7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista

7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0. Lukuja λ, joille vastaava nollasta eroava funktio V on olemassa, kutsutaan ominaisarvoiksi, ja funktioita V vastaaviksi ominaisfunktioiksi. Esimerkki 7.1. Tarkastellaan tämän ongelman kaksiulotteista versiota. Olkoot a ja b positiivisia reaalilukuja ja Ω = (0, a) (0, b). Pyritään määräämään seuraavan ongelman ratkaisut u = u(x, y) ja luvut λ R: (7.1) 2 u x + 2 u 2 y = λu 2 u(x, y) = 0 reunalla Ω. joukossa Ω, ja Tätä tehtävää kutsutaan Laplace-operaattoriin u = 2 u x + 2 u liittyväksi Dirichlet n omininaisarvotehtäväksi. Jos reunaehdoiksi asetetaan n u(x, y) = 0 reunalla 2 y 2 Ω, kutsutaan tehtävää Laplace-operaattoriin liittyväksi Neumannin omininaisarvotehtäväksi. Tässä n u on u:n suuntaisderivaatta reunan Ω normaalin n suuntaan. Käytetään muuttujien separointia: u(x, y) = v(x)w(y). Tällöin osittaisdifferentiaaliyhtälö saa muodon v (x) v(x) + w (y) w(y) = λ. Koska funktion u tulee hävitä alueen reunalla, on funktioiden v ja w saatava arvo nolla määrittelyväliensä päätepisteissä. Siis on olemassa vakio µ siten, että { v (x) = µv(x), { w (y) = (λ µ)w(y), v(0) = v(a) = 0, w(0) = w(b) = 0. Tämän tehtäväparin ainoiksi nollasta eroaviksi ratkaisuiksi saadaan ( nπ ) 2, ( mπ ) 2, µ = n Z+ λ µ = m Z+ a v n (x) = sin nπx b a, w m (y) = sin mπy. b Siis ( nπ ) 2 ( mπ ) 2, (7.2) λ n,m = n, m Z+, ja u n,m (x, y) = sin nπx sin mπy. a b a b Eräs ero yksiulotteiseen tapaukseen on, että nyt saamaan ominaisarvoon saattaa liittyä useita ominaisfunktioita. Esimerkiksi, jos a = b = π, on λ n,m = (n 2 + m 2 ) ja u n,m (x, y) = sin nx sin my. Vrt. kuviin 2 ja 3. 8 Viimeksi muutettu 11.10.2006. 36

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 37 Kuva 2. Laplace-yhtälön ominaisfunktioiden tasa-arvokäyriä u(x, y) = 0 neliössä [0, π] [0, π]. Tässä u = u n,m + r u m,n, r R, ja u n,m (x, y) = sin nx sin my, jota vastaa ominaisarvo λ n,m = (n 2 + m 2 ). Kuva kirjasta [2, Band I, s. 259]. Kuva 3. Laplace-yhtälön ominaisfunktioiden tasa-arvokäyriä u(x, y) = 0 neliössä [0, π] [0, π]. Funktio u(x, y) = u 2r,1 (x, y) + µ u 1,2r (x, y) on ominaisarvoa λ 2r,1 = λ 1,2r = (4r 2 + 1) vastaava ominaisfunktio kaikille µ R. Tässä u n,m (x, y) = sin nx sin my. Kuvissa r = 6; vasemmassa kuvassa µ = 1, oikeassa µ 1. Kuva kirjasta [2, Band I, s. 396].

