Jaksosuunnitelma Lea Linna, Päivi Tomperi, Dimitri Tuomela ja Hannu Mäkiö Tässä jaksosuunnitelmassa on pyritty luomaan tutkivan oppimisen paketti lukion kurssille MAA4, analyyttinen geometria. Aiheina ovar suora, ympyrä ja paraabeli. Opiskelijat työskentelevät 2 4 hengen ryhmissä. Jokaisella ryhmällä tulisi olla käytössään ainakin yksi tietokone, jossa on geogebra asennettuna ja nettiyhteys. Pienillä muutoksilla suurin osa tehtävistä soveltuu myös symbolisella laskimella tehtäväksi. Tehtävä opiskelijoille: Koostakaa jostakin aiheesta (suora, ympyrä, paraabeli) posteri johon kirjoitatte: mitä tiesitte aiheesta ennen kurssia, mitä uutta opitte, miten käsite liittyy käytännön elämään esim arkkitehtuuriin. Miten työnne on edennyt? Kirjatkaa mahdollisimman paljon ajatteluanne paperille. Ei sen aina aluksi tarvitse olla oikein ja hiottua. Ottakaa kuvia vihkotyöskentelystänne kuvia, geogebralla tuotettuja kuvia GG ja laittakaa ne nettiin ryhmänne palstalle. Kommentoikaa lyhyesti niitä, mikä ajatus kantoi? Missä mentiin umpikujaan. Arviointiin vaikuttaa posteri, työn dokumentointi ja itsearviointi. SUORA 1. Tunti Tavoitteet: kerrata ja syventää kulmakertoimen merkitys jyrkkyyden mittarina, kerrataan kaava k = Δ y/δx osaa laskea kulmakertoimen apukolmion avulla osaa laskea kulmakertoimen kahden pisteen avulla suoran yhtälö y = ax + b; kertoimien a ja b merkitys TEHTÄVÄT Kirjaa vastaukset perusteluineen ja pohdintoineen ja johtopäätöksineen. 1. Tutkitaan suoran jyrkkyyttä. Avaa sovellus http://www.geogebratube.org/material/show/id/115647. a. Miten apukolmion (portaiden) etenemä Δ x vaikuttaa suoran jyrkkyyteen? b. Miten apukolmion (portaiden) nousu Δ y vaikuttaa suoran jyrkkyyteen? c. Pidä jyrkkyys vakiona ja muuttele apukolmion (portaiden) muotoa. Tutki, miten Δx ja Δ y muuttuvat. Onko niillä jokin yhteys? Miksi? d. Pohdi ja perustele edellisten havaintojesi pohjalta, mikä seuraavista Δx Δy kuvaa suoran jyrkkyyttä: a) Δx b) Δy c) d). Δy Δx 1
2. Pohdi, miten muuten voitaisiin mitata suoran jyrkkyyttä kuin nk. kulmakertoimella k = Δy/Δx? 3. Rakennusalalla katon kaltevuutta kuvataan nousun suhteella etenemään (nk. kattokaltevuus). Tutki, miten kattokaltevuus ja kulmakerroin ja suuntakulma liittyvät toisiinsa. 4. Piirrä suora pisteiden A(1,2) ja B(3,6) kautta. Valitse suoralta lisäksi yksi muu piste C. Laske kulmakertoimet ja. k AB k AC Pisteet A(1,2) ja B(3,6) A(1,2) ja C(, ) Δ y (y:n muutos) Δ x (x:n muutos) Δy Δx a. Kirjaa vastaukset taulukkoon. Mitä havaitset? Miksi näin? b. Tutki taulukkoa. Miten voit pelkästään pisteiden koordinaattien avulla laskea muutoksen Δy tai Δ x? c. Siirry pisteestä A suoran pisteeseen E(x,y). Laske Δ y = Δ x = k = Selvitä suoran yhtälö. (Seuraavat voi jättää myös kotitehtävälistaan.: d. Mikä olisi sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (5,3) kautta ja jonka kulmakerroin k = 3? e. Mikä olisi sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen ( 2,1) kautta ja jonka kulmakeroin k = 2? f. Mikä olisi sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen ( x 0, y 0 ) kautta ja jonka kulmakerroin on k?) 5. Mitä muistatte suorasta ja suoran yhtälöstä? Keskustelkaa asiasta ja kirjoittakaa ryhmänne näkemys paperille. 