratkaista analyyttisesti, ei niin, että tulos olisi ollut ainakaan minun mielestäni mielenkiintoinen. Lisäksi vaikutti siltä, että samoja vanhoja esimerkkejä kierrätetään uudistamatta niitä vastaamaan nykyisten tietoteknisten työkalujen tarjoamia mahdollisuuksia. Minun kouluaikoinani dynaamisten järjestelmien simulointi oli mahdollista vain hyvin varustetuissa yliopistoissa ja tutkimuslaitoksissa, nyt saman voi tehdä läppärillä. Miksei siis jo lukiossa simuloitaisi järjestelmien toimintaa? Fysiikan tunneilla harjoitellaan voimien laskemista, muttei katsota, mitä kaikkea voimat voivat saavat aikaan. Differentiaaliyhtälöistä tarkastellaan vain analyyttisesti käsityönä ratkaistavissa olevia, mikä rajoittaa sovellusesimerkit kaikkein yksinkertaisimpiin. 2
1.1 Siltanosturin tilayhtälön johtaminen a 1 (t) [ Seuraavassa a(t) tarkoittaa vektoria., at (t) vektoria a n (t) d dt a 1(t) ja ȧ(t) vektoria... d dt a n(t) a 1 (t) a n (t) Valitsin koordinaattikselit niin, että energioiden laskeminen on mahdollisimman helppoa: x on massan m 1 liikkeen suuntainen koordinaatti, koordinaatti θ kertoo vaijerin poikkeaman pystysuunnasta ja s on vaijerin (venymän) suuntainen koordinaatti. ] Vaunun m 1 paikka: x 1 (t) Vaijerin kulma: θ(t) [ ] x 1 (t) + sin(θ(t)) l(t) Kuorman m 2 paikka: x 2 (t) = cos(θ(t)) l(t) Vaijerin pituus: l s = l 0 + l s (t), missä l 0 on lepopituus ja l s (t) on jännityksen aiheuttama venymä. Vaijerin jännitys: F s (t) = k s l s (t), missä k s on vaijerin jousivakio. Vaunun liikettä vastustaa vakiosuuruinen kitkavoima fr 1. Vaijeri vastustaa venytystä ja supistumista voimalla fr 3. Tämä ei ehkä ole kovin realistinen kitkavoima, mutta lisäsin sen kokeillakseni menetelmää. Lagrangen mekaniikkaa sovellettaessa muodostetaan aluksi langrangen funktio L, joka on järjestelmän kineettisen ja potentiaalienergian erotus: L(x(t)) = T (x(t)) V (x(t)) L(x(t) = 1 2 ( m1 ẋ 2 1(t) + m 2 x 2 (t) T x 2 (t) ) ( 1/2 k s ls(t) 2 m 2 g cos(θ(t)) l(t) ) Langrangen mekaniikan perusyhtälö on d dt ( ) L(x(t)) ẋ(t) ( ) L(x(t)) x(t) = u(x(t), t) Missä x(t) = [x 1 (t), θ(t), l(t)] T voimavektori. ja u(x(t), t) on systeemin vaikuttava ulkoinen 3
Hissinosturin tapauksessa u(x(t), t) = F u (t) signum(v 1 (t)) fr 1 0 signum(v 1 (t)) fr 3 missä F u (t) on vaunua liikuttava voima. Muita ulkoisia voimia ovat vaunuun vaikuttava kitkavoima ja vaijerin venymistä vastustava kitkavoima, jonka lisäsin teoreettisesta mielenkiinnosta, ensiksi, että se olisi realistinen. 1; x < 0 missä signum(x) = 0; x = 0 ja v 1 (t) = d dt x 1(t) 1; x > 0 Hissinosturin tapauksessa Langrangen mekaniikan perusyhtälö on toisen asteen differentiaaliyhtälö muuttujien x 1 (t),θ(t)ja l s (t) suhteen. Sijoittamalla v 1 (t) = d dt x 1(t),ω(t) = d dt θ(t), v s(t) = d dt l s(t) saadaan kuuden ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmä ż(t) = f(z(t), u(t), t). Mikäli tunnetaan z(0), järjestelmän toimintaa voidaan simuloida eli ratkaista z(t), t [0, T f ] numeerisella integroinnilla. Johdin tilayhtälöt ja suoritin simuloinnin xmaxima ohjelmistolla: xmaxima koodi Koodista näkee, että käsityönä tilayhtälöiden johtaminen olisi ollut ylivoimaista, mutta xmaximalla periaatteessa sangen