JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause 83 Kanta: määritelmä 8, johon sisältyy vapau (määritelmä 7) ja virittäminen (määritelmä 68) Dimensio: määritelmä 88 Tehtävä 2 Tutkitaan vektoriavaruutta R 2 2, jonka muodostavat 2 2-matriisit a) Mikä on avaruuden R 2 2 dimensio? b) Olkoot [ A = ] [, A 2 = ] [, A 3 = Osoita, että jono (A, A 2, A 3, A 4 ) on vapaa ] ja A 4 = [ 0 ] c) Päättele, että jono (A, A 2, A 3, A 4 ) muodostaa avaruuden R 2 2 kannan a) Esimerkissä 63 on osoitettu, että vektoriavaruus R 2 2 on vektorien [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0,, ja 0 0 0 0 0 virittämä Lisäksi esimerkissä 73 on osoitettu, että näiden vektorien muodostama jono on vapaa Näin ollen ne muodostavat kannan avaruudelle R 2 2 Vektoriavaruuden dimensio eli kantavektoreiden lukumäärä on siis 4 b) Oletetaan, että c A + c 2 A 2 + c 3 A 3 + c 4 A 4 = O joillakin c, c 2, c 3, c 4 R Tutkitaan, onko kertoimien c, c 2, c 3 ja c 4 pakko olla nollia vai onko muitakin vaihtoehtoja Tarkasteltavan yhtälön [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 c + c 2 + c 3 + c 4 = 0 0 kanssa yhtäpitävä yhtälöryhmä on c + c 2 + c 3 = 0 c 2 + c 3 c 4 = 0 c + c 2 + c 3 + c 4 = 0 c 3 = 0
2 JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Sitä vastaava matriisi voidaan muokata alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Porrasmatriisista nähdään, että ratkaisuja on vain yksi (siinä ei ole epätosia rivejä eikä vapaita muuttujia) Toisaalta tiedetään, että yhtälöryhmällä on ratkaisu c = 0, c 2 = 0, c 3 = 0, c 4 = 0 Se on siis ainoa ratkaisu Näin ollen jono (A, A 2, A 3, A 4 ) on vapaa c) Avaruuden R 2 2 dimension on a-kohdan nojalla 4 ja b-kohdan perusteella jono (A, A 2, A 3, A 4 ) on vapaa Näin ollen kyseinen jono avaruuden R 2 2 kanta lauseen 83 a-kohdan nojalla Tehtävä 3 Tutkitaan polynomiavaruuden P aliavaruutta P 2 = {p P deg(p) 2}, jolla on kanta E = (, x, x 2 ) Osoita, että myös B = ( 2x, x 2 + 4x, 3) on avaruuden P 2 kanta Mikä on avaruuden P 2 dimensio? Koska avaruudella P 2 on kanta E, on sen dimensio 3 Osoitetaan, että jono B on vapaa Oletetaan, että c ( 2x) + c 2 (x 2 + 4x) + c 3 3 = 0 joillakin c, c 2, c 3 R, eli c 2 x 2 + ( 2c + 4c 2 )x + 3c 3 = 0 Koska jono E = (x 2, x, ) on kanta, on se erityisesti vapaa Näin ollen saadulla yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, ja saadaan yhtälöryhmä c 2 = 0 2c + 4c 2 = 0 3c 3 = 0 Tästä yhtälöryhmästä saatava matriisi voidaan alkeisrivitoimituksilla redusoida porrasmatriisiksi 0 0 2 4 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 Näin ollen myös alkuperäisellä yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu Koska c = 0, c 2 = 0, c 3 = 0 on varmasti yhtälön ratkaisu, on kyseessä ainoa ratkaisu Täten jono B on vapaa Koska jonon B pituus on 3, lauseen 83 a-kohdan perusteella kyseessä on avaruuden P 2 kanta Tehtävä 4 Tutkitaan vektoriavaruutta F, jonka muodostavat funktiot R R Mikä on avaruuden F dimensio? Olkoot f : R R määritelty kaavalla f(x) = 2x + 7 ja g : R R määritelty kaavalla g(x) = 6x + 2 Mikä on aliavaruuden span(f, g) F dimensio Avaruuden F dimension on ääretön Osoitetaan tämä käyttämällä täsmällisesti tekemällä vastaoletus, eli olettamalla, että dimensio on äärellinen
