30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1 = n 1 - matriisien joukko R n :n alkioita x = x 1 x x n = [ x 1 x x n ] T R n, x i R kaikilla i, kutsutaan pisteiksi tai (sarake-)vektoreiksi Yllä olevaa alkiota x R n merkitään myös x = (x 1,, x n ), järjestetty n-jono Sen sijaan x [ x 1 x x n ] R 1 n, jos n Näin on määritelty joukko R n, kun n 1 Joskus merkitään lisäksi R 0 = {0}, yksialkioinen joukko Erikoistapauksena matriisien yhteenlaskusta 14 ja skalaarilla (= reaaliluvulla) kertomisesta 16 on R n :ssä (missä n 1) määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen: x 1 y 1 x 1 + y 1 ax 1 x + y = x + y ; a x 1 x = ax x n y n x n + y n x n ax n (x 1,, x n, y 1,, y n, a R); nämä on siis määritelty komponenteittain Matriisitoimitusten ominaisuuksista saadaan seuraavat laskulait: Lause 11 Kaikilla x, y, z R n ja a, b R on i) (x + y) + z = x + (y + z); ii) x + y = y + x; iii) x + 0 = x, 0 = [ 0 0 0 ] T ; iv) x + ( 1)x = 0;
31 v) a(x + y) = ax + ay; vi) (a + b)x = ax + bx; vii) a(bx) = (ab)x; viii) 1x = x Painotekninen huomautus : Käsinkirjoitetussa tekstissä usein x = x jne Geometrinen tulkinta tapauksissa n = 1,, 3 n = 1 : Joukkoina samastetaan yleensä R 1 ja R niin, että [ x ] R 1 = x R x R Tavalliseen tapaan reaaliluvut vastaavat lukusuoran pisteitä: Annetulta suoralta S valitaan piste O (origo) sekä toinen piste E 1 O (yksikköpiste) Pistettä P S vastaa tämän jälkeen x R: OP : OE 1 = x x > 0, x < 0, ( OP = janan OP pituus) jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n samalla puolella jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n eri puolilla P O E 1 x < 0 x > 0 Mainittu vastaavuus on kääntäen yksikäsitteinen n = : Kiinnitetään tasossa T piste O (origo) ja O:n kautta kulkevat, toisiaan vastaan kohtisuorat suorat S 1 ja S (koordinaattiakselit), sekä yksikköpisteet E i S i (i = 1, ) Tämän jälkeen samastetaan S i R:n kanssa kuten yllä Silloin jokaista pistettä P T vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste x = (x 1, x ) R : P S S P S 1 x O x 1 P 1 S 1 P S i S i S S 1 = P 1 x 1 R S 1 S = P x R = P x = (x 1, x ) R
3 Yhteenlasku geometrisesti: P T x = (x 1, x ) R Q T y = (y 1, y ) R R T x + y R = R saadaan suunnikassäännöllä, so OP RQ on suunnikas O P R x Q y x 1 y 1 Skalaarilla kertominen geometrisesti: P T x R, P O (ts x 0) ja R T ax R = R on suoralla OP ; R ja P ovat O:n samalla puolella, kun a > 0 R ja P ovat O:n vastakkaisilla puolilla, kun a < 0 OR : OP = a R, (a < 0) O P R, (a > 1) R, (0 < a < 1) n = 3 : Kiinnitetään avaruudessa A origo O, kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa koordinaattiakselia S 1, S ja S 3, ja yksikköpisteet E i S i (i = 1,, 3) Tämän jälkeen jokaista pistettä P A vastaa kääntäen yksikäsitteisesti x = (x 1, x, x 3 ) R 3, summa P + Q muodostetaan A:ssa suunnikassäännöllä (tasossa OP Q) ja skalaarilla kertominen tapahtuu kuten kohdassa n = Siis on saatu vastaavuudet tason pisteet R :n pisteet avaruuden pisteet R 3 :n pisteet Nämä riippuvat koordinaatiston (so pisteiden 0, E 1, E, ) valinnasta Tason tai avaruuden pisteparia P, Q vastaa vektori P Q = Q P P Q
33 Kahta eri pisteparia voi vastata sama vektori: P Q = RS Q P = S R P + S = Q + R ( vektori = suuntajanojen ekvivalenssiluokka) Erityisesti on olemassa yksikäsitteinen piste X, nimittäin X = Q P, jolla P Q = OX on pisteen X paikkavektori Saadaan vastaavuus P Q X x R tai x R 3 tason (vast avaruuden) vektorien ja R :n (vast R 3 :n) vektorien eli pisteiden välille Erityisesti P Q = OQ OP, joten OQ = OP + P Q, ja yleisemmin P R = P Q+ QR (koska (Q P ) + (R Q) = R P ) P Q R Vektoriavaruudet Edellä nähtiin, että R n :n vektorien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on perusominaisuudet 11 i) viii) Vastaavat ominaisuudet ovat voimassa monissa muissakin tilanteissa (esimerkkejä alla) Kannattaa siis ottaa käyttöön yleinen määritelmä, jossa ko ominaisuudet asetetaan perusoletuksiksi (aksioomiksi); tällöin kehitettävä yleinen teoria soveltuu sellaisenaan jokaiseen erikoistapaukseen Määritelmä 1 Joukko V on (R-kertoiminen) vektoriavaruus, jos kaikkiin v, w V ja a R on liitetty yksikäsitteiset summa v + w V ja tulo av V niin, että seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: i) (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V ii) v + w = w + v kaikilla v, w V iii) On olemassa sellainen 0 = 0 V, että v + 0 = v kaikilla v V iv) Jokaiseen v V liittyy sellainen v V, että v + ( v) = 0 v) a(v + w) = av + aw kaikilla a R, v, w V vi) (a + b)v = av + bv kaikilla a, b R, v V vii) a(bv) = (ab)v kaikilla a, b R, v V viii) 1v = v kaikilla v V Tässä V :n alkioita kutsutaan vektoreiksi, R:n alkioita skalaareiksi
Huomautus a) laskutoimitukset + ja kuuluvat vektoriavaruuden struktuuriin Tarkkaan ottaen vektoriavaruus ei siis ole pelkkä joukko V vaan kolmikko (V, +, ) b) iii):ssä nollavektori 0 on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös z V toteuttaa ehdon v + z = v kaikilla v V, niin z iii = z + 0 ii = 0 + z = 0 34 c) iv):ssä vektorin v vastavektori v on v:n yksikäsitteisesti määräämä Jos nimittäin myös w toteuttaa ehdon v + w = 0, niin w iii = w + 0 iv = w + (v + ( v)) i = (w + v) + ( v) ii = (v + w) + ( v) = 0 + ( v) = ii ( v) + 0 = iii ( v) Esimerkki 3 a) 11:n mukaan sarakevektorien joukko R n = R n 1 (n 1) on vektoriavaruus, laskutoimituksina n 1 -matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Vastaavasti tulee rivivektorien eli 1 n -matriisien [ x 1 x x n ] (x i R) joukosta R n = R 1 n vektoriavaruus, kun laskutoimituksiksi valitaan 1 n - matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Yleisemmin on kaikkien m n -matriisien joukko R m n (m 1, n 1) matriisien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella varustettuna vektoriavaruus Myös R 0 = {0} on vektoriavaruus, kun määritellään 0 + 0 = 0 ja a 0 = 0 kaikilla a R b) Olkoon X joukko ja R X = {f f on kuvaus X R} kaikkien X:ssä määriteltyjen reaalifunktioiden joukko Kun f, g R X ja a R, määritellään f + g R X ja af R X (siis f + g ja af ovat kuvauksia X R) asettamalla (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a f(x) kaikilla x X, missä yhtälöiden oikealla puolella + ja tarkoittavat R:n laskutoimituksia Tällöin R X :stä tulee vektoriavaruus Todistetaan esimerkiksi aksiooma i): Olkoot f, g, h R X ja x X Tällöin ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x);
