44 euraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B =- dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). aamme siten dv yxt (,) p(,) x t =- B =-B. (3.3.3) V x Kun tähän sijoitetaan (3.3.) y( x, t) = Asin( kx- w t), tulee p( x, t) = -BkAcos( kx - w t). Käyttämällä identiteettiä sin( a - p / ) =-cosa tulos saadaan muotoon p( x, t) = BkAsin( kx -wt - p / ). (3.3.4) euraavassa kuvassa ilmaosasten poikkeamat yxt (,) ja paineen vaihtelut pxt (,) äänessä on piirretty samaan kuvaan (ajan hetki kiinnitetty). Havaitaan, että käyrien vaihe-ero on /4 aallonpituudesta. Kun poikkeamalla on maksimi, paine on nollassa (tasapainoarvossaan p a ) ja päinvastoin, ts. kun paine on maksimissa, poikkeama on nollassa. Tuloksesta (3.3.4) nähdään, että painevaihtelun maksimiarvo on pmax = BkA. (3.3.5) Tämä on ns. paineamplitudi (pressure amplitude).
45 Esimerkki: ivulla 40 laskimme tavallisen puheäänen amplitudiksi 0.9 m m. aske vastaava paineamplitudi. Ratkaisu: 5 Tunnetaan: B =.4 0 N/m -6 A = 0.9 0 m v = 344 m/s = 00 /s asketaan: w pmax = BkA= B A= p BA v v = 0.049798 N/m = 0.050 Pa Korva on herkkä paineen vaihteluille. Vertaa tulosta ilman paineen tasapainoarvoon p a = 0300 Pa (.03 bar). 3.4 ÄÄNEN INTENITEETTI Aallon intensiteetti I (intensity) on keskimääräinen energia, jonka aalto kuljettaa pinta-alayksikön läpi aikayksikössä: J/(m s). Intensiteetti on siis teho pinta-alayksikköä kohti: W/m. Ääniallon intensiteetille ilmassa pätee sama yhtälö (3..3) mikä muillekin kaasuille tai nesteille, ts. I B A missä r on tiheys. Korva havaitsee paineen vaihtelut, joten käyttökelpoisempi esitysmuoto saadaan paineamplitudin p max avulla. Koska w = v k, A = p /( Bk) ja max v = B / r, intensiteetille (3.4.) saadaan = r w, (3.4.) æ pmax ö B pmax pmax ç I = rb( kv ) = rb =. (3.4.) è Bk ø r B rb
46 isäksi voidaan osoittaa, että pistemäisestä äänilähteestä lähtevän äänen intensiteetti on kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. Tämä on seurausta energian säilymislaista seuraavasti: Olkoon tasaisesti kaikkiin suuntiin lähettävän pistelähteen ääniteho P. Etäisyydellä r teho on jakautunut kuvitellun r -säteisen pallon pintaalalle 4p r. Intensiteetti etäisyydel- lä r on siten I teho P = =. pinta-ala 4pr Vastaavalla tavalla todetaan, että intensiteetti etäisyydellä r on I = P/(4 p r). Molemmissa tapauksissa teho P on sama, joten Tästä seuraa 4prI= 4prI. I I r =. (3.4.3) r Intensiteetti I millä tahansa etäisyydellä r on kääntäen verrannollinen r :een. Desibeliasteikko Korva on herkkä hyvin laajalle intensiteettiskaalalle, aina heikosta 0 - W/m :stä valtavaan yhteen W/m :iin. Tämän vuoksi on järkevää käyttää intensiteetille logaritmista asteikkoa. Äänen intensiteettitaso b (sound intensity level) määritellään
