Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maarit Viikari Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2009

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Viikari, Maarit: Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä Pro gradu -tutkielma, 23 s. Matematiikka Toukokuu 2009 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa esitetään muutama epälineaarinen Diofantoksen yhtälö sekä käsitellään niiden ratkaisuina esiintyvien kokonaislukujen ominaisuuksia. Esitietokappaleen jälkeen esitetään mahdolliset kokonaislukuratkaisut Pythagoraan lauseen toteuttaville kokonaislukukolmikoille. Tämän jälkeen todistetaan, että Fermat n suuren lauseen tapauksella n = 4 ei ole kokonaislukuratkaisua. Viimeisessä luvussa tarkastellaan kokonaislukujen neliöiden summia ja esitetään lukuja kokonaislukujen neliöiden summien avulla. 1

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja 4 3 Antiikin Kreikan matematiikka ja Diofantos 5 4 Pythagoraan kolmikot 6 4.1 Pythagoraan kolmikoiden primitiivisyys............. 7 4.2 Kaikkien Pythagoraan kolmikoiden olemassaolo........ 11 5 Fermat n suuri lause 12 6 Neliöiden summa 15 Viitteet 23 2

1 Johdanto Voidaan sanoa, että matematiikka on saanut alkunsa itsenäisenä tieteenalana antiikin Kreikasta noin 500 vuotta ennen ajanlaskumme alkua. Silloin vaikuttaneiden matemaatikkojen saavutukset ovat luoneet perustan tämän päivän matematiikalle. Noin 250 jkr elänyt Diofantos Aleksandrialainen oli yksi antiikin Kreikan kuuluisista matemaatikoista, joka edisti lukuteorian osaaluetta hyvin paljon. Häntä voidaankin pitää kreikkalaisen matematiikkaperinteen viimeisenä taitajana. Vaikka hänen matemaattiset saavutukset ovat kirjattuina useisiin teoksiin, on hänen henkilötiedoistaan saatavilla hyvin vähän tietoa. Hän laati lukuteoriasta vastaavanlaisen teoksen kuin Eukleides oli aiemmin laatinut geometriasta. Tätä Arithmetica-teosta käytettiin vuosisatojen ajan. Diofantos oli erikoistunut pohtimaan ongelmia, jotka vaativat kokonaislukuratkaisuja.(ks.[5, s.76-79]) Diofantoksen yhtälöt ovat siis yhtälöitä, joiden mahdollisina ratkaisuina esiintyy vain kokonaislukuja. Kyseisiä yhtälöitä on paljon ja ne voidaan jakaa sekä lineaarisiin että epälineaarisiin yhtälöihin. Epälineaarisille yhtälöille ei aina ole löydettävissä kokonaislukuratkaisua. Tässä tutkielmassa esitetään muutama epälineaarinen Diofantoksen yhtälö sekä niiden ratkaisuina olevien kokonaislukujen ominaisuuksia. Tutkielma pohjautuu Kenneth H. Rosenin teokseen Elementary Number Theory and Its Applications ja kaikki tutkielman lauseet sekä niiden todistukset mukailevat kyseistä lähdeteosta ellei toisin mainita. Tutkielman esimerkit ovat tekijän itse laatimia ellei toisin mainita. Ensimmäisessä luvussa esitetään muutama tutkielman ymmärtämisessä tarvittava määritelmä. Toisessa luvussa käsitellään Pythagoraan kolmikoita eli Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön x 2 + y 2 = z 2 toteuttavia kolmikoita (x, y, z) sekä niiden ominaisuuksia. Tämän jälkeen tarkastellaan Fermat n suurta lausetta, jonka mukaan yhtälöllä x n +y n = z n, n > 2 ei ole kokonaislukuratkaisuja ja todistetaan tapaus n = 4. Viimeisessä luvussa keskitytään kokonaislukujen neliöihin sekä niiden summiin. Lopuksi päästään tulokseen, että jokainen positiivinen kokonaisluku on neljän kokonaisluvun neliön summa. Lukijan lähtötiedoiksi oletetaan lukion pitkän matematiikan oppimäärä. 3

2 Esitietoja Tässä kappaleessa esitetään muutama tutkielmassa tarvittava määritelmä ja niiden merkintätavat. Ensimmäisenä esitetään suurimman yhteisen tekijän määritelmä. Määritelmä 1. (vrt.[1, s.5]) Olkoot a ja b kokonaislukuja, joista ainakin toinen on nollasta poikkeava. Silloin c on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä, jos 1) c a, c b ja 2) d a, d b d c. Tässä tutkielmassa merkitään syt(a, b) = d. Muita merkintätapoja ovat gcd(a, b) = d ja (a, b) = d. Esimerkki 1. Tarkastellaan kokonaislukuja 16 ja 24. Nyt lukujen suurin yhteinen tekijä on syt(16, 24) = 8, koska 16 = 2 8 ja 24 = 3 8. Tarkastellaan kokonaislukuja 19 ja 7. Nyt syt(7, 19) = 1, koska 7 = 7 1 ja 19 = 19 1. Tutkielmassa esiintyy myös käsite kongruenssi, jonka määritelmä ja merkintätapa on esitetty seuraavaksi. Määritelmä 2. (vrt.[1, s.18]) Olkoot a ja b kokonaislukuja sekä olkoon m positiivinen kokonaisluku. Tällöin sanotaan, että luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo m, jos m (a b). Tällöin kongruenssia merkitään a b (mod m). Huomautus. Kongruenssien yhteenlaskulle on voimassa: Jos a b (mod m) ja c d (mod m), niin a + c b + d (mod m). Esimerkki 2. Voidaan sanoa, että luku 17 on kongruentti luvun 3 kanssa modulo 7 eli 17 3 (mod 7), koska 7 (17 3) = 14. Luku 7 ei ole kongruentti luvun 2 kanssa modulo 4, koska 4 (7 2) = 5. Tällöin merkitään 7 2 (mod 4). Neliöiden summat -kappaleessa oletetaan tunnetuksi neliönjäännös. Neliönjäännös voidaan määritellä seuraavalla tavalla. Määritelmä 3. (vrt.[2, s.23]) Olkoon m positiivinen kokonaisluku ( 2) ja a sellainen kokonaisluku, että syt(a, m) = 1. Silloin a on neliönjäännös modulo m, jos kongruenssi x 2 a (mod m) on ratkeava, ja a on neliȯnepȧjȧȧnnȯs modulo m, jos kongruenssi x 2 a (mod m) ei ole ratkeava. Esimerkki 3. Etsitään neliönjäännökset modulo 7, kun x saa arvoikseen 1, 3 ja 5. Tällöin 1 2 1 (mod 7), 3 2 = 9 2 (mod 7) ja 5 2 = 25 4 (mod 7), joten luvut 1, 2 ja 4 ovat neliönjäännöksiä modulo 7. 4