koska siis ((f +g)+h)(x) = (f +(g+h))(x) kaikilla x X, on (f +g)+h = f +(g+h) (määritelmän mukaan kaksi kuvausta f 1, f : X R ovat samat täsmälleen silloin, kun f 1 (x) = f (x) kaikilla x X) R X :n nollavektori on nollakuvaus Alkion f R X vasta-alkio on 0 : X R, 0(x) = 0 kaikilla x X f : X R, ( f)(x) = (( 1)f)(x) = ( 1) f(x) = f(x) kaikilla x X (Lisäksi sovitaan, että R = {0} = R 0 ) c) Useat R X :n osajoukot (sopivalla joukolla X) ovat kiintoisia vektoriavaruuksia; ks 3 Esimerkki 4 Kun x, y, a R, määritellään x y = x y, missä on tavallinen erotus, ja a x = a x, missä on tavallinen tulo Mitkä aksioomista i) viii) ovat voimassa (R,, ):ssä? Onko (R,, ) vektoriavaruus? Ratkaisu i) ei ole voimassa; esimerkiksi (0 0) 1 = (0 0) 1 = 1 ja 0 (0 1) = 0 (0 1) = 1, joten (0 0) 1 0 (0 1) Siten (R,, ) ei ole vektoriavaruus ii) ei ole voimassa; esimerkiksi iii) on voimassa; x 0 = x 0 = x x 0) 0 1 = 0 1 = 1 1 = 1 0 = 1 0 35 x R (Sen sijaan 0 x = x x, kun iv) on voimassa; x kelpaa x:n vasta-alkioksi, koska x x = x x = 0 x R v) on voimassa; a (x y) = a(x y) = ax ay = (a x) (a y) vi) ei ole voimassa; esimerkiksi (1 + 1) 1 = 1 = ja (1 1) (1 1) = 1 1 = 0, joten (1 + 1) 1 (1 1) (1 1) vii) ja viii) ovat voimassa Olkoon V vektoriavaruus Silloin kahden vektorin v 1 ja v summa on määritelty kaikilla v 1, v V Useamman vektorin summa määritellään rekursiivisesti: kun n ja v 1, v,, v n V, on v 1 + v + + v n = (v 1 + + v n 1 ) + v n
Liitännäisyydestä 1 i) seuraa yleinen liitännäisyys eli sulut voi asettaa mielivaltaisesti Tarkastellaan esimerkkinä tapausta n = 4 Rekursiivisen määritelmän mukaisesti (M) v 1 + v + v 3 + v 4 = ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 Toisaalta sulut voidaan asettaa myös seuraavilla tavoilla: 1) (v 1 + (v + v 3 )) + v 4 ) (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ) 3) v 1 + (v + (v 3 + v 4 )) 4) v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) Koska v 1 +(v +v 3 ) = (v 1 +v )+v 3, summa 1) on sama kuin (M) Samalla tavalla päätellään, että summat 3) ja 4) ovat keskenään samat Jos merkitään v = v 1 +v, on ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 = (v + v 3 ) + v 4 = v + (v 3 + v 4 ) = (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ), joten summa ) on sama kuin (M) Toisaalta, jos merkitään u = v + v 3, on v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) = v 1 + (u + v 4 ) = (v 1 + u) + v 4 = (v 1 + (v + v 3 )) + v 4, joten summat 4) ja 1) ovat keskenään samat Siis kaikki neljä summaa ovat samat kuin (M) Näin ollen merkinnän v 1 + v + v 3 + v 4 voidaan ajatella tarkoittavan juuri sitä, että sulut voidaan asettaa mielivaltaisesti Liitännäisyydestä 11 i) ja vaihdannaisuudesta 11 ii) seuraa myös yleinen vaihdannaisuus eli yhteenlaskettavien järjestys summassa (M) voidaan valita mielivaltaisesti Osittelulaeista 1 v) ja vi) seuraavat yleiset osittelulait a(v 1 + + v n ) = av 1 + + av n (a R, v 1,, v n V ) (a 1 + + a n )v = a 1 v + + a n v (a 1,, a n R, v V ) Yleisen liitäntälain, vaihdantalain ja yleisten osittelulakien täsmälliset todistukset (induktiolla) sivuutetaan Vektorien v, w V erotus on v w = v + ( w) V Siis z = v w on se yksikäsitteinen V :n vektori, jolla z + w = v Mm seuraavat laskusäännöt seuraavat vektoriavaruuden aksioomista i) viii): Lause 5 Olkoot v, w V, a, b R Silloin a) av = 0 a = 0 tai v = 0; b) ( 1)v = v; c) a(v w) = av aw; d) (a b)v = av bv 36
37 Todistus (a) = Koska 0v = (0 + 0)v vi = 0v + 0v, on 0 iv = 0v + ( 0v) = (0v + 0v) + ( 0v) i = 0v + (0v + ( 0v)) iv = 0v + 0 iii = 0v Vastaavasti a0 iii = a(0 + 0) v = a0 + a0, joten 0 = a0 + ( a0) = (a0 + a0) + ( a0) = a0 + (a0 + ( a0)) = a0 + 0 = a0 = Olkoon av = 0 ja a 0 Silloin on olemassa 1/a R, ja v viii = 1v = ( 1 vii a)v = 1 a a (av) = 1 a 0 ed = 0 (b) Koska v + ( 1)v = 1v + ( 1)v = (1 + ( 1))v = 0v a) = 0, on vastavektorin yksikäsitteisyyden nojalla ( 1)v = v (c) a(v w) b) = a(v + ( 1)w) v = av + a(( 1)w) vii = av + (a( 1))w = av + (( 1)a)w vii = av + ( 1)(aw) b) = av + ( aw) = av aw (d) (a b)v = (a+( b))v = av+( b)v = av+(( 1)b)v = av+( 1)(bv) = av bv Tarkastellaan vektoriavaruutta V 3 Aliavaruudet Määritelmä 31 Osajoukko W V on V :n vektorialiavaruus (lyhyesti aliavaruus), jos i) v + w W aina, kun v, w W, ii) av W aina, kun v W ja a R, ja iii) 0 V W (Aksioomissa i) ja ii) + ja ovat V :n laskutoimitukset) Huomautus 3 Olkoon W V aliavaruus 31 i):n ja ii):n nojalla voidaan määritellä v + w W ja av W kaikilla v, w W ja a R käyttäen V :n laskutoimituksia Näin saaduilla laskutoimituksilla varustettuna W on itsekin vektoriavaruus: Laskusäännöt 1 i), ii) ja v) viii) pätevät W :n vektoreille, koska ne pätevät jopa V :n vektoreille; koska v + 0 V = v v W (jopa v V ) ja 0 V W (31 iii), niin 0 V kelpaa W :n nollavektoriksi; vektorin v W vastavektoriksi W :ssä kelpaa sen vastavektori v V :ssä, sillä 31 ii):n nojalla v = ( 1)v W Aliavaruus ajatellaan aina (ellei toisin mainita) varustetuksi tällä ns indusoidulla vektoriavaruuden struktuurilla
38 Esimerkki 33 a) W = {[ x 1 x ] T R x 1 + x = 0} on R :n aliavaruus: i) Olkoon x = [ x 1 x ] T W ja y = [ y 1 y ] T W Tällöin x + y = [ x 1 + y 1 x + y ] T Koska on x + y W (x 1 + y 1 ) + (x + y ) = (x 1 + x ) + (y 1 + y ) = 0 + 0 = 0, ii) Olkoon x = [ x 1 x ] T W ja a R Tällöin ax = a [ x 1 x ] T = [ ax 1 ax ] T Koska (ax 1 ) + (ax ) = a(x 1 + x ) = a 0 = 0, on ax W iii) 0 R = [ 0 0 ] T W, koska 0 + 0 = 0 b) Sen sijaan W = {[ x 1 x ] T R x 1 + x = 1} ei ole R :n aliavaruus, sillä 0 R = [ 0 0 ] T / W (0 + 0 = 0 1), joten 31 iii) ei ole voimassa Myöskään 31 i) ja ii) eivät ole voimassa, sillä esimerkiksi [ 1 0 ] T W ja [ 0 1 ] T W ja R, mutta [ 1 0 ] T + [ 0 1 ] T = [ 1 1 ] T / W (1 + 1 = 1) ja [ 1 0 ] T = [ 0 ] T / W ( + 0 = 1) x x x 1 (0, 1) (1, 0) x 1 W W a) b) c) Tarkastellaan vektoriavaruutta R R, vektoreina kaikki funktiot f : R R Esimerkiksi seuraavat osajoukot ovat R R :n aliavaruuksia: C 0 (R, R) = {f R R f on jatkuva}, C 1 (R, R) = {f R R f on derivoituva ja f on jatkuva}, P = {f R R f on polynomifunktio}, P n = {f P deg(f) n} (n N)