6. Tee laskimella tai GeoGebralla liu ut a ja b. Tee selvitys, miten kertoimet a ja b vaikuttavat funktion f(x) = ax + b kuvaajaan. Testaa muutamalla omalla esimerkillä johtopäätöksesi. TAI Avaa sovellus. http://www.geogebratube.org/material/show/id/114765 2
Tee selvitys, miten kertoimet a ja b vaikuttavat funktion f(x) = ax + b kuvaajaan. Testaa muutamalla omalla esimerkillä johtopäätöksesi. Arvioi oppimisprosessiasi: Mitä uusia asioita opit ymmärtämään suorasta ja suoranyhtälöstä? Mikä asia oli vaikea ymmärtää? Mikä teki ymmärtämisestä vaikeaa? Millaisissa asioissa sinä pystyit tukemaan ryhmääsi? Millaisissa asioissa koit saavasi tukea ryhmältäsi? Millainen tehtävä voisi edistää asian ymmärtämistä? Mitä kysymyksiä sinulle (ja ryhmällenne) nousi? Arvioi myös, miten ryhmänne edistyi asiassa. 2. Tunti Tavoitteet: suoran yhtälön yleinen ja ratkaistu muoto suoran kiinnittyminen koordinaatistoon ja suoran yhtälö eri tapauksissa: piste ja k, kaksi pistettä, y akselin lp ja k jne. extrana: suoran parametriesitys TEHTÄVÄT Kirjaa vastaukset perusteluineen ja pohdintoineen ja johtopäätöksineen. 1. Mitä asioita täytyy suorasta tietää, jotta sen voi piirtää koordinaatistoon? Miettikää eri vaihtoehtoja. Tehkää kuvio (kuva, käsitekartta tms.), jossa keskellä on sana SUORA. Kirjatkaa tai piirtäkää sanan SUORA ympärille eri vaihtoehtoja. 2. a) Piirrä GeoGebralla käyrän 3x + 2y+ 4 = 0 kuvaaja. Millainen kuvaaja tuli? Miksi? b) Selvitä, mitä tarkoittavat käsitteet suoran yhtälön yleinen ja ratkaistu muoto. Tutki, miten saat GeoGebralla näkyviin suoralle nämä muodot? 3. Tutki edellisen tunnin tehtävän 2 ratkaisujasi. Perustele sen avulla taulukkokirjasta löytyvä kaava: Kun tiedetään suoralta yksi piste ( x 0, y 0 ) ja kulmakerroin on k, suoran yhtälö saadaan kaavalla y y 0 = k(x x 0 ). 4. Muotoile kortit niin, että kaikille korteille löytyy parit. 3
5. Täydennä tehtävän 1 kuvioon (käsitekarttaan tms.) lähtötiedot matemaattiseen muotoon sekä kaavat, joita hyödynnät eri tilanteissa saadaksesi suoran yhtälön. 6. Kartalla näkyy hyvin suora tie. Määritä suoran yhtälö ottamalla kuvasta tarvittavia tietoja. Mieti useita tapoja ratkaista tehtävä. 7. Reaaliaineen opettaja kysyi, voisiko kokeen arvostelua varten tehdä sellaisen kaavan, jolla voi pisteiden perusteella laskea arvosanan. Numero riippuu suoraviivaisesti pistemäärästä. Auta opettajaa, ja laadi hänelle kaava, jolla hän voi laskea kokeen numeron pisteiden perusteella. 