47 b = (0dB)log I, (3.4.4) I 0 missä vertailuintensiteetiksi I 0 on valittu 0 - W/m, joka vastaa suurinpiirtein ihmisen kuulokynnystä (threshold o hearing) taajuudella 000 Hz. Kaavassa I on tutkittavan äänen intensiteetti ja log tarkoittaa 0-kantaista logaritmia. Desibeli (db) on (/0)-osa yksiköstä beli, joka on nimetty puhelimen keksijän Aleksander Graham Bell in mukaan. Kuulokynnystä (000 Hz) vastaavan äänen intensiteetti on 0 - W/m ja se vastaa intensiteettitasoa on 0 db. Intensiteetti W/m vastaa intensiteettitasoa 0 db, joka on kuulemisen kipukynnys (threshold o pain). Esimerkki: ivulla 45 laskimme, että tavallisessa puheäänessä paineen vaihtelu on luokkaa 0.050 Pa. aske intensiteetti, kun ilman tiheys on.0 kg/m 3 5 ja tilavuusmoduli.4 0 Pa. Mikä on vastaava intensiteettitaso? Ratkaisu: pmax Intensiteettiyhtälöön (3.4.) I = rb sijoitetaan p max = 0.050 Pa 5 B =.4 0 N/m r =.0 kg/m 3 5-6 N m ja lasketaan: I = 3.08 0 = 3.0 0-6 W/m. 4 m kgn Intensiteettitaso (3.4.4):stä -6 I 3.08 0 b = (0dB)log = (0dB)log = 65 db - I0 0
48 Esimerkki: Kuinka paljon intensiteettitaso muuttuu, kun etäisyys pistelähteestä kaksinkertaistuu? Ratkaisu: Olkoot etäisyydet r ja r = r, joten (3.4.3):sta I ær ö = I ç r = è ø 4 ja intensiteettitason muutos on é I I ù é I/ I ù 0 D b = b - b = (0dB) êlog - log (0dB) log I0 I ú= ê 0 I/ I ú ë û ë 0û é I ù - = (0dB) êlog = (0dB) élog(4 ) ù I ú ë û ë û =- (0dB)log 4 =- (0dB) 0.6006 =- 6.0 db 3.5 EIOVAT ÄÄNIAAOT JA NORMAAI- MUODOT PIIÄ Kaasussa (nesteessä) etenevää pitkittäistä aaltoa voidaan kuvata joko paineen vaihteluina tai kaasuhiukkasten (osasten) poikkeamana tasapainosta. Kappaleessa 3.3 osoitimme, että kun paineella on maksimi, niin poikkeama on nollassa ja päinvastoin. Tämän perusteella on ilmeistä, että seisovan ääniaallon tapauksessa käy niin, että kun paineella on kupukohta niin poikkeamalla on solmukohta ja päinvastoin, ts. paineen solmukohdassa poikkeamalla on kupu. Pohditaan seisovan aallon olemusta putkessa olevassa kaasussa. Putken päät voivat olla avoimia tai suljettuja. Putken sisällä putken päähän saapuva ääniaalto heijastuu takaisin putkeen ja muodostaa siellä jo olevan aallon kanssa seisovan aallon (vrt. kappale.3). On kaksi mahdollisuutta:
49. Jos heijastuminen tapahtuu suljetusta putken päästä, hiukkasten poikkeamat ovat (pakostakin) nollia ja putken päässä on poikkeaman solmukohta ja paineen kupukohta.. Jos heijastuminen tapahtuu avoimesta putken päästä, paine on ulkoilman paine, ts. putken päässä paineella on solmukohta ja poikkeamalla kupukohta. isäksi muistetaan, että seisovassa aallossa kuvut ja solmut esiintyvät l /:n välein. Esimerkki: Kovaääninen (speaker) on suunnattu kohti seinää (ks. kuva). Millä etäisyyksillä seinästä kovaäänisen ja seinän välissä ääntä ei kuulla? Kovaäänisen lähettämän äänen taajuus on 00 Hz ja äänen nopeus ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Korva kuulee paineen vaihtelun, ei ilmaosasten poikkeamia. On siis etsittävä kovaäänisen ja seinän välissä olevassa ilmapatsaassa (ks. kuva) esiintyvän seisovan aallon paineen solmukohdat. Näissä kohdissa paine ei vaihtele, joten ääntä ei kuulla. Huomaa, että kuvassa yllä symbolit N (solmu) ja A (kupu) viittaavat ilmaosasten poikkeamiin, ei paineen vaihteluihin. Paine käyttäytyy viereisen kuvan mukaisesti. uljetussa päässä (siis seinässä) paineella on kupu. Tässä aallonpituus on l = v 344 m/s.7 = 00 /s = m, joten kuvan perusteella ääntä ei kuulu kohdissa:. solmu l / 4 = 0.43 m seinästä,. solmu 3 l / 4 =.9 m seinästä, 3. solmu 5 l / 4 =.5 m seinästä, jne...
