Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f( ) = =, kun + = = =± Määrittelyehdon toteuttaa vain =. Vastaus: Määrittelyehto on ja nollakohta =. b) +, määrittelyehto ja. ) ) + + ( ) ( ) ( ) Nollakohta: =, kun ( ) = =.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Tehdään merkkikaavio. + + + + + + osamäärä + + +, kun < tai >. a) b)
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6. a) Tutkitaan funktion f() = 4 kulkua kulkukaavion avulla. f () = 4 Derivaatan nollakohdat. f () = 4 = = 4 = ± f () + + f() Funktio on kasvava väleillä ], ] ja [, [ ja vähenevä välillä [, ]. b) Funktiolla f on paikallinen maksimiarvo f ( ) = ( ) 4 ( ) = 8 + 8= 8 + 4 = 6 ja paikallinen minimiarvo f () = 4 = 8 8 = 8 4 = 6.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 4. a) f () =,. Lasketaan -akselin leikkauspisteet eli funktion f nollakohdat. = 6 = 6 = 6 = 6 6 = =± Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). b) Määritetään kuvaajan ja -akselin leikkauspisteisiin asetettujen tangenttisuorien yhtälöt. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamispisteessä. f( ) = = 4 f ( ) = ( ) = + 4 f ( ) = ( ) + = 6= k 4 ( ) f () = + = 6 = k 4 Pisteen (, ) kautta kulkevan tangentin yhtälö: y y = k( ) y = 6( ( )) y = 6( + ) y = 6+ 6
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Pisteen (, ) kautta kulkevan tangentin yhtälö: y = 6( ) y = 6 6 5. a) Tosi Bolzanon lauseen perusteella funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Koska f on kasvava voi nollakohtia olla enintään yksi, joten funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta. b) Tosi Koska f on kasvava ja f () >, on derivaatta positiivinen kun >. Funktio on kasvava kun, joten f() < f(4). c) Tosi Koska derivaattafunktion merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi jossakin välin kohdassa, on funktiolla tässä kohdassa paikallinen minimi. Funktio on vähenevä ennen tätä kohtaa ja kasvava sen jälkeen, joten funktio saavuttaa pienimmän arvonsa tässä kohdassa. 6. Funktion f() = 4 arvojen laskeminen ilman apuvälineitä on työlästä, joten pyritään selvittämään suuruusjärjestys funktion kulkua tutkimalla. Laaditaan funktion kulkukaavio derivaatan avulla. f ( ) = 4 Määritetään derivaatan nollakohdat. f ( ) = 4 = (4 ) = = tai4 = = = 4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Tehdään kulkukaavio. 4 + + + 4 + f () + f() Koska 6 = =,, niin tarkastellaan väliä. Tällä välillä funktio f 5 4 6 6 on kasvava. Koska,45 > on f(,45) > f ( ). 5 5 7. a) Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, jos sen vasemman- ja oikean puoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret. a +, kun < f( ) = 4, kun > lim ( a + ) = a( ) + = a + = = lim ( 4) ( ) 4 + Toispuolisten raja-arvojen tulee olla yhtä suuret. lim ( a + ) = lim ( 4) + a + = a = 4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 b) + a f( ) =, + Jotta funktiolla olisi raja-arvo kohdassa =, pitää nimittäjän nollakohdan = olla myös osoittajan nollakohta, jotta lauseke + voitaisiin supistaa pois nimittäjästä. () + a = a = 8. Kolmion OPQ kannan pituus on pisteiden O ja P etäisyys 4, ja korkeus on Pisteen Q ja -akselin etäisyys 5. Merkitään AB = ja h = kolmion ABC korkeus. Kolmiot OPQ ja ABQ ovat yhdenmuotoisia, sillä kulmat QOP ja QAB ovat samankohtaisia kulmia ja AB OC, joten kulmat QOP ja QAB ovat yhtä suuria ja kulma AQB on molemmissa sama. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan näistä kahdesta kolmiosta muodostettua verranto.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 = 5 h 4 5 5 = 4(5 h) 5 = 4h 4h= 5 h = 5 4 Kolmion ABC pinta-alaa kuvaava funktio on 5 ( ) 4 5 5 5 A ( ) = h = = : =, 4. 4 8 Ratkaistaan funktion A suurin arvo tutkimalla sen kulkua. 5 5 5 5 A ( ) = = 8 4 A () =, kun 5 5 = 4 4 5 = = Tehdään kulkukaavio. A () + A() Pinta-ala saa suurimman arvonsa, kun sivun AB pituus on.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 9. a) Muutetaan epäyhtälö muotoon f(). + + ), + + + + Funktion f( ) = lausekkeen osoittaja on aina + negatiivinen, koska + = + = ( ) (( ) + ) <. Nimittäjä + on aina positiivinen, joten funktion lauseke saa vain negatiivisia arvoja ja siten epäyhtälö on aina tosi. b) 6 + > 4 6 4 + >, joten tutkitaan funktiota f() = 6 4 + Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f () = 6 5 8 = ( 4) Derivaatan nollakohdat ovat = ja =±. Tehdään kulkukaavio. 4 + + + + f () + + f()