Neliönjäännökseen liittyen esitetään vielä Legendren symboli, Eulerin kriteeri sekä lause parittomalle alkuluvulle p. Määritelmä 4. (vrt.[4, s.378]) Olkoon p pariton alkuluku ja olkoon a( sellainen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Legendren symboli ) a p määritellään seuraavasti ( ) { a 1 jos a on modulo p neliönjäännös = p 1 jos a on modulo p neliönepäjäännös. Lause 1. (vrt.[2, s.24]) (Eulerin kriteeri) Olkoon p pariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että p a. Silloin a on neliönjäännös modulo p, jos ja vain jos a (p 1)/2 1 (mod p), ja a on neliönepäjäännös modulo p, jos ja vain jos a (p 1)/2 1 (mod p). Lause 2. (vrt.[4, s.380]) Jos p on pariton alkuluku, niin ( ) { 1 1 jos p 1 (mod 4) = p 1 jos p 1 (mod 4). Apulauseen 15 todistuksessa käytetään Dirichletin laatikkoperiaatetta, joka voidaan esittää seuraavalla tavalla. Lause 3. (vrt.[3, s.195]) Dirichlet n laatikkoperiaate. Jos k + 1 tai useampi esine laitetaan laatikkoihin, joita on k kappaletta, niin on vähintään yksi sellainen laatikko, joka sisältää kaksi tai useamman esineen. 3 Antiikin Kreikan matematiikka ja Diofantos Noin 500 vuotta ennen ajanlaskumme alkua kreikkalainen kulttuuri oli lähtökohtana matematiikan kehittymiselle omana itsenäisenä tieteenalana. Antiikin Kreikka käsittää kuitenkin maantieteellisesti laajemman alueen kuin vain nykyisen Kreikan alueen. Kreikkalaisen matematiikan ajanjakso kesti noin 400 jkr asti. Suuri osa kreikkalaisten matemaatikkojen saavutuksista ja kirjallisista muistiinpanoista on varmasti hävinnyt vuosisatojen aikana, mutta jäljelle jääneistä tuloksista hyvin suuri osa säilyi Eukleideen kokoamassa teoksessa Stoikheia eli Alkeet.(ks.[6]) Kreikkalaisen matematiikan suuri merkitys matematiikan kehityksessä voidaan havaita monista matemaattisista termeistä, jotka ovat peräisin kreikankielisistä sanoista. Ensimmäisiä tunnettuja kreikkalaisia matemaatikkoja olivat Thales sekä Pythagoras, joiden merkitys on havaittavissa nykypäivänäkin käytettävissä matematiikan tuloksissa. Thalesin sanotaan kehittäneen 5

geometrian viisi teoreemaa, joista yksi tunnetaan Thaleen lauseena ja se voidaan muotoilla niin, että puoliympyrän kaaren sisältämä kulma on suora. Pythagoraan saavutuksista tärkeä tulos on hänen koulukuntansa mukaan nimensäkin saanut Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on sen hypotenuusan neliö. Hieman myöhemmin, noin 300 ekr vaikutti kreikkalainen matemaatikko Eukleides. Hänen kuuluisinta teosta Alkeet pidetään jopa menestyksellisimpänä matemaattisluonnontieteellisenä teoksena. Antiikin Kreikan ajalla vaikutti myös edellä mainittujen matemaatikkojen lisäksi useita muita matemaatikkoja. Tämän tutkielman aiheena olevat Diofantoksen yhtälöt ovat peräisin antiikin Kreikan matemaatikolta, Diofantos Aleksandrialaiselta. Diofantosta pidetään yhtenä tärkeimpänä aritmeettis-algebrallisen matematiikan edustajana. (vrt.[6]) Diofantos Aleksandrialainen oli viimeisimpiä tunnettuja kreikkalaisen matematiikkaperinteen kehittäjiä. Hänen elinajastaan tai edes syntymäpaikastaan ei ole tarkkaa tietoa, mutta hänen matemaattisten tekstien viittauksien perusteella elinaika on saatu suunnilleen määritettyä. Kirjoitettujen teosten ja muiden matemaatikkojen elinaikojen perusteella, hän on elänyt jälkeen 150 ekr ja ennen 364 jkr. Hän oli erikoistunut lukuteoriaan ja häntä pidetäänkin yhtenä tärkeänä lukuteorian kehittäjänä. Hän kokosi suuren lukuteorian teoksen Arithmetica. Teos oli vastaava kuin Eukleideen teos Alkeet oli geometriasta. Arithmetica sisälsi 13 kirjaa, joista kuusi selvisi keskiajan Aleksandrian hävityksestä. Diofantos oli erikoistunut ongelmiin, jotka vaativat kokonaislukuratkaisuja. Diofantoksen yhtälöt voidaan jakaa lineaarisiin sekä epälineaarisiin yhtälöihin, joista tässä tutkielmassa käsitellään joitain epälineaarisia yhtälöitä. Diofantoksen yhtälöitä on niin paljon, että tässä tutkielmassa ei voida käsitellä kuin muutama yhtälö ja niihin liittyviä ominaisuuksia.(vrt.[5, s.76-77]) 4 Pythagoraan kolmikot Ensimmäisenä epälineaarisena Diofantoksen yhtälönä käsitellään Pythagoraan kolmikoita. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri hypotenuusan neliön kanssa. Tässä luvussa käsitellään sellaisia mahdollisia kolmikoita (x, y, z), jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön x 2 + y 2 = z 2. Määritelmä 5. (vrt.[4, s.482]) Olkoot x, y ja z positiivisia kokonaislukuja. Kolmikkoa (x, y, z) sanotaan P ythagoraan kolmikoksi, jos kolmikko toteuttaa yhtälön x 2 + y 2 = z 2. Esimerkki 4. Tarkastellaan positiivisia kokonaislukuja 12, 16 ja 20. Nyt lu- 6

