Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin kaksi odotusarvoista µ i, i = 1, 2,..., k, eroaa tilastollisesti merkitsevästi toisistaan. Jos nollahypoteesi H 0 hylätään, varianssianalyysia voidaan jatkaa ryhmittelyllä, jossa selvitetään missä ryhmissä odotusarvojen erot ovat tilastollisesti merkitseviä. Vertailu voidaan suorittaa käyttämällä luottamusvälejä tai testejä. Tehtävien parivertailujen lukumäärä on ( ) k 2 = k(k 1) 2 Kuusinen/Heliövaara 2

Odotusarvoparien vertailu - luottamusvälin käyttö 1/2 Oletetaan, että haluamme verrata odotusarvoja µ k ja µ l. Vertailu voidaan suorittaa siten, että konstruoidaan odotusarvojen µ k ja µ l erotukselle µ k µ l luottamusväli luottamustasolla (1 α) ja tutkitaan kuuluuko nolla väliin vai ei. Kuusinen/Heliövaara 3

Odotusarvoparien vertailu - luottamusvälin käyttö 2/2 Käytetään odotusarvojen µ k ja µ l erotuksen luottamusvälinä luottamustasolla (1 α) väliä (ȳ k ȳ l ) ± t α/2 s P 1 n k + 1 n l, missä s 2 P = 1 N k (n i 1)s 2 i = 1 N k on ns. yhdistetty varianssi, jossa s 2 i = 1 N k i havaintojen otosvarianssi. SSE = MSE ni j=1 (y ji ȳ i ) 2 on ryhmän Kuusinen/Heliövaara 4

Odotusarvoparien vertailu - testauksen käyttö 1/2 Oletetaan, että haluamme verrata odotusarvoja µ k ja µ l. Vertailu tapahtuu testaamalla nollahypoteesia merkitsevyystasolla α. Vaihtoehtoisen hypoteesina on H 0 : µ k = µ l H 1 : µ k µ l Kuusinen/Heliövaara 5

Odotusarvoparien vertailu - testauksen käyttö 2/2 Käytetään t-testisuuretta t = ȳ k ȳ l s P 1 n k + 1 n l. Nollahypoteesin pätiessä t t(n k). Itseisarvoltaan suuret testisuureen t arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. Kuusinen/Heliövaara 6

Simultaaniset testit - Bonferronin epäyhtälö Olkoot tapahtumia. Tällöin pätee Bonferronin epäyhtälö A 1, A 2,..., A m P (A 1 A 2 A m ) 1 [P (A c 1) + P (A c 2) + + P (A c m)]. Kuusinen/Heliövaara 7

Bonferronin menetelmä simultaanisissa testeissä 1/2 Oletetaan, että tehtävänä on suorittaa m tilastollista testiä. Simultaanisessa testauksessa tarkastellaan todennäköisyyttä α, että vähintään yhden testin nollahypoteesi hylätään virheellisesti. Määritellään tapahtuma A i = Nollahypoteesia ei hylätä virheellisesti testissä i, i = 1, 2,..., m. Jos kaikissa vertailutesteissä käytetään merkitsevyystasoa α, niin P (A i ) = 1 α, i = 1, 2,..., m, ja P (A c i) = α, i = 1, 2,..., m. Kuusinen/Heliövaara 8

Bonferronin menetelmä simultaanisissa testeissä 2/2 Bonferronin epäyhtälöstä seuraa, että α = P ( Vähintään yksi virheellinen hylkäys ) = 1 P ( Ei yhtään virheellistä hylkäystä ) = 1 P (A 1 A 2 A m ) mα, missä m on testien lukumäärä. Kun valitaan taataan, että α = β m, α β. Kuusinen/Heliövaara 9

Kontrastit Kuusinen/Heliövaara 10

Kontrastit Ryhmiin jaetun aineiston odotusarvoille µ i, i = 1, 2,..., k, voidaan esittää muitakin hypoteeseja kuin varianssianalyysissa käytetty tai parivertailuissa käytetty H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k = µ, H 0 : µ k = µ l. Esimerkiksi H 0 : µ k + µ k+1 = µ l + µ l+1 tai H 0 : µ k = 1 2 (µ l + µ l+1 ) Tämän muotoisia hypoteeseja voidaan testata käyttämällä kontrasteja. Kuusinen/Heliövaara 11

Kontrastin määritelmä Olkoon y ji = µ i + ε ji, j = 1, 2,..., n i, i = 1, 2,..., k yksisuuntaisen varianssianalyysin malli, jossa jäännöstermit ε ji ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε ji N(0, σ 2 ), j, i Parametrien µ 1, µ 2,..., µ k lineaarikombinaatio Γ = c i µ i on kontrasti, jos c i = 0. Kuusinen/Heliövaara 12

Kontrasteja koskevat hypoteesit Asetetaan kontrastille Γ nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi H 0 : Γ = H 1 : Γ = c i µ i = 0 c i µ i 0 Kuusinen/Heliövaara 13

Kontrastien estimointi Olkoon kontrastin estimaattori. C = Γ = c i ȳ i c i µ i Estimaattori C on normaalijakautunut: C N(µ C, σc 2 ), missä µ C = E(C) = c i µ i = Γ σ 2 C = D 2 (C) = σ 2 c 2 i n i Kuusinen/Heliövaara 14

F -testi kontrasteille 1/3 Olkoon Q 1 = C2 D 2 (C). Jos nollahypoteesi H 0 : Γ = 0 pätee, niin Q 1 χ 2 (1). Olkoon jossa SSE = k Voidaan osoittaa, että jossa N = n 1 + n 2 + + n k. Q 2 = SSE σ, 2 ni j=1 (y ji ȳ i ) 2 = k (n i 1)s 2 i. Q 2 χ 2 (N k), Kuusinen/Heliövaara 15

F -testi kontrasteille 2/3 Määritellään F -testisuure F = Q 1 /1 Q 2 /(N k) = (N k)q 1 Q 2. Voidaan osoittaa, että neliösummat Q 1 ja Q 2 ovat riippumattomia. Näin ollen, jos nollahypoteesi H 0 : Γ = 0 pätee, niin F F (1, N k). Kuusinen/Heliövaara 16

F -testi kontrasteille 3/3 Testisuure F voidaan kirjoittaa myös muodossa F = ( ) 2 k c iȳ i ( ), k c 2 i MSE n i jossa MSE = SSE/(N k) ja SS C = ( c i ȳ i ) 2 / c 2 i n i on kontrastin C neliösumma. Kuusinen/Heliövaara 17

t-testi kontrasteille Edellä esitetty F -testi ja testi, jossa käytetään t-testisuuretta t = MSE k c iȳ i ( k c 2 i n i ) ovat ekvivalentteja. Jos nollahypoteesi H 0 : Γ = 0 pätee, niin t t(n k). Kuusinen/Heliövaara 18

Ortogonaaliset kontrastit Kontrastit ja ovat ortogonaalisia, jos Γ = = c i µ i d i µ i c i d i n i = 0. Kuusinen/Heliövaara 19

Ortogonaaliset kontrastit ja SSG Toisistaan riippumattomien ortogonaalisien kontrastien lukumäärä on k 1, jossa k on ryhmien lukumäärä. Ortogonaaliset kontrastit dekomponoivat ryhmien välistä vaihtelua kuvaavan SSG-neliösumman (k 1) komponenttiin, joista jokaisen aste on 1. Siten ortogonaalisiin kontrasteihin liittyvät testit ovat riippumattomia. Kuusinen/Heliövaara 20