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 38 Esimerkki 7.2. Etsitään kaksiulotteiselle aaltoyhtälölle ratkaisua u = u(x, y, t) (värähtelevä rummun kalvo, joka lepotilassaan on xy-tason riittävän sileä alue Ω): 2 u t = u = 2 u 2 x + 2 u alueessa Q = Ω (0, ), 2 y 2 (7.3) u(x, y, t) = 0 kaikille (x, y) Ω ja t > 0, sekä u(x, y, 0) = u 0 (x, y) ja u t (x, y, 0) = u 1(x, y) kaikille (x, y) Ω. Muuttujien separoinnilla u(x, y, t) = V (x, y)w (t) saadaan yhtälö W (t) W (t) = V V (x, y) Reunaehtojen nojalla funktiolle V saadaan ehdot V (x, y) = 0 = vakio = λ. kaikille (x, y) Ω. Paikkariippuvan yhtälön V = λv nollasta eroavat, reunaehdot toteuttavat ratkaisut ovat juuri Laplace-yhtälön ominaisfunktiot ja luvut λ vastaavat ominaisarvot. Koska Dirichlet n ominaisarvotehtävän ominaisarvot λ ovat negatiiviset, on aikariippuvan yhtälön ratkaisu W (t) = α sin µt + β cos µt, missä µ = λ. Oletetaan, että Dirichlet n ominaisarvotehtävällä on numeroituva määrä ominaisarvoja λ = µ 2 ja vastaavia ominaisfunktioita. Numeroidaan ominaisarvot λ j = µ 2 j ja vastaavat ominaisfunktiot V j, j Z +. Tällöin tehtävän (7.3) ratkaisu on u(x, y, t) = V j (x, y) (α j sin µ j t + β j cos µ j t), j=1 missä kertoimet α j ja β j pitää määrätä siten, että alkuehdot toteutuvat. Vastaavalla päättelyllä kaksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön u t = u alueessa Q = Ω (0, ), (7.4) u(x, y, t) = 0 kaikille (x, y) Ω ja t > 0, sekä u(x, y, 0) = u 0 (x, y) kaikille (x, y) Ω ratkaisuksi saadaan u(x, y, t) = V j (x, y) α j e µ2 j t, j=1 missä kertoimet α j pitää määrätä siten, että alkuehto toteutuu. Värähtelevän rummunkalvon ominaistaajuudet ovat luvut µ/(2π), kun λ = µ 2 on vastaavan Dirichlet n ominaisarvotehtävän ominaisarvo. Suorakaiteen muotoiselle rummulle ominaistaajuudet ovat kaavan (7.2) nojalla 1 2π λn,m = 1 2 (n a ) 2 + ( m b ) 2, n, m Z+.

Värähdyksen perustaajuus on 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 39 ν 0 = 1 1 2 a + 1 2 b. 2 Erityisesti neliönmuotoiselle rummulle, jolle a = b, ominaistaajuudet ovat 2 2a. 1 n2 + m n2 + m 2a 2 = 2 ν 0, n, m Z +, missä ν 0 = 2 Ominaistaajuudet ovat siis perustaajuuden monikertoja, mutta eivät toinen toisensa rationaalisia monikertoja kuten värähtelevän jousen tapauksessa. Esimerkki 7.3. Tarkastellaan vielä tavallisempaa rummunkalvoa, eli olkoon Ω tason origokeskinen, R-säteinen ympyrä x 2 + y 2 < R 2. Olkoon u = u(x, y) Dirichlet n ominaisarvotehtävän ominaisfunktio ja λ vastaava ominaisarvo. Ympyränmuotoiselle alueelle on luonnollista käyttää napakoordinaatteja r ja ϕ. Asetetaan v(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) 0 r R, 0 ϕ 2π. Tällöin (HT) u = 2 u x + 2 u 2 y = 2 v 2 r + 1 v 2 r r + 1 2 v r 2 ϕ. 2 Käytetään v:n määräämiseen separointimenetelmää: v(r, ϕ) = V (r)w (ϕ). Tällöin u = λu V (r)w (ϕ) + 1 r V (r)w (ϕ) + 1 r 2 V (r)w (ϕ) = λv (r)w (ϕ) r 2 V (r) + 1 r V (r) λv (r) V (r) Funktioille V ja W saadaan siis yhtälöt r 2 V (r) + rv (r) + ( λr 2 µ)v (r) = 0, = W (ϕ) W (ϕ) = vakio = µ. W (ϕ) = µw (ϕ). Funktion ϕ v(r, ϕ) tulee olla 2π-jaksoinen, joten W :n yhtälöstä saadaan µ = n 2, n N, ja W (ϕ) = α cos nϕ + β sin nϕ. Yhtälö r 2 V (r) + rv (r) + ( λr 2 n 2 )V (r) = 0, on ns. Besselin differentiaaliyhtälö, jonka lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat 9 kun λ = 0: cosh(n log r) ja sinh(n log r); kun λ < 0: J n ( λr), ensimmäisen lajin Besselin funktio, ja Y n ( λr), toisen lajin Besselin funktio; kun λ > 0: I n ( λr), modifioitu ensimmäisen lajin Besselin funktio, ja K n ( λr), modifioitu toisen lajin Besselin funktio. 