vut toteuttavat Pythagoraan lauseen määrittelemän yhtälön 12 2 + 16 2 = 144 + 256 = 400 = 20 2, joten kolmikko (12, 16, 20) on Pythagoraan kolmikko. Vastaavasti luvut 5, 6 ja 8 eivät toteuta Pythagoraan lauseen yhtälöä, koska 45 2 + 6 2 8 2, joten (5, 6, 8) ei ole Pythagoraan kolmikko. Määritellään ensin käsite primitiivinen Pythagoraan kolmikko, jonka jälkeen esitetään kaikki mahdolliset positiivisten kokonaislukujen muodostamat Pythagoraan kolmikot. 4.1 Pythagoraan kolmikoiden primitiivisyys Määritelmä 6. (vrt.[4, s.482]) Pythagoraan kolmikko (x, y, z) on primitiivinen, jos syt(x, y, z) = 1. Esimerkki 5. Tarkastellaan Pythagoraan kolmikoita (3, 4, 5) ja (12, 16, 20). Nyt syt(3, 4, 5) = 1 ja syt(12, 16, 20) = 4, joten kolmikko (3, 4, 5) on primitiivinen, mutta kolmikko (12, 16, 20) ei ole. Apulause 4. (vrt.[4, s.483]) Jos (x, y, z) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko, niin on voimassa syt(x, y) = syt(x, z) = syt(y, z) = 1. Todistus. (vrt.[4, s.483]) Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Todistetaan nyt, että syt(x, y) = 1, mutta tapauksien syt(x, z) = 1 ja syt(z, y) todistukset sivuutetaan, koska ne voidaan tehdä vastaavalla tavalla kuin tapauksen syt(x, y) = 1 todistus. Tehdään vastaoletus, että syt(x, y) > 1. Koska syt(x, y) > 1, on olemassa sellainen alkuluku p, että p (syt(x, y)) ja siis p x ja p y. Pythagoraan kolmikon määritelmän mukaan x 2 +y 2 = z 2. Nyt p x ja p y, joten myös p (x 2 + y 2 ) ja p z 2. Tällöin myös p z. Nyt p x, p y ja p z, mikä on ristiriita primitiivisen Pythagoraan kolmikon määritelmän syt(x, y, z) = 1 kanssa. Vastaoletus on siis väärin ja alkuperäinen väite on tosi. Esimerkki 6. Tarkastellaan Pythagoraan kolmikkoa (9, 40, 41). Nyt syt(9, 40) = syt(9, 41) = syt(40, 41) = 1, koska 9 = 3 3 1, 40 = 1 2 2 2 5 ja 41 = 1 41. Siis kolmikko on primitiivinen. Apulause 5. (vrt.[4, s.483]) Jos (x, y, z) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko, niin joko x on parillinen ja y on pariton tai x on pariton ja y on parillinen. Todistus. (vrt.[4, s.483 484]) Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Apulauseen 4 mukaan syt(x, y) = 1, joten molemmat sekä x että y eivät voi olla parillisia. Luvut x ja y eivät voi myöskään olla molemmat parittomia, joka osoitetaan seuraavaksi. Jos x ja y ovat molemmat parittomia, 7

voidaan ne esittää muodossa x = 2a + 1 ja y = 2b + 1, kun a, b ovat kokonaislukuja. Tällöin niiden neliöt ovat x 2 = 4a 2 + 4a + 1 = 4(a 2 + a) + 1 ja y 2 = 4b 2 + 4b + 1 = 4(b 2 + b) + 1, jolloin on voimassa x 2 y 2 1 (mod 4). Kongruenssien yhteenlaskun perusteella neliöiden x 2 ja y 2 summa on nyt kongruentti luvun 2 kanssa modulo 4 eli z 2 = x 2 + y 2 (1 + 1) = 2 (mod 4). Nyt z 2 on parillinen, joten myös z on parillinen. Voidaan esittää z = 2h, kun h on positiivinen kokonaisluku, jolloin z 2 = 4h 2. Edellisen kongruenssin perusteella 4 (4h 2 2), mikä on mahdotonta. On siis oltava niin, että x on parillinen ja y on pariton tai x on pariton ja y on parillinen. Apulause 6. (vrt.[4, s.484]) Jos r, s ja t ovat sellaisia positiivisia kokonaislukuja, että syt(r, s) = 1 ja rs = t 2, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut m ja n, että r = m 2 ja s = n 2. Todistus. (vrt.[4, s.484]) Jos r = 1 tai s = 1, väite on triviaalisti tosi. Olkoot nyt r > 1 ja s > 1. Jaetaan luvut r, s ja t alkulukutekijähajotelmaksi seuraavalla tavalla r = p a 1 1 p a 2 2 p au u s = p a u+1 u+1 p a u+2 u+2 p av v t = q b 1 1 q b 2 2 q b k k. Oletuksena on, että syt(r, s) = 1. Tällöin mikään alkuluku ei voi olla lukujen r ja s yhteinen tekijä. Toisena oletuksena oli rs = t 2, joten rs = p a 1 1 p a 2 2 p au u p a u+1 u+1 p a u+2 u+2 p av v = q 2b 1 1 q 2b 2 2 q 2b k k. Aritmetiikan peruslauseen mukaan kokonaisluvun esitys alkulukujen tulona on yksikäsitteinen, joten nyt edellisen yhtälön molemmilla puolilla on oltava samat alkuluvut samoilla eksponenteilla jossakin järjestyksessä. Tällöin jokainen p i on sama kuin q j jollakin arvolla j. Tällöin niiden eksponentit ovat myös samat eli a i = 2b j. Oletuksena oli, että eksponentti b j on kokonaisluku, joten a i /2 on kokonaisluku ja kaikki eksponentit a i ovat siis parillisia. Nyt on olemassa kokonaisluvut m ja n, joille ja m = r 1/2 = p a 1/2 1 p a 2/2 2 p au/2 u ja n = s 1/2 = p a u+1/2 u+1 p a u+2/2 u+2 p av/2 v. Näin ollen lause on voimassa kaikille positiivisille kokonaisluvuille r, s ja t. 8

Esimerkki 7. Tarkastellaan kokonaislukuja r = 4, s = 25, t = 10, jolloin syt(r, s) = syt(4, 25) = 1 ja rs = 4 25 = 100 = 10 2. Tällöin on olemassa kokonaisluvut m = 2 ja n = 5, jotka toteuttavat yhtälöt r = 4 = m 2 ja s = 25 = n 2. Lause 7. (vrt.[4, s.484 485]) Positiiviset kokonaisluvut (x, y, z) muodostavat primitiivisen Pythagoraan kolmikon, missä y on parillinen, jos ja vain jos on olemassa sellaiset positiiviset ja keskenään jaottomat kokonaisluvut m ja n, joille m > n ja m on pariton, n on parillinen tai m on parillinen ja n on pariton, että x = m 2 n 2 y = 2mn z = m 2 + n 2. Todistus. (vrt.[4, s.485]) Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmikko, missä y on parillinen. On siis osoitettava, että on olemassa kokonaisluvut m ja n, jotka määrittelevät kolmikon (x, y, z) lauseessa ilmoitettujen yhtälöiden avulla. Apulauseen 5 mukaan joko x on pariton ja y parillinen tai toisinpäin. Nyt olemme olettaneet, että y on parillinen. Tällöin sekä x että z ovat parittomia. Kahden parittoman luvun summana sekä erotuksena on parillinen luku, joten luvut z +x ja z x ovat molemmat parillisia. Nyt saadut luvut voidaan jakaa kahdella, jolloin on olemassa positiiviset kokonaisluvut r ja s, joille r = (z + x)/2 ja s = (z x)/2. Tällöin r + s = (z + x)/2 + (z x)/2 = z ja r s = (z + x)/2 (z x)/2 = x. Jos syt(r, s) 1, on olemassa sellainen kokonaisluku d, että d r ja d s. Tällöin on voimassa myös d (r + s) = z ja d (r s) = x. Oletuksen mukaan (x, y, z) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko, jolloin syt(x, z) = 1 eli d (syt(x, z)) = 1. On siis oltava, että syt(r, s) = d = 1. Pythagoraan kolmikon ehdon mukaan x 2 + y 2 = z 2, jolloin y 2 = z 2 x 2 = (z + x)(z x). Tällöin on myös ( y 2 ) 2 = ( z + x 2 ) ( ) z x = rs. 2 Nyt voidaan käyttää apulauseen 6 tulosta, koska rs = (y/2) 2. On siis olemassa sellaiset kokonaisluvut m ja n, että r = m 2 ja s = n 2. Edellä esitettyjen kokonaislukujen m ja n avulla voidaan nyt esittää lausekkeet Pythagoraan 9

