T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 2. M : a 1. M : a c b, e b f,r c e a) M,a = A(U), sillä (esim.) (a,b,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka ei kulje sellaisen tilan s S kautta, jolle pätisi M,s =. b) Mallin F-reiluja polkuja ovat kaikki ne täyet polut, jotka kaikille lauseille ϕ F sisältävät äärettömän monta tilaa s S siten, että M,s = ϕ. Koska F = {R}, rajoitutaan siis tarkastelemaan sellaisia polkuja, jotka sisältävät äärettömän monta tilaa s S, joille M,s = R. Koska {s S M,s = R} = {f}, seuraa, että kaikkien mallin F-reilujen polkujen tulee kulkea äärettömän monta kertaa tilan f kautta. Koska tiloista c ja ei ole yhteyttä tilaan f, mikään F-reilu polku ei voi kulkea näien tilojen kautta. Siten mallin jokainen F- reilu polku on muotoa (a,b, e,...,e, f,a, b, e,...,e,f, a,b, e,...,e,f,...) }{{}}{{}}{{} n1 kpl n2 kpl n3 kpl missä n 1,n 2,n 3,... ovat (äärellisiä) positiivisia kokonaislukuja. Koska erityisesti n 1 on äärellinen ja M,a =, M,b =, M, e = sekä M,f =, seuraa, että M,a = F A(U) pätee. c) M,a = EG, sillä (a,b, e,e, e,...), on tilasta a alkava täysi polku, jonka jokaisessa tilassa s {a, b, e} pätee M, s =. ) Huomataan, että c-kohan polku on mallin ainoa tilasta a alkava täysi polku, jonka kaikissa tiloissa lause pätee. Tämä polku ei kuitenkaan ole F-reilu, sillä se ei kulje kertaakaan tilan f kautta. Siten M,a = F EG. 1 Järjestetään lauseen AXE ( ( )U( ) ) alilauseet järjestykseen, jonka avulla alilauseien totuusarvo mallin eri tiloissa voiaan määrittää vaiheittain aiemmin käsiteltyjen alilauseien totuusarvojen perusteella, kunnes saaaan lopulta selville koko lauseen totuusarvo mallin eri tiloissa. Alilauseet voiaan käsitellä esimerkiksi järjestyksessä,,,,e ( ( )U( ) ),AXE ( ( )U( ) ). Lauseien ja totuusarvot saaaan suoraan valuaatiosta v. Lasketaan alilauseen totuusarvot mallin eri tiloissa: Alilause :,, a, c b,, e a, c b,,, e Lasketaan alilauseen E ( ( )U( ) ) totuusarvot luentokalvoissa esitetyn CheckEU-algoritmin avulla. Aloitetaan siis tilajoukosta, jossa alilause on tosi ({b}) ja merkitään E ( ( )U( ) ) toeksi tilassa b. Kerätään tämän jälkeen kaikki ne tilat s S, joille s,b R ja M,s = (ja joihin lause E ( ( )U( ) ) 2
ei ole vielä merkitty toeksi). Saaaan {, e}, jonka kaikkiin tiloihin merkitään lause E ( ( )U( ) ) toeksi. Toistetaan nyt menettely tilajoukon tilojen ja e eeltäjille ja eelleen niien eeltäjille niin kauan, kunnes tulosjoukko ei enää kasva. Koko algoritmin suoritus voiaan siis esittää seuraavasti: 1 {b} {b} {,e} 2 {b,, e} {, e} {c} 3 {b,c,, e} {c} Alilause E ( ( )U( ) ) pätee siis tiloissa E ( ( )U( ) ) a E ( ( )U( ) ) c b E ( ( )U( ) ) e E ( ( )U( ) ) Lasketaan viimein lauseen AXE ( ( )U( ) ) totuusarvot keräämällä kaikki ne mallin tilat, joien kaikille R-relaation seuraajatiloille pätee E ( ( )U( ) ). Lopputulos on siten AXE ( ( )U( ) ) a AXE ( ( )U( ) ) c b AXE ( ( )U( ) ) e AXE ( ( )U( ) ) 3 3. M : a b c e, Esitetään lause ensin EU- ja EG-operaattoreien avulla: AG ( A(EFUAF) ) AG ( A(E(U)U EG ) ) AG ( E ( ( EG )U( E(U) EG ) ) EG EG ) AG ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG ) EF ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG ) E ( U ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG )) Järjestetään alilauseet sopivaan laskentajärjestykseen, esim.,,, EG, EGEG, EGEG, E(U), E(U), E(U) EG, E ( (EG )U( E(U) EG ) ), E ( (EG )U( E(U) EG ) ), E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG, E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG, ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG ), E ( U ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG )), E ( U ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG )) Koska pätee tiloissa a ja c, niin pätee tiloissa {b,,e}. Nyt lauseen EG totuusarvo voiaan laskea luentokalvoilla esitetyn CheckEG-algoritmin avulla. Muoostetaan siis ensin mallin M rajoittuma M niihin tiloihin, joissa pätee:, b e Etsitään seuraavaksi mallin M ei-triviaalit vahvasti kytketyt komponentit 1 ja merkitään lause EG toeksi kaikissa näihin komponentteihin kuuluvissa tiloissa. Kerätään sitten (samalla tavoin kuin 1 Yleisesti: Mallin M = S, R, v tilojen ei-tyhjä osajoukko C S on M:n eitriviaali vahvasti kytketty komponentti, jos mitkä tahansa kaksi tilaa x, y C ovat M:ssä saavutettavissa toisistaan joitakin vähintään yhen R:n kaaren sisältäviä polkuja pitkin, eikä ole olemassa tiloja z C, w S \ C siten, että z ja w olisivat saavutettavissa M:ssä toisistaan tällaisia polkuja pitkin. 4
CheckEU-algoritmissa) vaiheittain kaikki ne tilat, jotka ovat jonkin näihin komponentteihin kuuluvan tilan eeltäjiä mallissa M, merkitään lause toeksi myös näissä tiloissa ja toistetaan tarkastelu kaikille näille tiloille niin kauan, kunnes ei enää saaa uusia tiloja, joissa lause ei jo olisi tosi. Ainoa M :n ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on {b,}. Koska tila e ei ole kummankaan tilan eeltäjä M :ssa, CheckEG-algoritmi pysähtyy heti ensimmäisen kierroksen jälkeen: On siis saatu tulos 1 {b, } {b, },,EG,,EG a, b c, e, Lasketaan seuraavaksi lauseen EGEG totuusarvot käyttämällä uuelleen CheckEG-algoritmia. Muoostetaan siis mallin M rajoittuma M niihin tiloihin, joissa EG pätee:,,eg,,eg Ainoa mallin M ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on {b,}. CheckEG-algoritmi pysähtyy jälleen ensimmäisen kierroksen jälkeen: b 1 {b, } {b, } Lause EGEG pätee siis tiloissa b ja, jolloin sen negaatio pätee tiloissa 5,,EG,,EG a,, EGEG b c,, EGEG e,, EGEG Alilauseen E(U) totuusarvo voiaan laskea CheckEU-algoritmin avulla: 1 {a, c} {a,c} {e} 2 {a,c, e} {e} {} 3 {a, c,, e} {} {b} 4 {a,b, c,, e} {b} Lause E(U) pätee kaikissa mallin M tiloissa, joten lauseen negaatio E(U) ei päe missään mallin tilassa. Tästä seuraa, ettei myöskään konjunktio E(U) EG toteuu missään mallin tilassa. Sovelletaan sitten uuelleen CheckEU-algoritmia lauseeseen E ( (EG )U( E(U) EG ) ). Algoritmi päättyy heti, sillä eellisen perusteella jo algoritmin lähtö on tyhjä. 1 Lause E ( (EG )U( E(U) EG ) ) pätee nyt mallin kaikissa tiloissa. Koska aiemmin toettiin, että lause EGEG toteutuu tilajoukossa {a,c, e}, saaaan konjunktiolle tulos ϕ = E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG a ϕ b c 6 e,ϕ ϕ