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Lasketaan funktion paikalliset minimiarvot. f ( ) = 7 > ja 6 4 64 64 96+ 54 f ( ) = ( ) ( ) + = + = 7 9 7 4 96 = = > 7 7 Koska minimiarvot ovat positiivisia, ja funktio on jatkuva, saa funktio vain positiivisia arvoja. Vastaava epäyhtälö on siten aina tosi, kuten myös alkuperäinenkin.. Käyrät y = 4 ja y = kulkevat origon kautta ja funktion f kuvaaja kulkee käyrien välissä, joten f() =. Funktion f erotusosamäärä kohdassa on f ( ) f () ( ) = f. Kuvan mukaan kaikilla (ainakin nollan läheisyydessä) on voimassa f() 4. Kun >, jakamalla edellisen kaksoisepäyhtälön jokainen jäsen luvulla saadaan erotusosamäärälle arvio 4 f( ) f( ). Koska sekä että lähestyvät nollaa, kun lähestyy nollaa positiiviselta puolelta, niin myös välissä oleva erotusosamäärä lähestyy nollaa.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kun <, epäyhtälömerkit kääntyvät vastakkaisiksi, kun kaksoisepäyhtälön jokainen jäsen jaetaan luvulla. Erotusosamäärälle saadaan arvio 4 f( ) f( ). Tästä voidaan päätellä, että erotusosamäärä lähestyy nollaa, kun lähestyy nollaa negatiiviselta puolelta. f ( ) f() f( ) Siis lim = lim = eli f () =.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 APUVÄLINEET SALLITTU. Opiskelija on ensin muodostanut derivaattafunktion ja laskenut sen nollakohdat. Tämän jälkeen hän on laskenut funktion arvot derivaatan nollakohdissa. Tuloksen perusteella hän on päätellyt, että kohdassa = on paikallinen maksimi ja kohdassa = 4 paikallinen minimi, ilmeisesti funktion arvoja vertaamalla. Opiskelija ei ole kuitenkaan varmistanut derivaatan merkkiä tarkastelemalla, että ovatko kohdat ylipäätään ääriarvokohtia ja jos ovat, niin onko kyseessä maksimi vai minimi. Korjaus: Derivaattafunktion f () = 48 = ( 4) merkkiin vaikuttaa vain tekijän 4 merkki, koska kaikilla :n arvoilla. 4 4 + f () + f() Kohta = 4 on paikallinen minimikohta kulkukaavion perustella. Vastaus: Funktiolla on paikallinen minimiarvo f(4) = 56.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6. Tarkastellaan funktioiden kulkua piirtämällä kuvaajat. f() = + g() = 4 + h() = + + p ( ) = Vastaus: f: C ja D, g: B, C ja D, h: A ja C, p: mikään ei sovi.. a) Lasketaan funktion raja-arvo kohdassa = 5., kun < 5 f( ) = +, kun > 5 4 lim f( ) = lim ( ) = 4 5 5 + lim f( ) = lim = 4 4 5+ 5+ Toispuoliset raja-arvot eivät ole yhtä suuret. Funktiolla ei ole rajaarvoa kohdassa = 5, joten sitä ei saada jatkuvaksi tässä kohdassa.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 5 b) f( ) = 5 5 lim f( ) = lim = 5 5 5 Jotta funktio olisi jatkuva, tulee funktion arvon kohdassa = 5 olla sama kuin sen raja-arvo. Valitaan f (5) =. 4. Tutkitaan funktion f( ) = + 6 kulkua kulkukaavion avulla. Derivoidaan funktio. f () = Derivaatan nollakohdat: = = ja =. Tehdään kulkukaavio. f () + + f() Funktio f on jatkuva funktio ja se on kasvava väleillä ], ] ja [, [ sekä vähenevä välillä [, ]. Näistä jokaisella välillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta. Lasketaan funktion ääriarvot. Maksimiarvo f() = 6. Minimiarvo f() =. Koska f() ja f() ovat positiivisia, ei välillä ole nollakohtaa. Koska funktio on kasvava, kun, ja f() > ei funktiolla voi olla nollakohtaa kun.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Koska f( ) = 8 < ja f() = 6 > on funktiolla f Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Koska funktio f on kasvava, kun, on funktiolla täsmälleen yksi nollakohta tällä välillä. Funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta. 5. Muutosnopeuden ilmoittaa derivaattafunktion arvo. Derivoidaan funktiot f ja g. f( ) =, ( ) ( ) f ( ) = =, ( ) ( ) g ( ) = g ( ) = Tutkitaan, milloin funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g muutosnopeus. f ( ) > g ( ) ( ) > > ( ) 4 > ( ) Lausekkeen nimittäjä ( ) >, kun. Rationaalilausekkeen merkki riippuu vain osoittajan 4 merkistä. Lasketaan nollakohdat: 4 = = tai =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Päätellään lausekkeen merkki kuvaajasta. 