8. (Ylimääräinen (koti)tehtävä:) Kuminauhan toinen pää on origossa ja toinen pää liikkuu pitkin käyrää 2x + y + 5 = 0. Minkä käyrän kuminauhan keskipiste piirtää? Ratkaise tehtävä käyttäen GeoGebraa (jälki toiminto) tai laskinta. Ratkaise myös laskemalla. Arvioi oppimisprosessiasi: Mitä uusia asioita opit ymmärtämään suoran yhtälöstä ja sen muodostamisesta? Mikä asia oli vaikea ymmärtää? Mikä teki ymmärtämisestä vaikeaa? Millaisissa asioissa sinä pystyit tukemaan ryhmääsi? Millaisissa asioissa koit saavasi tukea ryhmältäsi? Millainen tehtävä voisi edistää asian ymmärtämistä? Mitä kysymyksiä sinulle (ja ryhmällenne) nousi? Arvioi myös, miten ryhmänne edistyi asiassa. 3. Tunti 4
Tavoitteet: suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruusehto (kulmakertoimien avulla ilmaistuna) normaalin yhtälö pisteen etäisyys suorasta (normaalin avulla, tms.; kaavan d = avulla) suorien kulman puolittajat TEHTÄVÄT Kirjaa vastaukset perusteluineen ja pohdintoineen ja johtopäätöksineen. 1. Avaa sovellus http://www.geogebratube.org/material/show/id/115376 Tutki suorien kulmakertoimia ja selvitä, milloin suorat ovat a) yhdensuuntaisia. b) kohtisuorassa toisiaan vastaan. Anna esimerkki suorasta, joka on kohtisuorassa suoraa c) y = 2x 5 vastaan? d) 3y 2x + 7 = 0 vastaan? e) y = 3 vastaan? 2. Keksi oheista kuvaa täydentäen edellisen tunnin korttitehtävään jollekin kortille uusi pari. 3. Lataa koneellesi GeoGebra tiedosto osoitteesta http://www.geogebratube.org/material/show/id/116111. Olet pisteessä C. Haluat mennä lyhintä reittiä pitkin Ouluntielle. Kuinka pitkän matkan kävelet? Kartan mittakaava löytyy kuvan vasemmasta alareunasta. Kirjoita ylös, mitä vaiheita ratkaisussa oli. Keksikää vaihtoehtoisia ideoita, miten annetun pisteen ( x 0, y 0 ) etäisyys voidaan ratkaista suorasta ax + by + c = 0. Kirjatkaa ratkaisuideanne vaiheet. Voit myös kokeilla, pystyykö geogebra tai symbolinen laskin ratkaisemaan yleisen kaavan ideanne pohjalta. (Vinkki: yhtälöryhmä) 4. Seuraavassa on ratkaistu pisteen ( x p, y p ) etäisyys d suorasta ax + by + c = 0. Kerro, mitä kukin yhtälö yhtälöryhmässä vastaa. Minkä suoran kulmakerroin on b/a? Milloin d:n arvo on nolla? TI: 5
Casio: 5. Miten soveltaisit tehtävässä 4 saatua etäisyyden kaavaa, kun halutaan selvittää pisteen (3, 2) etäisyys suorasta 2x y + 1 = 0. 6. Määritä, minkä käyrän muodostavat ne pisteet (x,y), jotka ovat yhtä kaukana suorista 2x y 1 = 0 ja x + 3y 11 = 0. Arvioi oppimisprosessiasi: Mitä uusia asioita opit ymmärtämään? Mikä asia oli vaikea ymmärtää? Mikä teki ymmärtämisestä vaikeaa? Millaisissa asioissa sinä pystyit tukemaan ryhmääsi? Millaisissa asioissa koit saavasi tukea ryhmältäsi? Mitä kysymyksiä sinulle (ja ryhmällenne) nousi? Arvioi myös, miten ryhmänne edistyi. 1. Tunti Ympyrä Oppimistavoite: Ympyrän yhtälön muodostaminen 1. Kertausta: Mitä osaatte jo ympyrään liittyen? 1.1 Kootkaa Geogebran taulukkoon sellaisia lukupareja a ja b, joilla a 2 + b 2 = 25. Varmistakaa kolmannessa sarakkeessa, että yhtälö toteutuu. Lukujen ei tarvitse olla kokonaislukuja. Maalaa sarakkeet, joissa on luvut a ja b. Vie pistejoukoksi, mitä huomaat? [P] Olisiko alla oleva mahdollinen muotoilu edellisestä? 6
