PHYS-A0120 Termodynamiikka, syksy 2016 Kotitentti Vastaa tehtäviin 1/2, 3, 4/5, 6/7, 8 ja 9 (yhteensä kuusi vastausta). Tehtävissä 1 ja 2 on annettu ohjeellinen pituus, joka viittaa 12 pisteen fontilla sekä normaaleilla riviväleillä marginaalien ja leveyksillä puhtaaksikirjoitettuun tekstiin. Palautus yhtenä tiedostona PDF-muodossa viimeistään torstaina 22.12. klo 17.00. Valitse seuraavista joko tehtävä 1 tai 2 Tehtävä 1. MyCourses-sivulla on kurssin keskeisten käsitteiden lista. Valitse näistä mielestäsi 6 keskeisintä. Selitä sitten omin sanoin nämä käsitteet, kohdeyleisönä lukion fysiikan kurssit suorittanut henkilö, jolla on hallussaan lisäksi kurssilla tarvittu matemaattinen osaaminen (kokonais- ja osittaisderivaatat jne.) Tarkoituksena on, että selityksesi on oikea, mutta samalla heijastaa omaa ajatteluasi ja käsitteenmuodostustasi. Käytä kuvia havainnollistamaan selityksiäsi, mikäli mahdollista. Perustele myös jokaisen käsitteen kohdalla lyhyesti miksi valitsit kyseisen käsitteen tärkeimpien listallesi. Ohjeellinen pituus: 1/3-1/2 sivua per käsite, plus mahdolliset kuvat. Tehtävä 2. Kuluneen kuuden viikon aikana olemme perehtyneet termodynamiikan perusteisiin ja nyt on loppuyhteenvedon aika esseen muodossa. Käy läpi kurssin yleiset osaamistavoitteet ja viikkokohtaiset oppimistavoitteet. Tarkastele näiden pohjalta termodynamiikan tietojasi ennen kurssia ja niitä uusia asioita, jotka olet nyt mielestäsi sisäistänyt hyvin. Mitkä asiat ovat taas jääneet sinulle vielä epäselviksi ja miten uskoisit niiden aukeavan sinulle? Ohjeellinen pituus: 2-3 sivua. Tehtävä 3. a) Voitko lämmittää keittiötä talvella pitämällä kuuman uunin luukkua auki? Entä voitko jäähdyttää keittiötä kuumana kesäpäivänä pitämällä jääkaapin ovea auki? Perustele vastauksesi selkeästi. b) Valtamerissä on valtava määrä sisäenergiaa. Miksi emme kuitenkaan, yleisesti ottaen, pysty valjastamaan tätä energiaa hyödyllisen työn tekemiseen lämpövoimakoneella? c) Aurinkoisena kesäpäivänä meren tai suuren järven rannalla voimme havaita merituulen, mereltä maalle puhaltavan ilmavirtauksen. Olettaen, että tällaisena päivänä maanpinnan lämpötila on korkeampi kuin merenpinnan lämpötila, selitä tämä ilmiö. Olisiko vastakkainen ilmiö, lämpötilaerosta johtuva maalta merelle puhaltava ilmavirtaus mahdollinen? Perustele.
