MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Surakulmaisessa klmissa n 7. kulma ja tämän vastainen kateetti n 5 mm. Laske hyptenuusa ja viereinen kateetti.. Surakulmaisessa klmissa n 74 kulma ja tämän viereinen kateetti n 1 m. Laske puuttuvien sivujen pituudet.. Surakulmaisen klmin hyptenuusa n 16 ja kateetti 14,4. Laske terävien kulmien asteluvut. 4. Pulisuunnikkaan mutisen tntin kantasivut vat 8 m ja 49 m. Mainitussa pulisuunnikkaassa n kaksi suraa kulmaa ja yksi 66 kulma. Mikä n tntin pinta-ala ja tntin hinta, kun neliömetri maata maksaa 1. Kuvi n ehdttmasti piirrettävä! 5. *Tasakylkisen klmin kanta n 6 ja kylki 4. Laske klmin ympäri piirretyn ympyrän säde. 6. Tasakylkisen klmin kanta n 5 ja krkeus 6. Laske klmin sisään piirretyn ympyrän säde. 7. Tähystäjä seis laivan keulassa 11 m krkeudella merenpinnasta. Kun laiva n khdassa A, majakan val näkyy 11 kulmassa vaakatasn nähden. Neljä minuuttia myöhemmin khdassa B val näkyy 6 kulmassa. Mikä li laivan vauhti, kun tiedetään, että majakan val n 88 m krkeudella meren pinnasta ja majakka n pisteiden A ja B kanssa samalla suralla. 8. Muunna radiaaneiksi a 7 b 1 c 5 d 9. Ympyrän säde n 7 ja kulman, jnka kärkipiste sijaitsee ympyrän keskipisteessä, kyljet erttavat kehältä kaaren, jnka pituus n 1. Laske a keskuskulman suuruus radiaaneissa ja muunna se asteiksi, b sektrin ala c kaarta vastaavan jänteen pituus 1(9
1. Kuinka suuri n ympyrän säde, js siinä rad suuruista keskuskulmaa 18 vastaavan kaaren pituus n täsmälleen yhden kilmetrin. (Likiarv n vähän yli 5 km, mutta anna tarkka arv myös. 11. Kuinka kaukaa katsttuna maapall näkyy yhden radiaanin suuruisessa kulmassa, kun Maan säde n nin 67 km. Ilmita kyseinen etäisyys Maan pinnasta mitaten. 1. Piirrä neliö ja jaa se lävistäjällä kahteen yhteneväiseen surakulmaiseen klmin. Piirrä myös tasasivuinen klmi ja jaa se krkeusjanalla kahteen keskenään yhteneväiseen surakulmaiseen klmin. Täydennä näin syntyneiden klmiiden sivujen suuruussuhteita hyväksi käyttäen seuraava taulukk: Kulma sin cs tan 6 4 1. Surakulmaisen klmin mutisen tasapaksun teräslevyn kateetit vat 16 cm ja cm. Levy leikataan kahteen saan suuremman terävän kulman kärjestä lähtevää kulmanpulittajaa pitkin. Kuinka mnta % a pienemmän levyn ala n suuremman alasta? b suuremman levyn ala n pienemmän levyn alaa suurempi? 14. Käyttäen hyväksi tehtävän 1 tulsta (jka tivttavasti li ainakin asteissa mitatuille kulmille tuttu sekä funktiiden sin ja cs jaksllisuutta, määritä 9 1 7 a sin b cs c cs. 6 4 15. Määrää sin, cs ja tan, kun kulman kehäpisteen krdinaatit vat 1 (,. Aseta tämä piste yksikköympyrän kehälle ja ilmita, mikä n 5 5 sen kulman asteluku, jta se vastaa. (9