(Todistus C 0 (R, R):lle: Differentiaali- ja integraalilaskentalaskenta I1:ssä osoitetaan, että f + g ja af ovat jatkuvia, kun f, g : R R ovat jatkuvia ja a R; lisäksi vakiokuvaus 0 : x 0 on jatkuva) Tässä P 0 P 1 P P C 1 (R, R) C 0 (R, R) R R d) Jokaisella vektoriavaruudella V on (ainakin) triviaalit aliavaruudet {0 V } ja V Lineaarikombinaatiot ja aliavaruuden virittäminen Esimerkki 34 a) Olkoon P R (tai R 3 ), P O (O origo) ja v = OP R Tällöin joukko {tv t R} on O:n ja P :n kautta kulkeva suora v P O tv, (t > 1) 39 b) Olkoot P, Q R 3, ja oletetaan, että O, P ja Q eivät ole samalla suoralla Merkitään v = OP R 3 ja w = OQ R 3 Tällöin joukko {sv + tw s, t R} on pisteiden O, P ja Q kautta kulkeva taso w = OQ tw sv + tw v = OP sv Yleisesti, olkoon V vektoriavaruus ja v 1, v,, v k V vektoreita Vektorit x 1 v 1 + x v + + x k v k V, x 1,, x k R, ovat vektoreiden v 1, v,, v k lineaarikombinaatioita Niiden joukkoa merkitään span(v 1,, v k ) = {x 1 v 1 + + x k v k x 1,, x k R} V (Sopimus: Tämä on = {0}, jos k = 0, ts (v 1,, v n ) on tyhjä jono ) Lause 35 a) span(v 1,, v k ) on V :n aliavaruus b) v 1,, v k span(v 1,, v k ) c) Jos W V on aliavaruus ja v 1,, v k W, niin span(v 1,, v k ) W (ts W sisältää vektoriensa kaikki lineaarikombinaatiot)
Todistus a) Jos v = x 1 v 1 + +x k v k span(v 1,, v k ), w = y 1 v 1 + +y k v k span(v 1,, v k ) ja a R, on v + w = (x 1 + y 1 )v 1 + + (x k + y k )v k span(v 1,, v k ), av = (ax 1 )v 1 + + (ax k )v k span(v 1,, v k ) Lisäksi 0 = 0v 1 + + 0v k span(v 1,, v k ) b) v j = x 1 v 1 + + x k v k span(v 1,, v k ), missä x j = 1 ja x i = 0, kun i j c) Olkoon W aliavaruus ja v 1,, v k W Olkoot x 1,, x k R Kohdan 31 ii) nojalla x j v j W kaikilla j {1,,, k}; tämän jälkeen kohdan 31 i) nojalla 40 x 1 v 1 + x v W x 1 v 1 + x v + x 3 v 3 = (x 1 v 1 + x v ) + x 3 v 3 W x 1 v 1 + + x k v k = (x 1 + + x k 1 v k 1 ) + x k v k W Siten span(v 1,, v k ) on inkluusion suhteen pienin niistä V :n aliavaruuksista, jotka sisältävät vektorit v 1,, v k, vektorien v 1,, v k virittämä aliavaruus Huomautus 36 Jos myös w 1,, w l V, niin span(v 1,, v k ) span(w 1,, w l ) v j span(w 1,, w l ) j Yleensä tällöin ei päde v j {w 1,, w l } millään j:n arvolla Laskumenetelmä 37 Olkoot a 1, a,, a n R m Tutkittava, onko annettu vektori b = [ b 1 b b m ] T R m esitettävissä vektorien a 1, a,, a n lineaarikombinaationa, ts onko b span(a 1,, a n ) Ratkaisu Olkoon a j = [ a 1j a j a mj ] T (j = 1,, n) ja A = [ a ij ] R m n ; siis A on m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1, a,, a n Nyt b span(a 1,, a n ) x 1 a 1 + x a + + x n a n = b joillakin x 1, x,, x n R, ja x 1 a 1 + x a + + x n a n = x 1 a 11 a 1 + x a 1 a + + x n a 1n a n = Ax, a m1 a m a mn
missä x = [ x 1 x x n ] T R n Siispä b span(a 1,, a n ) lineaarisella yhtälöryhmällä Ax = b, eli a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m, on ratkaisuja x = [ x 1 x n ] T R n Esimerkki 38 a) Olkoon a 1 = [ 1 1 ] T R 3, a = [ 1 0 ] T R 3, a 3 = [ 1 1 0 ] T R 3 ja b = [ 1 5 ] T R 3 Onko b span(a 1, a, a 3 )? Ratkaisu Kuten 37:ssä todettiin, b span(a 1, a, a 3 ) x 1 a 1 +x a +x 3 a 3 = b joillakin x 1, x, x 3 R x = [ x 1 x x 3 ] T R 3 toteuttaa yhtälöryhmän Ax = b, jonka täydennetty matriisi muunnetaan porrasmuotoon seuraavasti: 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 3 1 0 5 0 1 1 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 3 3 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 3 0 1 3 Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisu on siis x 3 = 1, x = 3+x 3 =, x 1 = x x 3 = 1, joten b = a 1 + a a 3 span(a 1, a, a 3 ) b) Olkoon a 1 = [ 1 1 ] T R 3, a = [ 1 0 ] T R 3 ja b = [ b 1 b b 3 ] T R 3 Millä ehdolla on b span(a 1, a )? Ratkaisu Ehtoa b span(a 1, a ) vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi muuntuu porrasmuotoon seuraavasti: 1 1 0 1 b 1 b b 3 1 1 0 1 0 0 b 1 b 3 b 1 b 4b 1 + b 3 41 Siispä b span(a 1, a ) on ratkaisuja b 4b 1 + b 3 = 0
4 Matriisiin liittyviä avaruuksia Olkoon A = [ a ij ] R m n m n -matriisi A:n nolla-avaruus on Null(A) = {x R n Ax = 0} R n ; siis Null(A) on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 eli ratkaisujen x = [ x 1 x n ] T joukko a 11 x 1 + + a 1n x n = 0 a 1 x 1 + + a n x n = 0 a m1 x 1 + + a mn x n = 0 Lause 39 Null(A) on R n :n aliavaruus Todistus Käytetään matriisitulon ominaisuuksia (131): i) Olkoot x, y Null(A) Tällöin A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, joten x + y Null(A) ii) Olkoon x Null(A) ja c R Tällöin A(cx) = c(ax) = c 0 = 0, joten cx Null(A) iii) A0 = 0, joten 0 Null(A) Tarkastellaan yo matriisin A = [ a ij ] R m n sarakkeita a j = [ a 1j a j a mj ] T R m (j = 1,,, n) ja rivejä a i = [ a i1 a i a in ] R n (i = 1,,, m) A:n sarakeavaruus Col(A) ja riviavaruus Row(A) ( sarake = column, rivi = row ) ovat Col(A) = span(a 1, a,, a n ) R m, Row(A) = span(a 1, a,, a n ) R n Siis Col(A) on R m :n aliavaruus ja Row(A) on R n :n aliavaruus Lause 310 Jos m n -matriisit A ja B ovat riviekvivalentit, niin a) Null(A) = Null(B), b) Row(A) = Row(B)