kolmikolle (x, y, z) x = r s = m 2 n 2 y = 4rs = 4m 2 n 2 = 2mn z = r + s = m 2 + n 2. Osoitetaan myös, että ehto syt(m, n) = 1 on voimassa. Jos syt(m, n) 1, on olemassa jokin sellainen kokonaisluku a, että a m ja a n. Tällöin myös a (m 2 n 2 ) = x, a (2mn) = y ja a (m 2 + n 2 ) = z, mikä on ristiriidassa Pythagoraan kolmikon (x, y, z) primitiivisyyden kanssa. On siis voimassa syt(m, n) = 1. Kokonaisluvut m ja n eivät voi molemmat olla yhtäaikaa parittomia, koska tällöin luvut x, y ja z olisivat kaikki parillisia. Tämä on ristiriidassa ehdon syt(x, y, z) = 1 kanssa. Kokonaisluvut m ja n eivät voi myöskään olla molemmat parillisia, koska syt(m, n) = 1. On siis oltava, että m on parillinen ja n on pariton tai toisinpäin. Lopuksi on vielä osoitettava, että jokainen kolmikko (x, y, z), joka on määritelty seuraavasti x = m 2 n 2 y = 2mn z = m 2 + n 2, missä m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, m > n, syt(m, n) = 1 ja m n (mod 2), muodostaa primitiivisen Pythagoraan kolmikon. Osoitetaan ensin, että kokonaislukujen m ja n avulla määritellyt luvut x, y ja z muodostavat Pythagoraan kolmikon. Pythagoraan lauseen mukaisesti x 2 + y 2 = (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 4 2m 2 n 2 + n 4 ) + 4m 2 n 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + n 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = z 2, joten (x, y, z) on Pythagoraan kolmikko. Nyt on osoitettava, että kokonaisluvut x, y ja z ovat keskenään jaottomia eli muodostavat primitiivisen Pythagoraan kolmikon. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen kokonaisluku d, että syt(x, y, z) = d > 1. Nyt on siis olemassa alkuluku p siten, että p (syt(x, y, z)). Alkuluku p 2, koska luvuista m ja n toinen on pariton ja toinen on parillinen, jolloin x = m 2 n 2 on pariton. Koska p x ja p z, 10

tällöin p (x + z = 2m 2 ) ja p (z x = 2n 2 ). Nyt siis p m ja p n, joka on ristiriidassa oletuksen syt(m, n) = 1 kanssa. Vastaoletus on siis väärin ja syt(x, y, z) = 1 eli Pythagoraan kolmikko (x, y, z) on primitiivinen. Lause on näin todistettu molempiin suuntiin. 4.2 Kaikkien Pythagoraan kolmikoiden olemassaolo Edellä on todistettu kuinka voidaan löytää kaikki olemassa olevat primitiiviset Pythagoraan kolmikot kokonaislukujen m ja n avulla. Seuraavaksi on tarkoitus löytää kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot. Olkoon (x, y, z) Pythagoraan kolmikko, jolle syt(x, y, z) = d. Tällöin on olemassa kokonaisluvut (x 1, y 1, z 1 ) siten, että x = dx 1, y = dy 1, z = dz 1 ja syt(x 1, y 1, z 1 ) = 1. Pythagoraan kolmikoiden määritelmän mukaan x 2 + y 2 = z 2, joten nyt (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = (dz 1 ) 2. Jakamalla yhtälö puolittain luvulla d 2, saadaan (x 1 ) 2 + (y 1 ) 2 = (z 1 ) 2. Kolmikko (x 1, y 1, z 1 ) on siis primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Edellisen perusteella, kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot voidaan löytää kertomalla primitiiviset Pythagoraan kolmikot jollakin positiivisella kokonaisluvulla. (ks.[4, s.483]) Esimerkki 8. (ks.[4, s.486, t.1]) a) Esitä kaikki mahdolliset primitiiviset Pythagoraan kolmikot (x, y, z), kun z < 40. b) Esitä kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot (x, y, z), kun z < 40. Ratkaisu. a) Lauseen 7 mukaan on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut m, n, joille syt(m, n) = 1, m > n ja m on pariton ja n on parillinen tai toisinpäin ja niiden avulla voidaan esittää lausekkeet luvuille x, y ja z. Luetellaan nyt kaikki mahdolliset arvot mitä m ja n voi saada, jotta z < 40. m n x = m 2 n 2 y = 2mn z = m 2 + n 2 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 6 1 35 12 37 Taulukko 1: Primitiiviset Pythagoraan kolmikot, kun z < 40. 11

b) Kaikki Pythagoraan kolmikot voidaan nyt löytää primitiivisten Pythagoraan kolmikkojen avulla, kun primitiivisen kolmikon jäsenet x, y, z kerrotaan positiivisella kokonaisluvulla. Kun z < 40, kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot (x, y, z) ovat seuraavan taulukon mukaiset. x y z 3 4 5 6 8 10 9 12 15 12 16 20 15 20 25 18 24 30 21 28 35 5 12 13 10 24 26 15 36 39 15 8 17 30 16 34 7 24 25 21 20 29 35 12 37 Taulukko 2: Kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot, kun z<40. 5 Fermat n suuri lause Pierre de Fermat syntyi Ranskassa vuonna 1601. Hän toimi päätoimisesti virkamiehenä, mutta jäljelle jäävän vapaa-aikansa hän käytti matematiikan parissa. Matematiikkaa ei pidetty kovin merkityksellisenä tieteenalana keskiajalla, joten 1600-luvulla sitä alettiin taas arvostamaan uudella tavalla. Fermat harrasti matematiikkaa muun työnsä ohella eikä siten tuonut omia tuloksiaan kuuluvasti esille. Hän ratkoi ongelmiaan itsekseen eikä usein jättänyt niistä edes merkintöjä näkyville. Hänen tavoitteenaan ei ollut kerätä kuuluisuutta tai menestystä matemaattisten saavutusten avulla. (ks.[5, s.59 69]) Fermat lla ei historian tietojen mukaan ollut omaa opettajaa, mutta Diofantoksen teos Arithmetica toimi todennäköisesti yhtenä Fermat n ohjaajana. Hän ratkaisi Diofantoksen yhtälöitä ja jätti usein ratkaisuista vain pienet muistiinpanot. Vähäisten muistiinpanojen johdosta hänen esittämälleen 12