16. Laadi yksikköympyrään cs :n ja tan :n merkkikaavi. 17. Määritä laskinta käyttämättä palautuskaavjen ja tehtävän 1 njalla sekä sin että cs, kun = 5 7 7 a15 b 6 c d e f g 1 4 4 6 6 18. Määritä laskimella kulmalle β kaksidesimaalinen likiarv, kun 9 < β < 18 ja a sin β =.6789. 19. Kulman γ kehäpiste sijaitsee krdinaatistn IV neljänneksessä. Määritä sin γ (tarkat arvt!!!, kun tiedetään, että cs γ = 9.. Yksikköympyrään sijitetaan svitulla tavalla a b 159 c 4 d asteen kulma. Määritä laskimella kunkin kehäpisteen krdinaattien likiarvt kahden desimaalin tarkkuudella. 1. Kulmasta α tiedetään seuraavaa: 1 < α < 6 csα = 1 sinα = radiaaneissa.. Määritä α sekä asteissa että. Pisteiden A ja B välisen etäisyyden tiedetään levan 14567 m. Laskettava pisteen C etäisyys sekä A:sta että B:stä, kun tiedetään, että kulma CAB = 9,5 ja kulma ABC = 81,5 O.. Kitaristi Jhn Ruhn n llut hunilla teillä. Hänen aamuyöllä ktiin palatessaan hänelle n järjestetty väijytys. Ovela Jhn kiertää sen heisen kuvan mukaan. Paljnk hänen kulkemansa matka pitenee? Ilman väijytystä hän lisi vinut kulkea suraviivaisesti. 155 väijytys 158 m 1 4. *Piirrä harppia, viivitinta, ehkäpä astelevyäkin käyttäen klmi, jnka kaksi sivua vat 6, cm ja 5,1 cm ja jälkimmäisen sivun vastainen kulma 7,8. Laske klmin muut kulmat ja tuntemattman sivun pituus. (9
6 5. Määritä funktin f: f( = suurin ja pienin arv. Missä pisteissä cs 5 kumpikin näistä saavutetaan. Mikä n funktin f määritysjukk D f ja arv-jukk V f? Hahmttele kuvaaja näiden avulla pääpiirtein. 6. Piirrä samaan krdinaatistn funktiiden y = sin ja y = sin kuvaajat laskemalla taulukkn kummankin funktin arvja nin 1 välein esimerkiksi väliltä [, ] taikka käyttämällä graafista laskinta tahi tietknetta. 7. Osita ikeaksi integraalilaskennassa aika keskeinen kaava 1 1 + tan =. cs 8. Ratkaise yhtälöt a sin = b cs = ½ c tan = 1 ja merkitse kaikissa ratkaisun antavien kulmien kehäpisteet yksikköympyrään näkyviin. 9. Ratkaise yhtälöt a sin = 1 b cs = 1 1 c =. Kaikissa yksikköympyrä näkyvissä. Myös seuraavissa tan yhtälöissä!!!. Ratkaise yhtälöt a sin + sin + ½ = b sin + sin = 1. 1. Ratkaise yhtälö sin( = sin4. ( = + n = n, muunkinlainen vastausesitysmut saattaa lla täsmälleen ikein. Ratkaise yhtälö cs = cs4.. *Ratkaise yhtälö cs cs + 4 = 8cs ( ± + n 4(9
4. Ratkaise yhtälö cs sin cs = n 5. Ratkaise yhtälö sin( cs = ( = 5 6. Ratkaise yhtälö tan( = 1 ( = + n 6 4 7. Ratkaise yhtälö sin = cs ( = + n 8. Määritä a cs75 bcs15 yhteen- ja vähennyslaskukaavjen avulla. (Tinen n 6 4 9. Osita, että kaikilla reaaliluvuilla a cs( = cs bcs( + = cs sijittamalla ihan kylmästi ksinin vähennys- ja yhteenlaskukaavaan. 4. Mihin binmiin n svellettu sinin yhteenlaskukaavaa, kun n saatu lauseke 1 cs + sin?? 41. a Kehitä cs (cs :n plynmiksi ja a sin (sin :n plynmiksi sveltamalla yhteenlaskukaavja ja hksaamalla, että = +. 4. Ratkaise yhtälö sin = sin. 4. Sveltamalla kaksinkertaisen ksinin kaavja määritä ksini. Humaa, että 45 =,5.,5 kulman sini ja 44. Jhda tangentin yhteenlaskukaava lähtemällä siitä, että sin( + y tan( + y = cs( + y ja sijita sitten saamaasi lausekkeeseen = y, jllin saat kaksinkertaisen kulman tangentin. Määritä sen avulla tan,5, äläkä säikähdä, js judut ratkaisemaan tisen asteen yhtälön. Saamasi kaavat tauluksta tarkista. 5(9