Todistus a) Koska täydennetty matriisi [ A 0 ] on riviekvivalentti täydennetyn matriisin [ B 0 ] kanssa, ovat lauseen 157 nojalla yhtälöryhmät Ax = 0 ja Bx = 0 ekvivalentit Täten niillä on sama ratkaisujoukko eli Null(A) = Null(B) b) Erikoistapaus : B on saatu A:sta yhdellä alkeisrivitoimituksella, joka on tyyppiä I, II tai III Käsitellään tyyppi III, joka on vaikein III r s, c R, b s = a s + ca r ja b i = a i i s Tällöin b i span(a 1,, a m ) = Row(A) i, 43 joten Row(B) = span(b 1,, b m ) Row(A) Toisaalta, koska a s = b s cb r ja a i = b i i s, on a i span(b 1,, b m ) = Row(B) i, joten Row(A) = span(a 1,, a m ) Row(B) Yleinen tapaus : On olemassa jono A = A 0, A 1,, A k = B, missä A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l = 0,, k 1) Yllä olevan erikoistapauksen nojalla on Row(A) = Row(A 0 ) = Row(A 1 ) = = Row(A k ) = Row(B) Huomautus 311 Jos A ja B riviekvivalentteja, niin yleensä Col(A) Col(B) Esimerkki 31 1 1 A = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 = B, 0 0 joten A ja B ovat riviekvivalentit Koska [ 1 1 1 ] T Col(A), mutta [ 1 1 1 ] T / Col(B) = {[ x 1 x 0 ] T x 1, x R}, on Col(A) Col(B) Avaruuksia Null(A), Col(A) ja Row(A) analysoidaan yksityiskohtaisesti jatkossa
44 Suorat ja tasot Olkoot P, Q R, P Q Merkitään OP = p = [ p 1 p ] T ja P Q = v = [ v 1 v ] T [ 0 0 ] T Tällöin v = OQ, missä Q = Q P R P p O Q v v Q X x l span(v) Kohdan 34 a) nojalla span(v) on O:n ja Q :n kautta kulkeva suora Olkoon l P :n ja Q:n kautta kulkeva suora, X R ja OX = x = [ x 1 x ] T Tällöin X l x = p + tv jollakin t R, joten l = {p + tv t R}, ja l:n parametrimuotoinen yhtälö on x = p + tv, t R, eli l : { x1 = p 1 + tv 1 x = p + tv, t R (Sanotaan myös, että l kulkee P :n kautta ja on v:n suuntainen) Jos erityisesti v 1 0, on t = 1 v 1 (x 1 p 1 ) ja saadaan yhtälö x = p + tv = p + v v 1 (x 1 p 1 ) = v v 1 x 1 + (p v v 1 p 1 ) Jos P, Q R 3, P Q, ja OP = p = [ p 1 p p 3 ] T, P Q = v = [ v 1 v v 3 ] T [ 0 0 0 ] T, niin vastaavasti P :n ja Q:n kautta kulkevan R 3 :n suoran parametrimuotoinen yhtälö on x = p + tv, t R, eli x 1 = p 1 + tv 1 l : x = p + tv, t R x 3 = p 3 + tv 3 Esimerkki 313 Olkoon P = (, 3, 4) R 3 ja Q = (3,, 5) R 3, jolloin p = [ 3 4 ] T ja v = [ 3 ( ) 3 5 ( 4) ] T = [ 1 5 9 ] T P :n ja Q:n kautta kulkevan R 3 :n suoran l parametrimuotoinen yhtälö on x 1 = + t l : x = 3 5t, t R x 3 = 4 + 9t
45 Oletetaan, että piseet P, Q, R R 3 eivät ole samalla suoralla Merkitään OP = p = [ p 1 p p 3 ] T, P Q = v = [ v 1 v v 3 ] T ja P R = w = [ w 1 w w 3 ] T Tällöin v w (vektorit eivät ole yhdensuuntaiset) X x P w p R v Q T O w v span(v, w) Kohdan 34 b) nojalla span(v, w) = {sv + tw s, t R} on pisteiden O, Q ja R (Q = Q P, R = R P ) kautta kulkeva taso Olkoon T pisteiden P, Q ja R kautta kulkeva R 3 :n taso, X R 3 ja OX = x = [ x 1 x x 3 ] T Tällöin X T x = p + sv + tw joillakin s, t R; siis T = {p + sv + tw s, t R}, ja T :n parametrimuotoinen yhtälö on x = p + sv + tw, s, t R, eli x 1 = p 1 + sv 1 + tw 1 T : x = p + sv + tw, s, t R x 3 = p 3 + sv 3 + tw 3 Esimerkki 315 Olkoon P = (,, 1), Q = ( 1, 0, 3) ja R = (5, 3, 4), jolloin p = [ 1 ] T, v = [ 3 ] T ja w = [ 3 1 3 ] T P :n, Q:n ja R:n kautta kulkevan R 3 :n tason T parametrimuotoinen yhtälö on siis x 1 = 3s + 3t T : x = + s t, s, t R x 3 = 1 + s + 3t Huomautus 315 Suora tai taso on (vektori-) aliavaruus vain, jos se kulkee origon kautta Sen sijaan suora tai taso on aina ns affiini aliavaruus, so muotoa p + W = {p + u u W }, missä W on vektorialiavaruus ja p kiinteä vektori Huomaa, että tässä vektori p ei ole yksikäsitteisesti määrätty; itse asiassa p + W = p + W p p W Tällä kurssilla aina aliavaruus on vektorialiavaruus
4 Lineaarinen riippumattomuus Olkoon V vektoriavaruus ja v 1, v,, v k V vektoreita Määritelmä 41 Jono (v 1,, v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos yhtälö x 1 v 1 + + x k v k = 0, x 1,, x k R, toteutuu vain, kun x 1 = = x k = 0 Tällöin sanotaan myös, että vektorit v 1,, v k ovat lineaarisesti riippumattomat Muussa tapauksessa jono (v 1,, v k ) on sidottu eli lineaarisesti riippuva (Sopimus: Tyhjä jono (tapaus k = 0) on vapaa) Määritelmän mukaan (v 1,, v k ) on sidottu löytyy sellaiset luvut x 1,, x k, että ainakin yksi x j 0 ja x 1 v 1 + + x k v k = 0 Vapaus on siis (järjestetylle) vektorijonolle määritelty ominaisuus Koska V :n yhteenlasku on vaihdannainen, jonon vapaus ei kuitenkaan riipu vektoreiden järjestyksestä: Jos (v 1,, v k ) on vapaa (vastaavasti sidottu) ja {w 1,, w k } = {v 1,, v k } (samat vektorit eri järjestyksessä), niin (w 1,, w k ) on vapaa (vastaavasti sidottu) Huomautus 4 Olkoot a 1, a,, a n R m sarakevektoreita ja olkoon A = [ a 1 a a n ] R m n se m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n Tällöin jono (a 1,, a n ) on vapaa, jos ja vain jos vektoriyhtälöllä x 1 a 1 + + x n a n = 0 eli homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu x = [ x 1 x n ] T = 0 Esimerkki 43 a 1 = [ 1 0 1 ] T R 4, a = [ 0 1 1 ] T R 4 ja a 3 = [ 1 1 1 3 ] T R 4 Tutkitaan yhtälöä x 1 a 1 + x a + x 3 a 3 = 0: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 x 1 + x 3 = 0 0 1 1 (1) 0 1 1 () 0 1 1 x + x 3 = 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 3 0 1 0 0 1 x 3 = 0 x 1 = x = x 3 = 0 (a 1, a, a 3 ) on vapaa (Selitykset : 1) Riviin 3 lisätään ( 1) rivi 1, riviin 4 lisätään ( ) rivi 1 ) Riviin 3 lisätään ( 1) rivi, riviin 4 lisätään ( ) rivi ) Esimerkki 44 Olkoot v, w V a) (v) on vapaa v 0 Todistus : = Jos v = 0, on 1 v = 0; koska 1 0, on (v) sidottu = Olkoon v 0 Jos xv = 0, niin 5 a):n nojalla x = 0; siis (v) on vapaa 46