ongelmalle etsittiin ratkaisua vuosisatojen ajan. Hän huomasi Pythagoraan lauseen kohdalla, että jos sen yhtälön eksponentit vaihdetaan suuremmiksi kuin kaksi, ei yhtälölle löydy kokonaislukuratkaisuja. Tämä Fermat n suuri lause on historian tietojen mukaan kirjattu vuonna 1637. Fermat oli jättänyt muistiinpanoihinsa vain merkinnän, että hänellä on todistus siihen, mutta marginaalin tila ei riitä sen esittämiseen kokonaan. Koska se oli viimeinen todistamattomana ollut Fermat n ongelma, kutsutaan sitä Fermat n suureksi lauseeksi. Ongelma jäi vaivaamaan matemaatikoita ja sitä yritettiin todistaa vuosisatojen ajan. Vuonna 1995 matemaatikko Andrew Wiles todisti sen täydellisesti. (ks.[5, s.82 91]) Diofantoksen yhtälölle x 2 + y 2 = z 2 on edellisen kappaleen mukaisesti hyvin yksinkertaista löytää kokonaislukuratkaisu (x, y, z). Jos yhtälön eksponentit vaihdetaan kakkosta suuremmiksi eksponenteiksi, yhtälöllä ei ole todistetusti yhtään ratkaisua. Fermat n suuri lause voidaan muotoilla seuraavasti: Lause 8. (vrt.[4, s.488])diofantoksen yhtälöllä x n + y n = z n ei ole ratkaisuja nollasta eroavilla kokonaisluvuilla x, y ja z, kun n 3. Todistus. Todistus sivuutetaan. Fermat n suurta lausetta ei voida tässä tutkielmassa todistaa, mutta seuraavassa lauseessa todistetaan sen yksittäinen tapaus x 4 + y 4 = (z 2 ) 2. Todistuksessa käytetään hyvän järjestyksen mukaista menetelmää, jonka mukaan positiivisilla kokonaislukuratkaisuilla on olemassa pienin mahdollinen ratkaisu. Lause 9. (vrt.[4, s.492]) Diofantoksen yhtälöllä x 4 + y 4 = z 2 ei ole ratkaisuja nollasta eroaville kokonaisluvuille x, y ja z. Todistus. (vrt.[4, s.492 494]) Oletetaan, että yhtälöllä x 4 + y 4 = z 2 on ratkaisu nollasta eroaville kokonaisluvuille x, y ja z. Nyt voidaan myös olettaa, että ne ovat positiivisia, koska edellä esitetyn yhtälön arvo säilyy, vaikka muuttujien x, y ja z arvot vaihdettaisiin niiden vastaluvuiksi. Oletetaan myös, että syt(x, y) = 1, joka osoitetaan todeksi seuraavalla tavalla. Olkoon d sellainen kokonaisluku, että syt(x, y) = d. Tällöin x = dx 1 13

ja y = dy 1, kun syt(x 1, y 1 ) = 1 ja x 1 ja y 1 ovat positiivisia kokonaislukuja. Sijoitetaan nyt x ja y yhtälöön x 4 + y 4 = z 2, jolloin saadaan (dx 1 ) 4 + (dy 1 ) 4 = z 2 d 4 x 4 1 + d 4 y 4 1 = z 2 d 4 (x 4 1 + y 4 1) = z 2. Nyt d 4 z 2, jolloin d 2 z ja z voidaan merkitä positiivisen kokonaisluvun z 1 avulla z = d 2 z 1. Tällöin saadaan d 4 (x 4 1 + y 4 1) = (d 2 z 1 ) 2 = d 4 z 2 1. Jakamalla yhtälö puolittain luvulla d 4, saadaan x 4 1 + y 4 1 = z 2 1. Huomautus. Edellä esitetyssä yhtälössä on lähdeteoksessa painovirhe, koska se on esitetty siellä muodossa x 4 1 + y 4 1 = z 4 1. Yhtälöllä x 4 + y 4 = z 2 on siis kokonaislukuratkaisu, kun x = x 1, y = y 1, z = z 1 ja syt(x 1, y 1 ) = 1. Oletetaan nyt, että yhtälöllä x 4 + y 4 = z 2 on ratkaisuna x = x 0, y = y 0 ja z = z 0, missä x 0, y 0 ja z 0 ovat positiivisia kokonaislukuja ja syt(x 0, y 0 ) = 1. Osoitetaan, että on olemassa toinen ratkaisu joillakin sellaisilla positiivisilla kokonaisluvuilla x = x 1, y = y 1 ja z = z 1, joille syt(x 1, y 1 ) = 1 ja z 1 < z 0. Oletuksen mukaan x 4 0 + y0 4 = z0. 2 Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (x 2 0) 2 + (y0) 2 2 = z0, 2 jolloin saadaan Pythagoraan kolmikoksi (x 2 0, y0, 2 z 0 ). Koska aiemmin oletimme, että syt(x 0, y 0 ) = 1, on tällöin oltava voimassa myös syt(x 2 0, y0) 2 = 1. Tämän vuoksi (x 2 0, y0, 2 z 0 ) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Lauseen 7 mukaan on olemassa positiiviset kokonaisluvut m ja n, joille syt(m, n) = 1, m n (mod 2) ja x 2 0 = m 2 n 2, y 2 0 = 2mn, z 0 = m 2 + n 2. Termien x 2 0 ja y 2 0 paikkoja voidaan tarvittaessa vaihtaa niin, että y 2 0 on parillinen kokonaisluku. Nyt termien x 2 0 ja n 2 summa on x 2 0 + n 2 = m 2. Kolmikko (x 0, n, m) muodostaa primitiivisen Pythagoraan kolmikon, koska oletuksena oli syt(m, n) = 1. Nyt m on pariton ja n on parillinen. Nyt voidaan käyttää uudestaan lauseen 7 tulosta, jonka mukaan on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut r ja s, että syt(r, s) = 1, r s (mod 2) ja x 0 = r 2 s 2 n = 2rs m = r 2 + s 2. 14