Kootkaa Geogebran taulukkoon sellaisia lukupareja a ja b, joilla pistejoukoksi. Mitä huomaatte? 1.2. Piirtäkää Geogebralla ympyrä, jonka keskipiste on (2, 5) ja säde on 4. Määrittäkää sanallisesti, minkä ehdon toteuttavat ne pisteet, jotka a. ovat ympyrän sisäpuolella. b. ovat ympyrän kehällä. c. ovat ympyrän ulkopuolella. a 2 + b 2 = 25 ja viekää 2.Tutkikaa laskimella tai Geogebralla, miten ympyrän säde ja keskipiste näkyvät ympyrän yhtälössä. Yhtälön näette algebraikkunasta. Laatikaa yhteenveto tutkimuksesta. 3. Ympyrän yhtälö voidaan esittää kahdessa yleisessä esitysmuodossa. a. Tutkikaa GeoGebralla, mitkä nämä kaksi muotoa ovat b. Selvittäkää, miten voisitte muuntaa yhtälön muodosta toiseen. Ympyrään liittyviä tehtäviä: 4. Ympyrän sisälle on piirretty suorakulmainen kolmio. Muodostakaa sen avulla ympyrän yhtälö. http://www.geogebratube.org/student/m103965 5. Etsikää ympyrän kadonnut keskipiste, kun tiedätte kehän kolme pistettä. Piirtäkää GeoGebraan kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Määrittäkää ympyrän keskipiste ja säde. Älkää käyttäkö tässä GeoGebran työkalua: ympyrä kehän kolmen pisteen avulla. 6. Symbolisen laskimen avulla voidaan helposti ratkaista yhtälöryhmiä. Sijoita yhtälöön (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 kolme tunnettua pistettä. Ratkaise a, b ja r. Mikä olisi ympyrän tapauksessa geometrinen tulkinta? Koonti: Saavutitteko tunnille asetetun oppimistavoitteen? Mitä opitte? Mikä jäi vielä epäselväksi? Pohtikaa, mikä olisi yhteinen kotitehtävä tavoitteen saavuttamiseksi. 2. Tunti Oppimistavoite: ympyröiden leikkauspiste, ympyrä ja suora 7. Tutkikaa GeoGebralla erilaisia tapauksia, joissa kaksi ympyrää leikkaavat toisensa. Kuinka voisitte määrittää leikkauspisteet? Antakaa esimerkki yhdestä tapauksesta ratkaisuineen. 8. Luokitelkaa, miten ympyrä ja suora voivat sijaita tasossa toisiinsa nähden. Piirtäkää kuva koordinaatistoon eri vaihtoehdoista. Keksikää kullekin tapaukselle esimerkit, joissa ympyrän ja suorien yhtälöt on annettu. Mitä nimityksiä suorasta käytetään kussakin tapauksessa. 7
Miettikää ideoita millä tavalla laskennallisesti eri tapaukset voitaisiin tutkia. Keksikää vaihtoehtoisia menetelmiä. 9. Suora ja ympyrä eivät leikkaa. Keksikää geometrinen idea, miten voitte selvittää suoran etäisyyden ympyrän kehästä eli mikä on lyhin matka suoran pisteestä ympyrän kehän pisteeseen? 10. Ympyrän keskipiste ja säde tiedetään. Ympyrän ulkopuolella on piste P, jonka koordinaatit tiedetään. Montako ympyrän tangenttia kulkee pisteen P kautta? Keksikää erilaisia ratkaisutapoja määrittää tangentin yhtälö. Vertailkaa eri tapojen toimivuutta. Mitä haasteita kohtasitte? Käyttäkää laskimia tai GeoGebraa apuna. Kotitehtävä: Etsi kolme sellaista ylioppilaskoetehtävää ratkaisuineen, joissa käsitellään ympyrää. Mitä asioita pitää osata, jotta onnistuisi niiden ratkaisemisessa? 