(Yllä ssa kuviossa on tiloihin merkitty enää vain ne alilauseet, joien totuusarvoja tarvitaan vielä jäljellä olevien alilauseien totuusarvojen laskemiseksi.) Alilause ϕ: a ϕ, ϕ b a b c E ( U ( ϕ) ) e E ( U ( ϕ) ) c,ϕ, ϕ ϕ e ϕ, ϕ Alilause ( ϕ): a ( ϕ) b c e Lasketaan lauseen E ( U ( ϕ) ) totuusarvot CheckEU-algoritmilla: 1 {b} {b} {a,} 2 {a,b, } {a, } a E ( U ( ϕ) ) E ( U ( ϕ) ) E ( U ( ϕ) ) b c e Lopputulokseksi saaaan viimein 7 8
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 12 Ratkaisut 1. M :, Lauseen X( U) sulkeuma: a b c CL ( X( U) ) = { X( U), X( U), U,X ( U), ( U),,, X ( U),, } Muoostetaan atomit. Koska v(a, ) = v(a, ) = false, saaaan tilan a perusteella taulu U ( U) X( U) X ( U) X( U) X ( U) Taulun avoimista haaroista saaaan kelvolliset lausejoukot K 1 = {,,, U,X( U), X ( U) } K 2 = {,,, ( U), X( U),X ( U) } Tilasta a ja näistä lausejoukoista saaaan siten atomit (a,k 1 ) ja (a,k 2 ). (Lausejoukot K 1 ja K 2 ovat siis suurimmat maholliset CL ( X( U) ) :n ristiriiattomat 1 osajoukot, jotka ovat yhtäpitäviä 1 Lausejoukko K on ristiriitainen, jos ϕ, ϕ K jollekin lauseelle ϕ. atomilauseien valuaation kanssa tilassa a: minkä tahansa lauseen ϕ CL ( X( U) ) \ K i lisääminen joukkoon K i, i {1, 2}, tekisi lausejoukon ristiriitaiseksi.) Koska atomilauseilla ja on tilassa c sama valuaatio kuin tilassa a, tilan c perusteella saaaan atomit (c,k 1 ) ja (c,k 2 ). Muoostetaan taulu tilan b atomilauseien valuaation perusteella: U X( U) X( U) X( U) X ( U) X ( U) Taulun avoimista haaroista saaaan lausejoukot ( U) X( U) K 3 = {,,, U,X( U), X ( U) } K 4 = {,,, U, X( U),X ( U) } Tilan b perusteella saaaan siis atomit (b,k 3 ) ja (b,k 4 ). Muoostetaan vielä taulu tilan suhteen: U X( U) Nyt saaaan lausejoukot ( U) X( U) X( U) X ( U) X ( U) X( U) X ( U) K 5 = {,,, ( U),X( U), X ( U) } K 6 = {,,, ( U), X( U),X ( U) } (lausejoukko K 6 saaaan kahesta taulun avoimesta haarasta). Tilan perusteella saaaan siis atomit (,K 5 ) ja (,K 6 ). 1 2
Muoostetaan graafi G = (N, E), jonka solmujen joukko N koostuu kaikista eellä määritetyistä atomeista, ts. N = { (a,k 1 ),(a,k 2 ), (b,k 3 ), (b,k 4 ), (c,k 1 ), (c,k 2 ), (,K 5 ), (,K 6 ) } ja jonka kaaret toteuttavat seuraavan ehon: atomista (s, K) on kaari atomiin (s,k ), jos ja vain, jos (a) s,s R (mallissa M) ja (b) kaikille K:n muotoa Xϕ oleville lauseille pätee ϕ K. Jälkimmäisen ehon tarkistamiseksi voiaan ensin muoostaa K i - joukkojen välille yhteensopivuusrelaatio, joka voiaan esittää taulukkona seuraavasti: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Taulukon i:nnen rivin j:nnessä sarakkeessa on rasti, jos ja vain, jos kaikille lauseille Xϕ K i pätee ϕ K j : esimerkiksi pari (K 1,K 3 ) toteuttaa ehon, koska X( U) K 1 on K 1 :n ainoa muotoa Xϕ lause ja U K 3. Ehot (a) ja (b) voiaan nyt tarkistaa relaation R ja yllä n taulukon avulla. Esimerkiksi atomista (b,k 3 ) voisi relaatiota R koskevan ehon { (a) perusteella olla kaari mihin tahansa atomeista (a,k1 ), (a,k 2 ), (,K 5 ), (,K 6 ) } ; koska K-joukkojen välinen ehto ei kuitenkaan yllä n taulukon perusteella päe pareille (K 3,K 2 ), (K 3,K 5 ) ja (K 3,K 6 ), jäljelle jää ainoastaan kaari (b,k 3 ), (a,k 1 ). Graafiksi G saaaan (c,k 2 ) (c, K 1 ) (a,k 1 ) (, K 5 ) (,K 6 ) (b, K 3) (b,k 4) (a,k 2) 3 Lauseen EX( U) toteutuvuuen määrittämiseksi tilassa a tutkitaan, onko graafissa G polkua, joka alkaa jostakin atomista (a, K) (K {K 1,...,K 6 }) siten, että lause X( U) kuuluu joukkoon K, ja polku johtaa johonkin itsetoteutuvaan ei-triviaaliin vahvasti kytkettyyn komponenttiin. (Vahvasti kytketty komponentti C N on itsetoteutuva, jos kaikkien atomien (s, K) C kaikille joukkoon K kuuluville muotoa ϕuψ oleville lauseille on olemassa atomi (s,k ) C siten, että ψ K.) Graafin G ainoa ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on C = { (a,k1 ), (a,k 2 ), (b,k 3 ), (b,k 4 ), (c,k 2 ), (, K 5 ), (,K 6 ) }. Tämä komponentti on myös itsetoteutuva, sillä ainoa C:n solmuissa esiintyvä muotoa ϕuψ lause on U, ja C sisältää esim. atomin (b,k 3 ), jolle pätee K 3. Nähään, että komponentti C on saavutettavissa esimerkiksi atomista (a,k 1 ) (koska (a,k 1 ) C)). Koska X( U) K 1, seuraa, että M, a = EX( U) pätee. 2. M: a b c M,a = AFG pätee, jos ja vain, jos M,a = E FG pätee, jos ja vain, jos M,a = E FG. Tutkitaan siis, päteekö M, a = E FG. Kirjoitetaan lause FG käyttämällä ainoastaan X- ja U- temporaalikonnektiiveja: FG F F F (U ) ( U (U ) ) Lauseen ( U (U ) ) sulkeuma: CL ( ( U (U ) )) = { ( U (U ) ), U (U ),, (U ),X ( U (U ) ),, U, X ( U (U ) ),, X(U ),X ( U (U ) ),, X(U ), X ( U (U ) ), X (U ), X (U ) } 4
Muoostetaan atomit. Koska v(a, ) = false, saaaan tilan a perusteella taulu jossa haara T 1 on (U ) U (U ) T1 T2 X(U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X(U ) X(U ) X (U ) ja haara T 2 on (U ) X (U ) X(U ) U X (U ) U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X(U ) X(U ) X (U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X (U ) Taulun avoimien haarojen perusteella saaaan nyt lausejoukot K 1 = {,, U, U (U ),X ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X(U ), X (U ) } K 2 = {,, U, U (U ),X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ),X (U ) } K 3 = {,, U, ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X(U ), X (U ) } K 4 = {,, U, ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ),X (U ) } 5 K 5 = {,, U,X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 6 = {,, U,X(U ), X (U ), ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X ( U (U ) )} Näin saaaan atomit (a,k 1 ), (a,k 2 ), (a,k 3 ), (a,k 4 ), (a,k 5 ) ja (a,k 6 ). Koska v(b, ) = v(c,) = true, tilojen b:n ja c:n perusteella saaaan taulu jossa haara T 3 on (U ) ja haara T 4 on U (U ) X(U ) T3 X (U ) X(U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X (U ) U U (U ) ą ć ą ć (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) 6 T4 U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U ą U (U ) ć U X ą U (U ) ć