sin( pyy 45. Määritä seuraavat raja-arvt njautumalla tulkseen lim = 1: pyy pyy sin k tan 1 cs 1 cs a lim b lim c lim d lim. 46. Jhda funktiiden y = tan ja y = ct derivaatat ttamalla humin, että sin cs tan = ja ct = ja käyttämällä samäärän derivintikaavaa, cs sin 47. Funktin y = sin kuvaajan pisteeseen (a, sin a asetetaan nrmaali, jka leikkaa y-akselin pisteessä (,b, Määritä limb, kun tiedetään, että < a < a. Muistanet käyrän y = f( pisteeseen (, f( asetetun tangentin ja nrmaalin yhtälöt: tangentti : nrmaali : y y f ( f ( = = f ( 1 f ( ( ( 48. Olkn f( = sin(sin. Määritä f ( ja f. Määritä lpuksi kaikki ne :n arvt, jilla derivaatta f ( saa arvn nlla. 49. Osita, että käyrät y = sin ja y = cs leikkaavat tisensa pisteessä = 6. Missä kulmassa ne leikkaavat? Ohje: käyrien leikkauskulma n leikkauspisteeseen asetettujen tangenttien välinen kulma. 5. Puliympyrän sisään piirretään surakulmi, jnka a pinta-ala n mahdllisimman suuri b piiri n mahdllisimman pitkä. Määritä kumpaisessakin tapauksessa surakulmin kannan ja krkeuden suhde. Ohje: Ota muuttujaksi heiseen kuvin piirretty keskuskulma. 51. Määritä seuraavien lukujnjen yleinen termi: 4 a,, 5, 6, 4... b1, 4,16, 64,... c, 9, 7 81 4,,,... 4 5 6 6(9
5. Kirjita lukujnn ( a n viisi ensimmäistä termiä, kun n n a an = ( 1 b a1 = ja an+ 1 = an + n + 1 n 5. Määritä lukujnn (a n yleinen termi, kun jnn alkupää n seuraavanlainen: 4 6 8 a,,,... b, 1 4 5,,,,, 5 7 5 1 17 6 7 54. Määritä lukujnn an = n 5n + pienin luku. Ohje: Mieti, miten tässä visi käyttää reaalifunktin f: f( = 5 + ääriarvteriaa? 55. Osita tutkimalla ertusta an+ 1 an, että lukujn an = kasvava. n 1 n aidsti n 56. Tutki vastaavan reaalifunktin derivaatan merkin avulla lukujnn an = n + n mntnisuutta, ts. millä n:n arvilla jn kasvaa (aidsti ja millä n:n arvilla se vähenee (aidsti! n 1 57. Kuinka mnennesta termistä alkaen jnn an = kaikki termit n + 1 pikkeavat jnn raja-arvsta vähemmän kuin kymmenestuhannessan? 58. Määritä n n + n + 167 lim. n 5n n + 18 59. Määritä lim ( n + 1 n. n 6. a Määritä jnn 7, 11, 15, 19... yleinen termi. b Määritä jnn viideskymmenes termi. 61. Aritmeettisen jnn klmas luku n 11 ja kahdeksas luku n 1. Määritä jnn viidestista ja kahdeskymmenes seitsemäs luku. 6. Kuinka mnta nelinumerista, klmellatista jallista kknaislukua n? 7(9
6. Aritmeettisessa jnssa n yhdeksän ensimmäisen termin summa = 6 ja ensimmäinen termi = 1. Määrää jnn neljäs termi. 64. m paperia, jnka paksuus n.5 mm, rullataan sellaiselle hylsylle, jnka säde n 1. cm. Kuinka mnta kierrsta paperia rullaan tulee ja kuinka suuri n sitten rullan ulkhalkaisija? Humaa, että peräkkäiset kierrkset paperia hylsylle käärittynä mudstavat aritmeettisen jnn. 65. Jnsta 5, 1,, 4... löytyy luku 51. Kuinka mnes jnn luku se n? 66. Gemetrisessa jnssa n a4 + a5 = ja a9 + a1 = 975. Määritä jnn alusta klme ensimmäistä termiä. 