johdonmukaista ja suoraviivaista. Käytännössä xmaximan kuten yleensä tietoteknisten työkalujen käytön opettelu vaati kuitenkin aikaa ja sinnikkyyttä. En esimerkiksi löytänyt operaatiota, jolla laskea funktion gradientti. Lopulta keksin, että skalaarifunktion f([x1,x2,x3]) gradientti on jacobian([f([x1,x2,x3])],[x1,x2,x3])[1]. Olisin tietysti voinut kirjoittaa eksplisiittisesti kunkin osittaisderivaatan lausekkeen, mutta halusin tehdä mahdollisimman tyylikästä ja yleispätevää koodia. Vielä tässä vaiheessa. Ohjelman loppuosassa oikaisin muutaman kerran, mikä tuotti ohjelmaan muuttaessa virheitä ja paljon lisätyötä. Ohjelmoinnissa laatuun ja tyyliin satsaaminen nopeuttaa projektia. Eniten aikaa vei selvittää, miten plotata järkevästi simuloinnin tulos. Jos xmaximaa käytetään opetuksessa, ohjaajan on hyvä osata auttaa opiskelijoita välttämään toisarvoisten ongelmien kanssa takkuaminen. 4
1.2 Simuloinnin tuloksia Testailin saamiani tilayhtälöitä antamalla järjestelmän olla hetken levossa, nykäisemällä se sitten reippaasti vauhtiin ja sen jälkeen hetken kuluttua jarruttamalla voimakkaasti. Kuva 1.2: Vaunua ohjaava voima F u (t) Vaunu liikkui eteenpäin jokseenkin odotetusti. Elastisen vaijerin päässä heilahteleva kuorma sai vaunu pikkuisen nykimään, kuten näkyy nopeuden kuvaajasta. Vielä reippaammin liikkeelle lähtiessä kuorma jopa nykäisi vaunua taakse päin. Heilahtelun vaimeneminen johtuu kitkavoimista. Kuva 1.3: Vaunun sijainti x 1 (t) ja nopeus v 1 (t) 5
Kuva 1.4: Kuva 1.5: Kuva 1.6: Kannatinvaijerin asento eri ajan hetkinä. Janan yläpää osoittaa vaunun aseman tietyllä hetkellä ja janan alapää kuorman aseman samalla hetkellä. 6
Kuva 1.7: Kannatinvaijerin asento eri ajan hetkinä. Janan yläpää osoittaa vaunun aseman tietyllä hetkellä ja janan alapää kuorman aseman samalla hetkellä. Simuloinnin loppuaikoja, kun kuorma heiluttaa vaunua edestakaisin. 1.3 Lisäharjoituksia 1.3.1 Ilmanvastuksen huomioiminen Koska nosturiongelmani ei muutenkaan ole kovin realistinen vaijeri on elastinen kuin benji-köysi ja nosturi nykäistään vauhtiin tolkuttoman rivakasti tilayhtälöihin voisi vielä lisätä kuorman nopeuden neliöön verrannollisen ilmanvastuksen aiheuttaman voiman. Tehtävä saattaa olla sangen mielenkiintoinen, koska ilmanvastus on luontevinta laskea xy-koordinaatistossa eikä tilayhtälön johtamiseen käyttämässäni koordinaatistossa. 1.3.2 Heuristinen säätö Nosturille voi yrittää kehitellä säätöalgoritmeja, jotka siirtävät kuormaa tietyn matkan ja pysäyttävät sen elegantisti. Optimiohjauksen laskeminen Alunperin tarkoitukseni oli laskea siltanosturille optimiohjaus, joka siirtää sitä mahdollisimman nopeasti tietyn matkan ja pysäyttää kaikki heilahtelut. Järjestelmälle ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) voidaan ratkaista kustannuksen J = T f 0 g(x(t), u(t), t)dt. minimoiva ohjaus u(t), t [0, T f ] Pontryaginin minimiperiaatteella. Jos tehtävänä on siirtää nosturi mahdollisimman nopeasti paikasta toiseen, g(x(t), u(t), t) = 1 jolloin J = T f. Optimiohjausta laskettaessa määritellään aluksi Hamiltonin funktio H(x(t), λ(t), u(t), t) = λ T (t) f(x(t), u(t), t) + g(x(t), u(t), t). 7
