Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Transkriptio

1 Algoritmit 2 Luento 11 Ti Timo Männikkö

2 Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

3 Algoritmien suunnittelu Raa an voiman käyttö: Tutkitaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot Nopeuttaminen: Rajataan pois vaihtoehdot, joiden joukosta ei voi enää löytyä parempaa ratkaisua Peruutus: Lähdetään liikkeelle tyhjästä osaratkaisusta Täydennetään osaratkaisua Perutaan huonoiksi osoittautuneita valintoja Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

4 Peruutusmenetelmä Aloitetaan tyhjästä osittaisesta ratkaisusta Yritetään täydentää osittaista ratkaisua komponentti kerrallaan Jos täydentäminen voidaan tehdä rikkomatta tehtävän rajoituksia, se suoritetaan Jos saadaan täydellinen vastaus, lopetetaan Jos täydentämistä ei voida tehdä, peruutetaan viimeksi tehty täydennys ja yritetään toista komponenttia Jos komponentteja ei ole jäljellä, peruutetaan edelleen Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

5 Peruutusmenetelmä vastaus peruuttava(tapaus x) { if (x on täydellinen vastaus) return x; else { for (kaikilla täydennyksillä e[i]) { y = peruuttava(x + täydennys e[i]); if (y on täydellinen vastaus) return y; } return virhe; } } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

6 Osajoukon summa Annettu n kpl positiivisia kokonaislukuja a i Joukko A = {a 1,..., a n } Annettu positiivinen kokonaisluku d Tehtävä: Etsi sellainen osajoukko S, jonka alkioiden summa = d (jos olemassa) Osajoukkoja 2 n kpl Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

7 Osajoukon summa Järjestetään alkiot kasvavaan järjestykseen: a 1 a 2 a n Vaiheessa i joko otetaan a i mukaan tai ei oteta Pidetään yllä valittujen alkioiden summaa Jos seuraavan alkion lisääminen kasvattaisi summan yli d:n, sallittua täydennystä tämänhetkiselle osajoukolle ei ole Muuten molemmat vaihtoehdot ovat mahdollisia Edetään peruutusalgoritmin mukaisesti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

8 Osajoukon summa osasumma(a, d, i, summa, n) { if (i > n) palauta false; if (summa + a[i] a[n] < d) palauta false; if (summa + a[i] > d) palauta false; if (summa + a[i] == d) { lisää alkio i ratkaisuun; palauta true; } if (osasumma(a, d, i+1, summa+a[i], n)) { lisää alkio i ratkaisuun; palauta true; } else palauta osasumma(a, d, i+1, summa, n); } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

9 Osajoukon summa Algoritmin ensimmäinen kutsu: osasumma(a, d, 1, 0, n) Pahimmassa tapauksessa käydään läpi kaikki mahdolliset osajoukot Θ(2 n ) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

10 Pelipuut Kaksi pelaajaa, x ja y Pelaajat tekevät vuorotellen siirtoja (valintoja) Pelipuu: Kukin solmu kuvaa yhtä pelitilannetta Juurisolmu kuvaa pelin alkutilannetta Siirto tarkoittaa siirtymistä solmusta johonkin sen lapsisolmuun Lehtisolmut kuvaavat pelin mahdollisia lopputilanteita Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

11 Esimerkki X X O X X O O X X O O X X O O X X O O X X O X O X X O X X O O O X O X X O O O X X O X X O O X O X X X O X X O X X O O O O X O X O X X O X O 3 X O X X O X O X X O O X X O X O X O X O X X O X O O O X X O X O X X O O X X O X O Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

12 Pelipuut Voittoarvo (payoff-arvo): Arvo, joka kuvaa solmun hyvyyttä pelaajan x kannalta Esimerkiksi payoff(t) 1, jos x:llä voittostrategia t:ssä 1, jos y:llä voittostrategia t:ssä = 0, jos kummallakaan ei ole voittostrategiaa t:ssä Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

13 Pelipuut Lopputilanteille voittoarvot on helppo laskea Muiden solmujen voittoarvot voidaan määrittää lapsisolmujen avulla (minmax-proseduuri): Jos vuorossa on x, on voittoarvo lapsisolmujen voittoarvojen maksimi Jos vuorossa on y, on voittoarvo lapsisolmujen voittoarvojen minimi Kaikkien solmujen voittoarvot voidaan määrittää käymällä läpi koko pelipuu lehtisolmuista juureen (jälkijärjestyksessä) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

14 Esimerkki MAX MIN MAX MIN Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

15 Pelipuut Vähänkin mutkikkaammassa pelissä pelipuu on liian suuri, jotta kaikki voittoarvot voitaisiin määrittää lopputilanteista alkaen Käytännössä sovelletaan minmax-proseduuria k siirtoa eteenpäin ja arvioidaan pelitilanteiden hyvyyttä jollain heuristisella evaluointifunktiolla eval(t) Merkitään: x on MAX-pelaaja y on MIN-pelaaja Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

16 Pelipuun läpikäynti payoff(pelitilanne,siirtoraja,pelaaja) { if (siirtoraja == 0 tai pelitilanne lopputilanne) return eval(pelitilanne); else { if (pelaaja == MAX) arvo = -ääretön; else arvo = +ääretön; for (kaikilla pelitilanteen seuraajilla s) if (pelaaja == MAX) arvo = max(arvo,payoff(s,siirtoraja-1,min)); else arvo = min(arvo,payoff(s,siirtoraja-1,max)); return arvo; } } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