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT 3 Merkitään dimensiota n N Tällöin on olemassa funktiot f,, f n : R R, jotka muodostavat avaruuden F kannan B = (f,, f n ) Tarkastellaan polynomifunktioiden g k : R R, g k (x) = x k kaikilla x R, missä k N Nyt jono T = (g, g 2,, g n, g n+ ) on vapaa: jos a g (x) + a 2 g 2 (x) + + a n+ g n+ (x) = a x + a 2 x 2 + + a n+ x n+ = 0, missä a,, a n+ R, kaikilla x R, niin välttämättä a = a 2 = = a n+ = 0 Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä nyt jonon T pituus on n + > n = dim(f) mikä on mahdotonta (ks lauseen 83 jälkeiset huomiot) Annettujen funktioiden jono (f, g) ei ole vapaa, sillä 2f + g = 0 Näin ollen (f, g) ei ole avaruuden span(f, g) kanta Koska g = 2f, voidaan g jättää pois virittäjien joukosta, eli span(f, g) = span(f) Koska f ei ole nollavektori, on sen muodostama jono vapaa, joten aliavaruuden span(f, g) dimensio on Tehtävä 5 (Haastavampi) Ensimmäisen asteen homogeeninen lineaarinen differenttiaaliyhtälö on muotoa y + ay = 0 Sen ratkaisulla tarkoitetaan derivoituvaa funktiota y : R R, t y(t), joka toteuttaa kyseisen yhtälön kaikilla muuttujan t arvoilla Esimerkiksi f : R R, f(t) = e at on yksi ratkaisu, sillä sen derivaatalle pätee f (t) = ae at ja siten () f (t) + af(t) = ae at + ae at = 0 a) Tarkastellaan kaikkien funktioiden R R muodostamaa vektoriavaruutta F Olkoon dierentiaaliyhtälön () ratkaisujen joukko S eli S = {y F y + ay = 0} Osoita (derivointisääntöjä käyttäen), että joukko S on vektoriavaruuden F aliavaruus b) Osoita, että edellä mainittu funktio f, jolle f(t) = e at, muodostaa aliavaruuden S = {y F y + ay = 0} kannan Päättele tästä, että dim(s) = a) Joukon S määritelmästä nähdään, että se on avaruuden F osajoukko Lisäksi: (i) Oletetaan, että f, g S Tällöin f (t) + af(t) = 0 ja g (t) + ag(t) = 0 kaikilla t R Tällöin derivointisääntöjen perusteella (f + g) (t) + a(f + g)(t) = (f + g )(t) + a(f(t) + g(t)) kaikilla t R Täten f + g S = f (t) + g (t) + af(t) + ag(t) = f (t) + af(t) + g (t) + ag(t) = 0
4 JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT (ii) Oletetaan, että f S ja c R Tällöin (cf) (t) + a(cf)(t) = cf (t) + caf(t) = c(f (t) + af(t)) = c0 = 0 kaikilla t R, koska f S Näin ollen cf S (iii) Myös 0 + a0 = 0 + 0 = 0, joten 0 S Huomioi, että ratkaisussa 0 ei ole reaaliluku 0 vaan funktio 0 : R R, t 0 kaikilla t R Siis aliavaruuden määritelmän mukaan S on avaruuden F aliavaruus b) Osoitetaan, että S = span(f) : Oletetaan, että x S Muodostetaan uusi funktio z : R R, z(t) = x(t)e at, ja tarkastellaan sen derivaattaa Huomataan, että kaikilla t R pätee z (t) = x (t)e at + x(t)ae at = (x (t) + ax(t))e at = 0, sillä x S Näin ollen z on vakiofunktio, eli jollakin c R pätee z(t) = c kaikilla t R Siis x(t)e at = c, josta saadaan, että x(t) = ce at kaikilla t R Eli x = cf ja näin ollen x span(f) : Tehtävänannossa osoitettiin, että f S, joten tällöin myös rf S kaikilla r R a-kohdan nojalla Täten span(f) S Siis span(f) = S Lisäksi, koska f 0, niin jono (f) on vapaa ja näin ollen f muodostaa aliavaruuden S kannan Aliavaruuden dimensio on sen kannan vektoreiden lukumäärä, joten dim(s) = Koordinaatit ja kannanvaihto Tehtävä 7 Esittele vektorin koordinaattien ja kannavaihtomatriisin määritelmät Koordinaatit, määritelmä 86; kannanvaihtomatriisi, määritelmä 823 Tehtävä 6 Merkitään v = (3, 3) ja v 2 = (2, ) Nyt S = (v, v 2 ) on avaruuden R 2 kanta Tutkitaan lisäksi vektoria b = ( 5, ) a) Määritä koordinaattivektori [b] S b) Piirrä vektori b koordinaatistoon Piirrä samaan kuvaan uudet vektorien v ja v 2 suuntaiset koordinaattiakselit Miten kuvasta välittyy koordinaattivektori [b] S? c) Tutkitaan sitten luonnollisen kannan E vektoreita e = (, 0) ja e 2 = (0, ) Määritä koordinaattivektorit [e ] E ja [e 2 ] E sekä [e ] S ja [e 2 ] S d) Muodosta matriisi P, jonka sarakkeina ovat [e ] S ja [e 2 ] S e) Mitä matriisilla P kertominen tekee koordinaattivektoreille [e ] E ja [e 2 ] E? Entä koordinaattivektorille [b] E? a) Määritelmän mukaan [b] S on (a, a 2 ), missä a ja a 2 saadaan yhtälöstä b = a v + a 2 v 2 Sijoitetaan annetut arvot yhtälöön, jolloin se saadaan muotoon ( 5, ) = a (3, 3) + a 2 (2, ) Tämä yhtälö voidaan ratkaista Gauss-Jordanin menetelmällä, jolloin vastaukseksi saadaan a = ja a 2 = 4 Siis [b] S = (, 4)