67. Alipainepumppu pistaa jkaisella männän iskulla säiliössä levasta kaasusta % ja pumpun käyntinpeus n 1 iskua minuutissa. Kuinka kauan pumppu n llut käynnissä, kun kaasusta n pistettu 99,9 %? 68. Laske summat a + lg + (lg b + lg + lg + (lg + lg +... + (lg +... + lg Sievennä tulkset siinä erikistapauksessa, että n = 7 ja = 1 1. n 1 69. Tiina saa kuukausirahaa 1, jtka tarkkana tyttönä tallettaa % tilille jkaisen kuukauden 1. päivänä. Paljnk tilillä n rahaa vuden kuluttua? Tilille n siis suritettu 1 talletusta, jista viimeinen n kasvanut krka tasan kuukauden ja ensimmäinen tasan vuden. 7. Mikk staa 65 eurn hintaisen pientilan ja maksaa siitä kaupantektilaisuudessa 15.6.8 15. Jäljellä leva kauppahinta svitaan suritettavaksi vusittain 1 erissä 15.6.9, 15.6.1 jne. Kesäkuun alussa 9 Mikka khtaa ihmeellinen nni, sillä saapuu tiet, että hänen Amerikissa asunut tätinsä n kullut. Tiedn mukana saapuu ikeaksi tdistettu jäljennös testamentista, jka kert tädin testamentanneen Miklle klmanneksen maisuudestaan, jnka rahaksi muuttamisen jälkeen hän pystyy maksamaan tilan velkasuuden (5 eura kknaisuudessaan. Kuinka suuren summan Mikk myyjälle maksaa 15.6.9, kun krkkanta n 5,5 %? 71. Perheellä n asuntlaina, jnka krk n 7,5% ja takaisinmaksuaika 1 vutta. Laina maksetaan tasaerin kuukausittain. Laske kuukausimaksun suuruus ja se, kuinka paljn perhe jutui maksamaan krkja. n 1 8(9
7. Alplla li % säästötilillä erään vuden alussa 15. Oli Alpnkin Amerikan täti kullut ja antanut perintöä. Alp nsti tililtä jkaisen kuukauden alussa 1 ja eli tuhlaajapjan tavin. Paljnk tilillä li rahaa vuden viimeisenä päivänä krkjen merkitsemisen jälkeen? 7. Kesällä 7 n pienessä maaseutulukissa haettavana yksi matemaattisten aineitten ja yksi rutsin ja englannin vanhemman lehtrin virka. Opiskeluajan lppupulella tulisesti rakastuneet Markus ja Suvi vat aviituneet ja ehtineet valmistuakin keväällä 7 vidakseen hakea mainittuja virkja. Mlemmat valitaan ja saisivat asunnn sta varten 1 lainan 6,5 % krlla 1 vudeksi. Laina svittaisiin lyhennettäväksi kuukausittain annuiteettiperiaatteella, mutta nyt n nurella parilla ankara miettiminen, kuinka suuren lainan he uskaltavat ttaa. Paikkakunnalla n useitakin käyttökelpisia asuntja myytävänä, mutta Suvi kauhistelee tulevan mahdllisen velkataakan hitmahdllisuuksia, ilmaisee pelka ansisidnnaisen äitiysrahan leikkaamiseen ja kyselee varvasti Markukselta, kuinka pitkälle tämän mielestä n haikaran tula siirrettävä. Kun vanhemman lehtrin lähtöpalkka yhdellä palvelulisällä n nin 4, jsta n maksettava vera 1%, ja kun nuret laskevat, että tisen palkalla hidetaan asuntlaina, pystyvätkö he ttamaan kuvatuilla ehdilla lainaksi 1. Js lainan annuiteetti pikkeaa humattavasti tisen pulisn nettpalkasta, laske sen lainan pääma, jsta he kykenevät vielä selviytymään. 74. Lainaa (pääma = K lyhennetään kerran vudessa. Kuinka mnta % enemmän judutaan maksamaan krka (lausuttava K:n avulla, js 7 % laina tetaan 15 vudeksi kuin js se tettaisiin 1 vudeksi. Laske svellutuksena krkjen er eurissa, js lainan pääma n 1. 9(9