Valitse seuraavista joko tehtävä 4 tai 5 Tehtävä 4. Ääni on väliaineen mekaanista värähtelyä, joka johtaa pieniin paikallisiin paineen vaihteluihin väliaineessa. Sir Isaac Newton esitti merkkiteoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica teoreettisen ennusteen äänen nopeudelle ilmassa, joka nykykäsittein ilmaistuna oletti, että ääni etenee ilmassa isotermisenä prosessina. Tällöin Newtonin esittämä yhtälö oli kohtuullisessa sopusoinnussa kokeellisten arvojen kanssa. Mittaustarkkuuden parantuessa Pierre-Simon Laplace esitti kuitenkin korjausta Newtonin yhtälöön sillä oletuksella, että äänen eteneminen onkin adiabaattinen prosessi. Ratkaistaan tämä kiista nyt lopullisesti. Yleisesti ottaen äänen nopeus väliaineessa saadaan niin sanotusta Newtonin ja Laplacen yhtälöstä, B v = ρ, jossa B on väliaineen puristusmoduli, B = V d p dv ja ρ väliaineen massatiheys. Olettaen, että ilmaa voidaan kuvata ideaalikaasun tilanyhtälöllä, määritä kaavat äänen nopeudelle ilmassa sekä isotermisessä (Newton) että adiabaattisessa (Laplace) tapauksessa. Mikä on näiden ennusteiden suhde v adiab /v T? Laske lopuksi numeeriset arvot äänen nopeudelle molempia lähestymistapoja käyttäen, jollain järkevällä lämpötilavälillä, ja vertaa tuloksiasi taulukkoarvoihin. Tehtävä 5. On jotenkin itsestään selvää, että vuoren huipulla on kylmempää kuin laaksossa. Nyrkkisääntönä pätee, että ilman lämpötila laskee noin yhdellä asteella noustaessa 100 metriä korkeussuunnassa. Selitä mistä tämä johtuu ja laske numeerinen arvo lämpötilan derivaatalle korkeuden (merenpinnasta) suhteen. Ota huomioon: Ilma johtaa huonosti lämpöä, eli voidaan ajatella, että ilmakehä toimii adiabaattisesti Paine johtuu ilmakehän aiheuttamasta hydrostaattisesta paineesta
Valitse seuraavista joko tehtävä 6 tai 7 Tehtävä 6. Kurssin aikana tutustuimme sekä Carnot n että Stirling lämpövoimakoneisiin. Osoitimme, että kaikista lämpövoimakoneista Carnot n koneella on suurin mahdollinen hyötysuhde. Lisäksi osoitimme, että tietyillä ehdoilla (mitkä ne olivat?) Stirlingin koneen ideaalinen hyötysuhde on yhtä suuri kuin Carnot n koneen hyötysuhde. Miksi kuitenkin voit ostaa kaupasta Stirlingin koneen, mutta et Carnot n konetta? Tarkastellaan tämän kysymyksen selvittämiseksi samojen lämpövarantojen välillä toimivaa Stirlingin ja Carnot n konetta. Vaaditaan lisäksi, että kummankin koneen syklin puristussuhde r = V max /V min on sama. Valitsemalla järkevät lämpövarantojen lämpötilat ja syklien puristussuhteet laadi kuvaaja, jossa on piirrettynä kummankin koneen ideaalinen sykli (huom: ei skemaattista kuvaajaa, vaan sellainen, jossa syklien osaprosessien alku- ja loppupisteet on tarkasti laskettu). Mitä voit sanoa kuvaajan perusteella Carnot n ja Stirlingin koneiden käytännöllisyydestä? Esitä lopuksi jokin yksinkertainen periaate, jolla Carnot n kiertoprosessia voisi (approksimatiivisesti) toteuttaa aidossa lämpövoimakoneessa. Tehtävä 7. Tarkastellaan alla olevassa kuvaajassa esitettyä kiertoprosessia lämpövoimakoneelle, jonka työainetta voidaan approksimoida ideaalikaasulla. Kiertoprosessi koostuu työaineen adiabaattisesta puristuksesta (1), jota seuraa isobaarinen lämmitys työaineen palaessa (2). Tämän jälkeen työaine laajenee adiabaattisesti (3), ja syklin päättää isobaarinen jäähtyminen. Määritä tämän kiertoprosessin hyötysuhde paineiden p b ja p a suhteen funktiona. Kuva 1: Tehtävän 7 termodynaaminen kiertoprosessi.