9 Ks. esimerkiksi Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Ninth Dover printing, Dover Publications, Inc, New York. Funktioita Y n merkitään myös N n ja kutsutaan Neumannin tai Weberin funktioiksi.

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 40 1 0.8 0.6 0.4 0.2 10 20 30 40 50-0.2-0.4 Kuva 4. Besselin funktioiden J 0 (tumma käyrä), J 1 ja J 2 (vaalea käyrä) kuvaajat. Tapaus λ = 0 ei tule kyseeseen, koska ratkaisu ei ole rajoitettu origon lähellä. Samoin toisen lajin Besselin funktiot Y n ( λr) ja K n ( λr) ovat rajoittamattomia origon lähellä. Funktiolla I n ( λr) puolestaan ei ole reaalisia nollakohtia, jonka takia se ei kelpaa. Nimittäin, alkuperäinen reunaehto Dirichlet n ominaisarvotehtävälle vaatii, että u(x, y) = 0 ympyrän kehällä, eli kun x 2 + y 2 = r 2 = R 2. Siis λ < 0, ja luvut λ tulee valita niin, että V (r) = J n ( λr), 0 = V (R) = J n ( λr), t.s. lukujen λr tulee olla funktion J n nollakohtia. Jos Besselin funktion J n nollakohdat ovat j n,m, m Z +, niin ( jn,m ) 2. λ = R Värähtelevää rummunkalvoa kuvaa siis funktio, joka saadaan liittämällä aikakäyttäytyminen aiemmin esitetyllä tavalla funktioon v(r, ϕ) = J n (j n,m r/r)(α n,m cos nϕ + β n,m sin nϕ). n=0 m=0 Besselin differentiaaliyhtälölle r 2 V (r) + rv (r) + (r 2 n 2 )V (r) = 0

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 41 ratkaisu V (r) = J n (r) on kohtalaisen helppo löytää yritteellä V (r) = a k r k+p, k=0 missä p on vakio. Ratkaisuksi löytyy p = ±n, ja kun valitaan p = n, saadaan kertoimille a k palautuskaava, jonka avulla ( 1) k ( r ) n+2k. J n (r) = k! (n + k)! 2 Toisen ratkaisun Y n määrääminen on hankalampaa; ks. [26, Ch. IX]. k=0 7.1. Sturmin-Liouvillen tehtävät. Sturmin-Liouvillen tehtävät ovat yhden muuttujan funktioiden y = y(x) toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden reunaarvotehtäviin liittyviä ominaisarvotehtäviä a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x) = λr(x)y(x), a 1 y(α) + b 1 y (α) = 0, a 2 y(β) + b 2 y (β) = 0. Tässä funktiot a, b, c ja r ovat annettuja funktioita välillä [α, β] R. Määritellään lineaarinen operaattori L, missä L: V C([α, β]), (Ly)(x) = a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x), V = {y C 2 ([α, β]) a 1 y(α) + b 1 y (α) = 0, a 2 y(β) + b 2 y (β) = 0}. Tavallisen sisätulon (f g) = β α f(x)g(x) dx suhteen operaattori L toteuttaa itseadjungoituneisuusehdon (Lu v) = (u Lv) kaikille u, v V, jos ja vain jos b = a. Merkitään p = a ja q = c. Tällöin itseadjungoitu reuna-arvotehtävä on ( p(x)y (x) ) q(x)y(x) = λr(x)y(x), a 1 y(α) + b 1 y (α) = 0, a 2 y(β) + b 2 y (β) = 0. Itseadjungoitua reuna-arvotehtävää sanotaan säännölliseksi, jos p, p, q ja r ovat jatkuvia välillä [α, β] ja r(x) > 0 kaikille x [α, β]. Määritellään sisätulo (f g) r = β α r(x)f(x)g(x) dx. Säännöllisille Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtäville on voimassa Lause 7.4. (i) Ominaisarvot λ ovat reaaliset (ja siten myös ominaisfunktiot). (ii) Kahta eri ominaisarvoa vastaavat ominaisfunktiot ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan sisätulon ( ) r suhteen.

