MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016
Sisältö Derivaatta
1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) f ( x) x 0 x 0 +h x
1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) f ( x) x 0 x 0 +h x I fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus).
1.1 Derivaatan määritelmä Määritelmä 1 Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0, x 0 + [. Sen derivaatta pisteessä x 0 on f 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x 0 )= lim = lim, h!0 h x!x0 x x 0 jos raja-arvo olemassa.
1.1 Derivaatan määritelmä Määritelmä 1 Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0, x 0 + [. Sen derivaatta pisteessä x 0 on f 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x 0 )= lim = lim, h!0 h x!x0 x x 0 jos raja-arvo olemassa. Funktio on derivoituva, jos sillä on derivaatta jokaisessa määrittelyjoukon (= avoin väli) pisteessä.
1.1 Derivaatan määritelmä Määritelmä 1 Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0, x 0 + [. Sen derivaatta pisteessä x 0 on f 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x 0 )= lim = lim, h!0 h x!x0 x x 0 jos raja-arvo olemassa. Funktio on derivoituva, jos sillä on derivaatta jokaisessa määrittelyjoukon (= avoin väli) pisteessä. Merkintöjä: f 0 (x 0 )=Df (x 0 )= df dx x=x0, f 0 = Df = df dx.
1.1 Korkeamman kertaluvun derivaatat Jos funktion derivaatta f 0 (x) on määritelty jollakin avoimella välillä ]x 0, x 0 + [, niin voidaan tutkia funktion f 0 erotusosamäärää pisteessä x 0.Näin saadaan toisen kertaluvun derivaatta f 00 (x 0 )=D 2 f (x 0 )= d 2 f dx 2 x=x 0. Jatkamalla samaan tapaan voidaan määritellä korkeamman kertaluvun derivaatat f 000 (x), f (4) (x),... Merkintä: C n ]a, b[ = {f : ]a, b[! R f on n kertaa derivoituva välillä ]a, b[ ja f (n) on jatkuva} Tällaisia funktioita kutsutaan n kertaa jatkuvasti derivoituviksi.
1.1 Linearisointi ja differentiaali Derivaatan määritelmä johtaa approksimaatioon f 0 (x 0 ) f (x) f (x 0) x x 0 () f (x) f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) Oikean puoleinen lauseke on funktion f linearisointi eli differentiaali pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df.
1.1 Linearisointi ja differentiaali Derivaatan määritelmä johtaa approksimaatioon f 0 (x 0 ) f (x) f (x 0) x x 0 () f (x) f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) Oikean puoleinen lauseke on funktion f linearisointi eli differentiaali pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df.
1.1 Linearisointi ja differentiaali Derivaatan määritelmä johtaa approksimaatioon f 0 (x 0 ) f (x) f (x 0) x x 0 () f (x) f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) Oikean puoleinen lauseke on funktion f linearisointi eli differentiaali pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df. Linearisoinnin kuvaaja y = f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) on funktion kuvaajan pisteeseen (x 0, f (x 0 )) asetettu tangenttisuora. Differentiaalin merkitys tulee paremmin esille vasta usean muuttujan funktioiden yhteydessä.
1.1 Linearisointi ja differentiaali Derivaatan määritelmä johtaa approksimaatioon f 0 (x 0 ) f (x) f (x 0) x x 0 () f (x) f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) Oikean puoleinen lauseke on funktion f linearisointi eli differentiaali pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df. Linearisoinnin kuvaaja y = f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) on funktion kuvaajan pisteeseen (x 0, f (x 0 )) asetettu tangenttisuora. Differentiaalin merkitys tulee paremmin esille vasta usean muuttujan funktioiden yhteydessä. Myöhemmin käsitellään funktion f approksimointia myös korkeamman asteen polynomien avulla (Taylor-polynomi).
1.1 Derivaatan fysikaalinen tulkinta I Jos x = x(t) on kappaleen yksiulotteisen liikkeen paikkakoordinaatti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) =x 0 (t) =ẋ(t). Näistä viimeinen on tavallinen merkintä fysiikassa.