Pontryaginin miniperiaatteen mukaan optimitrajektorilla H on pienimmillään, eli optimiohjaus saadaan minimoimalla H u:n suhteen. Lisäksi optimitrajektorilla pätee λ(t) = x(t) H(x(t), λ(t), u(t), t) = h(x(t), λ(t), u(t), t). Minimiperiaate antaa ongelmasta riippuen käyttökelpoisia lisäehtoja H:lle ja λ(t f ):lle. Minimiperiaate johtaa kahden pisteen reuna-arvotehtävään: Pitää ratkaista ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) ja λ(t) = h(x(t), λ(t), u(t), t) kun tiedetään x(0) ja optimointitehtävästä riippuen joko x(t f ) tai λ(t f ). Tarvittavien yhtälöiden johtaminen oli xmaximalla yhtä johdonmukaista ja suoraviivaista kuin järjestelmän tilayhtälöiden johtaminenkin. Yritin ratkaista syntynyttä kahden pisteen reuna-arvotehtävää Octave-ohjelmistolla, mutta joko en ymmärtänyt algoritmin käyttöohjeita tai algoritmissa oli jokin virhe. Sain ilmoituksen indeksointivirheestä, jonka syyn selvittämiseen minulla ei ollut kylliksi aikaa eikä tarmoa. Nosturin animaatio Järjestelmän toimintaa olisi hieno animoida niin, että ruudulla liikkuvaa nosturia voisi ohjata muuttelemalla ohjausvoimaa vaikka nuolinäppäimillä. Tätä varten pitäisi opetella graafista ohjelmointia esimerkiksi Pythonilla. Opiskelijoilta tämä edellyttäisi jonkin verran kokemusta ohjelmoinnista. Ohjaajan pitäisi etukäteen ohjelmoida esimerkkiohjelma tai vähintään etsiä malliksi sopiva ohjelma. Pythonin manuaalissa näytti olevan jonkimmoisen pelimoottorin runko, jossa pyöriteltiin jotain kappaletta. Aikani ei kuitenkaan riittänyt Pythonin grafiikkaolioihin perehtymiseen. Ilman aiempaa Python grafiikkaohjelmoinnin kokemusta en äkkiseltään edes ymmärtänyt esimerkkiä. Tietotekniikan osaamiseen toisaalta kuuluu nimenomaan tällaisten ongelmien ratkaiseminen. On kyettävä nopeasti perehtymään johonkin uuteen ilman, että kukaan on kädestä pitäen opastamassa ja ilman, että ehtii mennä kurssille, vaikka sellainen sattuisikin olemaan tarjolla. Vuoristorata En perehtynyt kunnolla Lagrangen mekaniikan tarjoamiin mahdollisuuksiin, mutta minulle jäi vaikutelma, että Lagrangen yhtälöä voi täydentää tilarajoituksia kuvaavilla yhtälöillä. Esimerkissä siltanosturin vaunu kulkee pitkin vaakasuoraa kiskoa. Tieto siitä, että vaunun korkeus referenssitasosta y 1 (t) = 0 on otettu huomioon liike-energian 8
lausekkeessa ja ja samasta syystä vaunun potentiaalienergiaa ei ole yhtälössä lainkaan. Vaunun potentiaali- ja liike-energialle olisi kuitenkin voinut kirjoittaa yleiset yhtälöt ja kertoa kiskon vaakasuoruus erilliselle rajoitusyhtälöllä y 1 (t) = 0. Siltanosturista saisi hauskan laitteen huvipuistoon, jos vaunun kiskon vääntäisi mutkille ylös ja alas, oikealle ja vasemmalle. Kuorma olisi adrenaliinihakuisille huvittelijoille tarkoitettu matkustajakori tai yksittäinen huvittelija benji-köyden varassa. Kiskon muodon voisi kuvata rajoitusyhtälöllä p(x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t) = 0. Kiskon muotoa kuvaava funktio p voisi olla muutaman annetun pisteen kautta kulkemaan sovitettu polynomi, splini-käyrä tai muu vastaava. Kolmiulotteinen tehtävä antaisi muun ohella mahdollisuuden harjoitella kolmiulotteisten liikeratojen visualisointia ja 3D-animaatiota. Opiskelijoilta vaadittavat esitiedot, ohjaajan