50 Urkupillit ja puhallinsoittimet Pitkittäisten seisovien aaltojen tärkeä sovellutusalue on puhallinsoittimet ja erilaiset (urku)pillit. Urkupillejä on periaatteessa kahdenlaisia: avoimia ja suljettuja. Vasemmanpuoleinen kuvasarja alla esittää avoimia pillejä ja oikeanpuoleinen suljettuja. Avoimessa pillissä molemmat päät (huomaa myös vasen pää) ovat avoimia. uljetussa pillissä toinen pää on suljettu ja toinen on avoin. Kuvissa punaiset käyrät esittävät ilmahiukkasten poikkeamia. Kuten edellä todettiin pillin avoimessa päässä poikkeamalla on kupu ja suljetussa päässä solmu. On huomattava, että käyrät ovat puhtaasti matemaattisia esityksiä. Todellisuudessa ilmaosasten poikkeamat ovat pitkittäisesti pillin suunnassa, ei poikittain niin kuin käyrät on piirretty. eisovassa aaltoliikkeessä solmukohdan etäisyys viereisestä kupukohdasta on l /4. uljetun pillin pisin mahdollinen aallonpituus, kuva (a) oikealla, on siten l = 4, missä on pillin pituus. Vastaavaksi taajuudeksi laskemme = v / l = v /(4 ).
5 Vastaavat tarkastelut johtavat tuloksiin: Avoin pilli: l n =, ( n =,, 3, K) (3.5.) n uljettu pilli: n = n v. ( n =,, 3, K) (3.5.) 4 l n =, ( n =, 3, 5, K) (3.5.3) n n = n v 4. ( n =, 3, 5, K) (3.5.4) Avoimella pillillä arvo n = vastaa perustaajuutta, n = toista harmonista (ensimmäistä yliääntä) jne. Myös suljetulla pillillä n = vastaa perustaajuutta, mutta nyt parilliset harmoniset puuttuvat. Vain parittomat harmoniset 3, 5 jne. ovat mahdollisia. Esimerkki: uljetun urkupillin perustaajuus on 0 Hz. Pillin toisen yliäänen taajuus on sama kuin erään avoimen pillin toisen yliäänen taajuus. Kuinka pitkiä pillit ovat? Äänen nopeus ilmassa on 344 m/s. Ratkaisu: uljetun pillin pituus : n = : v v 344 m/s = Þ = = = 0.3909m = 39 cm. 4 4 4 0 /s uljetun toinen yliääni: 5 5 = v 4 (n = 5) Avoimen toinen yliääni: 3 3 = v A (n = 3) Yhtä suuret, joten 5v 3v 3 4 6 = Þ A = = 4 A 5 5 = 0.46909m = 47 cm.