1.1 Derivaatan fysikaalinen tulkinta I Jos x = x(t) on kappaleen yksiulotteisen liikkeen paikkakoordinaatti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) =x 0 (t) =ẋ(t). Näistä viimeinen on tavallinen merkintä fysiikassa. I Vastaavalla tavalla a(t) =v 0 (t) =x 00 (t) = x(t).. on kappaleen hetkellinen kiihtyvyys.
1.1 Derivaatan fysikaalinen tulkinta I Jos x = x(t) on kappaleen yksiulotteisen liikkeen paikkakoordinaatti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) =x 0 (t) =ẋ(t). Näistä viimeinen on tavallinen merkintä fysiikassa. I Vastaavalla tavalla a(t) =v 0 (t) =x 00 (t) = x(t).. on kappaleen hetkellinen kiihtyvyys. I Yleisemmin: Ajasta riippuvan funktion f (t) hetkellinen muutosnopeus on f 0 (t).
1.2 Laskusääntöjä I Lineaarisuus D f (x)+g(x) = f 0 (x)+g 0 (x) D cf (x) = cf 0 (x), kun c 2 R on vakio
1.2 Laskusääntöjä I Lineaarisuus D f (x)+g(x) = f 0 (x)+g 0 (x) D cf (x) = cf 0 (x), kun c 2 R on vakio I Tulon derivoimissääntö D f (x)g(x) = f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x)
1.2 Laskusääntöjä I Lineaarisuus D f (x)+g(x) = f 0 (x)+g 0 (x) D cf (x) = cf 0 (x), kun c 2 R on vakio I Tulon derivoimissääntö D f (x)g(x) = f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x) I Osamäärän derivoimissääntö f (x) D = f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x) g(x) g(x) 2
1.2 Laskusääntöjä I Lineaarisuus D f (x)+g(x) = f 0 (x)+g 0 (x) D cf (x) = cf 0 (x), kun c 2 R on vakio I Tulon derivoimissääntö D f (x)g(x) = f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x) I Osamäärän derivoimissääntö f (x) D = f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x) g(x) g(x) 2 I Yhdistetyn funktion derivoimissääntö D f (g(x) = f 0 g(x) g 0 (x) Tälle käytetään nimitystä ketjusääntö = Chain Rule.
1.2 Eräitä derivaattoja I D(vakiofunktio) =0
1.2 Eräitä derivaattoja I D(vakiofunktio) =0 I D(x r )=rx r 1, r 6= 0
1.2 Eräitä derivaattoja I D(vakiofunktio) =0 I D(x r )=rx r 1, r 6= 0 I D(sin x) =cos x, D(cos x) = sin x
1.2 Eräitä derivaattoja I D(vakiofunktio) =0 I D(x r )=rx r 1, r 6= 0 I D(sin x) =cos x, D(cos x) = sin x I D(tan x) =1 + tan 2 x = 1 cos 2, kun x 6= /2 + n x
1.2 Eräitä derivaattoja I D(vakiofunktio) =0 I D(x r )=rx r 1, r 6= 0 I D(sin x) =cos x, D(cos x) = sin x I D(tan x) =1 + tan 2 x = 1 cos 2, kun x 6= /2 + n x I De x = e x, D ln x = 1/x, kun x 6= 0 (näihin palataan myöhemmin)
sin(x):n derivaatta Esimerkki 2 Johda funktion f (x) =sin x derivaatta kohdassa x 0. Ratkaisu: Erotusosamäärä saadaan yhteenlaskukaavan avulla muotoon sin(x 0 + h) sin(x 0 ) h = sin x 0 cos h + cos x 0 sin h sin x 0 h sin h = cos x 0 h + sin x cos h 1 0. h Koska (perustelut aikaisemmin/seuraavalla sivulla) sin h cos h 1 lim = 1 ja lim = 0, h!0 h h!0 h niin derivaataksi saadaan f 0 (x 0 )=cos x 0 1 + sin x 0 0 = cos x 0.
sin(x):n derivaatta (cont.) Raja-arvo sin h lim = 1 h!0 h johdettiin aikaisemmin geometrisesti ja suppiloperiaatteen avulla. Koska (muista sin 2 h + cos 2 h = 1) cos h 1 h = = (cos h 1)(cos h + 1) h(cos h + 1) sin h h = cos2 h 1 h(cos h + 1) sin h cos h + 1! 1 0 2 = 0, kun h! 0, niin saadaan jälkimmäinen raja-arvo.