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT 5 b) Kuvaan on vektori b merkittynä punaisella, kannan S vektorit vihreällä, sekä niiden suuntaiset koordinaattiakselit sinisellä Kuvassa näkyy koordinaattivektori [b] S = (, 4) siten, että b = v 4v 2 eli origosta päästään pisteeseen (, 4) kulkemalla ensin kerran vektorin v suuntaisesti ja sitten neljä kertaa vektorin v 2 suuntaisesti c) Nyt [e ] E ja [e 2 ] E saadaan ratkaisemalla yhtälöt (, 0) = a (, 0) + a 2 (0, ) ja (0, ) = b (, 0) + b 2 (0, ) Ratkaisut ovat a =, a 2 = 0, b = 0 ja b 2 =, joten koordinaattivektorit ovat [e ] E = (, 0) ja [e 2 ] E = (0, ) Samoin [e ] S ja [e 2 ] S saadaan ratkaisemalla yhtälöt (, 0) = a (3, 3) + a 2 (2, ) ja (0, ) = b (3, 3) + b 2 (2, ) Nämä yhtälöt saadaan muotoon { 3a + 2a 2 = 3a + a 2 = 0 ja { 3b + 2b 2 = 0 3b + b 2 = Ratkaisemalla nämä esimerkiksi Gauss-Jordanin menetelmällä, saadaan että a = /3, a 2 =, b = 2/3 ja b 2 = Koordinaattivektorit ovat siis [e ] S = ( /3, ) ja [e 2 ] S = (2/3, ) d) Matriisi P on nyt: [ ] /3 2/3 e) Lasketaan, mitä matriisi P tekee annetuille vektoreille: [ [ ] [ ] /3 2/3 /3 =, ] 0 [ [ ] /3 2/3 0 = ] [ ] [ ] /3 2/3 5 = [ ] 2/3, [ 4] Huomataan, että matriisilla P kertominen muuttaa vektoreiden kooordinaattivektorit kannassa E niiden koordinaattivektoreiksi kannassa P
6 JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Tehtävä 8 Tutkitaan vektoriavaruuden R 2 2 vektoreiden koordinaatteja kannan B = (A, A 2, A 3, A 4 ), [ ] [ ] [ ] [ ] 0 A =, A 2 =, A 3 = ja A 4 =, suhteen Määritä matriisi C R 2 2, jonka koordinaattivektori kannan B suhteen on ( 2, /2,, 0) Toisin sanoen määritä matriisi C, jolle pätee [C] B = ( 2, /2,, 0) Kysytty matriisi on C = 2A + [ ] 2 A 3 2 + A 3 + 0 A 4 = 2 2 2 Tehtävä 9 Merkitään E = (, x, x 2 ) ja B = ( 2x, x 2 + 4x, 3) Tällöin E ja B ovat vektoriavaruuden P 2 kantoja Olkoon p = x 2 9 a) Määritä vektorin p koordinaattivektori [p] E kannan E suhteen b) Määritä vektorin p koordinaattivektori [p] B kannan B suhteen a) Koordinaatit kannan E suhteen saadaan ratkaisemalla yhtälö x 2 9 = a + bx + cx 2, missä a, b, c R Ratkaisuksi huomataan a = 9, b = 0, c =, eli koordinaattivektori [p] E = ( 9, 0, ) b) Selvitetään koordinaatit kannan B suhteen tutkimalla yhtälöä x 2 9 = a( 2x) + b(x 2 + 4x) + c 3, missä a, b, c R Nyt saadaan yhtäpitävästi yhtälöryhmä b = 2a + 4b = 0, 3c = 9 josta saadaan ratkaistua a = 2, b =, c = 3 Näin ollen koordinaattivektori [p] B = (2,, 3) Tehtävä 0 Tutkitaan taso R 2 kantoja S = ((3, 3), (2, )) ja T = ((, 2), (, )) Määritä kannanvaihtomatriisi P T S kannasta S kantaan T Erään vektorin koordinaatit kannan S suhteen ovat 4 ja 0 Mitkä ovat tämän vektorin koordinaatit kannan T suhteen? Kannanvaihtomatriisia varten täytyy määrittää kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan T suhteen Huomataan, että (3, 3) = 0(, 2) + 3(, ) ja (2, ) = (, 2) + 3(, ) Siten [(3, 3)] T = (0, 3) ja [(2, )] T = (, 3) Nämä vektorit ovat kannanvaihtomatriisin sarakkeet: [ ] 0 P T S = 3 3
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT 7 Etsitty koordinaattivektori löytyy määritetyn kannanvaihtomatriisin avulla: [ ] [ ] [ ] 0 4 0 [x] T = P T S [x] S = = 3 3 0 8 Näin ollen [x] T = (0, 8), joten vektorin koordinaatit ovat 0 ja -8