Näin saaaan lausejoukot K 7 = {,, U,X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 8 = {,, U,X(U ), X (U ), ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X ( U (U ) )} K 9 = {,, (U ), X(U ),X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 10 = {,, (U ), X(U ),X (U ), U (U ), X ( U (U ) ),X ( U (U ) )} (lausejoukko K 9 saaaan taulun kahesta haarasta). Näin saaaan atomit (b,k 7 ), (b,k 8 ), (b,k 9 ), (b,k 10 ) sekä (c,k 7 ), (c,k 8 ), (c,k 9 ) ja (c,k 10 ). K-joukkojen välinen yhteensopivuusrelaatio on nyt seuraava: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 K 10 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 K 10 Graafi G: (a,k 1 ) (b,k 7 ) (a,k 2 ) (a,k 5 ) (c,k 7 ) (b,k 9) (c,k 9) (b,k 10 ) (c,k 10 ) (a,k 3) (a,k 4 ) (a,k 6 ) (b,k 8) (c,k 8 ) G:n ei-triviaalit vahvasti kytketyt komponentit ovat C 1 = { (a, K 1 ), (a,k 5 ) } C 2 = { (a, K 3 ), (a,k 6 ) } C 3 = { (b, K 7),(c,K 7) } C 4 = { (b, K 8 ),(c,k 8 ) } C 5 = { (b, K 9),(c,K 9) } Näistä komponenteista C 2 ja C 5 ovat itsetoteutuvia. On siis tutkittava, onko jompikumpi näistä komponenteista saavutettavissa jostakin graafin solmusta (a, K), missä ( U (U ) ) K. Koska lause ( U (U ) ) kuuluu esimerkiksi joukkoon K 6 ja C 2 on saavutettavissa solmusta (a,k 6 ) (koska (a,k 6 ) C 2 ), seuraa, että M,a = E FG pätee. Siten M, a = AFG ei päe mallissa M. 7 8
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 13 Ratkaisut 1. Aloitetaan lauseen negaatiosta ( ( ( AXA(U) )) ) A(U). Muunnetaan lause positiiviseen normaalimuotoon: ( ( AXA(U) )) A(U) ( ( AXA(U) )) E( B) Muoostetaan taulu. Aloitetaan OR-solmusta {( D 0 = ( AXA(U) )) } E( B), jonka AND-seuraajat ovat {( C 0 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), },, EXE( B), {( C 1 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), },, EXE( B), EXE( B) {( C 2 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), AXA(U),,AXA(U),, } EXE( B), {( C 3 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), AXA(U),,AXA(U),, } EXE( B), EXE( B) 1 Solmut C 0, C 1 ja C 2 voiaan karsia pois, koska ne sisältävät jonkin lauseen ja sen negaation. (Ristiriitaisten AND-solmujen karsintasääntöjä voiaan siis työmäärän vähentämiseksi soveltaa jo AND-solmuja muoostettaessa; voiaan osoittaa, että millään solmulla, joka saataisiin eelleen generoimalla täyellisesti kaikki solmujen C 0, C 1 tai C 2 OR-seuraajat, näien AND-seuraajat jne., ei ole merkitystä tutkittavana n lauseen toteutuvuustarkistuksen kannalta lopullisessa taulussa. Tämä johtuu siitä, että mikään näin syntyvistä solmuista ei sisällä tutkittavana a lausetta, eikä mikään jostakin muusta ANDsolmusta lähtevä tulevaisuuspolku voi kulkea ristiriitaisen AND-solmun kautta.) Koska solmu C 3 sisältää lauseet AXA(U) ja EXE( B), solmulle C 3 saaaan OR-seuraaja D 1 = { A(U),E( B) }. D 1 :n AND-seuraajat: C 4 = D 1 {,, EXE( B), } C 5 = D 1 {,, EXE( B),EXE( B) } C 6 = D 1 { AXA(U),,AXA(U),, EXE( B), } C 7 = D 1 { AXA(U),,AXA(U),, EXE( B),EXE( B) } Koska solmut C 4, C 5 ja C 6 ovat ristiriitaisia, ne voiaan karsia pois. Jäljelle jää solmu C 7, jolle saaaan OR-seuraaja { A(U),E( B) } = D 1. AND-solmu C 7 karsitaan pois, sillä tämä solmu sisältää tulevaisuuslauseen A(U), joka ei toteuu solmussa. Tämä johtuu siitä, että taulusta ei voia erottaa solmusta C 7 lähtevää luentokalvoissa esitetyt ehot täyttävää asyklistä aligraafia, jonka kaikki lehtisolmut sisältäisivät lauseen, ja lause olisi mukana kaikissa muissa aligraafin AND-solmuissa. Solmun C 7 poistamisen jälkeen voiaan karsintasääntöjen perusteella poistaa järjestyksessä solmut D 1, C 3 ja D 0. Koska jäljelle jäävässä taulussa ei ole yhtään AND-solmua, joka sisältäisi lauseen ( ( AXA(U) )) E( B), seuraa, että lause on toteutumaton. Siten lauseen negaatio (alkuperäinen lause) on pätevä. 2
2. Muunnetaan lause ensin positiiviseen normaalimuotoon. GF GF GF GF FG GF Korvataan sitten lauseessa esiintyvät LTL:n konnektiivit F ja G CTL:n konnektiiveilla AF ja AG, jolloin saaaan CTL-lause AFAG AGAF. Tämä CTL-lause on toteutuva, jos ja vain, jos alkuperäinen LTL-lause on toteutuva. Tutkitaan siis taulumenetelmällä, onko CTL-lause toteutuva. Taulun juurena on OR-solmu D 0 :n AND-seuraajat: D 0 = {AFAG AGAF }. C 0 = { AFAG AGAF,AFAG,AG,,AXAG } C 1 = { AFAG AGAF,AFAG,AXAFAG } C 2 = { AFAG AGAF,AGAF,AF, AXAGAF, } C 3 = { AFAG AGAF,AGAF,AF, AXAGAF,AXAF } C 0 :n OR-seuraaja: D 1 = {AG } C 1 :n OR-seuraaja: D 2 = {AFAG } C 2 :n OR-seuraaja: D 3 = {AGAF } C 3 :n OR-seuraaja: D 4 = {AGAF,AF } D 1 :n AND-seuraaja: C 4 = {AG,,AXAG } D 2 :n AND-seuraajat: D 3 :n AND-seuraajat: C 5 = {AFAG,AG,,AXAG } C 6 = {AFAG,AXAFAG } C 7 = {AGAF,AF,AXAGAF, } C 8 = {AGAF,AF,AXAGAF,AXAF } 3 D 4 :n AND-seuraajat: C 9 = {AGAF,AF,AXAGAF, } = C 7 C 10 = {AGAF,AF,AXAGAF,AXAF } = C 8 C 4 :n OR-seuraaja: D 5 = {AG } = D 1 C 5 :n OR-seuraaja: D 6 = {AG } = D 1 C 6 :n OR-seuraaja: D 7 = {AFAG } = D 2 C 7 :n OR-seuraaja: D 8 = {AGAF } = D 3 C 8 :n OR-seuraaja: D 9 = {AGAF,AF } = D 4 Huomaa, että mikään yllä syntyvistä AND-solmuista ei ole ristiriitainen, joten solmujen karsinta ristiriitaisuuen perusteella ei tässä tehtävässä ole mahollista. Alustava taulu T 0 : C0 D1 C4 C5 D0 C1 C2 C3 D2 C6 Koska solmu C 4 ei sisällä keskenään ristiriitaisia lauseita eikä myöskään yhtään tulevaisuuslausetta, solmu C 4 jää myös lopulliseen tauluun. Tällöin OR-solmulle D 1 jää tauluun seuraaja, joten solmua D 1 ei myöskään karsita. Kaikki solmun C 0 seuraajat jäävät siis myös lopulliseen tauluun. Solmua C 0 ei karsita, koska se ei sisällä keskenään ristiriitaisia lauseita ja koska sen kaikki tulevaisuuslauseet (tässä tapauksessa vain yksi, AFAG ) toteutuvat alustavassa taulussa. 4 D3 C7 C8 D4
Seuraa, että T 0 :sta saatava lopullinen taulu sisältää AND-solmun C 0, joka sisältää lauseen AFAG AGAF. Toetaan, että tämä CTL-lause on toteutuva. Solmujen C 0 ja C 4 avulla voiaan nyt muoostaa CTL-lauseelle malli C 0 C 4 Koska CTL-lause AFAG AGAF on toteutuva, seuraa, että myös LTL-lause FG GF GF GF on toteutuva. 5