Edellä todettiin, että m on pariton ja syt(m, n) = 1, joten on voimassa myös syt(m, 2n) = 1. Aiemmasta yhtälöstä saimme myös, että y 2 0 = (2n)m. Edellisten ehtojen lisäksi on siis voimassa, että y 0, m ja 2n ovat positiivisia kokonaislukuja, joten voidaan käyttää apulauseen 6 tulosta. Nyt on siis olemassa positiiviset kokonaisluvut z 1 ja w, joille m = z 2 1 ja 2n = w 2. Tällöin w on parillinen kokonaisluku ja se voidaan esittää positiivisen kokonaisluvun v avulla w = 2v. Nyt w 2 = (2v) 2 = 2n, jolloin v 2 = n/2 = rs. Oletuksena on, että syt(r, s) = 1, joten apulauseen 6 mukaan on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut x 1 ja y 1, että r = x 2 1 ja s = y 2 1. Koska syt(r, s) = 1, niin on oltava myös syt(x 1, y 1 ) = 1. Aiemmin saatiin, että m = r 2 + s 2. Tällöin r 2 + s 2 = x 4 1 + y 4 1 = m = z 2 1, missä x 1, y 1 ja z 1 ovat positiivisia kokonaislukuja ja syt(x 1, y 1 ) = 1. Nyt voidaan todeta, että z 1 < z 0, koska z 1 z 4 1 = m 2 < m 2 + n 2 = z 0. Oletetaan nyt, että yhtälöllä x 4 + y 4 = z 2 on ainakin yksi kokonaislukuratkaisu. Hyvinjärjestysperiaatteen mukaan yhtälöillä, joilla on positiivinen kokonaislukuratkaisu, on olemassa pienin arvo z 0 kokonaislukumuuttujalle z. Edellä osoitettiin, että yhtälölle x 4 + y 4 = z 2 voidaan löytää ratkaisuksi aina pienempi arvo muuttujalle z, joka on siis ristiriidassa hyvinjärjestysperiaatteen kanssa. Yhtälöllä x 4 + y 4 = z 2 ei siis ole kokonaislukuratkaisuja. 6 Neliöiden summa Kokonaislukujen neliöiden summa on aihe, joka on kiinnostanut matemaatikkoja läpi historian. Tässä luvussa käsitellään kokonaislukuja, jotka ovat joidenkin muiden kokonaislukujen neliöiden summia. Aluksi todistetaan, että kokonaislukujen, jotka ovat molemmat kahden neliön summia, tulo on myös kahden neliön summa. Tämän jälkeen käydään läpi miten eri alkuluvut voidaan esittää neliöiden summina ja lopuksi vielä todistetaan, että jokainen positiivinen kokonaisluku on neljän kokonaisluvun neliön summa. Esimerkki 9. Esimerkiksi positiiviset kokonaisluvut 1, 4, 5, 8 ja 9 voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliön summana 1 = 1 2 + 0 2, 4 = 2 2 + 0 2, 5 = 2 2 + 1 2, 8 = 2 2 + 2 2 ja 9 = 3 2 + 0 2, mutta esimerkiksi lukuja 3, 6, 7 ja 11 ei voida esittää kahden kokonaisluvun neliön summana. Lause 10. (vrt.[4, s.496]) Jos kokonaisluvut m ja n ovat kahden neliön summia, niin tällöin myös niiden tulo mn on kahden neliön summa. 15

Todistus. (vrt.[4, s.496]) Olkoot m, n, a, b, c ja d sellaisia kokonaislukuja, että m = a 2 + b 2, n = c 2 + d 2. Nyt lukujen m ja n tulo on mn = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2acbd + a 2 d 2 + b 2 c 2 2adbc = (ac + bd) 2 + (ad bc) 2. Kokonaislukujen, jotka ovat kahden neliön summia, tulo on myös kahden kokonaisluvun neliöiden summa. Esimerkki 10. Olkoot luvut x = 25(= 3 2 + 4 2 ) ja y = 10(= 1 2 + 3 2 ), jolloin niiden tulo on xy = 250. Nyt lauseen 10 todistuksen mukaan a = 3, b = 4, c = 1, d = 3 ja tulo voidaan kirjoittaa muodossa xy = (ac + bd) 2 + (ad bc) 2. Siis 250 = 25 10 = (3 2 +4 2 )(1 2 +3 2 ) = (3 1+4 3) 2 +(3 3 4 1) 2 = 15 2 +5 2. Apulause 11. (vrt.[4, s.497]) Jos p on muotoa 4m+1 oleva alkuluku, missä m on kokonaisluku, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x 2 + y 2 = kp, jollekin positiiviselle kokonaisluvulle k, kun k < p. Todistus. (vrt.[4, s.497]) ( ) Oletuksen mukaan p = 4m + 1, kun m Z +, joten lauseen 2 mukaan = 1. Legendren symbolin määritelmän mukaan 1 1 p on nyt neliönjäännös modulo p. Nyt on olemassa sellainen kokonaisluku a, a < p, että a 2 1 (mod p). Tällöin a 2 ( 1) = a 2 + 1 = kp, kun k on jokin positiivinen kokonaisluku. Lauseen väittämän mukaan x 2 + y 2 = kp, joka pätee nyt kokonaisluvuilla x = a ja y = 1. Nyt voidaan muodostaa epäyhtälö kp = x 2 + y 2 (p 1) 2 + 1 < p 2, joten k < p. Esimerkki 11. Olkoon p = 13(= 4 3+1), jolloin m = 3. Nyt apulauseen 11 mukaan on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x 2 + y 2 = kp, kun k < p. Olkoot x = 6 ja y = 4, jolloin x 2 + y 2 = 6 2 + 4 2 = 52 = 4 13 ja k = 4. Lause 12. (vrt.[4, s.497]) Jos p on jotain muuta muotoa kuin 4k + 3 oleva alkuluku, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x 2 + y 2 = p. Todistus. (vrt.[4, s.497 498]) Koska 2 = 1 2 + 1 2, voidaan nyt alkuluvun p olettaa olevan muotoa 4k + 1. Olkoon m pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, että yhtälöllä x 2 + y 2 = mp on ratkaisuna kokonaisluvut x ja y. Edellisen apulauseen 11 perusteella on nyt olemassa alkulukua p pienempi kokonaisluku m, joka toteuttaa yhtälön. Hyvinjärjestysperiaatteen perusteella on olemassa pienin mahdollinen kokonaisluku, joten osoitetaan, että m = 1. 16

Oletetaan ensin, että m > 1. Olkoot a ja b määritelty kongruensseilla a x (mod m), b y (mod m) ja m/2 < a m/2, m/2 < b m/2. Kongruenssin laskusääntöjen mukaan voidaan todeta, että a 2 + b 2 x 2 + y 2 = mp 0 (mod m). Nyt on olemassa sellainen kokonaisluku k, että a 2 + b 2 = km. Nyt saadaan neliöiden summien tuloksi (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (km)(mp) = km 2 p. Lauseen 10 todistuksessa olevan yhtälön mukaan (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Huomautus. Lähdeteoksessa on painovirhe a s (mod m). Lähtöoletuksien mukaan a x (mod m) ja b y (mod m), joten ax + by x 2 + y 2 0 (mod m) ay bx xy yx 0 (mod m). Kongruenssin määritelmän perusteella (ax + by)/m ja (ay bx)/m ovat kokonaislukuja ja tällöin ( ) 2 ( ) 2 ax + by ay bx + = km 2 p/m 2 = kp. m m Alussa oletettin, että m on sellainen pienin mahdollinen positiivinen kokonaisluku, että yhtälöllä x 2 + y 2 = mp on kokonaislukuratkaisu. Jos nyt 0 < k < m, on se ristiriidassa kyseisen oletuksen kanssa. Aiemmin todettiin, että a 2 +b 2 = km, m/2 < a m/2 ja m/2 < b m/2. Tällöin a 2 m 2 /4 ja b 2 m 2 /4, josta saadaan, että 0 km = a 2 + b 2 2(m 2 /4) = m 2 /2. Nyt 0 km m 2 /2 eli 0 k m/2. Tästä seuraa, että k < m. On siis enää osoitettava, että k 0. Jos k = 0, niin a 2 + b 2 = 0 ja ainoa mahdollinen ratkaisu on, että a = b = 0. Nyt x y 0 (mod m), joten m x ja m y. Aiemmin todettiin, että x 2 + y 2 = mp, joten m 2 mp ja tällöin myös m p. Koska m < p, on oltava m = 1 ja lause on siis todistettu. Esimerkki 12. Valitaan alkuluvuksi p = 17, koska sitä ei voida esittää muodossa 4k + 3, kun k Z +. Nyt on olemassa kokonaisluvut x = 1 ja y = 4, jolloin x 2 + y 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17. Lause 13. (vrt.[4, s.498]) Positiivinen kokonaisluku n on kahden neliön summa, jos ja vain jos jokainen luvun n muotoa 4k +3 oleva alkulukutekijä esiintyy parillisena potenssina luvun n alkulukutekijähajotelmassa. 17