17 Läpikäynnin tehostaminen α-β-karsinta: Kaikissa solmuissa ylläpidetään väliaikaista voittoarvoa MAX-pelaajalle väliaikainen voittoarvo on todellisen arvon alaraja MIN-pelaajalle väliaikainen voittoarvo on todellisen arvon yläraja Vertaamalla solmun väliaikaista voittoarvoa sen vanhemman väliaikaiseen voittoarvoon tiedetään, kannattaako jälkeläisten läpikäyntiä jatkaa Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

18 Läpikäynnin tehostaminen MAX-pelaajalle α = suurin tähän mennessä läpikäytyjen jälkeläisten voittoarvo MIN-pelaajalle β = pienin tähän mennessä läpikäytyjen jälkeläisten voittoarvo Solmu t on MAX-solmu: Jos α kasvaa suuremmaksi kuin sen vanhemman β, ei jälkeläisten läpikäyntiä kannata jatkaa Solmu t on MIN-solmu: Jos β menee pienemmäksi kuin sen vanhemman α, ei jälkeläisten läpikäyntiä kannata jatkaa Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

19 Pelipuun läpikäynti: α-β-karsinta payoff_ab(pelitilanne,siirtoraja,pelaaja,a,b) { if (siirtoraja == 0 tai pelitilanne lopputilanne) return eval(pelitilanne); else { if (pelaaja == MAX) arvo = -ääretön; else arvo = +ääretön; for (kaikilla pelitilanteen seuraajilla s) if (pelaaja == MAX) { arvo = max(arvo,payoff_ab(s,siirtoraja-1,min,a,b)); if (arvo => b) return arvo; else a = max(a,arvo); } else { arvo = min(arvo,payoff_ab(s,siirtoraja-1,max,a,b)); if (arvo <= a) return arvo; else b = min(b,arvo); } return arvo; } } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

20 Esimerkki α 3 β 1 β 3 β MAX MIN MAX MIN Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

21 Esimerkki jatkuu MAX MIN MAX MIN Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

22 Rajoitehaku Käydään läpi kaikkien mahdollisten ratkaisujen muodostamaa ratkaisupuuta Jokaiselle uudelle osittaisratkaisulle lasketaan raja sille, miten hyviä ratkaisuja tätä osittaisratkaisua täydentämällä voidaan saavuttaa Jos aiemmin löydetty sallittu ratkaisu, joka on tätä rajaa parempi, tämän osittaisratkaisun täydennyksiä ei tarvitse tutkia Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

23 Kapsäkkiongelma Valittavana n kpl erilaisia tavaroita Tavaralle i tunnetaan hyötyarvo p i ja paino w i Tavaraa otetaan mukaan joko 0 tai 1 kpl Annettu kokonaispainoraja W Tehtävänä valita reppuun R tavarat siten, että niiden hyötyarvo on mahdollisimman suuri, mutta painoraja ei ylity max i R p i kun i R w i W Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

24 Kapsäkkiongelma Järjestetään tavarat laskevaan järjestykseen hyötyarvo-painosuhteen mukaan: p 1 /w 1 p 2 /w 2 p n /w n Osittaisratkaisu: Ensimmäisen i:n tavaran suhteen päätös on tehty Merkitään tämän osittaisratkaisun arvoa p:llä ja painoa w:llä Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

25 Kapsäkkiongelma Rajoitusheuristiikka: Lasketaan osittaisratkaisulle jäljellä olevan tilan täyttö parhaan jäljellä olevan tavaran hyötyarvo-painosuhteella Maksimihyöty eli yläraja u = p + (W w)(p i+1 /w i+1 ) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

26 Kapsäkkiongelma Aluksi p = 0 ja w = 0 Muodostetaan kaksi osittaisratkaisua, joista toisessa tavara 1 on mukana, toisessa ei Näille muodostetaan osittaisratkaisut, joista toisessa tavara 2 on mukana, toisessa ei Jne. Jos osittaisratkaisun u on pienempi (huonompi) kuin parhaan tähän mennessä löydetyn ratkaisun u, ei ratkaisupuun kyseistä haaraa tarvitse tutkia Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

27 Esimerkki n = 4, W = p i w i Merkitään (esimerkiksi): [1,0,1,0] = osittaisratkaisu, jossa tavarat 1 ja 3 on valittu mukaan, tavaroita 2 ja 4 ei ole valittu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

28 Esimerkki 1: [0,0,0,0] p=0 w=0 u=0+(10-0)(36/4)=90 2: [1,0,0,0] p=36 w=4 u=36+(10-4)(35/7)=66 3: [0,0,0,0] p=0 w=0 u=0+(10-0)(35/7)=50 4: [1,1,0,0] p=71 w=11 ei sallittu 5: [1,0,0,0] p=36 w=4 u=36+(10-4)(20/5)=60 6: [1,0,1,0] p=56 w=9 u=56+(10-9)(9/3)=59 7: [1,0,0,0] p=36 w=4 u=36+(10-4)(9/3)=54 8: [1,0,1,1] p=65 w=12 ei sallittu 9: [1,0,1,0] p=56 w=9 u=56 sallittu ratkaisu 3 ja 7 huonompia kuin 9 ei tarvitse tutkia Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29

29 Esimerkki p=36, w=4, u=66 (p=71, w=11) ei sallittu p=56, w=9, u=59 (p=65, w=12) ei sallittu p=0, w=0, u= on 1 ei p=0, w=0, u= on 2 ei 3 huonompi kuin p=36, w=4, u=60 3 on 3 ei p=36, w=4, u= on 4 ei 7 huonompi kuin p=56, w=9, u=56 sallittu ratkaisu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti /29