Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017

Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017

Sisältö 1 Johdanto 5 1.1 Joukko-opin kertausta...................... 6 1.2 Funktioiden kertausta....................... 7 1.3 Relaatioista............................ 8 1.4 Algebraa.............................. 11 2 Luonnolliset luvut 20 2.1 Lukukäsite............................. 20 2.2 Luonnollisten lukujen määrittely Peanon aksiomien avulla.. 20 2.3 Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku........... 23 2.4 Luonnollisten lukujen järjestys.................. 28 2.5 Induktioperiaatteen muita muotoja............... 31 3 Lukujärjestelmät 34 3.1 Additiiviset lukujärjestelmät................... 34 3.2 Paikkajärjestelmä......................... 35 3.3 Kantalukujärjestelmä....................... 36 3.3.1 Kymmenjärjestelmä.................... 40 3.4 Laskutoimitukset......................... 41 4 Kokonaisluvut 44 4.1 Kokonaislukujen määrittely................... 44 4.2 Kokonaislukujen laskutoimitukset................ 45 4.3 Kokonaislukujen järjestys..................... 49 4.4 Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen välinen yhteys.... 51 4.5 Kokonaisluvuilla laskeminen................... 53 4.6 Jaollisuus............................. 54 5 Rationaaliluvut 58 5.1 Rationaalilukujen määrittely................... 58 2

5.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset............... 59 5.3 Rationaalilukujen järjestys.................... 60 5.4 Kokonaislukujen ja rationaalilukujen välinen yhteys...... 63 5.5 Rationaalilukujen desimaaliesitys................ 65 6 Reaaliluvut 72 6.1 Lukusuora ja johdattelua reaalilukuihin............. 72 6.2 Cauchyn jonot........................... 73 6.3 Reaalilukujen määrittely..................... 78 6.4 Reaalilukujen laskutoimitukset.................. 79 6.5 Reaalilukujen järjestys...................... 80 6.6 Rationaalilukujen ja reaalilukujen välinen yhteys........ 83 6.7 Reaalilukujen täydellisyys.................... 84 6.8 Desimaaliesitys.......................... 89 7 Joukkojen mahtavuudet 92 Viitteet 99 3

Lukijalle Tämä luentomoniste perustuu Jukka Kemppaisen (Oulun yliopisto) Koulumatematiikan perusteet -kurssin luentojen pohjalta kirjoitettuun luentomonisteeseen, jota olen täydentänyt kirjallisuuden ja mm. Juha Lehrbäckin ja Jouni Parkkosen (Jyväskylän yliopisto) Lukualueet-kurssin luentomonisteen sekä useiden Oulun yliopistolla käytettyjen peruskurssien luentomonisteiden avulla. Oulussa keväällä 2017 Topi Törmä 4

1 Johdanto Matematiikan alkuperä liittyy jokapäiväiseen elämään. Suurin osa matematiikasta on kehittynyt alkujaan luvun, suuruuden ja muodon käsitteiden ajattelusta. Alkeellisten lukuun, suuruuteen ja muotoon liittyvien käsitteiden juuret voi jäljittää ihmiskunnan alkuun, ja ihmistä monia miljoonia vuosia vanhemmista elämänmuodoista on löydetty viitteitä matemaattisiin käsitteisiin. Aluksi primitiiviset luvun, suuruuden ja muodon käsitteet liittyivät ehkä kontrastiin pikemmin kuin samankaltaisuuteen, yhden ja monen väliseen eroon, eri objektien kokojen väliseen eroon, pyöreyden ja suoruuden erilaisuuteen. Tiede ja matematiikka syntyivät kuitenkin lukujen ja muotojen samankaltaisuuden oivaltamisesta. Esimerkiksi yhdellä sudella, yhdellä lampaalla ja yhdellä puulla on yhteinen ominaisuus; se että niitä on yksi. Samaan tapaan havaittiin, että joidenkin toisenlaisten ryhmien, esimerkiksi parien, välille voidaan tehdä kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus. Esimerkiksi kädet voidaan liittää pareittain jalkoihin, silmiin ja niin edelleen. Suuri askel modernin matematiikan suuntaan otettiin, kun havaittiin, että tietyillä ryhmillä on yhteinen abstrakti ominaisuus, jota kutsutaan luvuksi. Aikoinaan ajateltiin, että matematiikka liittyy suoraan aistiemme havaintojen maailmaan, ja puhdas matematiikka vapautui luonnon havainnoinnin rajoituksista vasta 1800-luvulla. Moderni matematiikka koostuu peruskäsitteistä, niiden välisistä perussuhteista, perustotuuksista (aksiomeista) sekä edellisistä loogisesti johdetuista lauseista. Määrittelemällä uusia käsitteitä (joista osa voidaan määritellä peruskäsitteiden avulla) voidaan lauseiden joukkoa edelleen laajentaa. Esimerkki 1.0.1. Euklidisessa geometriassa 1) piste ja suora ovat peruskäsitteitä joita ei määritellä; 2) piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. suora kulkee pisteen kautta (Insidenssin suhde); 3) uusi käsite ympyrä voidaan määritellä pisteiden joukkona, joilla on sama etäisyys kiinteästä pisteestä O (etäisyys voidaan edelleen palauttaa pisteisiin); 4) Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora on aksiomi; 5) esimerkiksi Pythagoraan lause voidaan loogisesti johtaa aksiomeista. 5

Näin matematiikalle on luotu looginen rakenne. Matematiikka onkin ainutlaatuista, sillä vain siinä ei ole merkittäviä korjauksia, ainoastaan laajennuksia. Esimerkiksi Eukleideen jokainen lause on edelleen voimassa, niitä ei tarvitse korjata (vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtonin liikelakeihin ja painovoimateoriaan). Tällä kurssilla perehdytään kouluissa tarvittavan aritmetiikan ja algebran matemaattisiin perusteisiin, erityisesti lukujoukkoihin ja lukujärjestelmiin. 1.1 Joukko-opin kertausta Joukko koostuu alkioista. Jos A on joukko, niin merkintä x A (luetaan x kuuluu joukkoon A) tarkoittaa, että x on joukon A alkio. Vastaavasti merkinnällä x / A tarkoitetaan, että x ei ole joukon A alkio. Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjä joukko ja sitä merkitään. Joukot A ja B ovat samat ja merkitään A = B, jos niillä on samat alkiot. Tällöin siis x A jos ja vain jos x B. Jos joukot A ja B eivät ole samat, niin merkitään A B. Usein joukoille käytetty merkintätapa on {x E P (x)}, missä E on perusjoukko ja P alkioita x koskeva ominaisuus, joka on joko tosi tai epätosi kaikilla x E. Jos perusjoukosta ei ole epäselvyyttä, jätetään se merkitsemättä näkyviin. Huomaa kuitenkin, että esimerkiksi {x 1 x 5} on suljettu väli [1, 5], jos E = R, ja joukko {1, 2, 3, 4, 5}, jos E = Z. Joukkoa A sanotaan joukon B osajoukoksi ja merkitään A B, jos jokainen joukon A alkio kuuluu joukkoon B. Tällöin jos x A, niin x B. Joukko A on joukon B aito osajoukko ja merkitään A B, jos A B ja A B. Olkoon E jokin perusjoukko. Joukkojen A E ja B E yhdiste on leikkaus ja erotus A B = {x E x A tai x B}, A B = {x E x A ja x B} A \ B = {x E x A ja x / B}. Lisäksi joukon A komplementti on joukko A C = {x E x / A}. Joukon X potenssijoukko on joukko P(X) = {A A X}. 6

Joukkojen A ja B karteesinen tulo on järjestettyjen parien joukko A B = {(a, b) a A ja b B}. Tällöin (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Esimerkki 1.1.1. Olkoot E = {1, 2, 3, a, b, c}, A = {1, 2, 3} ja B = {1, a}. Tällöin A B = {1, 2, 3, a}, A B = {1}, A \ B = {2, 3}, A C = {a, b, c}, P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, A}, A B = {(1, 1), (1, a), (2, 1), (2, a), (3, 1), (3, a)}. 1.2 Funktioiden kertausta Funktio eli kuvaus joukolta A joukolle B määritellään usein säännöksi, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Esitetään seuraavaksi funktiolle hieman eksaktimpi määritelmä. Määritelmä 1.2.1. Olkoot A ja B epätyhjiä joukkoja. Joukon A B osajoukko f on funktio (kuvaus) joukolta A joukolle B, merkitään f : A B, mikäli 1) jokaiselle x A on olemassa sellainen y B, että (x, y) f; 2) aina kun x A ja y, z B, jos (x, y) f ja (x, z) f, niin y = z. Joukkoa A kutsutaan funktion f määrittelyjoukoksi ja joukkoa B funktion f maalijoukoksi. Jos (x, y) f, niin merkitään f(x) = y. Tällöin alkiota y kutsutaan alkion x kuvaksi ja alkiota x alkion y alkukuvaksi. Huomautus 1.2.2. Funktiot f : A B ja g : C D ovat samat mikäli A = C, B = D ja f(x) = g(x) kaikilla x A. Esimerkki 1.2.3. Olkoot A = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {a, b, c, d, e}. 1) Joukko f = {(1, a), (2, a), (3, e), (4, c), (5, b)} on funktio A B. Nyt esimerkiksi f(1) = a ja f(3) = e. 7