Kuva 2: Tehtävän 8 systeemi. Tehtävä 8. Tarkastellaan systeemiä, jossa avoimeen vesiastiaan on upotettu putki, joka on vedenpuoleisesta päästään suljettu puoliläpäisevällä kalvolla, ts. rajapinnalla, joka päästää läpi vesimolekyylejä, mutta ei niitä suurempia molekyylejä (kts. kuva yllä). Putken sisällä olevaan veteen lisätään suurikokoisia molekyylejä, jolloin huomataan, että putkessa olevan veden pinta nousee korkeammalle kuin muun astian vedenpinta. Putken sisältämän veden ja astian muun veden välille on kehittynyt paine-ero p, joka voidaan mitata vedenpintojen korkeuseron h mukaisen hydrostaattisen paine-eron avulla, p = ρ g h. Määritetään sitten termodynaaminen lauseke synnytetylle paine-erolle p ja sen riippuvuudelle liuenneiden molekyylien mooliosuudesta putkessa, x s = n s /(n vesi + n s ). 1. Oletetaan, että voimme käsitellä veden ja liuenneiden molekyylien liuosta niin sanottuna ideaalisena liuoksena, jonka määrittelee kemiallisen potentiaalin lauseke kullekin liuoksen komponentille i: µ i (p,t,x i ) = µ i (p,t ) + RT lnx i, jossa µ i on kyseisen komponentin puhtaan faasin kemialllinen potentiaali. 2. Muodosta ensin vedelle termodynaamisen tasapainon ehto kemiallisen potentiaalin avulla. 3. Määritä puhtaan veden kemiallisen potentiaalin, µ, riippuvuus paine-erosta p Gibbsin ja Duhemin yhtälön avulla, kun oletetaan, että liuoksen lämpötila on vakio. (Vinkki: oleta vesi kokoonpuristumattomaksi nesteeksi.) 4. Ratkaise kohdan (2) tasapainoehdosta paine-ero p ja muuta se vielä sopivilla approksimaatiolla liuenneen aineen molaarisen konsentraation [s] = n s /V funktioksi (oletetaan, että putken liuoksen mooliosuuksille x s x vesi ). Vertaa lopuksi johtamasi kaavan ennusteita paine-erolle p kokeellisesti määritettyihin arvoihin sakkaroosille (kts. taulukko alla; T = 273 K). Huom: sakkaroosin konsentraatiot on annettu yksikössä 1 M = 1 mol/litra, jossa tilavuus viittaa kyseisen liuoksen kokonaistilavuuteen (onko sakkaroosin osuus tästä merkittävä?) [s] (M) 0,0292 0,0584 0,1315 0,2739 0,5328 0,8766 p (atm) 0,65 1,27 2,91 6,23 14,21 26,80
Tehtävä 9. Jos halutaan tarkastella rajapintojen termodynamiikkaa, tehdään se yleensä jakamalla systeemi osiin eri bulkki- ja pintafaasien suhteen. Otetaan tässä esimerkiksi vesi-ilma -rajapinta. Tämä systeemi voidaan termodynaamisesti jakaa kahteen faasiin, nestefaasi (v) ja pintafaasi (σ). Näille faaseille voidaan kirjoittaa Eulerin yhtälö sisäenergialle: U v (S,V,n i ) = T S pv + Σ i µ i n v i (1) U σ (S,A,n i ) = T S + γa + Σ i µ i n σ i (2) missä γ on pintajännitys, A rajapinnan pinta-ala, µ i komponentin i kemiallinen potentiaali ja n v i ja n σ i ovat komponentin i ainemäärät nestefaasissa ja pintafaasissa. Muodosta pintafaasille Gibbsin- Duhemin yhtälö (vastaavasti kuin bulkkifaasille). Johda yhtälö rajapinnan pintajännitykselle lisätyn aineen konsentraation ja lämpötilan funktiona. Tulkitse tuloksesi: mitä pintajännitykselle tapahtuu kun systeemiin lisätään pinta-aktiivista ainetta vakiolämpötilassa? Jos lisätyn aineen konsentraatio on pieni, liuottimen (veden) kemiallinen potentiaali pysyy vakiona µ v = µ v vakio. Lisätyn aineen kemiallinen potentiaali on µ A = µ A + RT lnx A, missä µ A on referenssitilaa vastaava kemiallinen potentiaali (vakio) ja x A on lisätyn aineen mooliosuus (kts. tehtävän 8 määritelmä).