b) (v, w) on sidottu w = av jollakin a R tai v = bw jollakin b R Todistus : = Jos (v, w) on sidottu, on xv + yw = 0 eräillä x, y R, missä x 0 tai y 0 Jos y 0, on w = (x/y)v, ja jos x 0, on v = (y/x)w = Jos w = av, niin av + ( 1)w = 0, joten (v, w) on sidottu Jos taas v = bw, niin 1 v + ( b)w = 0, joten nytkin (v, w) on sidottu Jos (v, w) on sidottu (ks 44 b), sanotaan, että vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, ja merkitään v w Lemma 45 Jos (v 1,, v k ) on vapaa, niin jokainen osajono (v j1,, v jl ), 1 j 1 < j < < j l k, on myös vapaa Todistus Olkoon x j1 v j1 + + x jl v jl = 0, x j1,, x jl R Merkitään x j = 0, kun j {1,,, k} \ {j 1, j,, j l } Tällöin x 1 v 1 + x v + + x k v k = 0 (summaan x j1 v j1 + + x jl v jl on lisätty yhteenlaskettavat x j v j = 0v j = 0, j {1,,, k} \ {j 1, j,, j l }) Koska (v 1, v,, v k ) on vapaa, on x 1 = x = = x k = 0, joten erityisesti x j1 = x j = = x jl = 0 Seuraus 46 Vapaassa jonossa (v 1,, v k ) on v j 0 j, ja v i v j aina kun i j; erityisesti v 1,, v k ovat kaikki eri vektoreita 47 Todistus Väite seuraa välittömästi esimerkistä 44 ja lemmasta 45 Lemma 47 Olkoon jono (v 1,, v k ) vapaa V :ssä ja w V Silloin (v 1,, v k, w) on vapaa w / span(v 1,, v k ) Todistus = Olkoon w span(v 1,, v k ) Tällöin w = x 1 v 1 + + x k v k eräillä x 1,, x k R, joten x 1 v 1 + + x k v k + ( 1)w = 0 Tässä esiintyvistä skalaarikertoimista ainakin 1 0, joten (v 1,, v k, w) on sidottu = Oletetaan, että w / span(v 1,, v k ) Olkoot x 1,, x k, y R sellaisia, että x 1 v 1 + + x k v k + yw = 0 Silloin täytyy olla y = 0; jos nimittäin olisi y 0, niin w = (x 1 /y)v 1 + (x k /y)v k span(v 1,, v k ) vastoin oletusta Siis x 1 v 1 + +x k v k = 0; koska (v 1,, v k ) on vapaa, on x 1 = = x k = 0 Näin ollen (v 1,, v k, w) on vapaa Lemma 48 Jos w 1,, w l span(v 1,, v k ) ja l > k, jono (w 1,, w l ) on sidottu Todistus Oletuksen mukaan on olemassa sellainen matriisi A = [ a ij ] R k l, että w j = k a ij v i, j = 1,, l i=1
Homogeenisessa yhtälöryhmässä Ax = 0, x = [ x 1,, x l ] T, on k yhtälöä ja l tuntematonta; koska k < l, on yhtälöryhmällä lauseen 151 nojalla epätriviaaleja ratkaisuja Siten voidaan valita x = [ x 1,, x l ] T 0 niin, että Ax = 0 eli l a ij x j = 0, i = 1,, k Tästä seuraa, että l x j w j = j=1 j=1 ( l k ) x j a ij v i = j=1 i=1 k i=1 l a ij x j v i = j=1 ja ainakin yksi x j 0 Siispä (w 1,, w l ) on sidottu Olkoon V vektoriavaruus 5 Kanta ja dimensio k 0 v i = 0, Määritelmä 51 Jono (v 1, v,, v k ) V :n vektoreita on V :n kanta, jos i) (v 1,, v k ) on vapaa, ja ii) (v 1,, v k ) virittää V :n ts V = span(v 1,, v k ) (Erikoistapaus k = 0: Tyhjä jono on avaruuden {0} kanta) Lause 5 Olkoon (v 1,, v k ) jono V :n vektoreita Tällöin (v 1,, v k ) on V :n kanta jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys v = x 1 v 1 + + x k v k, missä x 1,, x k R Todistus = Olkoon v V Koska V = span(v 1,, v k ), on v = x 1 v 1 + + x k v k eräillä x 1,, x k R Esityksen yksikäsitteisyys: Olkoon myös v = y 1 v 1 + + y k v k, y 1,, y k R Tällöin 0 = v v = (x 1 v 1 + +x k v k ) (y 1 v 1 + +y k v k ) = (x 1 y 1 )v 1 + +(x k y k )v k ; koska (v 1,, v k ) on vapaa, on x 1 y 1 = 0,, x k y k = 0, joten x 1 = y 1,, x k = y k = Jos jokaisella v V on esitys v = x 1 v 1 + + x k v k, niin V = span(v 1,, v k ) Vapaus: Olkoot x 1,, x k R sellaisia, että x 1 v 1 + + x k v k = 0 Koska myös 0 = 0v 1 + + 0v k, on 0:n esityksen yksikäsitteisyyden nojalla x 1 = 0,, x k = 0 Jos S = (v 1,, v k ) on V :n kanta, v V ja v = x 1 v 1 + + x k v k, missä x 1,, x k R, kutsutaan sarakevektoria [v] S = [ x 1 x x k ] T R k V :n vektorin v koordinaattivektoriksi kannan S suhteen i=1 48
Esimerkki 53 a) Olkoon n 1 Määritellään e 1 = [ 1 0 0 ] T R n, e = [ 0 1 0 0 ] T R n,, e n = [ 0 0 1 ] T R n Tällöin (e 1, e,, e n ) on R n :n (ns luonnollinen) kanta Todistus Viritys : Kun x = [ x 1 x n ] T R n, on x 1 x 1 0 x 0 x x = x 3 = 0 + 0 + + x n 0 0 siten R n = span(e 1,, e n ) 0 0 0 x n = x 1e 1 + x e + + x n e n ; Vapaus : 0 = x 1 e 1 + + x n e n = [ x 1 x n ] T = x 1 = = x n = 0 Tapauksessa n = on perinteisesti käytetty merkintöjä e 1 = i, e = j, ja tapauksessa n = 3 merkintöjä e 1 = i, e = j, e 3 = k b) Samoin (e T 1, et,, et n ) on R n:n (luonnollinen) kanta (e T 1 = [ 1 0 0 ] jne) c) Jono (1, t, t,, t n ), missä t j tarkoittaa polynomifunktiota t t j, on P n :n kanta, sillä f P n f : R R on polynomifunktio, deg(f) n on olemassa yksikäsitteiset kertoimet a 0, a 1,, a n R, joilla f(t) = a 0 + a 1 t + a t + + a n t n t R d) a):sta seuraa, että (e 1, e ) = ([ 1 0 ] T, [ 0 1 ] T ) on R :n kanta Merkitään v 1 = [ 1 1 ] T R, v = [ 1 1 ] T R Väitämme, että myös (v 1, v ) on R :n kanta x e v 1 49 e 1 x 1 v Todistus Vapaus: x 1 v 1 + x v = 0 = x 1 + x = x 1 x = 0 = x 1 = x = 0 [ ] [ ] 1 1 Viritys: e 1 = 1 + 1 1 = 1 1 v 1 + 1 v ja e = 1 v 1 1 v = R = span(e 1, e ) span(v 1, v ) R = R = span(v 1, v ) Esimerkistä 53 d) nähdään, että samalla vektoriavaruudella voi olla useita kantoja Kuitenkin pätee:
Lause 54 Jos vektoriavaruudella V on kannat (v 1,, v k ) ja (v 1,, v l ), niin k = l; siis jokaisessa V :n kannassa on yhtä monta vektoria Todistus Koska (v 1,, v l ) on V :n kanta, se on vapaa, ja koska (v 1,, v k ) on V :n kanta, se virittää V :n Näin ollen v 1,, v l span(v 1,, v k ) Tästä seuraa, että täytyy olla l k; jos nimittäin olisi l > k, niin lemman 48 nojalla (v 1,, v l ) olisi sidottu Vastaavasti todetaan, että k l Määritelmä 55 Jos V :llä on kanta (v 1,, v k ), niin k = dim(v ) N on V :n dimensio (Erityisesti dim{0} = 0) Esimerkki 56 a) Esimerkin 53 nojalla dim(r n ) = dim(r n ) = n; dim(p n ) = n + 1 b) dim(r m n ) = mn, sillä matriisit I rs jossakin järjestyksessä (r = 1,, m, s = 1,, n; vrt sivu 3) muodostavat R m n :n kannan Emme tiedä vielä, millä avaruuksilla on (äärellinen) kanta (ja siis dimensio) Määritelmä 57 Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos se on äärellisen monen vektorinsa virittämä, ts V = span(v 1,, v k ) joillakin v 1,, v k V Esimerkki 58 a) R n, R n, R m n ja P n ovat äärellisulotteisia b) Kaikkien polynomien avaruus P ei ole äärellisulotteinen Jos nimittäin olisi P = span(f 1,, f k ), niin kaikilla f P olisi deg(f) d <, missä d = max {deg(f 1 ),, deg(f k )} Lause 59 Vektoriavaruudella V ovat seuraavat ehdot yhtäpitävät: i) V on äärellisulotteinen ii) V :n vapaiden jonojen pituudet muodostavat ylhäältä rajoitetun joukon iii) V :llä on (äärellinen) kanta Todistus i) = ii) Olkoon V = span(v 1,, v k ) Silloin jokaisella V :n vapaalla jonolla (w 1,, w l ) on lemman 48 nojalla l k; siis k on vapaiden jonojen pituuksien joukon yläraja ii) = iii) Ehdon ii) mukaan V :n vapaiden jonojen pituudet muodostavat ylhäältä rajoitetun epätyhjän joukon luonnollisia lukuja (joukossa on alkiona ainakin tyhjän jonon pituus 0) Tässä joukossa on suurin alkio m Nyt siis m on erään vapaan jonon S = (u 1,, u m ) pituus, ja mikään (m + 1)-alkioinen jono ei ole vapaa Tästä seuraa, että vapaa jono S myös virittää koko V :n; jos nimittäin olisi olemassa vektori w V \ span(u 1,, u m ), niin lemman 47 mukaan (u 1,, u m, w) olisi (m + 1)-alkioinen vapaa jono Siis S on V :n kanta iii) = i) on triviaali 50