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 42 (iii) Jokaista ominaisarvoa kohti on olemassa täsmälleen yksi ominaisfunktio (tarkemmin: k.o. ominaisfunktioiden joukko on vektoriavaruuden V yksiulotteinen aliavaruus). (iv) Ominaisarvoja on numeroituvasti ääretön määrä. Ominaisarvot voidaan järjestää siten, että λ 0 < λ 1 < λ 2 <..., jolloin (a) λ j, kun j ; (b) ominaisarvoa λ j vastaavalla ominaisfunktiolla y j on j nollakohtaa välillä (α, β); ja (c) ominaisfunktion y j+1 nollakohdat sijaitsevat ominaisfunktion y j nollakohtien välissä. (v) Jos f : [α, β] R jatkuvasti derivoituva, niin f voidaan esittää ominaisfunktioiden y j suppenevana sarjana f(x) = a j y j (x), missä j=0 a j = (f y j) r (y j y j ) r. Lauseelle löytyy varsin klassinen todistus kirjasta [2, Band I, Kapitel V, 14] (ongelma palautetaan Fredholmin integraaliyhtälöihin) ja nykyaikaisempi, kompaktien operaattoreiden teoriaan pohjautuva esitys kirjasta [15, Ch. XI.7]. Lauseen muotoilu on lainattu kirjasta [12, Ch. 6], jossa tosin kohtien (iv) ja (v) todistukset sivuutetaan (k.o. luku puuttuu kirjan aiemmista laitoksista). Huomaa, että Besselin differentiaaliyhtälö ei sovi yhteen säännöllisten Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtävien kanssa, koska toisen derivaatan kerroin häviää, kun r = 0. Esimerkki 7.5. Tarkastellaan ominaisarvotehtävää (huomaa, että λ:n merkki on vastakkainen kuin lauseessa) { V = λv välillä (0, π), ja V (0) = V (π) = 0. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on, kun merkitään λ = µ 2 (jos λ 0, niin ainoa reunaehdot toteuttava ratkaisu on V 0), Reunaehdoista saadaan joten V (x) = α cos µx + β sin µx. α = 0, cos µπ = 0, µ k = 1 2 + k, λ k = ( 1 + 2 k)2, V k (x) = sin( 1 + k)x k N. 2 Ominaisfunktioista saatavat sarjat a k sin( 1 + k)x 2 k=1

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 43 eivät kuitenkaan ole varsinaisia Fourier n sarjoja, koska esiintyvät taajuudet ovat väärät. Fourier n sarjojen teoriaa voidaan kuitenkin soveltaa laajentamalla ominaisfunktiot V k (ja muut tarkasteltavat funktiot) välille [π, 2π] siten, että V k on parillinen pisteen x = π suhteen. Tämän jälkeen V k laajennetaan välille [ 2π, 0] siten, että V k on pariton. Lopuksi V k laajennetaan koko reaaliakselille siten, että V k on 2π-jaksoinen. Tähän reuna-arvotehtävään päädytään mm. yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä, jos reunaehtoina on: sauvan toinen pää pidetään vakiolämpötilassa (u(0, t) = 0) ja toinen pää on eristetty ( u (π, t) = 0). x Myös yksiulotteisessa putkessa kulkevat paineaallot toteuttavat aaltoyhtälön. Jos putken toinen pää on suljettu, vastaa sitä reunaehto u(0, t) = 