2) Joukko g = {(1, b), (3, c), (4, c)} ei ole funktio A B, sillä joukon A alkioilla 2 ja 5 ei ole kuvaa. 3) Joukko h = {(1, b), (1, c), (2, d), (3, e), (4, c), (5, b)} ei ole funktio A B, sillä joukon A alkiolla 1 on kaksi kuvaa. Määritelmä 1.2.4. Olkoon f : A B funktio. Tällöin joukon X A kuvajoukko on joukko f(x) = {f(x) x X} ja joukon Y B alkukuva on joukko f 1 (Y ) = {x A f(x) Y }. Esimerkki 1.2.5. Tarkastellaan Esimerkin 1.2.3 kohdan 1) funktiota f. Olkoon X = {1, 2} A ja Y = {a, b} B. Tällöin f(x) = {a} ja f 1 (Y ) = {1, 2, 5}. Määritelmä 1.2.6. Funktio f : A B on 1) injektio, jos f(x) f(y) aina kun x y ja x, y A, 2) surjektio, jos jokaiselle y B on olemassa sellainen x A, että f(x) = y, 3) bijektio, jos f on injektio ja surjektio. 1.3 Relaatioista Määritelmä 1.3.1. Olkoon A joukko. Joukon A A osajoukkoa R kutsutaan joukon A binääriseksi relaatioksi. Mikäli (a, b) R, niin merkitään a R b ja sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion B kanssa. Määritelmä 1.3.2. Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli 1) x R x aina, kun x A (refleksiivisyys); 2) jos x R y, niin y R x aina, kun x, y A (symmetrisyys); 3) jos x R y ja y R z, niin x R z aina, kun x, y, z A (transitiivisuus). Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa [a] = {x A x R a} sanotaan alkion a määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. 8

Esimerkki 1.3.3. Olkoon n Z +. Määritellään joukossa Z kongruenssi modulo n asettamalla a b (mod n) n (a b) aina, kun a, b Z. Tällöin kongruenssirelaatio on ekvivalenssirelaatio: Olkoot a, b, c Z. 1) Koska n 0 = a a, niin a a (mod n). 2) Jos a b (mod n), niin n (a b). Tällöin myös n (b a), joten b a (mod n). 3) Jos a b (mod n) ja b c (mod n), niin n (a b) ja n (b c). Tällöin n ((a b) + (b c)) = (a c), joten a c (mod n). Kohtien 1-3 nojalla kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Luvun a Z määräämä ekvivalenssiluokka on tällöin [a] = {x Z x a (mod n)} = {a + kn k Z} ja sitä kutsutaan luvun a määräämäksi jäännösluokaksi. Lause 1.3.4. Olkoon R joukon A ekvivalenssirelaatio. Tällöin a R b jos ja vain jos [a] = [b]. Todistus. Olkoot a, b A ja a R b. Jos x [a], niin x R a. Ekvivalenssirelaation R transitiivisuuden nojalla tällöin x R b eli x [b]. Siispä [a] [b]. Jos taas x [b], niin x R b. Koska a R b, niin ekvivalenssirelaation R symmetrisyyden nojalla b R a. Näin ollen x R b ja b R a, joten relaation R transitiivisuuden nojalla x R a eli x [a]. Siispä myös [b] [a], joten [a] = [b]. Olkoot a, b A ja [a] = [b]. Ekvivalenssirelaation R refleksiivisyyden nojalla a R a, joten a [a]. Koska [a] = [b], niin a [b]. Näin ollen a R b. Lause 1.3.5. Jos R on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste on koko joukko A eli [a] = A. a A Lisäksi, jos [a] [b], niin [a] [b] =. 9

Todistus. Jos x a A [a], niin x [a] jollakin a A. Koska [a] A, niin x A. Siispä a A [a] A. Toisaalta jos x A, niin x R x, joten x [x]. Näin ollen x a A [a], joten myös A a A [a]. Siispä a A [a] = A. Osoitetaan vielä, että jos [a] [b], niin [a] [b] =. Olkoot siis a, b A ja [a] [b]. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen x A, että x [a] ja x [b]. Tällöin x R a ja x R b, joten ekvivalenssirelaation R symmetrisyyden ja transitiivisuuden nojalla a R b. Näin ollen Lauseen 1.3.4 nojalla [a] = [b], mikä on ristiriita. Siispä [a] [b] =. Määritelmä 1.3.6. Joukon A binäärinen relaatio R on järjestys, mikäli 1) x R y ja y R z x R z aina, kun x, y, z A (transitiivisuus); 2) x R y tai y R x aina, kun x, y A (vertailullisuus); 3) x R y ja y R x x = y aina, kun x, y A (antisymmetrisyys). Määritelmä 1.3.7. Joukon A binäärinen relaatio R on aito järjestys, mikäli 1) x R y ja y R z x R z aina, kun x, y, z A (transitiivisuus); 2) aina, kun x, y A niin pätee täsmälleen yksi seuraavista: x R y, x = y tai y R x (trikotomialaki). Joukon A järjestyksestä voidaan aina konstruoida joukon A aito järjestys ja päin vastoin: Lause 1.3.8. Olkoon A joukko. 1) Jos R on joukon A järjestys, niin relaatio S, jolle pätee on joukon A aito järjestys. x S y x R y ja x y, 2) Jos S on joukon A aito järjestys, niin relaatio R, jolle pätee on joukon A järjestys. x R y x S y tai x = y, 10

Todistus. 1) Osoitetaan, että relaatio S toteuttaa Määritelmän 1.3.7 ehdot: i) Olkoot x, y, z A ja x S y sekä y S z. Tällöin x R y ja y R z. Koska R on järjestys, niin x R z. Jos x = z, niin z R y. Koska myös y R z, niin y = z. Tämä on ristiriita, sillä y S z. Näin ollen x z ja x S z. ii) Olkoot x, y A. Tällöin järjestyksen R vertailullisuuden nojalla x R y tai y R x. Jos x y, niin x S y tai y S x. Mikäli pätisi x S y ja y S x, niin x R y ja y R x, jolloin x = y, mikä on ristiriita. Siispä joko x S y tai y S x, mutta molemmati eivät voi päteä yhtä aikaa. Jos taas x = y, niin relaation S määritelmän nojalla ei voi päteä x S y tai y S x. Siispä pätee täsmälleen yksi tapauksista x S y, x = y tai y S x Kohtien i) ja ii) nojalla relaatio S on joukon A aito järjestys. 2) Harjoitustehtävä. Huomautus 1.3.9. Olkoon A joukko, R sen järjestys ja S sitä vastaava Lauseen 1.3.8 mukainen aito järjestys. Tällöin jos a S b, niin a R b. 1.4 Algebraa Määritelmä 1.4.1. Olkoon A epätyhjä joukko. Joukon A binäärinen operaatio (laskutoimitus) on kuvaus : A A A. Tällöin merkitään (a, b) = a b. Määritelmä 1.4.2. Olkoon ( ) epätyhjän joukon A binäärinen operaatio. Tällöin ( ) on assosiatiivinen (liitännäinen) mikäli (a b) c = a (b c) kaikilla a, b, c A, ja kommutatiivinen (vaihdannainen) mikäli kaikilla a, b A. a b = b a Määritelmä 1.4.3. Olkoon G ja ( ) joukon G operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli 1) operaatio ( ) on binäärinen, 2) operaatio ( ) on assosiatiivinen, 3) on olemassa sellainen alkio e G, että a e = e a = a kaikilla a G, 11

