Laatoitukset Tessellations Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.-7.10.2012 1 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin. Kuva: Kaksi laatoitusta 2 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin. Kuva: Kaksi laatoitusta Säännöllinen laatoitus muodostuu toistamalla yhtä säännöllistä monikulmiota. 2 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin. Kuva: Kaksi laatoitusta Säännöllinen laatoitus muodostuu toistamalla yhtä säännöllistä monikulmiota. Tehtävä: Etsi kaikki tason säännölliset laatoitukset. Find all regular tessellations of the plane. 2 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama. 3 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama. Tarkastellaan yhtä kärkipistettä laatoituksessa. Säännölliset ja puolisäännölliset laatoitukset voidaan nimetä luettelemalla kärkipisteessä kohtaavien monikulmioiden sivujen lukumäärät. Luettelu aloitetaan vähäsivuisimmasta monikulmiosta. Kuva: Mehiläiskenno on 6.6.6-laatoitus 3 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama. Tarkastellaan yhtä kärkipistettä laatoituksessa. Säännölliset ja puolisäännölliset laatoitukset voidaan nimetä luettelemalla kärkipisteessä kohtaavien monikulmioiden sivujen lukumäärät. Luettelu aloitetaan vähäsivuisimmasta monikulmiosta. Kuva: Mehiläiskenno on 6.6.6-laatoitus Tehtävä: Etsi puolisäännöllisiä laatoituksia ja nimeä ne. Find semi-regular tessellations. 3 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Jaksottomat laatoitukset Tähän mennessä tarkastellut laatoitukset ovat kaikki ns. siirtosymmetrisia. Niitä kutsutaan jaksollisiksi laatoituksiksi. 4 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Jaksottomat laatoitukset Tähän mennessä tarkastellut laatoitukset ovat kaikki ns. siirtosymmetrisia. Niitä kutsutaan jaksollisiksi laatoituksiksi. Laatoitus on jaksoton, jos sillä ei ole siirtosymmetriaa. Kuva: Roger Penrosen alkuperäinen jaksoton laatoitus 4 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Jaksottomat laatoitukset Vuonna 1961 Wang väitti, että kaikki laatoitukset voidaan uudelleenjärjestää niin, että laatoituksesta tulee jaksollinen. Tämän väitteen todisti vääräksi Berger v. 1966 (vastaesimerkissä 20426 erilaista laattaa). 5 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Jaksottomat laatoitukset Vuonna 1961 Wang väitti, että kaikki laatoitukset voidaan uudelleenjärjestää niin, että laatoituksesta tulee jaksollinen. Tämän väitteen todisti vääräksi Berger v. 1966 (vastaesimerkissä 20426 erilaista laattaa). Sittemmin saatiin esimerkkejä pienemmällä laattamäärällä. Viimeisin on Roger Penrosen jaksoton laatoitus, jota ei voida uudelleenjärjestää jaksolliseksi, vain kahdella erilaisella laatalla! 5 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Jaksottomat laatoitukset Kuva: Roger Penrosen laatoitus leija- ja nuolilaatoilla Keskuskadulla 6 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Jaksottomat laatoitukset Kuva: Roger Penrosen laatoitus leija- ja nuolilaatoilla Keskuskadulla Tehtävä: Etsi jaksoton laatoitus. Find an aperiodic tiling. 6 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Laatoitukset ja M.C. Escher Katsotaan Mrs. Heiserin slide-show hienoine kuvineen. 7 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset
Taidelaatoitusten piirtäminen www.tessellations.org 8 / 9 R. Kangaslampi Laatoitukset