Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2 Harjoitustehtävät 11-13 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, 15-17 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävä 14 palautetaan MyCourses-sivulle vertaistarkistettavaksi pe klo 16 mennessä ja kotitehtävät 18-19 ohjaajan tarkistettavaksi ti klo 16 mennessä. Lisäksi kullakin viikolla tulee ratkaista kolme verkkotehtävää ja antaa vertaispalautetta MyCourses-sivulla edellisen viikon tehtävästä. Haastetehtävä on vapaaehtoinen, vaikea(hko) lisätehtävä. Palauttamalla sen ti klo 16 mennessä voi korvata muita tehtäviä. Loppuviikko: useamman muuttujan funktiot Tehtävä 15 a) Funktio on yksivaippainen y-akselin suuntainen hyperboloidi. Pintaa ei voi esittää funktion z = f(x, z) kuvaajana, sillä z-muuttuja on funktiossa neliöity(eli esimerkiksi sekä ( 1, 1, 1)ja( 1, 1, 1 ) toteuttavat yhtälön. 2 2 2 2 2 2 Kuva 1: Funktion x 2 4y 2 + 9z 2 = 36 kuvaaja. b) Funktio on elliptinen paraboloidi, eli pyörähdysparaboloidi. Z-muuttuja on neliöity, joten pintaa ei voida esittää funktion z = f(x, z). Voidaan kuitenkin laskea y = z 2 + x 2, joten pinta voidaan esittää funktion y = f(x, z) kuvaajana. 1
Kuva 2: Funktion x 2 + z 2 y = 0 kuvaaja. c) Funktio on z-akselin suuntainen elliptinen paraboloidi. Vakiotermi vaikuttaa vain paraboloidin sijaintiin z-akselilla. Funktio voidaan esittää muodossa z = x 2 + y 2 4, joten pinta voidaan esittää funktion z = f(x, z) kuvaajana. d) Funktio on hyperbolinen paraboloidi. Z-termi on jälleen neliöity, joten pintaa ei voi esittää muodossa z = f(x, z). Funktio voidaan kuitenkin esittää muodossa x = y 2 z 2, joten pinta voidaan esittää funktion x = f(y, z) kuvaajana. Kuva 3: Funktion y 2 x z 2 = 0 kuvaaja. Tehtävä 16 Tasa-arvokäyrähahmotelmista nähdään, että molemmat funktiot muodostavat neliön mallisia tasa-arvokäyriä. Molemmissa funktiossa z-akselin koordinaatti saadaan suoraan funktion arvosta z = f(z, y), joten kolmiulotteiset kuvaajat ovat kärjellään seisovia pyramideja. 2
Kuva 4: Funktioiden f(x, y) = x + y ja f(x, y) = max{ x, y } tasa-arvokäyrähahmotelmat. Kuva 5: Funktion f(x, y) = x + y kuvaaja. Kuva 6: Funktion f(x, y) = max{ x, y } kuvaaja. Tehtävä 17 a) (x,y) ( 2,1) x2 + xy 1 = (x,1) ( 2,1) x2 + x 1 = 1 3
b) Nimittäjä on aina positiivinen, joten raja-arvo voidaan laskea suoraan c) Lasketaan ensin raja-arvo y-akselia pitkin. x 2 + y 2 y Lasketaan sitten raja-arvo käyrää y = x 2 pitkin. x 2 + y 2 y 3x x 2 + y 2 + 2 = 0. x 2 = y + y = y = 0 (0,y) (0,0) x 2 + x 4 1 + x 2 = = (x,x 2 ) (0,0) x 2 (x,x 2 ) (0,0) 1 Raja-arvot ovat eri riippuen lähestymissuunnasta, joten raja-arvoa ei ole olemassa. d) Sekä osoittaja että nimittäjä poikkeavat nollasta, kun x = 0 ja y = 1, joten raja-arvo voidaan laskea suoraan lähestymissuunnasta riippumatta cos(x + y) (x,y) (0,1) sin(x y) = cos(1) sin( 1) = 1 ( 0, 642) tan(1) e) Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin ja supistetaan. 2x 2 xy (x,y) (1,2) 4x 2 y = 2 (x,y) (1,2) x(2x y) (2x + y)(2x y) = (x,y) (1,2) = 1 x 2x + y = 1 4 Kotitehtävä 18 nollaksi: a) Lasketaan funktion raja-arvot x- ja y-akseleita pitkin. Asetetaan ensin y sin(xy) x 2 + y = sin(0) = 0 2 (x,0) (0,0) x 2 Lasketaan sitten raja-arvo käyrää y = x pitkin ja sovelletaan L Hospitalin sääntöä: sin(xy) x 2 + y = sin(x 2 ) 2x cos(x 2 ) = 2 (x,x) (0,0) 2x 2 (x,x) (0,0) 4x Funktiolla ei siis ole raja-arvoa origossa. b) Lasketaan ensin funktion raja-arvo origossa käyrää x = y pitkin. xy 2 x 2 + y 4 = (y,y) (0,0) y 3 y 2 + y 4 = (y,y) (0,0) Lasketaan sitten funktion raja-arvo origossa käyrää x = y 2 pitkin. xy 2 x 2 + y 4 = Funktiolla ei siis ole raja-arvoa origossa. (y 2,0) (0,0) y 4 2y 4 = 1 2 = 1 2 y 1 + y 2 = 0 4
Kotitehtävä 19 Funktiota ei ole määritelty suoralla x = y, sillä se on tällöin muotoa 0/0. Funktiosta saadaan kuitenkin jatkuva koko tasossa, jos se määritellään kohdassa x = y vastaamaan funktion raja-arvoa. Funktio voidaan sieventää esimerkiksi polynomien jakolaskulla f(x, y) = x3 y 3 x y = (x y)(x2 + xy + y 2 ) x y Tästä saadaan helposti raja-arvo (x,y) >(x,x) x2 + xy + x 2 = 3x 2. Funktiosta saadaan koko tasossa jatkuva määritelmällä = x 2 + xy + x 2. f(x, y) = { x 3 y 3 x y, x y 3x 2, x = y 5