5 3.6 HUOJUNTA Äänen huojunta (beats) havaitaan äänen amplitudin (ja siten myös voimakkuuden) säännöllisenä vaihteluna. Huojuntaa esiintyy kun ääni syntyy kahden, lähes samataajuisen äänen summana. Esimerkkinä kaksi äänirautaa, joiden taajuudet ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos ääniraudat soivat yhtä aikaa, korva ei havaitse taajuuseroa ja kuullaan vain yksi ääni. Pieni taajuusero aiheuttaa kuitenkin äänen voimakkuuden säännöllisen vaihtelun. Tarkastellaan kahta x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa (huomaa esitystapa) y( xt, ) = Asin( wt-kx) y( xt, ) = Asin( w t-kx) ja kuunnellaan niiden summaa kiinnitetyssä kohdassa x = 0: y ( t) = y ( t) + y ( t) = Asin( wt) + Asin( w t). tot Tässä nyt w ¹ w, mutta kuitenkin niin, että w» w. Koska pätee tulee [ ] [ ] sina + sin b = sin ( a + b) cos ( a - b),
53 Edellä tulos annetaan kulmataajuuksien w avulla. Varsinaisten taajuuksien avulla kirjoitetaan ( w = p ) [ ] ( w ± w ) t = p ( ± ) t, josta nähdään, että itse äänen taajuus on ( + )»», joka on lähes sama kuin alkuperäiset taajuudet. Amplitudin vaihtelutaajuus on ( - ), joka on pieni, koska». Korva kuulee kaksi huojahdusta yhden amplitudin jakson aikana (ks. kuva edellisellä sivulla), joten huojuntataajuudeksi (beat requency) saadaan -, (3.6.) missä itseisarvomerkit tarvitaan varmuuden vuoksi, koska emme tiedä kumpi alkuperäisista taajuuksista on suurempi. Esimerkki: Kuvassa alla yhdistetään kaksi aalto, joiden taajuudet ovat = 8 Hz (punainen) ja = 6 Hz (sininen). Alakuva esittää niiden summaa. Alussa ( t = 0) osa-aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa. umma-aallon amplitudi on minimissä. Ajan kuluessa aallot kehittyvät hieman eri taajuudella ja tulevat samaan vaiheeseen, kun t = 0.5s. Tällöin summa-aallon amplitudi on maksiminsa. Amplitudi on seuraavan kerran minimissä, kun t = 0.50s ja maksimissa kun t = 0.75s, jne...
54 Kuvan perusteella amplitudin jaksonaika on.00 s ja huojunnan jaksonaika 0.50 s. Vastaavat taajuudet ovat.00 Hz ja.00 Hz. Edellä esitetyssä teoriassa johdettujen kaavojen avulla saadaan samat tulokset: amplitudin taajuus: - = (8-6) Hz =.00 Hz huojunnan taajuus: - = (8-6) Hz =.00 Hz Esimerkki: Kitaran kieltä viritetään ääniraudan (94 Hz) avulla. Äänirautaa ja kieltä yhtä aikaa kuunneltaessa kuullaan neljä huojumista sekunnissa. Kuinka suuri kielen jännityksen suhteellinen muutos tarvitaan kitaran virittämiseen? Ratkaisu: - huojuntataajuus - = 4Hz - kielen taajuutta on siis muutettava 4 Hz - kielen jännitys F = mv = ml Jännityksen muuttuessa vähän m ja l luonnollisesti säilyvät ja vain taajuus muuttuu: df d Þ df d F =, = ml = ml = F josta, kun muutokset oletetaan pieniksi (kuten onkin), saadaan DF F D =. Kun tähän sijoitetaan D =± 4 Hz ja» 94 Hz, saadaan D F 8 =±»± 0.07, F 94 ts. kielen jännitystä on muutettava noin.7 %. uuntaa emme tiedä tämän laskun perusteella, mutta se selviää helposti kokeilemalla.
55 3.7 DOPPER - IMIÖ Ambulannsin lähestyessä katsojaa (kuulijaa) sireenin taajuus kuullaan korkeampana kuin ambulanssin loitotessa. Mistä on kysymys? Kysymys on ns. Doppler-ilmiöstä (Dopplerin ilmiöstä, Doppler eect), jota ensimmäisenä kuvasi itävaltalainen Christian Doppler 800-luvulla. Kun äänilähde ja havaitsija ovat toistensa suhteen liikkeessä, havaitsija kuulee äänen eri taajuisena kuin millä lähde sitä lähettää. Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisuuden vuoksi tapauksia, missä lähde ja havaitsija liikkuvat vain toisiaan yhdistävän janan suuntaisesti. iikkuva havaitsija Kuvassa äänilähde (, taajuus ) pysyy paikoillaan ja havaitsija () liikkuu sitä kohti nopeudella v. Äänen aallonpituus (esim. harjasta harjaan) on l =v /, missä v on äänen nopeus ilmassa. Aallon harjat lähestyvät havaitsijaa suhteellisella nopeudella ( v + v ), joten havaitsija kuulee taajuuden v+ v v + v æv + v ö = = =ç l v/ è v ø. (3.7.)