4) jokaiselle a G on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Kohdan 2 alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi ja kohdan 3 alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Mikäli operaatio ( ) on lisäksi kommutatiivinen, niin ryhmä (G, ) on Abelin ryhmä. Huomautus 1.4.4. Mikäli operaatio ( ) on asiayhteydestä selvä, niin usein merkitään a b = ab. Ryhmässä pätevät seuraavat lait: Lause 1.4.5. Olkoot G ryhmä sekä a, b, c G. Tällöin 1) neutraalialkio e on yksikäsitteinen; 2) kunkin alkion a G käänteisalkio a 1 on yksikäsitteinen; 3) yhtälöllä ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x G; 4) yhtälöllä ya = b on yksikäsitteinen ratkaisu y G; 5) jos ab = ac, niin b = c; 6) jos ba = ca, niin b = c; 7) (ab) 1 = b 1 a 1 ; 8) (a 1 ) 1 = a. Todistus. Algebran perusteet -kurssilla. Määritelmä 1.4.6. Olkoon R sekä (+) ja ( ) joukon R operaatioita. Kolmikko (R, +, ) on rengas, mikäli 1) (R, +) on Abelin ryhmä, 2) operaatio ( ) on binäärinen, 3) operaatio ( ) on assosiatiivinen, 4) on olemassa sellainen alkio 1 G, että a 1 = 1 a = a kaikilla a G, 12

5) seuraavat distributiivilait (osittelulait) pätevät: a (b + c) = a b + a c ja (a + b) c = a c + b c. Tällöin ryhmän (R, +) neutraalialkiota kutsutaan nolla-alkioksi ja sitä merkitään 0. Alkion a R käänteisalkiota operaation (+) suhteen kutsutaan alkion a vasta-alkioksi ja merkitään a. Kohdassa 3 esiintyvää operaation ( ) neutraalialkiota 1 kutsutaan ykkösalkioksi. Mikäli operaatio ( ) on lisäksi kommutatiivinen, niin (R, +, ) on kommutatiivinen rengas. Huomautus 1.4.7. Renkaan operaatiolle ( ) käytetään usein lyhyempää merkintää a b = ab. Lisäksi merkitään a b = a + ( b) kaikilla a, b R. Renkaassa pätevät seuraavat lait: Lause 1.4.8. Olkoot R rengas sekä a, b, c R. Tällöin 1) ykkösalkio 1 on yksikäsitteinen; 2) 0a = a0 = 0; 3) jos renkaassa R on vähintään kaksi alkiota, niin 0 1; 4) a( b) = ( a)b = (ab); 5) ( a)( b) = ab; 6) a(b c) = ab ac ja (a b)c = ac bc. Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Huomautus 1.4.9. Koska (R, +) on ryhmä, kun (R, +, ) on rengas, niin Lauseen 1.4.5 lait pätevät renkaassa R operaation (+) suhteen. Määritelmä 1.4.10. Olkoon (R, +, ) rengas ja S R. Jos (S, +, ) on rengas, jolla on sama ykkösalkio kuin renkaalla R, niin sitä sanotaan renkaan R alirenkaaksi Lause 1.4.11. [Alirengaskriteeri] Renkaan (R, +, ) epätyhjä osajoukko S on renkaan R alirengas jos ja vain jos 1) a b S aina, kun a, b S, 13

2) ab S aina, kun a, b S, 3) 1 S = 1 R. Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Huomautus 1.4.12. Kommutatiivisen renkaan alirenkaat ovat myös kommutatiivisia. Määritelmä 1.4.13. Olkoon (K, +, ) kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään 2 alkiota. Kolmikko (K, +, ) on kunta, mikäli jokaiselle a K \ {0} on olemassa sellainen a 1 K, että aa 1 = a 1 a = 1. Toisin sanoen (K, +, ) on kunta, mikäli jokaiselle a K, a 0, on olemassa käänteisalkio operaation ( ) suhteen. Kunnassa pätee seuraava tulon nollasääntö: Lause 1.4.14. Olkoon (K, +, ) ja a, b K. Jos ab = 0, niin a = 0 tai b = 0. Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Huomautus 1.4.15. Voidaan osoittaa, että jos (K, +, ) on kunta, niin (K \ {0}, ) on Abelin ryhmä. Näin ollen Lauseen 1.4.5 lait pätevät joukossa K \ {0} operaation ( ) suhteen. Lisäksi koska (K, +, ) on myös kommutatiivinen rengas, niin kaikki renkaan ominaisuudet, kuten Lause 1.4.8, pätevät myös kunnassa K. Määritelmä 1.4.16. Olkoon (K, +, ) kunta ja = F R. Jos (F, +, ) on kunta, niin sitä sanotaan kunnan K alikunnaksi. Lause 1.4.17. [Alikuntakriteeri] Kunnan (K, +, ) epätyhjä osajoukko F on kunnan K alikunta jos ja vain jos 1) joukossa F on vähintään kaksi alkiota, 2) a b F aina, kun a, b F, 3) ab 1 F aina, kun a, b F, b 0 F Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Määritelmä 1.4.18. Kommutatiivinen rengas (R, +, ) on järjestetty rengas mikäli on olemassa sellainen osajoukko R + R, että 14

1) jos a, b R +, niin a + b, ab R + ; 2) kaikilla a R pätee täsmälleen yksi seuraavista: a R +, a = 0 tai a R +. Lisäksi merkitään R 0 + = R + {0} ja R = R \ R 0 +. Joukon R + alkioita kutsutaan positiivisiksi ja joukon R alkioita negatiivisiksi. Nolla-alkio 0 ei ole positiivinen eikä negatiivinen. Mikäli R on kunta, niin puhutaan järjestetystä kunnasta Järjestettyyn renkaaseen R voidaan määritellä järjestysrelaatiot >, <, ja luonnollisesti seuraavalla tavalla: Määritelmä 1.4.19. Olkoon R järjestetty rengas ja a, b R. Tällöin J1) a > b jos ja vain jos a b R +, J2) a < b jos ja vain jos b > a. J3) a b jos ja vain jos a > b tai a = b, J4) a b jos ja vain jos b a, Lause 1.4.20. Edellä määritellyt relaatiot > ja < ovat aitoja järjestyksiä renkaassa R ja relaatiot ja ovat järjestyksiä renkaassa R. Todistus. J1) Osoitetaan, että relaatio > toteuttaa Määritelmän 1.3.7 ehdot. i) Olkoot a, b, c R ja a > b sekä b > c. Tällöin a b R + ja b c R +, joten a c = (a + 0) c = (a + ( b + b)) c = (a b) + (b c) R +. sillä R + on suljettu operaation (+) suhteen. Siispä a > c. ii) Olkoot a, b R. Koska R on järjestetty rengas, niin pätee täsmälleen yksi seuraavista: a b R +, a b = 0 tai b a = (a b) R +. Siispä joko a > b, a = b tai b > a. Kohtien i) ja ii) nojalla > on aito järjestys renkaassa R. J2) i) Olkoot a, b, c R ja a < b sekä b < c. Tällöin relaation < määritelmän nojalla b > a ja c > b. Koska > on aito järjestys renkaassa R, niin c > a eli a < c. 15

ii) Olkoot a, b R. Koska > on aito järjestys renkaassa R, niin pätee täsmälleen yksi seuraavista: a > b, a = b tai b > a eli b < a, a = b tai a < b. Kohtien i) ja ii) nojalla < on aito järjestys renkaassa R. J3) Koska > on aito järjestys renkaassa R, niin Lauseen 1.3.8 kohdan 2 nojalla on järjestys renkaassa R. J4) Koska < on aito järjestys renkaassa R, niin Lauseen 1.3.8 kohdan 2 nojalla on järjestys renkaassa R. Jatkossa käytetään järjestetyssä renkaassa Määritelmän 1.4.19 mukaisia järjestysrelaatioita. Lause 1.4.21. Jos R on järjestetty rengas ja a, b R, niin tarkalleen yksi seuraavista ehdoista on voimassa: a < b, a = b tai a > b. Todistus. Seuraa suoraan siitä, että < on aito järjestys renkaassa R ja että b < a a > b. Lause 1.4.22. Olkoot R järjestetty rengas ja a, b, c, d R. Tällöin 1) jos a R +, niin a > 0 ja jos a R, niin a < 0, 2) jos a R +, niin a R, 3) jos renkaassa R on vähintään kaksi alkiota, niin 1 R + eli 1 > 0, 4) jos a > b ja c d, niin a + c > b + d, 5) jos a + c > b + c, niin a > b, 6) jos c R +, niin a > b jos ja vain jos ac > bc, 7) jos c R, niin a > b jos ja vain jos ac < bc, 8) jos a 0, niin a 2 > 0, 9) jos ab = 0, niin a = 0 tai b = 0 (tulon nollasääntö). Todistus. 1) Olkoon a R +. Tällöin a 0 = a R +, joten a > 0. Jos a R eli a / R 0 +, niin a R +. Siispä 0 a = a R +, joten 0 > a eli a < 0. 16