0. Jos toinen pää on avoin, vastaa sitä reunaehto u (π, t) = 0. x 7.2. Elliptiset operaattorit. Osittaisdifferentiaaliyhtälöille Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtäviä vastaavat elliptisten reuna-arvotehtävien ominaisarvotehtävät. Tarkastellaan toisen kertaluvun lineaarista, n muuttujan funktion u = u(x) = u(x 1,..., x n ) osittaisdifferentiaaliyhtälöä 2 u a i,j (x) + x i x j j=1 b j (x) u x j + c(x)u = f(x), missä a i,j, b j, c ja f ovat annettuja muuttujan x funktioita Ω R, ja jokin a i,j 0. Lineaarikuvausta 2 u L: u a i,j (x) + b j (x) u + c(x)u x i x j x j kutsutaan (osittais-)differentiaalioperaattoriksi ja lineaarikuvausta 2 u P : u a i,j (x) x i x j sen pääosaksi. Differentiaalioperaattorin pääosaan liitetään polynomi, ns. karakteristinen polynomi p(ξ 1,..., ξ n ) = a i,j (x)ξ i ξ j. Huomaa, että toisen kertaluvun differentiaalioperaattorin pääosa on neliömuoto (eli homogeeninen, toisen asteen polynomi). Kahden muuttujan x ja y differentiaalioperaattorit on tapana luokitella pääosan mukaan seuraavasti: Olkoon differentiaalioperaattorin karakteristinen polynomi j=1 P = a 2 x 2 + 2b 2 x y + c 2 y 2 p(ξ, η) = a ξ 2 + 2b ξη + c η 2. Sanotaan, että P on elliptinen: jos sen karakteristinen polynomi on definiitti, t.s. jos p(ξ, η) 0 kaikille (ξ, η) 0;

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 44 hyperbolinen: jos sen karakteristinen polynomi on indefiniitti, t.s. jos on olemassa (ξ, η) 0 siten, että p(ξ, η) = 0 ; ja parabolinen: jos sen karakteristinen polynomi on semidefiniitti, t.s. jos p(ξ, η) 0 kaikille (ξ, η) tai jos p(ξ, η) 0 kaikille (ξ, η). Vastaavaan tapaan kuin differentiaalilaskennassa (usean muuttujan funktioiden ääriarvot) voidaan osoittaa, että P on 1 elliptinen, jos ja vain jos b 2 ac < 0; 2 hyperbolinen, jos ja vain jos b 2 ac > 0; ja 3 parabolinen, jos ja vain jos b 2 ac = 0; Oikeastaan y.o. luokittelu sopii vain vakiokertoimisille operaattoreille tai vaihtoehtoisesti pitäisi sanoa esimerkiksi, että k.o. operaattori on elliptinen pisteessä (x 0, y 0 ), jos y.o. definiittisyysehto toteutuu polynomille p(ξ, η) = a(x 0, y 0 ) ξ 2 + 2b(x 0, y 0 ) ξη + c(x 0, y 0 ) η 2. Esimerkiksi, ns. Tricomin operaattori P = y 2 x 2 2 y 2 on elliptinen alemmassa puolitasossa y < 0, hyperbolinen ylemmässä puolitasossa y > 0, ja parabolinen x-akselilla. Palataan yleiseen tapaukseen. Sanotaan, että operaattori L = 2 a i,j (x) + x i x j j=1 b j (x) x j + c(x) on tasaisesti elliptinen, jos sen kertoimet ovat rajoitettuja funktioita Ω R, ja jos on olemassa α > 0 siten, että sen karakteristiselle polynomille on voimassa p(ξ) = a i,j (x)ξ i ξ j α ξ 2 kaikille ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n ja kaikille x Ω. Vastaavasti sanotaan, että muuttujan (x 1,..., x n, t) operaattori L on tasaisesti hyperbolinen, jos se on muotoa L = 2 t 2 L x, missä L x on tasaisesti elliptinen muuttujan (x 1,..., x n ) operaattori. Edelleen sanotaan, että muuttujan (x 1,..., x n, t) operaattori L on tasaisesti parabolinen, jos se on muotoa L = t L x, missä L x on tasaisesti elliptinen muuttujan (x 1,..., x n ) operaattori.

