Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.

Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla. 1. Olkoon A = {1, 2, 3, 4}. Anna esimerkki A:n relaatiosta joka on (perusteluja ei tarvitse esittää) (a) refleksiivinen, mutta ei symmetrinen eikä transitiivinen. (b) symmetrinen, mutta ei refleksiivinen eikä transitiivinen. (c) transitiivinen, mutta ei refleksiivinen eikä symmetrinen. (d) refleksiivinen ja transitiivinen, mutta ei symmetrinen. Ratkaisu: a) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3)} b) R = {(1, 2), (2, 1)} c) R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} d) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2)} 2. Jatkoa 1. tehtävään (a) refleksiivinen ja symmetrinen, mutta ei transitiivinen. (b) symmetrinen ja transitiivinen, mutta ei refleksiivinen. (c) ekvivalenssirelaatio. (d) ei ole refleksiivinen, eikä symmetrinen eikä transitiivinen. Ratkaisu: a) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} b) R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)} c) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} d) R = {(1, 2)} 3. Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja olkoon R joukon A ekvivalenssirelaatio. Oletetaan, että {(1, 2), (3, 4), (4, 5)} R ja (1, 4) / R, (2, 6) / R sekä (5, 6) / R. (a) Luettele R:n kaikki alkiot. (b) Kuinka monta ekvivalenssiluokkaa R:llä on? Mitkä ne ovat? 1

Ratkaisu: a) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 6)} b) 3. Luokat ovat {1, 2}, {3, 4, 5} ja {6}. 4. Olkoon A joukko jonka alkioina ovat kaikki Helsingin metroasemat. Määritellän A:n relaatio R seuraavasti: arb jos ja vain jos asemasta a pääsee metrolla asemalle b. Onko relaatio R refleksiivinen? Symmetrinen? Transitiivinen? Jos R on ekvivalenssirelaatio, mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: Kysymyksen voi tulkita eri tavoin (kuten usein jos haluamme mallintaa reaalimaailman asioita). Kaikki tulkinnat ovat varmasti "yhtä oikeita". Jos tulkinta on, että pääseekö käyttämällä metroa asemalta a asemalle b, niin kyseessä on selvästi ekvivalenssirelaatio: Asemalta a pääsee metrolla asemaan a joten R on refleksiivinen. Jos a:sta pääsee b:hen metrolla, niin pääsee b:stä takaisin a:han, joten R on symmetrinen. Jos a:sta pääsee b:hen ja sieltä edelleen c:hen, niin a:sta pääsee metrolla c:hen. Joten R on transitiivinen. Näin ollen R on ekvivalenssirelaatio. Mistä tahansa asemalta pääsee mihin tahansa asemaan, joten kaikki asemat ovat samassa ekvivalenssiluokassa. Näin ollen luokkia on yksi, koko joukko A. Jos tulkinta on, että pääseekö asemalta a b:hen ilman, että joutuu vaihtamaan metroa, niin R ei ole refleksiivinen (jos ei ota huomioon tilannetta, missä henkilö käväisee metrossa ja kävelee ulos ennen kuin ovet sulkeutuvat). R on myös tässä tulkinnassa symmetrinen. R ei ole transitiivinen, sillä Vuosaaresta pääsee Itäkeskukseen samalla metrolla. Vastaavasti Itäkeskuksesta pääsee Mellunmäkeen samalla metrolla, mutta Vuosaaresta ei pääse Mellunmäkeen samalla metrolla. 5. Olkoon joukon R \ {0} relaatio seuraava: a b, jos ja vain jos ab > 0. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Kuinka monta eri ekvivalenssiluokkaa relaatiolla on? Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: a a = a 2 ollen a a kaikilla a R \ {0} > 0 kaikilla a R \ {0} ja näin Symmetria: jos a b, niin ab > 0 ja näin ollen ba > 0, eli b a. 2