Jokaisella äärellisulotteisella vektoriavaruudella V on siis kanta, joten myös dimensio dim(v ) on määritelty Päättelemällä samaan tapaan kuin 59:n todistuksen osassa ii) = iii) saadaan seuraava tarkempi tulos: Lause 510 Olkoon (u 1,, u p ) avaruuden V vapaa jono, ja olkoot v 1,, v k V sellaisia vektoreita, että jono (u 1,, u p, v 1,, v k ) virittää V :n Tällöin on olemassa (v 1,, v k ):n osajono (v j1,, v jr ) (1 j 1 < < j r k), jolla jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on V :n kanta Todistus Tarkastellaan jonon (v 1,, v k ) kaikkia osajonoja (v j1,, v jr ), joilla jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on vapaa; ainakin tyhjä osajono on tällainen Valitaan mahdollisimman pitkä tällainen osajono (v j1,, v jr ) Nyt siis jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on vapaa, ja riittää osoittaa, että sen virittämä aliavaruus W on koko V (silloin ko (p + r)-alkioinen jono on V :n kanta) Vastaoletus: W V Tällöin jollakin j {1,, k} täytyy olla v j / W ; jos nimittäin olisi v j W kaikilla j {1,, k}, niin V = span(u 1,, u p, v 1,, v k ) W, mistä seuraisi W = V vastoin vastaoletusta Lisäämällä vektori v j osajonoon (v j1,, v jr ) (sopivaan kohtaan) saadaan (r + 1)-alkioinen (v 1,, v k ):n osajono, ja lemman 47 nojalla vastaava (p + r + 1)-alkioinen jono on myös vapaa Tämä on mahdotonta, koska osajono (v j1,, v jr ) valittiin jo alun perin mahdollisimman pitkäksi Seuraus 511 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus a) V :n vapaa jono (u 1,, u p ) voidaan sopivilla vektoreilla w 1,, w r V täydentää V :n kannaksi (u 1,, u p, w 1,, w r ) b) V :n jokaisen virittäjäjonon (v 1,, v k ) jokin osajono on V :n kanta Todistus a) Valitaan lauseessa 510 jonoksi (v 1,, v k ) mikä tahansa V :n virittäjäjono; sellaisia on olemassa, koska V on äärellisulotteinen b) Valitaan lauseessa 510 jonoksi (u 1,, u p ) tyhjä jono Lause 51 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W V aliavaruus Tällöin W on myös äärellisulotteinen, ja dim(w ) dim(v ) Jos W V, niin dim(w ) < dim(v ) Todistus Koska jokainen W :n vapaa jono on vapaa myös avaruudessa V, toteuttaa W ehdon 59 ii) (koska V toteuttaa sen), ja on siis äärellisulotteinen 59 iii):n nojalla W :lla on kanta (u 1,, u p ), ja 511 a):n mukaan tämä V :n vapaa jono voidaan täydentää V :n kannaksi (u 1,, u p, w 1,, w r ) Siten dim(w ) = p p + r = dim(v ) Jos W V, uusia kantavektoreita w 1,, w r tarvitaan ainakin yksi; siis tällöin r 1 ja dim(w ) < dim(v ) 51
5 Esimerkki 513 Olkoon W R n aliavaruus ja {0} W R n Tällöin dim(w ) {1,,, n 1} Jos n =, W on origon kautta kulkeva suora (dim(w ) = 1) ja jos n = 3, W on origon kautta kulkeva suora (dim(w ) = 1) tai taso (dim(w ) = ) Lause 514 Olkoon dim(v ) = n ja v 1,, v k V a) Jos (v 1,, v k ) on vapaa, niin k n; tällöin k = n (v 1,, v k ) on V :n kanta b) Jos span(v 1,, v k ) = V, niin k n; tällöin k = n (v 1,, v k ) on V :n kanta Todistus a) Olkoon (v 1,, v k ) vapaa Jos (v 1,, v k ) on V :n kanta, niin lauseen 54 mukaan k = n Jos (v 1,, v k ) ei ole kanta, niin span(v 1,, v k ) V, jolloin lauseen 51 mukaan k = dim span(v 1,, v k ) < dim(v ) = n b) Olkoon span(v 1,, v k ) = V Taas k = n, jos (v 1,, v k ) on V :n kanta Jos (v 1,, v k ) ei ole kanta, niin seurauksen 511b) mukaan eräs aito osajono (v j1,, v jr ) on kanta; siis r < k ja n = dim(v ) = r < k Erityisesti R n :ssä jokainen n:n vektorin pituinen vapaa jono on kanta, samoin jokainen n:n vektorin pituinen virittävä jono 6 Menetelmiä kannan etsimiseksi Tulosten 59 iii) ja 511 todistukset eivät valitettavasti anna mitään konkreettisia laskumenetelmiä kantojen etsimiseksi, eikä tällaisia menetelmiä yleiselle vektoriavaruudelle V tietenkään voikaan olla olemassa Kehitämme seuraavassa laskumenetelmiä, jotka toimivat eräillä koordinaattiavaruuksien R n aliavaruuksilla V Sarake- ja riviavaruuden kanta Olkoon A R m n m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m ja rivit a 1,, a m R n Tutkitaan avaruuksia Col(A) = span(a 1,, a n ) R m ja Row(A) = span(a 1,, a m ) R n Muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi B Olkoot B:n sarakkeet b 1,, b n R m ja B:n rivit b 1,, b m R n Olkoot B:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) Silloin erityisesti b i 0, kun 1 i r, ja b i = 0, kun r < i m Laskumenetelmä 61 (a j1,, a jr ) on Col(A):n kanta Todistus Vapaus : Olkoot x j1,, x jr R sellaisia, että x j1 a j1 + +x jr a jr = 0 Merkitään x j = 0, kun j {1,,, n} \ {j 1,, j r }, ja x = [ x 1 x x n ] T
Silloin x 1 a 1 + + x n a n = 0 eli Ax = 0 Koska A ja B ovat riviekvivalentit, myös Bx = 0 (yhtälöryhmillä on samat ratkaisut) Näin ollen x 1 b 1 + + x n b n = 0 ja edelleen x j1 b j1 + + x jr b jr = 0 (koska muut x j :t valittiin nolliksi) Tällöin vastaavan yhtälöryhmän yhtälö r = x jr = 0; sen jälkeen yhtälö r 1 = x jr 1 = 0,, yhtälö 1 = x j1 = 0 Viritys : Riittää osoittaa, että a j span(a j1,, a jr ) myös, kun j {1,, n} \ {j 1,, j r } Olkoon siis j 0 {1,, n} \ {j 1,, j r } Tarkastellaan yhtälöryhmää Bx = 0, jonka ratkaisut saadaan 158 a):sta Annetaan vapaille muuttujille seuraavat arvot: x j0 = 1; x j = 0, kun j {1,, n} \ {j 0, j 1,, j r } 53 Olkoon x = s = [ s 1 s s n ] T vastaava yhtälöryhmän Bx = 0 ratkaisu Koska yhtälöryhmät Bx = 0 ja Ax = 0 ovat ekvivalentit, on x = s myös yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisu, ts As = 0 eli s 1 a 1 + s a + + s n a n = 0 Tästä saadaan s j1 a j1 + + s jr a jr + 1 a j0 = 0 (muut s j :t = 0), joten a j0 span(a j1,, a jr ) Menetelmässä 61 sarakeavaruuden kantavektoreiksi poimitaan siis alkuperäisestä matriisista A porrasmatriisin B johtavien alkioiden sarakkeita vastaavat sarakevektorit Laskumenetelmä 6 (b 1,, b r ) on Row(A):n kanta Todistus Lauseen 310 b) mukaan on Row(A) = Row(B) = span(b 1,, b m ) = span(b 1,, b r, 0,, 0) = span(b 1,, b r ) Jää siis osoitettavaksi, että (b 1,, b r ) on vapaa Olkoon x 1 b 1 + + x r b r = 0, x 1,, x r R Tämä lineaarikombinaatio on rivivektori, jonka j 1 -komponentti on = x 1 ; koska lineaarikombinaatio = 0, on siis erityisesti x 1 = 0 Tutkimalla tämän jälkeen lineaarikobinaation j -,, j r - komponentteja (tässä järjestyksessä) nähdään edelleen, että x = 0,, x r = 0 Menetelmässä 6 riviavaruuden kantavektorit ovat siis porrasmatriisin B nollasta eroavat rivit Seuraus 63 dim Col(A) = dim Row(A) (= r)