2) Olkoon a R +. Tällöin a 0 ja a / R +. Siispä a 0 ja a R \ R 0 + = R. 3) Koska renkaassa R on vähintään kaksi alkiota, niin Lauseen 1.4.8 kohdan 3 nojalla 1 0. Näin ollen joko 1 R + tai 1 R +. Jos 1 R +, niin 1 = 1 ( 1) R +, sillä R + on operaation ( ) suhteen suljettu. Tämä on ristiriita, joten 1 / R + ja 1 / R +. Kohdan 1) nojalla 1 > 0. 4) Olkoot a > b ja c d. Tällöin a b R + ja c d R 0 +. Jos c d = 0, niin (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) = (a b) + 0 = a b R + eli a + c > b + d. Jos c d R +, niin eli eli a + c > b + d. 5) Harjoitustehtävä. 6) Harjoitustehtävä. (a + c) (b + d) = (a b) }{{} + (c d) R }{{} + R + R + 7) Olkoon c R. Tällöin c R +. Jos a > b, niin kohdan 6) nojalla a( c) > b( c) eli Siispä bc > ac eli ac < bc. a( c) b( c) = ac ( bc) = bc ac R +. Jos ac < bc, niin kohdan nojalla ( 1)ac > ( 1)bc eli ac > bc, sillä 1 R. Siispä a( c) > b( c). Koska c R +, niin kohdan 6) nojalla a > b. 8) Harjoitustehtävä. 9) Olkoon ab = 0. Jos a = 0, niin tulos pätee. Olkoon sitten a 0. Tällöin a > 0 tai a < 0. Jos b R +, niin kohdan 6) nojalla ab > 0 tai ab < 0, mikä ei käy. Jos taas b R, niin kohdan 7) nojalla ab < 0 tai ab > 0, mikä ei myöskään käy. Näin ollen on oltava b = 0. 17

Lause 1.4.23. Olkoot K järjestetty kunta ja a, b K +. Tällöin a 1 > 0. Lisäksi a > b jos ja vain jos a 1 < b 1. Todistus. Nyt a 1 0. Jos a 1 < 0, niin Lauseen 1.4.22 kohdan 6) nojalla 1 = a 1 a < 0, mikä on ristiriita Lauseen 1.4.22 kohdan 3 kanssa. Siispä a 1 > 0. Olkoot a, b K +. Tällöin edellä todistetun nojalla myös a 1, b 1 K +. Lauseen 1.4.22 kohdan 6 nojalla a > b aa 1 > ba 1 1 > ba 1 a 1 < b 1. b 1 > b 1 ba 1 = a 1 Huomautus 1.4.24. Lauseen 1.4.22 kohdat 4-7 ja Lause 1.4.23 pätevät myös kun aidot järjestykset > ja < korvataan joka kohdassa vastaavilla järjestyksillä ja. Huomautus 1.4.25. Järjestetyn renkaan R alirengas S on myös järjestetty. Jos R + on järjestetyn renkaan R positiivisten alkioiden joukko, niin R + S on alirenkaan positiivisten alkioiden joukko. Lisäksi alirenkaassa pätevät samat järjestysrelaatiot kuin itse renkaassakin. Määritelmä 1.4.26. Olkoon R järjestetty rengas. Alkion a R itseisarvo on { a, jos a R+ 0 eli a 0, a = (1) a, jos a R eli a < 0. Lause 1.4.27. Olkoot R järjestetty rengas ja a, b R. Itseisarvolle (1) pätee: 1) a 0; 2) a = 0 a = 0; 3) ab = a b ; 4) a + b a + b (kolmioepäyhtälö). Todistus. 1) Jos a 0, niin a = a 0. Jos a < 0, niin a = a > 0 eli a 0. 18

2) Jos a = 0, niin a = a = 0. Olkoon a = 0. Jos a > 0, niin a = a > 0, mikä on ristiriita. Vastaavasti jos a < 0, niin a = a > 0, mikä on jälleen ristiriita. Siispä on oltava a = 0. 3) Jos ab 0, niin Lauseen 1.4.22 kohdista 6 ja 7 seuraa, että a 0 ja b 0 tai a 0 ja b 0. Tällöin ab = ab = a b tai ab = ab = ( a)( b) = a b. Jos taas ab < 0, niin Lauseen 1.4.22 kohdista 6 ja 7 seuraa, että a < 0 ja b > 0 tai a > 0 ja b < 0. Tällöin ab = (ab) = ( a)b = a b tai ab = (ab) = a( b) = a b. 4) Harjoitustehtävä. Määritellään vielä, milloin kaksi järjestettyä rengasta ovat rakenteellisesti samat eli isomorfiset. Määritelmä 1.4.28. Olkoot (R, +, ) ja (S,, ) järjestettyjä renkaita. Mikäli on olemassa sellainen kuvaus f : R S, että 1) f on bijektio, 2) f(a + b) = f(a) f(b) ja f(ab) = f(a) f(b) kaikilla a, b R, 3) f(1 R ) = 1 S, 4) jos a, b R ja a > b, niin f(a) > f(b), niin sanotaan, että järjestetyt renkaat (R, +, ) ja (S,, ) ovat isomorfiset eli rakenneyhtäläiset. Kuvausta f kutsutaan tällöin järjestysisomorfismiksi. 19

2 Luonnolliset luvut 2.1 Lukukäsite Luvun 1 käsite on ollut käytössä lähes kaikilla luonnonkansoilla. Lukukäsitteen kehitys on pitkä ja asteittainen. Viitteitä kehityksestä on joissakin kielissä, joiden kieliopissa on säilynyt yhden, kahden tai enemmän kuin kaksi toisistaan erottava kolmijako. Matematiikan kehitys on saanut alkunsa luonnollisten lukujen tutkimuksesta. Jokaisella on intuitiivinen käsitys luonnollisista luvuista 1, 2,..., joiden muodostamalle joukolle käytetään merkintää N. Intuitiivisen käsitteen pukeminen tarkaksi matemaattiseksi objektiksi ei ole kuitenkaan yksinkertaista. Tarkastellaan esimerkiksi luvun 2 määrittelyä. Mitä vikaa on seuraavassa määritelmässä: Se on kaikkien sellaisten joukkojen ominaisuus, joissa on 2 alkiota? Kyseessä on kehämääritelmä. Määritelmän itseensä viittaavuudesta voidaan päästä eroon viittaamalla tiettyyn joukkoon. Luku 2 on se, mikä on yhteistä kaikille joukoille, joissa on sama määrä alkioita kuin joukossa {, { }}. Huomautus 2.1.1. Joukko { } ei ole tyhjä. Siinä on yksi alkio,. Tämä uusi määritelmä nojautuu edelleen käsitteeseen luku osassa sama määrä alkioita kuin. Käsite joukoissa A ja B on sama määrä alkioita voidaan määritellä ilman, että luvuista tiedetään mitään. Kuinka tämä tapahtuu, käy ilmi seuraavasta käytännön ongelmasta. (Tähän palataan vielä myöhemmin luvussa 7.) Esimerkki 2.1.2. Elokuvateatterin lipunmyyjällä on nippu lippuja illan näytäntöä varten. Hän ei ehdi itse tarkistamaan, onko lippuja täsmälleen yhtä monta kuin teatterissa on istumapaikkoja. Lipunmyyjän 5-vuotias tyttö on reipas ja lupaa auttaa, mutta hän ei osaa laskea lippujen lukumäärää. Miten tyttö ratkaisee ongelman? 2.2 Luonnollisten lukujen määrittely Peanon aksiomien avulla Seuraavassa tarkoituksena on esittää luonnollisille luvuille eksakti määritelmä (siinä määrin kuin se tämän kurssin puitteissa on mahdollista). Eräs tapa määritellä luonnoliset luvut on määrittelyn palauttaminen joukkooppiin, joka voidaan aksiomatisoida. Vaikka edellä luonnollisilla luvuilla tar- 20