3. Tunti Tutkikaa ryhmissä kotitehtävässä valitsemianne yo tehtäviä. Valitkaa niiden perusteella ryhmälle oppimistavoite ja suunnitelkaa sen toteutus. Esittäkää suunnitelma opettajalle. Hyödyntäkää suunnitelmassa oppikirjoja, nettiä ja opettajaa. Itsearviointikysymyksiä ympyrän opiskelukokonaisuuden jälkeen: Mitä opit tässä opiskelukokonaisuudessa? Mitä ymmärrät nyt ympyrästä sellaista mitä et ymmärtänyt ennen? Miksi jokin ympyrään liittyvä asia on vaikea ymmärtää? Miten pääsit eteenpäin, kun et ymmärtänyt jotain asiaa? Paraabeli (3 x 75 min) Ehdotus: fontin väri siniseksi valmiissa 1. Tunti: Paraabelin geometrinen määritelmä. Opiskelijat katsovat kuvasta paraabelin uraominaisuuden ja johtavat paraabelin määritelmän sen avulla. Geometrisesta määritelmästä siirtyminen algebralliseen esitykseen. Symmetria akseli ja paraabelin huippu. Käsitteet: polttopiste ja johtosuora. Keskeisin tavoite: paraabelin geometrinen määritelmä. 2. tunti: Oikealle ja vasemmmalle aukeavien paraabelien käsittelyä, paraabelin ja muiden käyrien leikkauspiste. Keskeinen tavoite: oikealle ja vasemmalle aukeavien paraabelien yhtälöt. 3. tunti: Paraabelille tangentti sovelluksia ja edellisten kertaamista. 8
1) Avaa geogebrasovellus. http://www.geogebratube.org/student/m116961 Voit muuttaa paraabelia liikuttamalla pistettä F tai kuvassa näkyvää suoraa. a) Miten paraabeli ja sen yhtälö muuttuvat, kun siirrät pisteen F vihreän suoran alapuolelle? b) Mikä vaikuttaa siihen miten auki paraabeli on? c) Miten piste F ja suora pitäisi valita, jotta paraabelin yhtälö olisi y = (¼)x^2? d) Millainen on paraabelin yhtälö, jos F on origossa? e) Mieti sanallisesti, minkä ehdon paraabelin piste (x_0,y_0) toteuttaa. Kirjoita paraabelin uran sanallinen määritelmä. f) Kirjoita sanallinen ehtosi yhtälöksi. Muodosta paraabelin yhtälö, kun piste F = (1,2) ja kuvassa oleva suora y=1. Voit käyttää laskinta, tai laskea käsin. Varmista saitko oikein geogebran avulla. g) Muodosta paraabelin yhtälö, kun piste F = (2,1) ja kuvassa oleva suora x=1. Voit käyttää laskinta, tai laskea käsin. Varmista saitko oikein geogebran avulla 2) Avaa sama tiedosto, kuin tehtävässä 1. Mitä tapahtuu, jos vihreän suoran yhtälöksi syöttää jonkun muun suoran, kuin x akselin suuntaisen? a) kokeile vinoa suoraa b) kokeile pystysuoraa suoraa, siirrä pistettä F suoran molemmille puolille. Minkälainen on paraabelin yhtälö nyt? Kirjaa havaintosi ylös. 3) Milloin paraabeli on jonkin funktion kuvaaja? Määritä sen toisen asteen polynomin kuvaaja, jonka huippu on pisteessä (2, 3) ja joka kulkee pisteen (0,5) kautta. 4) Paraabelin huipun ja symmetria akselin tutkiminen, (toisen asteen polynomifunktion kertoimien tutkiminen) Paraabelin kuvaajan tutkimista GG:lla 9