Transitiivisuus: jos a b ja b c, niin ab > 0 ja bc > 0. Koska b 2 > 0, niin 1/b 2 > 0 ja näin ollen ac = ab bc 1/b 2 > 0. Ekvivalenssiluokat: [1] = {b R \ {0} 1 b > 0} = {b R \ {0} b > 0} [ 1] = {b R \ {0} 1 b > 0} = {b R \ {0} b < 0}. Koska [1] [ 1] = R \ {0}, niin muita luokkia ei ole. Näin ollen eri luokkia on kaksi ja ne ovat [1] ja [ 1]. 6. Määritellään joukon Z relaatio seuraavasti: m n, jos m n = 4k jollakin k Z. Onko relaatio ekvivalenssirelaatio? Mitkä siinä tapauksessa ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: m m = 0 = 4 0, joten m m kaikilla m Z. Symmetria: Oletetaan, että m n, eli m n = 4k jollakin k Z. Tällöin n m = (m n) = 4( k) ja koska k Z, niin n m. Transitiivisuus: Oletetaan, että m n ja n p, eli m n = 4k ja n p = 4r joillain k, r Z. Tällöin m p = m n + n p = 4k + 4r = 4(k + r) ja koska k + r Z, niin m p. Ekvivalenssiluokat: [0] = {n Z n 0} = {4k k Z} [1] = {n Z n 1} = {4k + 1 k Z} [2] = {n Z n 2} = {4k + 2 k Z} [3] = {n Z n 3} = {4k + 3 k Z} Koska [0] [1] [2] [3] = Z, niin muita eri ekvivalenssiluokkia ei ole. Näin ollen ekvivalenssiluokat ovat edellämainitut luokat. 7. Jokaiselle joukolle X jossa on ekvivalenssirelaatio voidaan määrittää ns. kanoninen projektio π : X X/, π(x) = [x]. Osoita, että tämä on aina surjektiivinen kuvaus. Olkoon kuten edellisessä tehtävässä. Olkoon π : Z Z/, π(x) = [x]. (a) Olkoon A = {0, 8, 10, 26}. Määritä πa. Kuinka monta eri alkiota kuvassa πa on? (b) Määritä π {[2] }. (c) Onko π injektio? Surjektio? Bijektio? Kääntyvä? 3

Ratkaisu: Osoitetaan kanonisen projektion surjektiivisuus: oletetaan, että y X/. Tällöin y = [x] jollakin x X. Näin ollen y = π(x). a) πa = {[0], [8], [10], [26] } = {[0], [2] }. b) Koska [2] = {4k + 2 k Z}, niin [4k + 2] = [2] kaikilla k Z. Ts. π(4k + 2) = [2] kaikilla k Z, joten π {[2] } = {4k + 2 k Z}. c) Koska π(2) = [2] = [6] = π(6), ja 2 6, niin π ei ole injektio. π osoitettiin surjektioksi tehtävän alussa. Koska π ei ole injektio, se ei ole bijektio ja näin ollen ei myöskään kääntyvä. : [0] = [8], sillä 8 [0] ja 10 [2],26 [2], joten [10] = [26] = [2] (kts. edellinen tehtävä) 8. Olkoon tason R 2 relaatio (a, b) (c, d) jos ja vain jos pisteiden (a, b) ja (c, d) etäisyys origoon on sama. Osoita, että on R 2 :n ekvivalenssirelaatio. Minkälaisia geometrisia objekteja ekvivalenssiluokat [(a, b)] muodostavat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: pisteen (a, b) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (a, b) etäisyys origoon kaikilla (a, b) R 2. Symmetria: jos (a, b):n etäisyys origoon on sama kuin (c, d):n, niin toki (c, d):n etäisyys origoon on sama kuin (a, b):n. Transitiivisuus: jos pisteen (a, b) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (c, d) ja pisteen (c, d) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (e, f), niin pisteen (a, b) etäisyys origoon on sama kuin pisteen (e, f). Pisteen (a, b) ekvivalenssiluokassa on kaikki pisteet (c, d) joiden etäisyys origoon on sama kuin (a, b):n etäisyys. Nämä pisteet sijaitsevat ympyränkehällä jonka keskipiste on origo ja säde kyseinen etäisyys. 9. Olkoon tason R 2 osajoukon A = {(0, b) b R} relaatio R määritelty seuraavalla tavalla: (a, b)r(c, d) jos ja vain jos ad bc = 0. Osoita, että R on A:n ekvivalenssirelaatio. Minkälaisia geometrisiä objektejä ekvivalenssiluokat muodostavat? Ratkaisu: Refleksiivisyys: Olkoon (a, b) A. Tällöin ab ba = 0, joten (a, b)r(a, b). Symmetria: Oletetaan, että (a, b)r(c, d), eli ad bc = 0. Tällöin cb ad = (ad bc) = 0 = 0 joten (c, d)r(a, b). 4