koitettiin lukuja 1, 2,..., on aritmetiikan kannalta luontevampaa aloittaa luvusta 0 luvun 1 sijaan. Luku 0 on pienin luku ja sen määrittelee joukko. Luvun 1 määrittelee joukko { }, luvun 2 määrittelee joukko {, { }} ja yleisemmin luvun n + 1 määrittelee joukko n {n}. Matemaatikko John von Neumann määritteli luonnolliset luvut edellä kuvatulla tavalla vuonna 1923. Menetellään tässä kuitenkin toisin. Ensimmäisen luonnollisten lukujen aksiomaattisen määrittelyn esitti italialainen matemaatikko Giuseppe Peano vuonna 1889. Peruskäsitteitä ovat luku, nolla ja seuraaja, joita ei määritellä. Peanon aksiomit Olkoot joukko N 0 ja kuvaus s : N 0 N 0 (seuraajakuvaus) sellaisia, että seuraavat ominaisuudet pätevät: A1) 0 N 0 (0 on luonnollinen luku); A2) Jos n N 0, niin s(n) N 0 (jokaisen luonnollisen luvun seuraaja on luonnollinen luku); A3) Jos s(n) = s(m), niin n = m (kahdella eri luvulla ei voi olla samaa seuraajaa); A4) s(n) 0 kaikilla n N 0 (0 ei ole minkään luvun seuraaja); A5) Jos joukolla S N 0 on ominaisuudet i) 0 S, ii) jos n S, niin s(n) S, niin S = N 0 (Induktioaksiomi). Ei ole kuitenkaan mitään takeita siitä, että edellä mainittua joukkoa olisi olemassa, joten lisäksi joudutaan ottamaan aksiomi A6) On olemassa ehdot A1) A5) täyttävä joukko N 0. Ehdot A1) A5) toteuttavaa joukkoa N 0 kutsutaan luonnollisten lukujen joukoksi. Kun vielä merkitään s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3, jne. saadaan joukon N 0 alkiot esitettyä tutuissa muodoissaan. Palataan luonnollisten lukujen esitystapoihin luvussa 3. Edellä on kaikki mitä tarvitaan aritmetiikan määrittelyyn. Erityisen tehokkaaksi osoittautuu induktioaksiomi A5. 21

Lause 2.2.1. Jos n N 0, n 0, niin on olemassa sellainen yksikäsitteinen m N 0, että n = s(m). Todistus. Olemassaolon osoittamiseksi käytetään induktioaksiomia. Sitä varten määritellään joukko S asettamalla S = {n N 0 n = 0 tai n = s(m) jollakin m N 0 }. Osoitetaan, että induktioaksiomin kohdat i) ja ii) ovat voimassa joukolle S. i) Joukon S määrittelyn nojalla 0 S. ii) Oletetaan, että n S. Tällöin joko n = 0 tai n = s(m) jollekin m N 0. Jos n = 0, niin s(n) = s(0) S, sillä aksiomin (A1) mukaan 0 N 0. Jos taas n = s(m) jollekin m N 0, niin aksiomin (A2) mukaan s(m) N 0 ja siten s(n) = s(s(m)) S. Induktioaksiomin (A5) nojalla S = N 0, joten olemassaolo on osoitettu. Yksikäsitteisyys: Jos n = s(m) = s(m ) joillakin m, m N 0, niin aksiomin (A3) nojalla m = m. Siispä m on yksikäsitteinen. Induktioaksiomista voidaan johtaa tuttu todistusmetodi, induktioperiaate: Lause 2.2.2. (Induktioperiaate) Olkoon P sellainen väittämä, että jokaiselle n N 0 se on joko tosi tai epätosi. Oletetaan, että i) P (0) on tosi, ii) jos n N 0 ja P (n) on tosi, niin P (s(n)) on tosi. Tällöin P (n) on tosi kaikilla n N 0. Todistus. Todistetaan väite käyttäen induktioaksiomia (A5). Olkoon S = {n N 0 P (n) on tosi.}. 1) Oletuksen i) nojalla P (0) on tosi, joten 0 S. 2) Oletetaan, että n S. Tällöin P (n) on tosi, joten oletuksen ii) nojalla P (s(n)) on tosi. Siispä s(n) S. 22

Induktioaksiomin nojalla kohdista 1 ja 2 seuraa, että S = N 0, joten P (n) on tosi kaikilla n N 0. Lauseessa 2.2.2 kohtaa i) sanotaan perusaskeleeksi ja kohtaa ii) induktioaskeleeksi. Käytännössä kohdassa ii) tehdään ensin niin sanottu induktio-oletus P (n) on tosi ja sitten induktioväite P (s(n)) on tosi. Tämän jälkeen todistetaan väite jos P (n) on tosi, niin P (s(n)) on tosi käyttämällä induktiooletusta. 2.3 Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku binäärinen operaatio (+) rekursiivisesti asetta- Määritellään joukkoon N 0 malla Y1) m + 0 = m kaikilla m N 0, Y2) m + s(n) = s(m + n) kaikilla n, m N 0. Vastaavasti operaatio ( ) määritellään asettamalla K1) m 0 = 0 kaikilla m N 0, K2) m s(n) = m n + m kaikilla n, m N 0. Operaatiota (+) kutsutaan yhteenlaskuksi ja operaatiota ( ) kertolaskuksi. Lukujen m ja n yhteenlaskun tulosta m + n kutsutaan lukujen m ja n summaksi ja kertolaskun tulosta m n kutsutaan lukujen m ja n tuloksi. Jatkossa merkitään m n = mn kaikilla m, n N 0. Huomautus 2.3.1. 1) Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat binäärisiä operaatioita eli kahden luonnollisen luvun summa ja tulo ovat myös luonnollisia lukuja. (Harjoitustehtävä) 2) Yhteen- ja kertolaskun rekursiivisesta määrittelystä johtuen on tunnettava ensin m + n ja m n, jotta voidaan laskea m + s(n) ja m s(n). Huomautus 2.3.2. Koska s(0) = 1, niin yhteenlaskun määritelmän mukaan s(n) = n + 1 (vertaa intuitiiviseen käsitykseen seuraajasta). 23

Esimerkki 2.3.3. Lasketaan 1 + 1 ja 1 1. Nyt ja 1 + 1 = 1 + s(0) (Y 2) (Y 1) = s(1 + 0) = s(1) = 2 1 1 = 1 s(0) (K2) = 1 0 + 1 (K1) (Y 2) (Y 1) = 0 + 1 = 0 + s(0) = s(0 + 0) = s(0) = 1. Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku toteuttavat seuraavat laskusäännöt: Lause 2.3.4. Olkoot m, n, p N 0. Tällöin 1) 0 + m = m, 2) s(m) = m + 1 = 1 + m, 3) 0 m = 0, 4) m 1 = 1 m = m, 5) (m + n) + p = m + (n + p) (yhteenlaskun assosiatiivisuus), 6) m + n = n + m (yhteenlaskun kommutatiivisuus), 7) (m n) p = m (n p) (kertolaskun assosiatiivisuus), 8) m n = n m (kertolaskun kommutatiivisuus), 9) m (n + p) = m n + m p (distributiivilaki), 10) (m + n) p = m p + n p (distributiivilaki). Todistus. 1) Todistus induktiolla luvun m suhteen. Olkoon P (m) = 0 + m = m. i) Koska 0 + 0 (Y 1) = 0, niin P (0) on tosi. ii) Induktio-oletus: P (m) on tosi jollakin m N 0 eli 0 + m = m. Induktioväite: P (s(m)) on tosi eli 0 + s(m) = s(m). Induktioväitteen todistus: Nyt joten P (s(m)) on tosi. 0 + s(m) (Y 2) = s(0 + m) i.o. = s(m), 24

Induktioperiaatteen (Lause 2.2.2) nojalla P (m) on tosi kaikilla m N 0 eli 0 + m = m kaikilla m N 0. 2) Harjoitustehtävä. 3) Harjoitustehtävä. 4) Koska s(0) = 1, niin kaikilla m N 0. m 1 = m s(0) (K2) = m 0 + m (K1) = 0 + m 1) = m Todistetaan toinen yhtäsuuruus induktiolla luvun m suhteen: i) Nyt 1 0 (K1) = 0, joten väite pätee, kun m = 0. ii) Induktio-oletus: 1 m = m eräällä m N 0. Nyt 1 s(m) (K2) = 1 m + 1 i.o. = m + 1 = 2) s(m), joten väite pätee myös luvulla s(m). Induktioperiaatteen nojalla 1 m = 0 kaikilla m N 0. 5) Harjoitustehtävä. 6) Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. Olkoon m N 0. i) Nyt m + 0 joten väite pätee, kun n = 0. (Y 1) = m 1) = 0 + m, ii) Induktio-oletus: m + n = n + m eräällä n N 0. Nyt m + s(n) (Y 2) = s(m + n) i.o. (Y 2) = s(n + m) = n + s(m) 2) = n + (1 + m) = 5) (n + 1) + m = 2) s(n) + m, joten väite pätee myös luvulla s(n). Induktioperiaatteen nojalla m + n = n + m kaikilla n N 0. 9) Todistetaan väite induktiolla luvun p suhteen. Olkoot m, n N 0. 25