1.2 Esimerkkejä Käytännössä derivaatat voidaan laskea laskusääntöjen ja tunnettujen derivaattojen avulla:
1.2 Esimerkkejä Käytännössä derivaatat voidaan laskea laskusääntöjen ja tunnettujen derivaattojen avulla: I D x 3 4x 2 + 6 = 3x 2 8x
1.2 Esimerkkejä Käytännössä derivaatat voidaan laskea laskusääntöjen ja tunnettujen derivaattojen avulla: I D x 3 4x 2 + 6 = 3x 2 8x I D p 1 + 5x 2 = 1 2 (1 + 5x 2 ) 1/2 D(1 + 5x 2 )= 5x p 1 + 5x 2
1.2 Esimerkkejä Käytännössä derivaatat voidaan laskea laskusääntöjen ja tunnettujen derivaattojen avulla: I D x 3 4x 2 + 6 = 3x 2 8x I D p 1 + 5x 2 = 1 2 (1 + 5x 2 ) 1/2 D(1 + 5x 2 )= I D x 2 cos(3x) = D(x 2 ) cos(3x)+x 2 D cos(3x) = 2x cos(3x)+x 2 sin(3x) D(3x) = 2x cos(3x) 3x 2 sin(3x) 5x p 1 + 5x 2
1.2 Esimerkkejä Käytännössä derivaatat voidaan laskea laskusääntöjen ja tunnettujen derivaattojen avulla: I D x 3 4x 2 + 6 = 3x 2 8x I D p 1 + 5x 2 = 1 2 (1 + 5x 2 ) 1/2 D(1 + 5x 2 )= I D x 2 cos(3x) = D(x 2 ) cos(3x)+x 2 D cos(3x) = 2x cos(3x)+x 2 sin(3x) D(3x) = 2x cos(3x) 3x 2 sin(3x) I D sin(1/x) = cos(1/x)d(1/x) = cos(1/x) ( 1/x 2 ) = cos(1/x)/x 2, kun x 6= 0 5x p 1 + 5x 2
1.3 Yleisiä tuloksia Olkoon f :[a, b]! R. I Jos f on derivoituva pisteessä x 0 2 ]a, b[, niin se on jatkuva pisteessä x 0.
1.3 Yleisiä tuloksia Olkoon f :[a, b]! R. I Jos f on derivoituva pisteessä x 0 2 ]a, b[, niin se on jatkuva pisteessä x 0. Perustelu: Seuraa derivaatan määritelmästä, koska f (x 0 + h) f (x 0 ) h = f 0 (x 0 )+"(x 0, h) ) f (x 0 + h) f (x 0 )=f 0 (x 0 )h + h "(x 0, h). Tässä "(x 0, h) on raja-arvoon liittyvä virhetermi, jolle "(x 0, h)! 0, kun h! 0.
I (Rollen lause) Jos f on derivoituva paikallisessa ääriarvohdassa x 0 2 ]a, b[, niin f 0 (x 0 )=0. Perustelu: Erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat erimerkkiset paikallisessa ääriarvokohdassa, esim. paikalliselle maksimille f (x 0 + h) f (x 0 ) h f (x 0 + h) f (x 0 ) h = negatiivinen positiivinen = negatiivinen negatiivinen apple 0, kun h > 0, 0, kun h < 0 ja h on niin pieni, että f (x 0 ) on maksimi välillä [x 0 h, x 0 + h].
1.3 Väliarvolause Lause 3 Jos f on jatkuva välillä [a, b] ja lisäksi derivoituva avoimella välillä ]a, b[, niin on olemassa sellainen piste c 2 ]a, b[, että f 0 (c) = f (b) b f (a), ts. f (b) f (a) =f 0 (c)(b a). a
1.3 Väliarvolause (cont.) y y = f ( x) a c b x
1.3 Väliarvolause (cont.) Väliarvolauseen todistus: Sovelletaan Rollen lausetta apufunktioon g(x) =f (x) f (b) b f (a) (x a) f (a), a joka toteuttaa g(a) =g(b) =0. Sen paikallisessa ääriarvokohdassa c 2 ]a, b[ pätee g 0 (c) =0, f (b) f (a) =f 0 (c)(b a). y janan pituus = g(x) y = f ( x) a b x
1.3 Väliarvolauseen seurauksia I Jos f 0 (x) =0 kaikissa avoimen välin pisteissä x, niin f on vakiofunktio tällä välillä. I Jos f 0 (x) 0 jollakin välillä, niin f on kasvava tällä välillä; jos f 0 (x) apple 0 jollakin välillä, niin f on vähenevä tällä välillä. I Jos edellisen kohdan lisäksi f 0 (x) =0 ainoastaan yksittäisissä pisteissä, niin f on aidosti kasvava/vähenevä. Esimerkki: f (x) =x 3.
1.3 L Hôpitalin sääntö Raja-arvojen laskeminen derivaatan avulla; erilaisia versioita mm. tyyppiä 0/0 tai 1/1 oleville raja-arvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tapaus: Lause 4 Oletetaan, että f (x 0 )=g(x 0 )=0ja funktiot f, g ovat derivoituvia jollakin välillä ]x 0, x 0 + [. Jos on olemassa, niin lim x!x 0 lim x!x 0 f 0 (x) g 0 (x) f (x) g(x) = lim x!x 0 f 0 (x) g 0 (x).
1.3 L Hôpitalin sääntö Raja-arvojen laskeminen derivaatan avulla; erilaisia versioita mm. tyyppiä 0/0 tai 1/1 oleville raja-arvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tapaus: Lause 4 Oletetaan, että f (x 0 )=g(x 0 )=0ja funktiot f, g ovat derivoituvia jollakin välillä ]x 0, x 0 + [. Jos on olemassa, niin lim x!x 0 lim x!x 0 f 0 (x) g 0 (x) f (x) g(x) = lim x!x 0 f 0 (x) g 0 (x).
Perustelu: Erikoistapauksessa g 0 (x 0 ) 6= 0 perustelu on lyhyt: f (x) g(x) = f (x) f (x 0) g(x) g(x 0 ) = f (x) f (x 0) /(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) /(x x 0 )! f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ).
Perustelu: Erikoistapauksessa g 0 (x 0 ) 6= 0 perustelu on lyhyt: f (x) g(x) = f (x) f (x 0) g(x) g(x 0 ) = f (x) f (x 0) /(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) /(x x 0 )! f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ).
Perustelu: Erikoistapauksessa g 0 (x 0 ) 6= 0 perustelu on lyhyt: f (x) g(x) = f (x) f (x 0) g(x) g(x 0 ) = f (x) f (x 0) /(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) /(x x 0 )! f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ). Yleisessä tapauksessa tarvitaan ns. yleistettyä väliarvolausetta, jonka mukaan f (x) g(x) = f 0 (c) g 0 (c) jossakin pisteessä c 2 ]x 0, x[. Tällöin osoittajassa ja nimittäjässä on sama piste c, joten edes derivaattojen jatkuvuutta ei tarvita!
Esimerkki 5 sin(4x) Laske raja-arvo lim. x!0 x
Esimerkki 5 sin(4x) Laske raja-arvo lim. x!0 x Ratkaisu: Koska sin(4x)/x on muotoa 0/0 kohdassa x = 0, niin voidaan (yrittää) soveltaa L Hôpitalin sääntöä: sin(4x) 4 cos(4x) lim = lim = 4. x!0 x x!0 1 Koska derivoidulla muodolla on raja-arvo 4, niin lasku on pätevä.