Transitiivisuus: Oletetaan, että (a, b)r(c, d) ja (c, d)r(e, f), eli ad bc = 0 ja cf de = 0. Koska A:n pisteiden x-koordinaatti ei ole nolla, niin c 0. Saadaan yhtälöt muotoon b = ad/c ja f = de/c. Näin ollen joten (a, b)r(e, f). Pisteen (a, b) ekvivalenssiluokka: af be = ade/c ade/c = 0 [(a, b)] R = {(x, y) A ay bx = 0} = {(x, y) A y = bx/a} Kyseessä on siis suora y = b ax mistä on poistettu origo. 10. Olkoon A = {A n n N}, missä A n on joukko kaikilla n N. (a) Osoita, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio kun A n RA m jos ja vain jos on olemassa bijektio f : A n A m. (b) Oletetaan, että N ja Z sekä C = {k 2 k N} ovat A:n alkioita. Osoita, että Z ja C kuuluvat ekvivalenssiluokkaan [N] R Ratkaisu: a) Refleksiivisyys: identtinen kuvaus id An : A n A n on bijektio kaikilla n N ja näin ollen A n RA n kaikilla n N. Symmetria: oletetaan, että A n RA m, eli on olemassa bijektio f : A n A m. Tällöin f:llä on käänteiskuvaus f 1 : A m A n joka on bijektio (sillä f 1 :llä on käänteiskuvaus f). Näin ollen A m RA n. Transitiivisuus: oletetaan, että A n RA m ja A m RA k, eli on olemassa bijektio f : A n A m ja g : A m A k. Tällöin g f : A n A k on bijektio, (g f:än käänteiskuvaus on f 1 g 1 ) joten A n RA k. Z [N] R sillä f : Z N, f(z) = { 2z, z 0 2z 1, z < 0 on bijektio. Vastaavasti C [N] R sillä on bijektio. f : C N, f(z) = z 11. (a) Olkoon A kaikkien HY:n opiskelijoiden joukko. Keksi A:n ekvivalenssirelaatio, siten että saat joukon A osituksen kahteentoista erilliseen epätyhjään osajoukkoon. Keksitkö ekvivalenssirelaation millä saisi osituksen kolmeen epätyhjään osajoukkoon? 5

(b) Olkoon A ja B joukkoja. Onko {A \ B, A B, B \ A} joukon A B ositus? Ratkaisu: a) Osituksia on useampia. Esimerkiksi: Määritellään relaatio : a b jos ja vain jos a ja b ovat syntyneet samana kuukautena (ei välttämättä samana vuonna). Näin saadaan ekvivalenssirelaatio, jossa ekvivalenssiluokkaan [a] kuuluu kaikki opiskelijat jotka ovat syntyneet samana kuukautena kuin a. Selvästi jokaiselle kuukaudelle löytyy ainakin yksi opiskelija joka on syntynyt tuona kuukautena, joten luokkia on 12 kappaletta, jotka osittavat A:n 12 varmasti epätyhjään osajoukkoon. A:n saa kolmeen osaan esimerkiksi näin: A 1 = {a A a on syntynyt tammikuussa}, A 2 = {a A a on syntynyt helmikuussa}, A 3 = {a A a ei ole syntynyt tammikuussa eikä helmikuussa}. Selvästi osajoukot ovat taas varmasti epätyhjiä ja muodostavat A:n osituksen. Ekvivalenssirelaation voi nyt muodostaa näin: a b jos ja vain jos a ja b kuuluvat samaan osajoukkoon osituksessa. b) On. A B = (A \ B) (A B) (B \ A). Myös (A \ B) (A B) =, (A \ B) (B \ A) = ja (A B) (B \ A) = (tarkat todistukset sivuutetaan, mutta esim. piirtämällä Vennin kaavioita saa kuvan tilanteista). 12. Joukon X relaatio R on osittainen järjestys, jos se on refleksiivinen ja transitiivinen sekä antisymmetrinen. Antisymmetrisyys tarkoittaa seuraavaa: jos (a, b) R ja (b, a) R, niin a = b. Ovatko seuraavat relaatiot osittaisia järjestyksiä? (a) Joukon Z relaatio R, missä arb jos ja vain jos a b. (b) Joukon N \ {0} relaatio, jossa a b jos ja vain jos a jakaa luvun b. (c) Joukon P(Z) relaatio, jossa A B jos ja vain jos A on B:n osajoukko. Ratkaisu: a) On. Refleksiivisyys: a a kaikilla a Z, joten ara. Transitiivisuus: Oletetaan, että arb ja brc, eli a b ja b c. Tällöin a c joten arc. Antisymmetria: Oletetaan, että arb ja bra, eli a b ja b a. Tällöin a = b. b) On. Refleksiivisyys: a = a 1, joten a a kaikilla a N \ {0}. Transitiivisuus: Oletetaan, että a b ja b c. Näin ollen b = a k ja c = b r, missä k, r Z. Tällöin c = b r = a kr. Koska kr Z, niin a c. Antisymmetria: Oletetaan,että a b ja b a, eli b = ak ja a = br, missä 6