i) Nyt m (n + 0) joten väite pätee, kun p = 0. (Y 1) (Y 1) = m n = m n + 0 (K1) = m n + m 0, ii) Induktio-oletus: m (n + p) = m n + m p eräällä p N 0. Nyt m (n + s(p)) (Y 2) = m s(n + p) (K2) = m (n + p) + m i.o. = (m n + m p) + m 5) = m n + (m p + m) (K2) = m n + m s(p), joten väite pätee myös luvulla s(p). Induktioperiaatteen nojalla m (n + p) = m n + m p kaikilla p N 0. 10) Harjoitustehtävä. 7) Todistetaan väite induktiolla luvun p suhteen. Olkoot m, n N 0. i) Nyt (m n) 0 (K1) = 0 (K1) = m 0 (K1) = m (n 0), joten väite pätee, kun p = 0. ii) Induktio-oletus: (m n) p = m (n p) eräällä p N 0. Nyt (m n) s(p) (K2) = (m n) p + m n i.o. = m (n p) + m n joten väite pätee myös luvulla s(p). 9) = m (n p + n) (K2) = m (n s(p)), Induktioperiaatteen nojalla (m n) p = m (n p) kaikilla p N 0. 8) Harjoitustehtävä. Esimerkki 2.3.5. Lasketaan 3 + 2 ja 3 2. Nyt ja 3 + 2 = 3 + s(1) (Y 2) = s(3 + 1) L.2.3.4,2) = s(s(3)) = s(4) = 5 3 2 = 3 s(1) (K2) = 3 1 + 3 L.2.3.4,4) (Y 2) = 3 + 3 = 3 + s(2) = s(3 + 2) = s(5) = 6 26

Huomautus 2.3.6. Induktiolla voidaan osoittaa, että m n = n+n+...+n, missä summattavia termejä on m kappaletta. Tulo m n on siis luvun n m. monikerta. Lisäksi luonnollisille luvuille pätevät seuraavat supistussäännöt: Lause 2.3.7. Kaikilla m, n, p N 0 pätee 1) jos m + p = n + p, niin m = n, 2) jos p 0 ja m p = n p, niin m = n. Todistus. 1) Todistetaan väite induktiolla luvun p suhteen. Olkoot m, n N 0. i) Jos m + 0 = n + 0, niin m joten väite pätee, kun p = 0. (Y 1) (Y 1) = m + 0 = n + 0 = n, ii) Induktio-oletus: Eräällä p N 0 pätee, että jos m + p = n + p, niin m = n. Jos nyt m + s(p) = n + s(p), niin luonnollisten lukujen yhteenlaskun määritelmän (Y2) nojalla s(m+p) = s(n+p). Tällöin aksiomin (A3) nojalla m+p = n+p, joten induktio-oletuksen mukaan m = n. Siispä väite pätee myös luvulla s(p). Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla p N 0. 2) Harjoitustehtävä: Esimerkki 2.3.8. 1) Ratkaistaan joukossa N 0 yhtälö x + 3 = 5. Nyt 5 = 2 + 3, joten x + 3 = 2 + 3. Tällöin Lauseen 2.3.7 nojalla x = 2. (Huomaa, että vähennyslaskua ei ole vielä määritelty.) 2) Osoitetaan, että yhtälöllä x + 2 = 1 ei ole ratkaisua joukossa N 0. Oletetaan, että on olemassa sellainen x N 0, että x + 2 = 1. Nyt 0 + 1 = 1 = x + 2 = x + (1 + 1) = (x + 1) + 1, joten Lauseen 2.3.7 nojalla 0 = x + 1 = s(x). Tämä on ristiriita aksiomin (A4) kanssa. Näin ollen yhtälöllä x + 2 = 1 ei ole ratkaisua joukossa N 0. 27

2.4 Luonnollisten lukujen järjestys Määritellään seuraavaksi joukkoon N 0 järjestysrelaatiot,, > ja < seuraavasti: Määritelmä 2.4.1. Olkoot m, n N 0. Tällöin J1) m n (m on suurempi tai yhtä suuri kuin n) jos ja vain jos on olemassa sellainen p N 0, että m = n + p. J2) m n (m on pienempi tai yhtä suuri kuin n) jos ja vain jos n m. J3) m > n (m on aidosti suurempi kuin n) jos ja vain jos m n ja m n. J4) m < n (m on aidosti pienempi kuin n) jos ja vain jos n > m. Lause 2.4.2. Relaatiot ja ovat järjestyksiä joukossa N 0 ja relaatiot > ja < ovat aitoja järjestyksiä joukossa N 0. Todistus. J1) Osoitetaan, että relaatio toteuttaa Määritelmän 1.3.6 ehdot: 1) Harjoitustehtävä. 2) Osoitetaan induktiolla luvun m suhteen, että m n tai n m aina, kun m, n N 0. Olkoon n N 0. i) Koska n = 0 + n, niin n 0, joten väite pätee, kun m = 0. ii) Induktio-oletus: m n tai n m eräällä m N 0. Induktioväite: m + 1 n tai n m + 1. Induktioväitteen todistus: Jos m n, niin on olemassa sellainen k N 0, että m = n+k. Tällöin m+1 = (n+k)+1 = n+(k +1), missä k + 1 N 0. Siispä m + 1 n. Jos taas n m, niin n = m + k jollakin k N 0. Jos k = 0, niin n = m, jolloin m + 1 = n + 1 eli m + 1 n. Jos k 0, niin k = r + 1 jollakin r N 0. Tällöin n = m + k = m + (r + 1) = m + (1 + r) = (m + 1) + r, joten n m + 1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla m N 0. 3) Harjoitustehtävä. Kohtien 1-3 nojalla on järjestys joukossa N 0. J2) Osoitetaan, että relaatio toteuttaa Määritelmän 1.3.6 ehdot: 28

1) Olkoot m, n, p N 0 ja m n sekä n p. Tällöin n m ja p n, joten p m, sillä on järjestys. Niinpä m p. 2) Olkoot m, n N 0. Koska on järjestys, niin m n tai n m. Näin ollen n m tai m n. 3) Jos m n ja n m, niin n m ja m n. Koska on järjestys, niin m = n. Kohtien 1-3 nojalla on järjestys joukossa N 0. J3) Seuraa lauseen 1.3.8 kohdasta 1 ja siitä, että on järjestys. J4) Seuraa lauseen 1.3.8 kohdasta 1 ja siitä, että on järjestys. Seuraus 2.4.3. Jos m, n N 0, niin tarkalleen yksi seuraavista ehdoista on voimassa: m < n, m = n tai m > n. Todistus. Seuraa suoraan aidon järjestyksen määritelmästä. Esimerkki 2.4.4. 1) Koska 5 = 3 + 2 ja 2 N 0, niin 5 3. Lisäksi koska 5 3, niin 5 > 3. 2) Koska s(n) = n + 1, niin s(n) > n kaikilla n N 0. Luonnollisten lukujen järjestyksille pätee: Lause 2.4.5. Olkoot m, n, p, q N 0. Tällöin 1) m 0, 2) jos m > n, niin m n + 1, 3) jos m > n ja p q, niin m + p > n + q, 4) jos m > n, p q ja p 0, niin mp > nq, 5) jos m + q > n + q, niin m > n, 6) jos q 0 ja mq > nq, niin m > n. Todistus. Olkoot m, n, p, q N 0. 1) Koska m = 0 + m, niin m 0. 29

2) Olkoon m > n. Tällöin m n ja m n, joten m = n + k jollakin k N 0, missä k 0. Nyt on olemassa sellainen r N 0, että k = r + 1, joten Siispä m n + 1. 3) Harjoitustehtävä. m = n + k = n + (r + 1) = n + (1 + r) = (n + 1) + r. 4) Olkoot m > n ja p q sekä p 0. Tällöin m = n + k ja p = q + l joillakin k, l N 0, missä k 0. Edelleen mp = (n + k)(q + l) = nq + (kq + nl + kl), missä kq +nl +kl N 0, joten mp nq. Koska k 0 ja p 0, niin kp 0 (HT). Siispä kq + nl + kl = k(q + l) + nl = kp + nl 0. Näin ollen mp nq, joten mp > nq. 5) Olkoon m + q > n + q. Tällöin m + q = (n + q) + r jollakin r N 0, r 0, jolloin m + q = (n + r) + q. Lauseen 2.3.7 kohdan 1) nojalla m = n + r, joten m > n. 6) Olkoon mq > nq ja q 0. Lauseen 2.4.3 nojalla joko m < n, m = n tai m > n. Jos m = n, niin mq = nq, mikä on ristiriita. Jos taas m < n, niin kohdan 4) nojalla mq < nq, mikä on ristiriita. Siispä m > n. Huomautus 2.4.6. 1) Lauseen 2.4.5 kohdasta (3) seuraa, että jos m > n ja p N 0, niin m + p > n + p. Vastaavasti kohdasta (4) seuraa, että jos m > n ja p N 0, p 0, niin mp > np. 2) Lauseen 2.4.5 kohdat 3 6 pätevät myös kun aito järjestys > korvataan joka kohdassa järjestyksellä. Esimerkki 2.4.7. Ratkaistaan joukossa N 0 epäyhtälö 2x + 2 x + 5. Nyt 2x + 2 = (1 + 1)x + 2 = (x + x) + 2 = x + (x + 2) ja x + 5 = x + (3 + 2) = (x + 3) + 2 = (3 + x) + 2 = 3 + (x + 2), joten 2x+2 x+5 jos ja vain jos x+(x+2) 3+(x+2). Koska x+2 N 0, niin Lauseen 2.4.5 kohdan 5) ja Huomautuksen 2.4.6 kohdan 2) nojalla tällöin x 3. 30