Esimerkki 5 sin(4x) Laske raja-arvo lim. x!0 x Ratkaisu: Koska sin(4x)/x on muotoa 0/0 kohdassa x = 0, niin voidaan (yrittää) soveltaa L Hôpitalin sääntöä: sin(4x) 4 cos(4x) lim = lim = 4. x!0 x x!0 1 Koska derivoidulla muodolla on raja-arvo 4, niin lasku on pätevä. Huom. 1: Jos derivoitu raja-arvo on edelleen muotoa 0/0, niin sääntöä voidaan yrittää käyttää toisen (tai useamman) kerran.
Esimerkki 5 sin(4x) Laske raja-arvo lim. x!0 x Ratkaisu: Koska sin(4x)/x on muotoa 0/0 kohdassa x = 0, niin voidaan (yrittää) soveltaa L Hôpitalin sääntöä: sin(4x) 4 cos(4x) lim = lim = 4. x!0 x x!0 1 Koska derivoidulla muodolla on raja-arvo 4, niin lasku on pätevä. Huom. 1: Jos derivoitu raja-arvo on edelleen muotoa 0/0, niin sääntöä voidaan yrittää käyttää toisen (tai useamman) kerran. Huom. 2: Muoto 0/0 on aina tarkistettava: cos x lim x!0 x 6= lim x!0 sin x 1 = 0.
1.3 Ääriarvotehtävät Seuraavassa A R on väli. I Funktiolla f : A! R on paikallinen maksimi/minimi pisteessä x 0 2 A, jos x 0 on funktion f maksimi-/minimikohta jollakin välillä A \ [x 0, x 0 + ]. I Paikallinen ääriarvo = paikallinen maksimi tai minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. I Paikallinen ääriarvo voi tulla (i) derivaatan nollakohdassa (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, tai (iii) sellaisessa kohdassa, jossa funktio ei ole derivoituva. I Jos tiedetään etukäteen, että funktiolla on maksimi/minimi, niin etsitään kaikki mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat (vrt. edellinen), lasketaan niissä funktion arvot ja valitaan näistä suurin/pienin.
1.3 Ääriarvotehtävät (cont.) Esimerkki 6 Määritä funktion f :[0, 2]! R, f (x) =x 3 arvo. 6x, suurin ja pienin Ratkaisu: Derivaatan nollakohdat: f 0 (x) =3x 2 6 = 0, x = ± p 2. Koska p 2 62 [0, 2], niin lasketaan arvot f (0) =0, f ( p 2)= 4 p 2, f (2) = 4, joista voidaan valita funktion pienin arvo 4 p 2 ja suurin arvo 0.
1.3 Kuperuus I Kupera eli konveksi alue D R 2 : jos x, y 2 D, niin myös niiden välinen yhdysjana [x, y] D I Välillä I R määritelty funktio on kupera eli konveksi, jos sen kuvaajan yläpuolinen tasoalue on kupera; tähän riittää se että kuvaajalle piirretyt sekantit ovat aina kuvaajan yläpuolella, kaavana f (1 t)x + ty apple (1 t)f (x)+tf (y), kun x, y 2 I, t 2 [0, 1]. I Erityisesti: jos f 00 (x) 0 koko välillä, niin f on konveksi I Funktion käännepiste: kohta, jossa kuvaajalla on tangentti ja funktion kuperuussuunta vaihtuu. Esimerkiksi, jos f 00 (x) vaihtaa merkkiä. I Jos funktion f derivaatan nollakohdassa x 0 on f 00 (x 0 ) < 0, niin kyseessä on paikallinen maksimi; jos f 00 (x 0 ) > 0, niin kyseessä on paikallinen minimi. Tapauksessa f 00 (x 0 )=0 tilannetta täytyy tutkia tarkemmin.