7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 45 Näin esimerkiksi Laplace-operaattori = 2 x 2 j=1 j on tasaisesti elliptinen; aalto-operaattori = 2 t 2 on tasaisesti hyperbolinen; ja lämpöoperaattori t on tasaisesti parabolinen. Huomautus 7.6. Toisinaan jo operaattorin elliptisyyteen liitetään merkkisyysvaatimus, t.s. operaattorin karakterisen polynomin pitää olla positiivisesti definiitti, tai sen pitää olla negatiivisesti definiitti. Joskus siis sanotaan, että Laplace-operaattori on elliptinen, mutta että operaattori ei ole elliptinen. Toisinaan taas sanotaan, että operaattori on elliptinen, mutta että operaattori ei ole elliptinen. Tällöin saatetaan operaattoria kutsua Laplace-operaattoriksi Säännöllisiä Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtäviä koskevan lauseen vastine usean muuttujan funktioille on ns. spektraalilause tasaisesti elliptisille operaattoreille. Tarkastellaan Dirichlet n reuna-arvotehtävään liittyvää ominaisarvotehtävää. Olkoon Ω R n rajoitettu alue. Merkitään ja asetetaan L 2 (Ω) = { f : Ω R f on mitallinen ja (f g) = Ω f(x)g(x) dx, Ω } f(x) 2 dx < kun f, g L 2 (Ω). Tällöin on olemassa jono funktioita e k C (Ω), k Z +, ja jono (λ k ) k=1 siten, että (i) λ k > 0 ja λ k ; (ii) e k = λ k e k Ω:ssa; (iii) e k, e k x j L 2 (Ω); (iv) jokainen ominaisavaruus V λk = {u L 2 (Ω) C (Ω) u = λ k u ja u = 0 reunalla Ω} on äärellisulotteinen; (v) funktiot e k ovat ortogonaaliset sisätulon ( ) suhteen; (vi) jokainen f L 2 (Ω) voidaan esittää muodossa f = k=1 a ke k. Edelleen, funktiot e k toteuttavat Dirichlet n reunaehdon u(x) = 0 alueen reunalla Ω heikossa mielessä (tämä jääköön tarkentamatta), ja jos alueen reuna on riittävän sileä, niin e k C(Ω) ja ehto e k (x) = 0 alueen reunalla Ω toteutuu oikeasti. Tämä spektraalilause pitää paikkansa varsin yleisesti tasaisesti elliptisten operaattoreiden ominaisarvotehtäville. Jos alueen reuna on riittävän sileä ja operaattorin kertoimet riittävän derivoituvia, ovat yleistetyt ratkaisut ratkaisuja myös perinteisessä mielessä (jatkuvia alueen reunaa myöten, monta kertaa derivoituvia yms). Ks. [13, Ch. IX] ja [5, Ch. 6 ja Ch. 8].