k, r Z. Tällöin a = br = akr, joten kr = 1 mistä seuraa, että k = r = 1 tai k = r = 1. Jos k = 1, niin b = ak < 0 joka ei pidä paikkansa. Näin ollen k = r = 1, joten b = ak = a. c) On. Refleksiivisyys: A A kaikilla A P(Z). Transitiivisuus: Oletetaan,että A B ja B C. Oletetaan, että a A. Oletuksista seuraa, että a B ja edelleen a C. Näin ollen A C. Antisymmetria: Oletetaan, että A B ja B A. Tällöin A = B. 13. Joukon X relaatio R on lineaarinen järjestys jos se on antisymmetrinen (kts. edellinen tehtävä), transitiivinen ja vertailullinen, joka tarkoittaa että kaikilla x, y X, xry tai yrx. (a) Osoita, että lineaarinen järjestys on osittainen järjestys. (b) Mitkä edellisen tehtävän relaatioista ovat lineaarisia järjestyksiä? Ratkaisu: a) Osoitetaan refleksiivisyys: Olkoon x X ja y = x. Vertailullisuuden nojalla, xry tai yrx, eli xrx tai xrx. Erityisesti siis xrx. b) Kaikki olivat antisymmetrisiä ja transitiivisia. Tutkitaan vertailullisuutta: a-kohdan relaatio on vertailullinen, sillä kaikilla a, b Z pätee joko a b tai b a. b-kohdan relaatio ei ole vertailullinen, sillä 2, 3 N \ {0}, mutta 2 3 ei päde eikä 3 2. c-kohdan relaatio ei ole vertailullinen, sillä {1}, {2} P(Z), mutta {1} {2} ei päde eikä {2} {1}. 14. Olkoon X joukko, jossa on ainakin kaksi eri alkiota. Voiko X:n lineaarinen järjestys olla ekvivalenssirelaatio? Ratkaisu: Ei. Olkoon R X:n lineaarinen järjestys ja x, y X eri alkioita. Tehdään vastaoletus: X on ekvivalenssirelaatio. Nyt vertailullisuudesta seuraa, että xry tai yrx. Jos xry, niin symmetrisyydestä seuraa, että yrx, joten antisymmetrisyydestä seuraa, että x = y joka on ristiriita. Analoogisesti, jos yrx, niin symmetrisyys ja antisymmetrisyys johtaa tilanteeseen x = y. 15. Tee a tai b riippuen siitä mitä erikoisosioita olet opiskellut. (a) Olkoon G = (V, E) verkko, missä kaarien joukko E on V :n ekvivalenssirelaatio. Voidaanko tästä päätellä, onko G:ssä silmukoita ja onko verkko suunnattu vai suuntaamaton? Piirrä nuolikaavio jostakin tämäntyyppisestä verkosta, jossa on ainakin 4 solmua ja 6 viivaa. Havainnollista myös verkon eri ekvivalenssiluokkia (voit esimerkiksi ympyröidä ne solmut jotka kuuluvat samaan luokkaan). 7

(b) Tarkastellaan kompleksista binomiyhtälöä z 3 = 1 2 (1 i). Olkoon A R, jossa φ A jos ja vain jos e iφ on yhtälön ratkaisu. Määritellään A:n relaatio R: φrθ jos ja vain jos e iφ = e iθ. Perustele lyhyesti (ainakin itsellesi) miksi R on ekvivalenssirelaatio. Kuinka monta eri ekvivalenssiluokkaa R:llä on? Määritä luokkien edustajat väliltä [0, 2π[. Ratkaisu: a) Koska V on refleksiivinen, niin jokaisesta verkon solmusta on silmukka itseensä. Koska V on symmetrinen, niin verkko on suuntaamaton. b) Selvitetään ensin joukko A. Kirjoitetaan luvut eksponenttimuodossa z = z e iφ ja 1 2 (1 i) = e π 4 i. Tällöin De Moivren kaavaa käyttämällä z 3 = e π 4 i { z 3 e 3iφ = e π 4 i z 3 = 1 3φ = π/4 + 2πk, missä k Z { z = 1 φ = π/12 + 2πk/3, missä k Z Näin ollen A = { π/12 + 2πk/3 k Z}. Selvästi R on ekvivalenssirelaatio: φrφ kaikilla φ A, sillä e iφ = e iφ kaikilla φ A; jos φrρ, eli e iφ = e iρ, niin e iρ = e iφ, eli ρrφ; jos φrρ ja ρrξ, eli e iφ = e iρ ja e iρ = e iξ, niin e iφ = e iξ, eli φrξ. Sijoittamalla k = 1, 2, 3 saadaan A:n alkiot 7π/12, 15π/12 ja 23π/12. Näiden ekvivalenssiluokat ovat: [7π/12] = {7π/12 + 2πk k Z}, [15π/12] = {15π/12 + 2πk k Z} ja [23π/12] = {23π/12 + 2πk k Z}. Nämä muodostavat joukon A osituksen, joten muita eri ekvivalenssiluokkia ei ole. Näin ollen eri luokkia on yllämainitut 3 (kuten myös binomiyhtälön eri ratkaisuja) ja luokkien annetut edustajat ovat halutulta väliltä [0, 2π[. 8