54 Esimerkki 64 0 3 4 1 0 0 3 4 A = 5 4 0 6 9 7 156 19 1 0 0 9 0 1 0 17 4 5 3 0 0 1 = B 0 0 0 0 0 Menetelmän 61 mukaan eräs Col(A):n kanta koostuu vektoreista [ 0 0 ] T, [ 0 0 ] T, [ 3 5 6 ] T Menetelmän 6 mukaan eräs Row(A):n kanta koostuu vektoreista [ 1 0 0 9 19 ], [ 0 1 0 17 4 5 ], [ 0 0 1 3 ] Huomautus 65 Olkoon annettu sarakevektorit v 1,, v n R m Aliavaruudelle V = span(v 1,, v n ) R m voidaan etsiä kanta kahdella eri menetelmällä (tuloksena yleensä eri kantaa): a) Muodostetaan matriisi A R m n, jonka sarakkeet ovat v 1,, v n ja etsitään kanta avaruudelle V = Col(A) kuten 61:ssa b) Muodostetaan matriisi C R n m, jonka rivit ovat v T 1,, v T n (siis C = A T, missä A on kuten a):ssa), ja etsitään Row(C):lle kanta (b 1,, b r ) menetelmällä 6; tällöin selvästi ((b 1 ) T,, (b r ) T ) on avaruuden Col(C T ) = Col(A) = V kanta Esimerkki 66 Olkoon v 1 = [ 1 3 ] T, v = [ 3 5 ] T, v 3 = [ 0 1 1 ] T ja V = span(v 1, v, v 3 ) Etsitään V :lle kanta kummallakin 65 mainitulla strategialla: 1 0 1 0 1 0 (a) 3 1 0 1 1 0 1 1 3 5 1 0 1 1 0 0 0 Siis r =, ja saadaan V :n kanta (v 1, v ) 1 3 1 3 (b) 3 5 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 Saadaan siis V :n kanta ([ 1 3 ] T, [ 0 1 1 ] T ) (v 1, v )
Huomautus 67 Menetelmän 61 antamalla avaruuden Col(A) = span(a 1,, a n ) kannalla (a j1,, a jr ) on seuraava ominaisuus: Kun s r, on (a j1,, a js ) avaruuden span(a 1, a, a js ) kanta (tarkastellaan vain sarakkeita 1,,, j s ) Jos erityisesti jonon alkupää (a 1,, a k ) (k n) on valmiiksi vapaa, niin a jl = a l arvoilla l = 1,,, k Vastaava pätee 65 a):ssa Esimerkki 68 R m :n vapaa jono (v 1,, v k ) (k < m) voidaan käytännössä täydentää R m :n kannaksi soveltamalla menetelmää 61 matriisiin A R m (k+m), jonka sarakkeet ovat v 1,, v k, e 1,, e m (silloin Col(A) = R m ) Nolla-avaruuden kanta Olkoon A m n -matriisi Palautetaan mieleen A:n nolla-avaruus Null(A) = {x R n Ax = 0}, ts homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko Lauseen 39 nojalla Null(A) on R n :n aliavaruus Ratkaistaan yhtälöryhmä Ax = 0 Gaussin (tai Gaussin-Jordanin) eliminointimenetelmällä, ts muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi C, jolloin lauseen 310 a) nojalla Null(A) = Null(C) Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ), (, j ),, (r, j r ) (1 j 1 < j < < j r n) Merkitään {1,,, n} \ {j 1, j,, j r } = {k 1, k,, k n r }, missä 1 k 1 < k < < k n r n Null(C):n alkiot saadaan 158 a):sta: 1) Jos r = n (eli n r = 0), vapaita muuttujia ei ole, joten Null(C) = {0} ja dim Null(C) = 0 ) Olkoon r < n (eli n r > 0) Jokaista (parametri-) jonoa (s 1, s,, s n r ) vastaa yksikäsitteinen x = [ x 1 x x n ] T Null(C) niin, että ja x k1 = s 1, x k = s,, x kn r = s n r (vapaat muuttujat) x jh = d h1 s 1 + d h s + + d h,n r s n r (h = 1,,, r) eräillä d hl R Tällöin yleinen ratkaisu x on x = s 1 u 1 + s u + + s n r u n r span(u 1, u,, u n r ), 55
p missä u p Null(C) vastaa parametrijonoa (0,, 0, 1, 0, 0) (siis s p = 1 ja s j = 0, kun j p), ts u p :n k p -koordinaatti = 1 k q -koordinaatti = 0, j h -koordinaatti = d hp kun q p Lisäksi jono (u 1,, u n r ) on vapaa, sillä lineaarikombinaation t 1 u 1 +t u + + t n r u n r k p -koordinaatti = t p = 0, jos lineaarikombinaatio = 0 On siis johdettu Lause (ja laskumenetelmä) 69 dim Null(A) = n r Jos n r > 0, on (u 1, u,, u n r ) Null(A):n (eräs) kanta Huomautus 610 Käytännössä vektorit u 1,, u n r löytyvät automaattisesti, kun muodostetaan yhtälöryhmän Ax = 0 yleinen ratkaisu Esimerkki 611 1 1 4 1 0 1 1 1 A = 0 0 0 1 1 1 0 0 1 6 0 1 1 1 4 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 1 4 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 4 1 0 0 1 3 1 1 4 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (Selitykset : 1) Riviin 4 lisätään ( 1) rivi 1, riviin 5 lisätään ( ) rivi 1 ) Riviin 4 lisätään rivi, riviin 5 lisätään rivi 3) Riviin 4 lisätään ( 1) rivi 3, riviin 5 lisätään rivi 3) Havaitaan, että x 3 ja x 5 ovat vapaat muuttujat Merkitään x 3 = s 1 R ja x 5 = s R Nyt x Null(A) x 1 = x 4x 3 x 4 x 5 = s 1 s x = x 3 x 4 x 5 = s 1 + s x 3 = s 1 x 4 = x 5 = s x 5 = s 56
57 eli s 1 s 1 s 1 + s 1 x = s 1 = s 1 1 +s 0, s 0 s 1, s R s 0 }{{} u 1 1 }{{} u Siis (u 1, u ) on eräs Null(A):n kanta ja dim Null(A) = 7 Matriisin aste Olkoon A m n -matriisi Seurauksen 63 nojalla dim Col(A) = dim Row(A) = r, missä r on A:n kanssa riviekvivalentin porrasmatriisin nollasta eroavien rivien lukumäärä Määritelmä 71 Matriisin A aste on rank(a) = dim Col(A) = dim Row(A) Erityisesti 0 rank(a) min {m, n} Lauseen 69 mukaan yo merkinnöillä on dim Null(A) = n r Siispä Lause 7 rank(a) + dim Null(A) = n Aste rank(a) voidaan siis määrittää (ainakin) kolmella vaihtoehtoisella tavalla: (1) etsitään Col(A):lle kanta (61), tai () etsitään Row(A):lle kanta (6), tai (3) etsitään Null(A):lle kanta (69); rank(a) = n dim Null(A) Seuraus 73 Homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on epätriviaaleja ratkaisuja rank(a) < n Todistus Epätriviaaleja ratkaisuja on olemassa Null(A) {0} dim Null(A) > 0 rank(a) = n dim Null(A) < n Neliömatriisille pätee