Todistus. (vrt.[4, s.498 499]) Oletetaan, että jakaessa luku n alkulukutekijöihin, ei ole sellaisia muotoa 4k + 3 olevia alkulukuja, jotka esiintyvät parittomina potensseina. Kirjoitetaan nyt n = t 2 u, missä u on alkulukujen tulo. Alkuluvut, jotka ovat muotoa 4k + 3, eivät esiinny luvun u tekijänä. Kuten lauseessa 12 todettiin, jokainen luvun u alkulukutekijä voidaan esittää kahden neliön summana. Koska u koostuu alkulukujen tulosta, voidaan käyttää hyväksi lauseen 10 tulosta, jonka mukaan u on myös kahden neliön summa u = x 2 + y 2. Tällöin myös n on kahden neliön summa, koska n = t 2 u = t 2 (x 2 + y 2 ) = (tx) 2 + (ty) 2. Oletetaan nyt, että on olemassa alkuluku p, jolle p 3 (mod 4) ja jolla on luvun n alkulukutekijähajotelmassa pariton, muotoa (2j+1) oleva eksponentti. Toisaalta oletetaan, että n on kahden neliön summa n = x 2 + y 2. Olkoon syt(x, y) = d, a = x/d, b = y/d ja m = n/d 2. Tällöin syt(a, b) = 1 ja a 2 + b 2 = m. Olkoon p k luvun p suurin potenssi, joka jakaa luvun d. Tällöin m on jaollinen luvulla p 2j+1 /p 2k = p 2j 2k+1 ja koska 2j 2k + 1 on ei-negatiivinen, on sen oltava vähintään 1, ja tällöin p m. Nyt voidaan päätellä, että p ei voi jakaa lukua a, koska jos p a niin tällöin myös p b tietojen b 2 = m a 2 ja syt(a, b) = 1 perusteella. On siis olemassa sellainen kokonaisluku z, että az b (mod p). Tästä seuraa, että a 2 + b 2 a 2 + (az) 2 = a 2 (1 + z 2 ) (mod p). Koska a 2 + b 2 = m ja p m, niin a 2 (1 + z 2 ) 0 (mod p). Koska syt(a, p) = 1, niin on oltava 1 + z 2 0 (mod p). Tällöin z 2 1 (mod p), joka on mahdotonta, koska 1 ei ole neliönjäännös alkuluvusta p, kun p 3 (mod 4). Tämän ristiriidan perusteella alussa määritelty luku n ei voi olla kahden neliön summa. Lause 14. (vrt.[4, s.499]) Jos m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja ja molemmat ovat neljän neliön summia, niin mn on myös neljän neliön summa. 18

Todistus. (vrt.[4, s.499]) Olkoot m = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ja n = e 2 +f 2 +g 2 +h 2. Tällöin lukujen m ja n tulo on mn = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(e 2 + f 2 + g 2 + h 2 ) = a 2 e 2 + a 2 f 2 + a 2 g 2 + a 2 h 2 + b 2 e 2 + b 2 f 2 + b 2 g 2 + b 2 h 2 + c 2 e 2 + c 2 f 2 + c 2 g 2 + c 2 h 2 + d 2 e 2 + d 2 f 2 + d 2 g 2 + d 2 h 2 = (ae + bf + cg + dh) 2 + (af be + ch dg) 2 + (ag bh ce + df) 2 + (ah + bg cf de) 2. Huomautus. Lähdeteoksessa on kaksi painovirhettä lauseen 14 todistuksessa. Siellä esiintyy virheellisesti mn =... + (af bd ch dg) 2 + (ag bh cd df) 2. Esimerkki 13. Olkoot a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 2, g = 1 ja h = 6, joista muodostetaan neljän luvun neliöiden summat m = a 2 +b 2 +c 2 + d 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30 ja n = e 2 + f 2 + g 2 + h 2 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 6 2 = 66. Tällöin tulo mn on lauseen 14 mukaisesti mn = (1 5 + 2 2 + 3 1 + 4 6) 2 + (1 2 2 5 + 3 6 4 1) 2 + (1 1 2 6 3 5 + 4 2) 2 + (1 6 + 2 1 3 2 4 5) 2 = 36 2 + 6 2 + ( 18) 2 + ( 18) 2 = 1980 = 30 66. Apulause 15. (vrt.[4, s.499]) Jos p on pariton alkuluku, niin on olemassa sellainen kokonaisluku k, että k < p ja yhtälöllä kp = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 on ratkaisuna kokonaisluvut x, y, z ja w. Todistus. (vrt.[4, s.500]) Ensimmäisenä osoitetaan, että on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että yhtälö x 2 + y 2 + 1 0 (mod p) on ratkeava, kun 0 x < p/2 ja 0 y < p/2. Olkoot { ( ) } 2 p 1 S = 0 2, 1 2,..., 2 ja { ( ) } 2 p 1 T = 1 0 2, 1 1 2,..., 1. 2 19