Luonnollisten lukujen erotus Jos m, n N 0 ja m n, niin järjestyksen ja lauseen 2.3.7 mukaan on olemassa sellainen yksikäsitteinen p N 0, että m = n + p. Merkitään tällöin p = m n. Lukua p sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja laskutoimitusta ( ), jolla luvuista m ja n saadaan p, sanotaan vähennyslaskuksi. Palataan tähän kokonaislukujen yhteydessä. Esimerkki 2.4.8. 1) Koska 5 = 3 + 2, niin 5 3 = 2. 2) Koska n = n + 0, niin n n = 0 kaikilla n N 0. 3) Olkoon n N 0, n 0. Tällöin on olemassa sellainen k N 0, että n = s(k) = k + 1, joten k = n 1. Siispä s(n 1) = n. 2.5 Induktioperiaatteen muita muotoja Induktioperiaatteesta (Lause 2.2.2) voidaan johtaa kaksi sen kanssa yhtäpitävää muotoa, jotka joissain tapauksissa ovat käyttökelpoisempia induktiotodistuksissa. Ensimmäinen niistä mahdollistaa induktion käytön tuloksille, jotka riittää osoittaa todeksi vain riittävän suurille luonnollisille luvuille. Käytetään jatkossa merkintää N k = {n N 0 n k} = {n + k n N 0 }. Lause 2.5.1. Olkoon k N 0 ja olkoon P sellainen väittämä, että jokaiselle n N k, se on joko tosi tai epätosi. Oletetaan, että i) P (k) on tosi, ii) jos P (m) on tosi jollakin m N k, niin P (m + 1) on tosi. Tällöin P (n) on tosi kaikilla n N k. Todistus. Olkoon k N 0 ja Q(n) = P (n + k) on tosi. Todistetaan induktiolla, että väite Q(n) on tosi kaikilla n N 0. 1) Koska P (0 + k) = P (k) on tosi oletuksen i) nojalla, niin Q(0) on tosi. 31

2) Induktio-oletus: Q(n) on tosi jollakin n N 0 eli P (n + k) on tosi. Induktioväite: Q(n + 1) on tosi eli P ((n + 1) + k) on tosi. Induktioväitteen todistus: Nyt n + k k, joten n + k N k. Koska induktio-oletuksen nojalla P (n + k) on tosi, niin oletuksen ii) nojalla P ((n + k) + 1) = P ((n + 1) + k) on tosi. Siispä Q(n + 1) on tosi. Induktioperiaatteen (Lause 2.2.2) nojalla Q(n) pätee kaikilla n N 0 eli P (n + k) on tosi kaikilla n N 0. Toisin sanoen P (n) on tosi kaikilla n N k. Seuraavaa periaatetta kutsutaan täydellisen induktion periaatteeksi. Lause 2.5.2. Olkoon P sellainen väittämä, että jokaiselle n N 0 se on joko tosi tai epätosi. Oletetaan, että i) P (0) on tosi, ii) jos n N 0 ja P (m) on tosi kaikilla m n, niin P (n + 1) on tosi. Tällöin P (n) on tosi kaikilla n N 0. Todistus. Olkoon Q(n) = P (m) on tosi kaikilla m n. Todistetaan induktiolla, että väite Q(n) on tosi kaikilla n N 0. 1) Koska P (0) on tosi oletuksen i) nojalla ja {m N 0 m 0} = {0}, niin Q(0) on tosi. 2) Induktio-oletus: Q(n) on tosi jollakin n N 0 eli P (m) on tosi kaikilla m n. Induktioväite: Q(n + 1) on tosi eli P (m) on tosi kaikilla m n + 1. Induktioväitteen todistus: Induktio-oletuksen nojalla P (m) on tosi kaikilla m n. Tällöin oletuksen ii) nojalla P (n + 1) on tosi, joten P (m) on tosi kaikilla m n + 1. Siispä Q(n + 1) on tosi. Induktioperiaatteen (Lause 2.2.2) nojalla Q(n) pätee kaikilla n N 0 erityisesti P (n) on tosi kaikilla n N 0. eli Täydellisen induktion periaatteen avulla voidaan osoittaa jatkossa tarvittava hyvinjärjestysperiaate. Lause 2.5.3. (Hyvinjärjestysperiaate) Jokaisessa joukon N 0 epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. 32

Todistus. Olkoon S N 0. On osoitettava, että on olemassa sellainen m S, että m s kaikilla s S. Vastaoletus: Tällaista lukua m ei ole olemassa. Osoitetaan täydellisellä induktiolla, että S =. Olkoon P (n) = n / S. i) Koska 0 n kaikilla n N 0, niin erityisesti 0 n kaikilla n S N 0. Vastaoletuksen nojalla 0 / S. ii) Oletetaan nyt, että P (m) on tosi kaikilla m n, joten jos m n, niin m / S. Näin ollen, jos s S, niin s > n, josta edelleen seuraa Lauseen 2.4.5 kohdan 2) nojalla, että s n + 1. Jos n+1 S, niin n+1 olisi pienin alkio, mikä on ristiriita. Siis n+1 / S, joten P (n + 1) on tosi. Täydellisen induktion periaatteen (Lause 2.5.2) mukaan P (n) on tosi kaikilla n N 0, joten S =, mikä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä ja väite tosi. Osoitetaan käyttäen hyvinjärjestysperiaatetta, että jokainen aidosti vähenevä jono luonnollisia lukuja on päättyvä eli äärellisen mittainen: Lause 2.5.4. Ei ole olemassa sellaista (ääretöntä) luonnollisten lukujen jonoa (q n ) n N0, että q i+1 < q i kaikilla i N 0. Todistus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen luonnollisten lukujen jono (q n ) n N0, että q i+1 < q i kaikilla i N 0. Hyvinjärjestysperiaatteen nojalla joukossa S = {q n n N 0 } on olemassa pienin alkio m. Tällöin m = q i jollakin i N 0. Nyt m = q i > q i+1 S, mikä on ristiriita. Siispä vastaoletus on väärä ja väite tosi. 33

3 Lukujärjestelmät Koska luonnollisia lukuja on ääretön määrä, niiden kaikkien nimeäminen edeltäjiensä seuraajina ei ole mahdollista saati mielekästä. Lisäksi luonnollisilla luvuilla laskeminen suoraan yhteen- ja kertolaskun rekursiivisia määritelmiä käyttäen on erittäin työlästä. Tämän vuoksi tarvitaan jonkinlainen lukujärjestelmä, jolla tarkoitetaan tapaa esittää eli nimetä ja kirjoittaa luvut. 3.1 Additiiviset lukujärjestelmät Useat varhaiset lukujärjestelmät olivat additiivisia eli tietyille luvuille oli oma symbolinsa, joita toistamalla saatiin esitys muille luvuille. Luvun arvo saatiin laskemalla eri symboleiden osoittamat luvut yhteen. Additiivisissa järjestelmissä symbolien järjestyksellä ei periaatteessa ole väliä eikä nollalle ole tarvetta. Esimerkkeinä additiivisista lukujärjestelmistä ovat tukkimiehen kirjanpito, egyptiläinen merkintätapa sekä roomalaiset numerot. Egyptiläisessä hieroglyfikirjoituksessa käytettiin lukujen ilmaisuun alla olevia merkkejä: Kuva 1: Egyptiläisiä numerosymboleita Jokaiselle kymmenen potenssille oli siis oma merkkinsä. Esimerkiksi luku 246 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 10 + 10 + 10 + 10 + 100 + 100 kirjoitettiin egyptiläisellä merkinnällä näin: Roomalaisilla numeroilla lukuja merkittiin kirjaimilla, joita vastasivat luvut seuraavasti: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. 34

