Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division
Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x). homogeeniyhtälö on p 2 (x)y + p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. Jos p 2 (x) 0, niin saadaan normaalimuotoinen toisen kertaluvun lineaariyhtälö y + a(x)y + b(x)y = f(x). Vastaava homogeeniyhtälö on y + a(x)y + b(x)y = 0.
Olemassaolo Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoon x 0 I. Tällöin alkuarvotehtävällä y + a(x)y + b(x)y = f(x), x I, y(x 0 ) = α, y (x 0 ) = β, on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu välillä I kaikilla α, β R.
Superpositioperiaate Homogeeniyhtälön ratkaisujen superpositioperiaate: Lause Olkoot y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) homogeeniyhtälön ratkaisuja. Tällöin myös funktio y(x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x) on homogeeniyhtälön ratkaisu kaikilla C 1,C 2,...,C n R. Superpositioperiaate ei ole voimassa epälineaaristen yhtälöiden ratkaisuille.
Lineaarinen riippumattomuus Määritelmä 1. Funktiot y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) ovat lineaarisesti riippuvat eli sidotut välillä I, jos on olemassa vakiot C 1,C 2,...,C n, joista jokin C i 0 siten, että C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x) = 0 kaikilla x I. 2. Funktiot y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) ovat lineaarisesti riippumattomat eli vapaat välillä I, jos ehdosta C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x) = 0 kaikilla x I, seuraa, että on oltava C 1 = C 2 =... = C n = 0.
Esimerkki Esim. 1 Olkoot λ 1 λ 2. Osoita, että funktiot y 1 (x) = e λ 1x ja y 2 (x) = e λ 2x ovat lineaarisesti riippumattomia välillä R. Tapa 1: Vaaditaan, että C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x = 0, x R. Erityisesti, kun x = 0 ja x = 1, saadaan yhtälöryhmä C 1 + C 2 = 0 C 1 e λ 1 + C 2 e λ 2 = 0 Saadaan C 2 = C 1 ja edelleen C 1 ( e λ 1 e λ 2) = 0. Joten ainoa ratkaisu on C 1 = C 2 = 0. Funktiojoukko {e λ 1x, e λ 2x } on lineaarisesti riippumaton.
Tapa 2: Muodostetaan derivoimalla lisää yhtäpitäviä yhtälöitä C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x λ 1 C 1 e λ 1x +λ 2 C 2 e λ 2x = 0 = 0. Ylemmästä yhtälöstä saadaan C 2 e λ 2x = C 1 e λ 1x, joten sijoituksella alempaan saadaan C 1 (λ 1 λ 2 ) e λ 1x = 0 eli C 1 = 0 ja edelleen C 2 = 0. Siis funktiojoukko {e λ 1x, e λ 2x } on lineaarisesti riippumaton.
Tärkeä tulos Lause Olkoot a(x) ja b(x) jatkuvia funktioita välillä I R. Tällöin homogeeniyhtälöllä y + a(x)y + b(x)y = 0 on olemassa kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua y 1 (x) ja y 2 (x) välillä I. Perustelu: Olkoon x 0 I. Lauseen 1 mukaan homogeeniyhtälön alkuarvotehtävillä y + a(x)y + b(x)y = 0, y + a(x)y + b(x)y = 0, y(x 0 ) = 1, y(x 0 ) = 0, y (x 0 ) = 0, y (x 0 ) = 1, on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut y 1 ja y 2 välillä I. Alkuehtojen y 1 (x 0 ) = 1, y 1 (x 0) = 0 ja y 2 (x 0 ) = 0, y 2 (x 0) = 1 vuoksi y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, mikä seuraa suoraan lineaarisen riippumattomuuden määritelmästä.
Wronskin determinantti Määritelmä Funktioiden y 1 ja y 2 Wronskin determinantti on funktio W(y 1,y 2 ;x) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = y 1(x)y 2 (x) y 1 (x)y 2(x). Esim. 4 Funktioiden y 1 (x) = e λx ja y 2 (x) = x e λx Wronskin determinantti. W(y 1,y 2,x) = y 1 y 2 y 1 y 2 = e λx λe λx x e λx e λx + xλe λx = e2λx.
Lause Olkoot a(x) ja b(x) jatkuvia funktioita välillä I R. Tällöin homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisut y 1 (x) ja y 2 (x) ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I jos ja vain jos W(y 1,y 2 ;x) 0 kaikilla x I. Perustelu: Wronskin determinantti on W(y 1,y 2,x) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = y 1(x)y 2 (x) y 1 (x)y 2(x), josta saamme derivoimalla W (y 1,y 2,x) = y 1 y 2 + y 1y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1y 2 y 1 y 2.
Perustelu jatkuu Sijoitus y i = a(x)y i b(x)y i, i = 1,2 Wronskin determinantin derivaatan lausekkeeseen W ( ) (y 1,y 2,x) = y 1 a(x)y 2 b(x)y 2 ( a(x)y 1 b(x)y 1 ) y2 = a(x) ( y 1 y 2 y 1y 2 ) = a(x)w(y1,y 2,x) Wronskin determinantin differentiaaliyhtälö: W = a(x)w Yleinen ratkaisu W = W(y 1,y 2,x) = C exp( x a(x)dx). Jos W(y 1,y 2,x 0 ) = 0, kun x 0 I, niin C = 0. Jos Wronskin determinantilla on nollakohta välillä I, niin Wronskin determinantti on identtisesti nolla välillä I.
Perustelun loppu Funktiot {y 1,y 2 } lineaarisesti riippumattomat. Yhtälön C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) = 0, kaikilla x I ainoa ratkaisu C 1 = C 2 = 0 Kaikilla x I yhtälöparilla C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) = 0, C 1 y 1 (x)+c 2y 2 (x) = 0 ainoa ratkaisu C 1 = C 2 = 0. Kerroindeterminantti W(y 1,y 2 ;x) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) 0.
Ratkaisujen perusjärjestelmä Määritelmä Olkoot funktiot y 1 ja y 2 ovat homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tällöin funktiot y 1 ja y 2 muodostavat homogeeniyhtälön ratkaisujen perusjärjestelmän, mikäli jokainen homogeeniyhtälön ratkaisu y voidaan esittää muodossa y(x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) Tällöin homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa y(x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x). Lause Olkoot a(x) ja b(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 ja y 2 kaksi homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua välillä I. Tällöin y 1 ja y 2 muodostavat ratkaisujen perusjärjestelmän.
Perustelu Oletus: homogeeniyhtälön ratkaisupari {y 1, y 2 } lineaarisesti riippumaton W(y 1, y 2 ; x) 0, x I (Lause 4). Olkoon y homogeeniyhtälön ratkaisu ja olkoon x 0 I. Merkitään y(x 0 ) = α ja y (x 0 ) = β. { C 1 y 1 (x 0 )+C 2 y 2 (x 0 ) = α, Yhtälöparilla C 1 y 1 (x 0)+C 2 y 2 (x on yksikäsitteinen 0) = β ratkaisu {C 1, C 2 }, sillä ratkaisupari lineaarisesti riippumaton W(y 1, y 2 ; x 0 ) 0. Funktiot y ja C 1 y 1 + C 2 y 2 ovat alkuarvotehtävän ratkaisuja. y + a(x)y + b(x)y = 0, x I, y(x 0 ) = α, y (x 0 ) = β, Yksikäsitteisyys y(x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x).