56 Äänilähdettä kohti liikkuva havaitsija kuulee siis korkeamman taajuuden kuin paikoillaan pysyvä kuulija. iikkuva lähde ja liikkuva havaitsija Oletetaan nyt, että havaitsijan lisäksi myös lähde liikkuu (kuva alla). Olkoon lähteen nopeus v. Aallon nopeus suhteessa väliaineeseen eli ilmaan on edelleen sama eli v, koska se määräytyy väliaineen ominaisuuksien perusteella, eikä muutu lähteen liikkuessa. Aallonpituus ei kuitenkaan enää ole sama kuin edellisessä tapauksessa. Aika, jonka kuluessa lähde lähettää yhden jakson ääntä on jakson aika T = /. Tämän ajan kuluessa aalto etenee matkan vt = v / kohti kuulijaa ja lähde etenee matkan vt = v / kuulijasta poispäin. Aallonpituus on samassa vaiheessa olevien aallon osien välimatka ja näin siis edellä laskettujen matkojen summa, ts. l v v v + v = + =. (3.7.) Havaitsijan kuulemaksi taajuudeksi saadaan nyt v + v v + v l v v = = +. (3.7.3) Yleinen tapaus: Vastaavilla tarkasteluilla voidaan johtaa yhtälöt kaikille erilaisille tilanteille, joissa havaitsija ja lähde joko liikkuvat eri tavalla toi-
57 siinsa nähden tai ovat paikallaan. Yleiseksi Dopplerin ilmiötä kuvaavaksi yhtälöksi voidaan kirjoittaa v merkkisäännöistä sovitaan yksikäsit- kunhan nopeuksien teisesti. v ja v + v = v + v, (3.7.4) Merkkisääntö: Äänen nopeus ilmassa on aina positiivinen ja muille nopeuksille positiivinen suunta on suunta havaitsijasta lähteeseen. Esimerkki I: Poliisiauton nopeus on v = 30 m/s ja sireenin taajuus = 300Hz. aske äänen aallonpituus auton takana ja edessä, kun äänen nopeus ilmassa on v = 340 m/s. Ratkaisu: Aallonpituus takana venyy. Yhtälöstä (3.7.) saadaan l behind v+ v (340 + 30) m/s 370 = = = m =.3 m 300 /s 300 Aallonpituus edessä vastaavasti puristuu: v-v (340-30) m/s 30 lin ront = = = m =.03 m 300 /s 300
58 Esimerkki II: Minkä taajuisena auton takana levossa oleva havaitsija kuulee sireenin? Ratkaisu: Havaitsija on siis takana levossa, ts. v = 0, ja auton nopeus on merkkisäännön mukaan positiivinen. Yleisestä yhtälöstä (3.7.4) laskemme v + v 340+ 0 = = 300 Hz = 76 Hz v + v 340 + 30 Esimerkki III: Poliisiauto on levossa ja havaitsija liikkuu siitä poispäin nopeudella v = 30m/s. Minkä taajuuden havaitsija nyt kuulee? Ratkaisu: Nyt merkkisäännön mukaan v on sijoitettava yhtälöön (3.7.4) negatiivisena. isäksi v = 0. Tulee v + v 340-30 = = 300 Hz = 74 Hz v + v 340+ 0 Tärkeä huomio: Havaitsijan ja lähteen keskinäinen suhteellinen nopeus on sama kuin edellisessä esimerkissä. Havaittu taajuus on kuitenkin eri!!