Merkintöjen lyhentämiseksi roomalaisilla numeroilla yhtä symbolia toistettiin usein korkeintaan kolme kertaa ja neljännet monikerrat esitettiin käyttäen niin sanottua vähennysmerkintää, jossa seuraavan suuruusluokan symbolin eteen merkittiin yksi kappale edellistä symbolia. Esimerkiksi IIII=IV. Luku 246 = 100 + 100 + (50 10) + 5 + 1 roomalaisin numeroin ilmaistuna on CCXLVI. 3.2 Paikkajärjestelmä Yksi additiivisen järjestelmän ongelmista on, että se soveltuu huonosti suurten lukujen esittämiseen. Kun tiettyä lukumäärää vastaamaan asetetaan jokin numerosymboli, ei samaa symbolia tarvitse kirjoittaa enää montaa kertaa. Näin esimerkiksi roomalaisilla numeroilla luku CCCXXXIIII olisi voitu kirjoittaa 3C3X4I. Paikkajärjestelmässä luvut ilmaistaan kirjoittamalla numerosymbolit peräkkäin jättäen "yksiköt" merkitsemättä, esimerkiksi 3C3X4I=334. Tällöin numeron paikka kirjoitetussa luvussa ilmaisee, mistä yksiköstä on kyse. Paikkajärjestelmissä yksikköinä ovat yleensä jonkin kantaluvun potenssit. Yksi varhaisimmista paikkajärjestelmistä oli babylonialainen lukujärjestelmä, jossa luvut 1-59 ilmaistiin additiivisella nuolenpäämerkinnällä ja suuremmat luvut 60-kantaisella paikkajärjestelmällä. Kuva 2: Babylonialaisia numerosymboleita 35

Esimerkiksi luku 246 = 4 60 + 6 kirjoitettiin babylonialaisella merkinnällä näin: Babylonialaisessa lukujärjestelmässä oli aluksi kuitenkin iso puute, sillä nollasymbolia ei vielä ollut keksitty. Tämä teki järjestelmästä monitulkintaisen, sillä puuttuvat kantaluvun potenssit jäivät merkitsemättä. Esimerkiksi edellä oleva merkintä olisi voinut myös tarkoittaa lukuja 4 60 2 + 6 = 14406 tai 4 60 2 + 6 60 = 14760. Vasta luvun 0 käyttöönotto (alunperin intialaisten ja arabialaisten toimesta) tekee paikkajärjestelmän virheettömän käytön täysin mahdolliseksi. 3.3 Kantalukujärjestelmä Nykyään lähes kaikkialla maailmassa käytössä olevia paikkajärjestelmiä, joissa luvut esitetään jonkin luonnollisen luvun painotettujen potenssien summina, kutsutaan kantalukujärjestelmiksi. Näistä tunnetuin on kymmenjärjestelmä. Kuten jo aiemmissa esimerkeissä nähtiin, useat varhaiset lukujärjestelmät ovat perustuneet juuri lukuun kymmenen. Tämä johtunee siitä, että ihmisillä on kymmenen sormea. Onkin paljon viitteitä siitä, että varhaisimmat laskujärjestelmät ovat perustuneet sormilla laskemiseen. Tarkastellaan seuraavaksi yleisiä kantalukujärjestelmiä ja niillä laskemista. Kantalukuesityksien muodostamiseksi on ensin määriteltävä luonnollisten lukujen potenssit: Määritelmä 3.3.1. Olkoot n N 0. Tällöin luvun n k:s potenssi n k määritellään rekursiivisesti asettamalla n 0 = 1, n k+1 = n n k, kun k 1. Lisäksi tarvitaan seuraavaa tärkeää lausetta: Lause 3.3.2. (Jakoalgoritmi) Olkoot m, n N 0, n 0. On olemassa sellaiset yksikäsitteiset luvut q, r N 0, että m = qn + r, missä 0 r < n. 36

Todistus. Todistetaan aluksi lukujen q ja r olemassaolo induktiolla luvun m suhteen. Olkoon n N 0, n 0, ja S = {m N 0 m = qn + r joillakin q, r N 0, 0 r < n}. Koska 0 = 0 n + 0, niin 0 S. Oletetaan, että m S. Tällöin m = qn + r, missä 0 r < n, josta saadaan s(m) = m + 1 = qn + r + 1 (2) Ehdosta r < n saadaan järjestysten < ja määritelmien sekä lauseen 2.4.5 kohdan (2) nojalla, että r + 1 n. Siis joko r + 1 = n, jolloin (2) on muotoa tai r + 1 < n, jolloin m + 1 = (q + 1)n + 0 m + 1 = qn + (r + 1), missä 0 r + 1 < n Molemmissa tapauksissa s(m) S, joten induktioaksiomin mukaan S = N 0. Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi oletetaan, että m = qn + r = q, n + r, (3) joillakin q, q, r, r N 0 ja 0 r, r < n. Koska m = qn + r, niin m qn. Toisaalta koska q n q n ja r < n, niin Lauseen 2.4.5 kohdan (3) nojalla m = q n + r < q n + n = (q + 1)n. Siispä qn m < (q + 1)n. Vastaavasti saadaan, että q n m < (q + 1)n, jolloin edelleen qn < (q + 1)n (i) ja q n < (q + 1)n (ii). Lauseen 2.4.3 mukaan q < q, q = q tai q > q. Jos q < q, niin q + 1 q, jolloin Lauseen 2.4.5 kohdan (4) mukaan saadaan (q+1)n q n, mikä on ristiriidassa tuloksen (ii) kanssa. Vastaavasti nähdään, että tapaus q > q johtaa ristiriitaan tuloksen (i) kanssa. Siispä q = q, jolloin yhtälöstä (3) ja lauseesta 2.3.7 saadaan r = r. Nyt voidaan osoittaa, että jokaiselle luonnolliselle luvulle on olemassa yksikäsitteinen b-kantainen esitys aina, kun b N 2. Lause 3.3.3. Olkoon n, b N 0 ja b 2. Tällöin luku n voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa m n = a k b k = a m b m + a m 1 b m 1 +... + a 1 b + a 0, (4) k=0 missä m N 0, 0 a k b 1 kaikilla k = 0, 1,..., m ja a m 0 aina, kun n 0. Tällöin merkitään n = (a m a m 1... a 1 a 0 ) b. 37

Todistus. Jos n = 0, niin 0 = 0 b 0. Olkoon sitten n 1. Jakoalgoritmia käyttäen saadaan n = q 0 b + r 0, 0 r 0 < b, q 0 = q 1 b + r 1, 0 r 1 < b, q 1 = q 2 b + r 2, 0 r 2 < b,. q i = q i+1 b + r i+1, 0 r i+1 < b,. missä q i, r i N 0 kaikilla i. Jos q i 0 kaikilla i N 0, niin q i+1 = q i+1 1 < q i+1 2 q i+1 b q i+1 b + r i+1 = q i eli q i+1 < q i kaikilla i N 0. Siispä (q i ) i N0 on aidosti vähenevä jono luonnollisia lukuja, mikä on ristiriita Lauseen 2.5.4 tuloksen kanssa. Näin ollen hyvinjärjestysperiaatteen nojalla on olemassa pienin sellainen m N 0, että q m = 0. Tällöin q m 1 = 0 b + r m = r m 0. Luvulle n saadaan nyt esitys n = q 0 b + r 0 = (q 1 b + r 1 )b + r 0 = q 1 b 2 + r 1 b + r 0. = (q 2 b + r 2 )b 2 + r 1 b + r 0 = q 2 b 3 + r 2 b 2 + r 1 b + r 0 = (q m 1 b + r m 1 )b m 1 + r m 2 b m 2 +... + r 1 b + r 0 = q m 1 b m + r m 1 b m 1 + r m 2 b m 2 +... + r 1 b + r 0 = r m b m + r m 1 b m 1 +... + r 1 b + r 0. (5) Nyt 0 r k b 1 kaikilla k = 0, 1,..., m, joten voidaan valita a k = r k kaikilla k = 0, 1,..., m. Koska lisäksi a m = r m 0, niin (5) on yhtälön (4) mukainen luvun n esitys. Esityksen yksikäsitteisyyden todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Huomautus 3.3.4. Lauseen 3.3.3 todistuksessa esitetty algoritmi antaa tavan määrittää luonnollisen luvun n b-kantainen esitys. Algoritmia jatketaan siihen asti, että ensimmäisen kerran q i = 0. (Tällöin itse asiassa i = m ja q j = 0 kaikilla j m.) Tämän jälkeen b-kantaisen esityksen kertoimet saadaan jakojäännöksistä r m,..., r 0 ja n = (r m r m 1... r 1 r 0 ) b. 38