HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio f j : R n R, j = 1,, m, om jatkuva Ratkaisu: Ensimmäinen suunta Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(a) < ε, kun x a < δ Nyt kaikilla j = 1,, m f j (x) f j (a) ( m (f i (x) f i (a)) 2) 1/2 = (f 1 (x) f 1 (a),, f m (x) f m (a)) = f(x) f(a) < ε Eli jokainen komponenttifunktio f j jatkuva on jatkuva kun vektorifunktio f on Toinen suunta Olkoot komponenttifunktiot f j jatkuvia kaikilla j = 1,, m Nyt on olemassa sellainen δ, että f j (x) f j (a) < ε/ m kaikilla j = 1,, m, kun x a < δ Nyt f(x) f(a) = ( m (f i (x) f i (a)) 2) 1/2 < ( m ( ε ) 2) 1/2 ( ε 2 ) 1/2 = m = ε m m Eli vektorifunktio f on jatkuva, kun jokainen komponenttifunktio f j on jatkuva 12 Etsi affiini kuvaus T : R 2 R 3, joka kuvaa avaruuden R 2 tasoksi { y R 3 y = (x 1 + x 2 5, x 2, x 1 3x 2 1), (x 1, x 2 ) R 2} Ratkaisu: Funktio T : R 2 R 3 on affiini eli se voidaan kirjoittaa muodossa b 1 a 11 a 12 ( ) x1 T (x 1, x 2 ) = b 2 + a 21 a 22 x b 3 a 31 a 2 32 1
Kirjoitetaan yhtälöryhmä b 1 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = 5 + x 1 + 1x 2, b 2 + a 21 x 1 + a 22 x 2 = 0 + 0x 1 1x 2, b 3 + a 31 x 1 + a 32 x 2 = 1 + 1x 1 3x 2, josta saadaan 5 1 ( ) x1 T (x 1, x 2 ) = 0 + 0 1 x 1 1 3 2 13 Osoita, että vektorifunktio f : R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1 + x 2, 2x 2 ) on differentioituva pisteessä x 0 ja etsi derivaatta Df(x 0 ) Ratkaisu: Kuvaus f on lineaarinen: sen matriisi on mat(f) = 1 1 0 2 Ei ole sen vaikeampaa osoittaa minkä tahansa lineaarikuvauksen differentioituvuus, joten olkoon T : R n R m lineaarinen ja x 0 R m mielivaltainen Määritelmän mukaan kuvaus T on differentioituva pisteessä x 0, mikäli löytyy sellaiset lineaarikuvaus L: R n R m funktio ( virhefunktio ) ε: R n R, jolle pätee ε(x) 0 kun x 0 että kaikilla h R n pätee kaava T (x 0 + h) = T (x 0 ) + L(h) + h ε(h), jota myös differentiaalikehitelmäksi kutsutaan: tällöin määritellään DT (x 0 ) = L Koska kuvaus T on lineaarinen, niin pätee T (x 0 + h) = T (x 0 ) + T (h) kaikilla h R n Tästä nähdään, että valitsemalla L = T, joka on lineaarinen ε 0, jolle pätee ε(h) 0 kun h 0 2
niin kaikilla h R n pätee T (x 0 + h) = T (x 0 ) + T (h) = T (x 0 ) + L(h) = T (x 0 ) + L(h) + h 0 = T (x 0 ) + L(h) + h ε(h) Siten differentiaalikehitelmä on voimassa missä tahansa pisteessä x 0 R n (joka oli mielivaltainen), ja derivaatta DT (x 0 ) on lineaarikuvaus T itse Siispä tehtävän kysymykseen vastaten, funktio f on lineaarisena differentioituva kaikilla x 0 R 2, ja Df(x 0 ) = f 1 (1) Osoita, että differentioituva kuvaus on jatkuva (2) Osoita, että differentioituvien funktioiden summafunktio on myös differentioituva Ratkaisu: (1) Olkoon G R n avoin: kiinnitetään piste a G ja oletetaan, että f : G R m on differentioituva pisteessä a Tämä tarkoittaa, että on olemassa lineaarikuvaus L: R n R m ja virhefunktio η : G R jolle pätee η(h) 0 kun h 0, joilla differentiaalikehitelmä on voimassa, eli f(a + h) = f(a) + L(h) + h η(h) kaikilla h R n, joilla a + h G Halutaan osoittaa, että funktio f on jatkuva pisteessä a, eli että kaikilla ε > 0 löytyy δ > 0, jolla epäyhtälö x a < δ takaa, että f(x) f(a) < ε Oletetaan sitä varten, että ε > 0 Koska joukko G