rooli Tällaisen projektin avulla oppimisen idea on, että matemaattisia ja fysikaalisia perusteita ei opiskella perusteellisesti etukäteen vaan tarkastellaan niitä tarvittavilta osin projektin kuluessa ja perehdytään teorioihin kunnolla vasta kun on kokeiltu niitä käytännössä. Onkohan tällainen mahdollista? Aivan kaikkea tarvittavaa fysiikkaa ja matematiikkaa ei tietenkään voi opiskella projektin kuluessa, ellei halua projektin kestävän vuosia. Mitkä olisivat välttämättömät esitiedot, joita tämän tyyppiseen projektiin osallistuvilla opiskelijoilla pitäisi olla? Derivaatasta opiskelijoilla pitäisi olla jonkinmoinen käsitys, mutta derivoinnin voi jättää xmaximalle. Opiskelijan pitäisi ymmärtää, mikä on vektori, voima ja energia. Ohjaajan pitäisi esitellä tarvittavilta osin xmaximan käyttöä muutamalla sopivalla pienellä harjoituksella. Mikäli projektin tavoitteena ei ole oppia xmaxima ohjelmointia, xmaxima-algoritmista voisi tehdä niin valmiin, että järjestelmän potentiaali- ja liike-energian lausekkeiden ja mahdollisten lisärajoitusten koodaamisen jälkeen loppu hoituisi napinpainalluksella. Ohjaajan olisi hyvä perehtyä Lagrangen mekaniikan ja Pontryaginin minimiperiaatteen johtamiseen sen varmistamiseksi, ettei googlaamalla haettuja reseptejä tule sovellettua väärin. (Toivottavasti minä en sortunut moiseen.) 9
xmaxima tai muu käytettävä työkalu ratkaisee alkuarvotehtävän siitä riippumatta, ymmärtääkö opiskelija, mitä on numeerinen integrointi. Silti lienee hyvä selittää numeerisen integroinnin periaate ja saattaa opiskelija siitä itsekin kiinnostua. Käyttämäni Runge-Kutta vaatii käyttäjältä integrointiaskelen, joten sen merkityksestä on hyvä jotain ymmärtää. Yksittäisellä opettajalla tuskin on riittävästi aikaa ahertaa tällaisten projektin valmistelun parissa varsinkaan kun ei ehkä ole mielekästä toistaa samaa harjoitusta vuodesta toiseen. Tämän tyyppistä tutkivaa oppimista pitäisi harrastaa yhteisön turvin, jossa voisi olla mukana opettajien lisäksi opinnäytetöitään tekeviä yliopisto-opiskelijoita ja ehkä jopa yrityksiä. Kaikkea tällaista yhteistyötä tosin taitaa jo olla olemassa. Mitä harjoituksesta opittaisiin? Opiskelija saattaisi kysyä: Mitä käytännön hyöytyä tästä on? Mikä tarkoittanee sitä, että harjoitus ei kiinnostanut eikä vaikuttanut edes hyödylliseltä. Turha tällaista projektia olisi opiskelijoille väkisin tyrkyttää. Mikäli opiskelijat ryhtyisivät työhön innolla, projekti antaisi käsityksen differentiaaliyhtälöistä; aavistuksen siitä, mitä fysikaalisen mallinnus on; käsityksen tietoteknisten työkalujen mahdollisuuksista ja ehkä joissakin opiskelijoissa jopa herättäisi kiinnostuksen niihin. Käytin siltanosturia esimerkkinä ja tavoittelin sen optimiohjauksen laskemista, koska itse kauan sitten innostuin moisista ongelmista. Esimerkin valinta ei siis perustu syvälliseen analyysiin tulevaisuuden osaamistarpeista. Muuten olen sitä mieltä, että tietoteknisten menetelmien soveltamista pitää olla mahdollista opiskella koulun matematiikan ja fysiikan kursseilla. Näin on kaiketi tapahtumassakin, mutta nyt pitäisi alkaa kokeilla, mihin suuntaan ja kuinka paljon kirjojen tehtäväkokoelmaa ja ylioppilaskokeita pitää muuttaa. 10