Lause 74 Olkoon A n n -matriisi Silloin rank(a) n Lisäksi rank(a) = n A on säännöllinen Todistus Kuten todettiin, rank(a) min {n, n} = n Edelleen A on säännöllinen 165 homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu 73 rank(a) n rank(a) = n 58 Olkoon A m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m, ja olkoon b R m Verrataan A:n ja täydennetyn matriisin [ A b ] asteita Koska on Siis pätee Col(A) = span(a 1,, a n ) span(a 1,, a n, b) = Col ([ A b ]) rank ([ A b ]) = { rank(a), kun b span(a1,, a n ) rank(a) + 1, kun b / span(a 1,, a n ) Lause 75 Yhtälöryhmällä Ax = b on ratkaisuja rank ([ A b ]) = rank(a) 8 Koordinaatit ja kannanvaihto Olkoon V vektoriavaruus, dim(v ) = n Jos S = (v 1,, v n ) on V :n kanta ja v V, on olemassa yksikäsitteinen sarakevektori [v] S = [ x 1 x n ] T R n, jolla v = x 1 v 1 + + x n v n Sarakevektoria [v] S kutsutaan v:n koordinaattivektoriksi S:n suhteen (ks s 48), ja luvut x 1,, x n ovat v:n koordinaatit kannassa S n = v 0 x v v 1 x 1 v 1 v = x 1 v 1 + x v x 1 -akseli x -akseli
59 Esimerkki 81 a) [v j ] S = e j = j [ 0 0 1 0 0 ] T kaikilla j b) Olkoon E = (e 1,, e n ) R n :n luonnollinen kanta Silloin [x] E = x kaikilla x R n (x = x 1 e 1 + + x n e n ) Lause 8 Olkoot v, w V ja c R, ja olkoon S = (v 1,, v n ) V :n kanta Tällöin [v + w] S = [v] S + [w] S ja [cv] S = c[v] S Todistus Olkoon v = x 1 v 1 + + x n v n ja w = y 1 v 1 + + y n v n Tällöin v +w = (x 1 v 1 + +x n v n )+(y 1 v 1 + +y n v n ) = (x 1 +y 1 )v 1 + +(x n +y n )v n, joten Vastaavasti [v + w] S = [ x 1 + y 1 x n + y n ] T = [ x 1 x n ] T + [ y 1 y n ] T = [v] S + [w] S cv = c(x 1 v 1 + + x n v n ) = (cx 1 )v 1 + + (cx n )v n, joten [cv] S = [ cx 1 cx n ] T = c [ x 1 x n ] T = c[v] S Jos n > 0, tarkasteltavalla n-ulotteisella vektoriavaruudella V on aina lukuisia eri kantoja, ja yleensä (toisin kuin koordinaattiavaruuden R n tapauksessa) mikään V :n kanta ei ole muita kantoja luonnollisempi (näin on jo, jos V on R m :n jokin aito aliavaruus) Tietty V :n vektori voidaan esittää koordinaattivektorin avulla jokaisen kannan suhteen, mutta tuo koordinaattivektori tietenkin riippuu siitä, mitä nimenomaista kantaa käytetään Tämän takia on syytä tutkia, miten saman vektorin koordinaattivektori muuttuu, kun käytettävä kanta vaihtuu Olkoot siis S = (v 1,, v n ) ja T = (w 1,, w n ) kaksi V :n kantaa Selvitämme, miten vektorin v V koordinaattivektorit [v] S ja [v] T riippuvat toisistaan Olkoon [w j ] S = [ a 1j a j a nj ] T, j = 1,,, n, toisin sanoen (83) w j = n a ij v i = a 1j v 1 + a j v + + a nj v n, j = 1,,, n i=1
Lause ja määritelmä 84 On olemassa tasan yksi n n -matriisi M(S T ), kannanvaihtomatriisi T :stä S:ään, jolla [v] S = M(S T )[v] T v V, nimittäin M(S T ) = [ a ij ] = [ [w 1 ] S [w ] S [w n ] S ] (sarakkeet [w 1 ] S, [w ] S,, [w n ] S ) Todistus Yksikäsitteisyys : Olkoon A R n n sellainen, että A[v] T = [v] S v V Silloin A:n j:s sarake = Ae j = A[w j ] T = [w j ] S, joka on yksikäsitteisesti määrätty Olemassaolo : Määritellään M(S T ) = [ [w 1 ] S [w ] S [w n ] S ] Olkoon v V ja [v] T = x = [ x 1 x n ] T, ts v = x 1 w 1 + + x n w n Silloin M(S T )[v] T = M(S T ) [ x 1 x n ] T = x 1 [w 1 ] S + + x n [w n ] S = 8 [x 1 w 1 + x n w n ] S = [v] S 60 Kun v V, [v] T = [ x 1 x n ] T ja [v] S = [ y 1 y n ] T, on siis [v] S = M(S T )[v] T, eli n (85) y i = a ij x j = a i1 x 1 + a i x + + a in x n, j=1 i = 1,, n (vertaa tätä 83:een) Lause 86 Olkoot R, S ja T kolme V :n kantaa Silloin a) M(S S) = I n ; b) M(R S)M(S T ) = M(R T ); c) M(S T ) on säännöllinen ja M(S T ) 1 = M(T S) Todistus a) Koska [v] S = I n [v] S v V ja kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen, on M(S S) = I n b) Soveltamalla aluksi matriisien kertolaskun liitäntälakia ja sen jälkeen kannanvaihtomatriisin määritelmää saadaan kaikilla v V (M(R S)M(S T ))[v] T = M(R S)(M(S T )[v] T ) = M(R S)[v] S = [v] R = M(R T )[v] T
61 Kannanvaihtomatriisin yksikäsitteisyyden nojalla on c) Kohtien b) ja a) nojalla M(R S)M(S T ) = M(R T ) M(S T )M(T S) = M(S S) = I n M(T S)M(S T ) = I n ja Kannanvaihto käytännössä R n :ssä Olkoon E = (e 1,, e n ) koordinaattiavaruuden R n :n luonnollinen kanta Kun S = (v 1,, v n ) on R n :n toinen kanta, merkitään M S = M(E S) = [ v 1 v v n ] (sarakkeet v 1, v,, v n ) (ks 84; v j = [v j ] E j, ks 81 b); siis M S on triviaali muodostaa Kun b R n, on [b] S = x yhtälöryhmän M S x = b yksikäsitteinen ratkaisu, sillä lauseen 84 nojalla M S [b] S = M(E S)[b] S = [b] E = b, ja ratkaisun yksikäsitteisyys seuraa siitä, että M S on säännöllinen Yhtälöryhmä voidaan ratkaista kuten 15:ssä Toinen tapa [b] S :n laskemiseksi on soveltaa lauseita 84 ja 86 c): [b] S = M(S E)b = M(E S) 1 b = M 1 S b, missä M 1 S löytyy kuten menetelmässä 167 Olkoon myös T = (w 1, w,, w n ) R n :n kanta Lauseen 86 b) nojalla M(S T ) = M(S E)M(E T ) = M 1 S M T saadaan, kun on löydetty M 1 S Toinen, usein suositeltavampi, tapa matriisin M(S T ) = [ [w 1 ] S [w n ] S ] muodostamiseksi: Sarake [w j ] S = x on yhtälöryhmän M S x = w j yksikäsitteinen ratkaisu, ja nämä n yhtälöryhmää (j = 1,, n) voidaan ratkaista yhdellä kertaa; kun n (n) - matriisi [ M S MT ] = [ v 1 v v n w1 w w n ], jonka sarakkeet ovat v 1,, v n, w 1,, w n, muunnetaan redusoituun porrasmuotoon [ I n B ], on B = M(S T )
Esimerkki 87 Olkoon v 1 = [ 1 1 ] T, v = [ 1 1 ] T, w 1 = [ 1 ] T ja w = [ 3 ] T Tällöin S = (v 1, v ) ja T = (w 1, w ) ovat kaksi R kantaa (miksi?) Triviaalisti [ ] [ ] 1 1 1 M S =, M T = 1 1 3 Olkoon b = [ 4 5 ] T R Ratkaistaan x = [b] S ja y = [b] T yhtälöryhmistä M S x = b ja M T y = b: [ 1 1 1 1 ] [ 4 1 1 5 0 ] [ 4 1 1 9 0 1 ] [ 4 1 0 0 1 9 1 9 ] 6 Siis Edelleen [ 1 3 [b] S = [ 1 ] 9 ] [ 4 1 5 0 7 (tarkista laskemalla ( 1 )v 1 + 9 v ) ] [ 4 1 3 0 1 ] [ 4 1 0 0 1 3 7 7 3 7 ] Siis Edelleen [b] T = [ 7 3 7 [ 1 1 [ M S MT ] = 1 1 ] [ 1 1 0 1 (tarkista laskemalla 7 w 1 + 3 7 w ) ] [ 1 1 1 3 0 ] [ 1 1 0 0 1 3 1 1 ] 1 3 1 5 3 1 ] Siis [ 1 M(S T ) = Totea laskemalla, että todellakin 1 [ 1 5 3 1 ] [ 7 3 7 ] = 5 3 1 [ 1 ] 9 ] = 1 [ 1 5 3 1 ] eli M(S T )[b] T = [b] S