Nyt joukon S alkioista kaksi eivät ole kongruentteja keskenään modulo p. Jos x 2 y 2 (mod p), niin on oltava x ±y (mod p), mikä on mahdotonta oletuksen 0 x, y ((p 1)/2) nojalla. Samalla tavalla voidaan todeta, että joukon T alkioista kaksi ei ole keskenään kongruentteja modulo p. Nyt joukko S T sisältää p + 1 erisuurta kokonaislukua. Esitiedoissa esitetyn laatikkoperiaatteen mukaan joukossa S T on nyt olemassa kaksi kokonaislukua, jotka ovat kongruentteja modulo p. Nyt on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x 2 1 y 2 (mod p), kun 0 x (p 1)/2 ja 0 y < (p 1)/2. Muodostetaan kongruenssi x 2 + y 2 + 1 0 (mod p), josta seuraa, että x 2 + y 2 + 1 + 0 2 = kp jollakin kokonaisluvulla k. Koska x 2 + y 2 + 1 < 2((p 1)/2) 2 < p 2, niin k < p. Esimerkki 14. Olkoon pariton alkuluku nyt p = 19. Etsitään sellainen kokonaisluku k, että yhtälö kp = x 2 +y 2 +z 2 +w 2 on ratkeava kokonaisluvuilla x, y, z ja w. Nyt lauseen 15 todistuksen mukaan voidaan muodostaa kaksi joukkoa S = {0, 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81} ja T = { 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82}. Nyt on olemassa kaksi kokonaislukua joukkojen S ja T unionissa, jotka ovat kongruentteja keskenään modulo 19. Joukon S alkio 9 ja joukon T alkio 10, jotka toteuttavat ehdon 9 10 (mod 19). Joukon S alkiot olivat muotoa x 2 ja joukon T alkiot olivat muotoa 1 y 2, jolloin x 2 +y 2 +1 = 3 2 +3 2 +1 = 19. Nyt x = 3, y = 3, z = 1 ja w = 0 ja k = 1. Lause 16. (vrt.[4, s.500]) Olkoon p alkuluku. Tällöin yhtälöllä x 2 +y 2 +z 2 + w 2 = p on ratkaisu, missä x, y, z, w ovat kokonaislukuja. Todistus. (vrt.[4, s.500 501]) Kun p = 2, yhtälöllä x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = p on ratkaisuna kokonaisluvut x = 1, y = 1, z = 0, w = 0. Olkoot p pariton alkuluku ja m pienin sellainen kokonaisluku, että yhtälöllä x 2 +y 2 +z 2 +w 2 = mp on ratkaisuna kokonaisluvut x, y, z ja w. Lause saadaan todistetuksi, jos voidaan osoittaa, että m = 1. Tehdään vastaoletus, että m > 1, ja etsitään pienin sellainen mahdollinen kokonaisluku. Jos m on parillinen, niin x, y, z ja w ovat kaikki parittomia, kaikki parillisia tai kaksi luvuista on parittomia ja kaksi parillisia. Nyt luvut x, y, z, w voidaan järjestää niin, että x y (mod 2) ja z w (mod 2). Tällöin (x y)/2, (x + y)/2, (z w)/2 ja (x + w)/2 ovat kokonaislukuja ja ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 x y x + y z w z + w + + + = (m/2)p. 2 2 2 2 20

Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että m on pienin mahdollinen positiivinen, parillinen kokonaisluku. Olkoon nyt m pariton ja m > 1. Olkoot a, b, c ja d sellaisia kokonaislukuja, että ja Tällöin on voimassa a x (mod m), b y (mod m), c z (mod m), d w (mod m) m/2 < a < m/2, m/2 < c < m/2, m/2 < b < m/2, m/2 < d < m/2. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 (mod m) ja on olemassa sellainen kokonaisluku k, että a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = km. Luvuille a, b, c ja d esitettyjen rajoitusten avulla voidaan todeta, että 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 < 4(m/2) 2 = m 2. Tällöin siis 0 k < m. Jos k = 0, niin a = b = c = d = 0 ja tällöin myös x y z w 0 (mod m). Nyt m 2 mp, joka on mahdotonta, koska 1 < m < p. On siis oltava k > 0. Nyt voidaan muodostaa tulo (x 2 + y 2 + z 2 + w 2 )(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = mp km = m 2 kp. Tämä voidaan jakaa neljän neliön summaksi lauseen 14 todistuksessa esitetyn yhtälön mukaisesti (ax + by + cz + dw) 2 + (bx ay + dz cw) 2 + (cx dy az + bw) 2 + (dx + cy bz aw) 2 = m 2 kp. Huomautus. Lähdeteoksessa on painovirhe edellisen yhtälön osassa (bxay+dz-dw). Kuten myös seuraavaksi esitettävässä kongruenssissa cx dy az + bw zs wy xz + yw (mod m) Jokainen edellä olevien yhtälöiden neljästä jäsenestä on jaollinen luvulla m, koska ax + by + cz + dw x 2 + y 2 + z 2 + w 2 0 bx ay + dz cw yx xy + wz zw 0 cx dy az + bw zx wy xz + yw 0 dx + cy bz aw wx + zy yz xw 0 (mod m), (mod m), (mod m), (mod m). 21

Olkoot X, Y, Z ja W kokonaislukuja, jotka on saatu jakamalla edellä esitetyt lausekkeet luvulla m, jolloin X = (ax + by + cz + dw)/m, Y = (bx ay + dz cw)/m, Z = (cx dy az + bw)/m, W = (dx + cy bz aw)/m. Aiemmin esitettiin tulo neljän neliön summan avulla, joten nyt neliöiden summat voidaan esittää kyseisen tulon avulla X 2 +Y 2 +Z 2 +W 2 = (x 2 +y 2 +z 2 +w 2 )(a 2 +b 2 +c 2 +d 2 )/m 2 = m 2 kp/m 2 = kp. Tämä on ristiriidassa kokonaisluvun m valinnan kanssa, joten on oltava niin, että m = 1. Nyt lause on siis todistettu. Esimerkki 15. Olkoon alkuluku p = 37. Nyt on olemassa kokonaisluvut x = 5, y = 2, z = 2 ja w = 2, joiden neliöiden summa on alkuluku p eli 37 = 5 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2. Lause 17. (vrt.[4, s.502]) Jokainen positiivinen kokonaisluku on neljän kokonaisluvun neliön summa. Todistus. (vrt.[4, s.502]) Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Tällöin aritmetiikan peruskäsitteiden ja lukujen jaollisuuden perusteella n on alkulukujen tulo. Lauseen 16 mukaan jokainen alkuluku voidaan ilmoittaa neljän luvun neliön summana. Lauseen 14 mukaan kahden kokonaisluvun, jotka ovat neljän kokonaisluvun neliöiden summia, tulo on on myös neljän kokonaisluvun neliöiden summa. Edellä todettiin, että n on alkulukujen tulo eli n on tällöin neljän neliön summa. 22

Viitteet [1] P. Haukkanen Algebra 1, opetusmoniste, Tampereen yliopisto, 2004. [2] P. Haukkanen Lukuteoriaa, opetusmoniste, Tampereen yliopisto. [3] K. H. Rosen Discrete Mathematics and Its Applications, first edition, AT&T Information Systems Inc, New York, 1988. [4] K. H. Rosen Elementary Number Theory and Its Applications, fourth edition, AT&T Laboratories, USA, 2000. [5] S. Singh, Fermat n viimeinen teoreema, Suomentanut K. Savolainen, Kustannusosakeyhtiö Tammi, Helsinki, 1998. [6] Matematiikkalehti solmu 6.9.2000, [Verkkodokumentti], [Viitattu 8.5.2009] URL: http://solmu.math.helsinki.fi/2000/mathist/html/kreikka/index.html 23