4 > eli f () > g (), kun < < ja. ( ) 6. Kuvan leveys on 5 5 =. Kuvan korkeus on 5. Kuvan pinta-ala on A = ( )(y 5) Ratkaistaan toinen muuttuja y, kun tiedetään, että julisteen pinta-alan tulee olla m = cm. y Koko julisteen pinta-ala on y. y = y =, Sijoitetaan y:n arvo pinta-alan lausekkeeseen. A ( ) = ( )( y 5) = ( )( 5) = 985 5 = > 985 5, Määritetään pinta-alafunktion A suurin arvo. Tutkitaan pinta-alafunktiota kulkukaavion avulla. A ( ) = 5 +, > A ( ) = =± =± 6 8,65
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Tehdään kulkukaavio testikohtien avulla. A() = >, A(8) = < 6 A () + A() Pinta-alafunktio saa suurimman arvonsa, kun leveys Tällöin y = = 5 6, 47. 6 Julisteen leveys on 8 cm ja korkeus cm. = 6 8, 65. 7. Piirretään kuvaaja. Suora 4y = eli yläpuolella, kun y= kulkee käyrän y = 4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 > 4 4 + 8 > > ( 4)( ) Lausekkeen nimittäjä on aina positiivinen, kun, joten lausekkeen merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. Lasketaan nollakohdat: ( 4)( ) = 4= tai = =± = Tehdään merkkikaavio. 4 + + + ( 4)( ) + + ( 4)( ) > eli >, kun > ja. 4 Suoran ja käyrän leikkauskohdat ovat = ja =. Vastaavat y- koordinaatit ovat y = ( ) = ja y = =. 4 4 Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). Pisteessä (, ) suora on käyrän tangentti eli suora ja käyrä sivuavat toisiaan tässä pisteessä. Pisteessä (, ) käyrä ja suora leikkaavat toisensa.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 8. Kolmannen asteen polynomifunktio voidaan kirjoittaa muodossa f() = a + b + c + d, a. Sijoitetaan tunnetut arvot funktion lausekkeeseen. f( ) = a + b c + d = f() = a + b + c + d = Lisäksi tiedetään, että funktiolla f on paikalliset ääriarvokohdat = ja =. Paikalliset ääriarvokohdat ovat derivaattafunktion nollakohtia eli f () = ja f ( ) =. Derivaattafunktio on f () = a + b + c. f () = a + b + c = f ( ) = a a + c = Ratkaistaan yhtälöryhmä a+ b c+ d = a+ b+ c+ d = a+ b+ c= a a+ c= josta saadaan a =, b =, c = ja d =. Funktion lauseke on f() = +
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 9. Piirretään kuva. Käyrällä olevan pisteen koordinaatit ovat (, + ). Suorakulmion toisen sivun leveys on ja korkeus +, >. Lasketaan suorakulmion piiri. ) ( ) ( ) p= + + = + + = + + = + + + + + + Lasketaan suorakulmion pinta-ala. A= + Määritetään piirin ja pinta-alan suhde. ( + + ) p ( ) f( ) + + = = + = A + + + = + + Tutkitaan funktion f kulkua kulkukaavion avulla. f ( ) = = = Derivaattafunktion lausekkeen nimittäjä on aina positiivinen, kun >. Riittää tutkia osoittajan merkkiä.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 = =± Tehdään kulkukaavio. f () + f() Kulkukaavion perusteella f() on pienin arvo. f () = + + = 6. Piirin ja pinta-alan ja suhde on 6, eli 6 :.. a) Koska lauseketta y = + ei ole määritelty kun =, ei sillä ja suoralla = voi olla yhteisiä pisteitä. Yhtälö + = yksinkertaistuu yhtälöksi =, joka on epätosi kaikilla luvuilla. Käyrä ei siis voi leikata kumpaakaan asymptooteistaan.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 b) Piirretään kuva. Merkitään pisteen P koordinaatteja (a, b) = (a, a + a ) = (a, a + ). a Asymptootit ovat = ja y =. Näiden leikkauspiste on origo eli (, ). Kolmion kanta on tangentin ja y-akselin leikkauskohdan y- koordinaatin etäisyys origosta. Kolmion korkeus tangentin ja suoran y = leikkauskohdan etäisyys origosta. Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo pisteessä P. y = + = +. D( + ) = = kun = a, k = = a a a
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Määritetään pisteeseen P = (a, y y = k( ) a + y ( ) = k( a) a a + a y ( ) = ( a) a a a a a + y = + a a a a y = + a a a + ) piirrettävän tangentin yhtälö: a Kolmion kanta on a. a Suorien y = + ja y = leikkauskohta on a a a + = a a = a. Kolmion korkeus on a. Kolmion ala on A = 4a 4 a a = a = =. Näin huomataan, että kolmion ala ei riipu pisteen P valinnasta.