on avoin ja a G, on olemassa luku δ G jolla a + h G kaikilla sellaisilla h R n, joilla a h < δ G Toiseksi, koska lineaarikuvaus L on jatkuva, erityisesti pisteessä 0, on olemassa luku δ L > 0, jolla epäyhtälöstä h 0 = h < δ 1 seuraa, että L(h) L(0) = L(h) < ε/2 Olkoon lisäksi δ η sellainen luku, että epäyhtälöstä h 0 = h < δ η seuraa η(h) < ε/2 Valitaan nyt δ = min {δ G, δ L, δ η, 1} ja oletetaan, että x a < δ Merkitään x a = h (eli x = a + h) jolloin a + h G, h < δ L, h < δ η ja h < 1, ja ylläolevat arviot ovat voimassa 3
Soveltamalla differentiaalikehitelmän kaavaa pisteessä h saadaan f(x) = f(a + h) = f(a) + L(h) + h η(h) ja sijoitetaan se lausekkeeseen f(x) f(a), jolloin saadaan epäyhtälöketju f(x) f(a) = f(a) + L(h) + h η(h) f(a) = L(h) + h η(h) L(h) + h η(h) ε/2 + 1 ε/2 = ε Tämä osoittaa, että funktio f on jatkuva pisteessä a Lopuksi, jos funktio on differentioituva, se on määritelmän mukaan differentioituva joka pisteessä, jolloin ylläolevan mukaan se on jatkuva joka pisteessä, eli se on jatkuva, kuten haluttiin osoittaa (2) Olkoon G R n avoin: kiinnitetään piste a R n ja oletetaan, että funktiot f 1, f 2 : G R m ovat differentioituvia pisteessä a Taas määritelmän mukaan löytyy lineaarikuvaukset L k : R n R m ja virhefunktiot ε k : G R joilla ε k (h) 0 kun h 0, joilla pätee differentiaalikehitelmä f k (a + h) = f k (a) + L k (h) + h ε(h) kaikilla h R n, joilla a + h G, missä k = 1, 2 Olkoon f = f 1 + f 2 (eli f on funktio, jonka arvo pisteessä x on f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), funktioiden f 1 ja f 2 summafunktio), jolloin halutaan osoittaa, että myös f on differentioituva pisteessä a Määritellään sitä varten L: R n R m, L = L 1 + L 2 ja ε: G R, ε = ε 1 + ε 2 Tällöin L on lineaarinen ja ε(h) 0, kun h 0 Täytyy enää näyttää, että differentiaalikehitelmä on näillä valinnoilla voimassa pisteessä a: oletetaan tätä varten, että h R n on sellainen, että a + h G Tällöin f(a + h) = f 1 (a + h) + f 2 (a + h) = ( f 1 (a) + L 1 (h) + h ε 1 (h) ) + ( f 2 (a) + L 2 (h) + h ε 2 (h) ) = ( f 1 (a) + f 2 (a) ) + ( L 1 (h) + L 2 (h) ) + h ( ε 1 (h) + ε 2 (h) ) = f(a) + L(h) + h ε(h)
eli myös summafunktio f on differentioituva pisteessä a Lopuksi, jos finktiot f 1 ja f 2 ovat differentioituvia, ne ovat differentioituvia joka pisteessä, jolloin ylläolevan nojalla myös niiden summafunktio on, eli summafunktio on differentioituva, kuten haluttiin näyttää 15 Olkoon f : R R 2, x (x, x 2 ) Kuvaus f on differentioituva pisteessä x 0 = 2 ja Df(2) L(R, R 2 ) ja 1 mat(df(2)) = Olkoon g : R 2 R 2 lineaarikuvaus, jolle mat(g) = 2 1 0 1 Etsi yhdistetty kuvaus g f ja etsi sen derivaatta pisteessä x 0 = 2 Ratkaisu: Koska 2 1 x1 2x1 + x = 2, 0 1 x 2 x 2 niin funktiolle g saadaan kaava g(x 1, x 2 ) = (2x 1 +x 2, x 2 ) kaikilla (x 1, x 2 ) R 2 Siten yhdistetyksi kuvaukseksi saadaan (g f)(x) = g(f(x)) = g(x, x 2 ) = (2x + x 2, x 2 ) Tehtävän 3 nojalla g on derivoituva kaikkialla ja Dg(y) = g kaikilla y R 2, eli 2 1 mat(dg(y)) = mat(g) = 0 1 Yhdistetyn funktion g f : R R 2 derivaatta pisteessä x = 2 on ketjusäännön nojalla muotoa: D(g f)(2) = Dg(f(2)) Df(2) eli derivaatan D(g f)(2) matriisiksi saadaan mat(d(g f)(2)) = mat(dg(f(2))) mat(df(2)) = 2 1 1 0 1 = 6 5