Valmis pohja http://www.geogebratube.org/material/show/id/114770 5) Tutki GG sovelluksella paraabelien y=x^2+bx+2 huippupisteiden muodostamaa uraa, kun varioidaan lukua b (toteutettu liukukytkimellä + jälkitoiminto). Pystytkö perustelemaan matemaattisesti laskemalla syntyneen uran? 6) Paraabeliin liittyy paljon käsitteitä. Miten piirtämällä voisit löytää paraabelin huipun? Entä symmetria akselin? Miten ne löytäisi laskemalla? a) kun paraabelin akseli on y akselin suuntainen b) kun paraabelin akseli on x akselin suuntainen 7) Ympyrän yhtälö saatiin neliöön täydentämällä muotoon, jossa nähtiin ympyrän keskipiste ja säde. Tutki, miten paraabelin yhtälön voisi täydentää neliöksi. Mitä paraabelin yhtälöstä tällöin näkee? V a) kun paraabelin akseli on y akselin suuntainen b) kun paraabelin akseli on x akselin suuntainen 8) Jos ympyrän kehältä tuntee kolme pistettä, niin ympyrä on täysin määrätty. Päteekö sama myös paraabeliin, vai tarvitsetko jotain lisäehtoja, jotta kolme pistettä määrää paraabelin? 9) Tutkikaa millä eri tavoin paraabeli voi sijaita suhteessa ympyrään ja suoraan. 10) Keksikää ryhmässä oma kysymys paraabeliin liittyen. 11) Mikä on paraabelin tangentti? Entä normaali? Miten seuraavat kuvat on tehty geogebralla? 10
12) Milloin suora on ympyrän tangentti? Päteekö samankaltaiset laskennalliset ehdot myös silloin kun suora on paraabelin tangentti. Määritä algebrallisesti paraabelille y = x^2+2x se tangentti, joka sivuaa paraabelia valitsemassasi kohdassa. (Vinkki: muodosta suoraparvi, suorista, jotka kulkevat pisteen (1,3) kautta. Voit lähteä jostakin toisestakin ideasta liikkeelle.) 13) Keksikää vaihtoehtoisia tapoja ratkaista seuraava tehtävä. Määritä paraabelille y = x^2+2x ne tangentit, jotka kulkevat pisteen a) ( 1, 3) kautta b) ( 0, 6) kautta. 14) Onko syntynyt verhokäyrä paraabeli? Voit liikuttaa pisteitä A, B, C. Mikä on paraabelin yhtälö pisteiden koordinaatien avulla laskettuna? 15) Oheisessa kuvassa on tuotettu uratyökalulla paraabelin ura. Mihin ideaan konstruktio perustuu? Pistettä A voi liikuttaa pitkin johtosuoraa. 11
16) Miksi polttopisteen nimi on polttopiste? a) geogebrasovelluksen avulla. Miten tätä ominaisuutta voisi käyttä hyödyksi? b) Cassegrain sateliittiantennin toimintaperiaate 17) Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia keskenään. Loppukysely Oliko kivaa? Mitä opit? Millainen ryhmän jäsen olit? Itsearviointikysymyksiä: Tehtäiskö näistä avoimia vai suljettuja. Liittyvätkö sisällön hallintaan vai työskentelyyn tutkimustehtävissä? 1. Paraabelin määritelmä (tässä esimerkki suljetuista kysymyksistä, jolloin sisällönhallinnan arvioinnin voi toteuttaa nettikyselynä, tämä ei jotenkin tunnu hyvältä ) a) Tiedän paraabelin geometrisen määritelmän ja osaan johtaa sen avulla annetun paraabelin yhtälön. b) Tiedän paraabelin geometrisen määritelmän, mutta en osaa esittää sitä yhtälön muodossa. c) En tiedä paraabelin määritelmää. 2. Tiedänkö mikä on paraabelin akseli ja huippu? Osaanko määrittää ne annetusta paraabelista? 3. Hahmotanko mikä paraabelin yhtälössä vaikuttaa aukeamissuuntaan? Kuinka monella tavalla paraabeli voi aueta? 12
13