Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D = λ i = λ i e i,.. e i on D:n ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori aina kun i =, 2,..., n.... Lause 4.7. T e i on matriisin A ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori aina kun i =, 2,..., n. T on olemassa Matriisin T aste on n eli T :n sarakkeet ovat vapaita. Toisaalta T = T I = (T e T e 2 T e n ) eli A:lla on n vapaata ominaisvektoria.
... 2) Oletus: A:lla on n vapaata ominaisvektoria x, x 2,..., x n ja A x i = λ i x i aina kun i =, 2,..., n. Merkitään T = ( x, x 2,, x n ). T :n sarakkeet ovat vapaita, T :n aste n Siis T on olemassa. Silloin λ λ 2 ( x, x 2,..., x n ).. = (λ x, λ 2 x 2,, λ n x n )... λ n = (A x, A x 2,, A x n ) = A( x,, x n ) = AT. Siis T diag (λ, λ 2,..., λ n ) = AT eli diag (λ, λ 2,..., λ n ) = T AT, joten A on diagonalisoituva. Diagonalisoituvuus ja ominaisvektorit On todistettu tulos: Lause 4.8. n n-matriisi A on diagonalisoituva jos ja vain jos A:lla on n vapaata ominaisvektoria. Huom. Jos A:n ominaisarvot kaikki eri suuria vastaavat ominaisvektorit vapaita A diagonalisoituva. A:lla voi olla n vapaata ominaisvektoria ( A diagonalisoituva) vaikka A:lla on useampikertaisia ominaisarvoja.
Esimerkki 4.6. 2 2 Onko matriisi A = 2 diagonalisoituva? Jos on, 2 2 niin diagonalisoi matriisi. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. Ratk. λ 2 2 det(a λi ) = λ 2 2 2 λ = = (2 λ)( λ)( λ). Ominaisarvoille λ: det(a λi ) =, eli (2 λ)( λ)( λ) =. Matriisin A ominaisarvot ovat,, ja 2. 3 3 matriisilla on 3 erisuurta ominaisarvoa, siis 3 vapaata ominaisvektoria. Matriisi A on diagonalisoituva.... A:n ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit (Harj. ): λ = : t, t, λ = : t, t λ = 2 : t, t. 2 T = 2 ja D = = diag(,, 2). 2
... T = = 2 2. 2 2 A = TDT = 2 2 2. 2 2 2 Esimerkki 4.7. Olkoon matriisi Määrää A ja A 2 2 2 A = 2 3 2. 2 2 Ratk. Diagonalisoidaan A: A:n ominaisarvot ja vastaavat ominaisvektorit: λ,2 = : s + t, s tai t, λ = : t, t
... Vektorijoukko {,, } on vapaa. 3 vapaata ominaisvektoria, joten A on diagonalisoituva.... T = D = diag(,, ) T = =. A = TDT, A 2 = TDT TDT = TDIDT = TDDT = TD 2 T, A 3 = A 2 A = TD 2 T TDT = TD 2 IDT = TD 3 T, A n = TD n T,
... A = TD T = T (diag(,, )) T = T diag(( ), ( ), () )T = T diag(,, )T = TDT = A Vastaavasti: A 2 = TD 2 T = T (diag(,, )) 2 T = T diag(( ) 2, ( ) 2, () 2 )T = T diag(,, )T = TIT = TT = I Paikanvaihto T:ssä Huom. Jos ominaisvektoreiden paikkaa vaihdetaan T :ssä niin vastaava muutos tapahtuu tuloksena saatavassa diagonaalimatriisissa. Edellisessä esimerkissä: 2 2 A = 2 = TDT, missä 2 2 T = ja D = diag(,, ) Myös A = T D T, missä T = ja D = diag(,, )
Jatkoa A = T 2 D 2 T2, missä T 2 = ja D 2 = diag(,, ) A = T 3 D 3 T 3, missä T 3 = ja D 3 = diag(,, ) 4.4. Ominaisarvon numeerisesta laskemisesta Oletus: A diagonalisoituva eli A:lla on n vapaata ominaisvektoria x,..., x n. Olkoon x i A:n ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori. Oletetaan että λ R ja λ i < λ, i = 2,..., n. eli itseisarvoltaan suurin ominaisarvo on reaalinen. { x,..., x n } on vapaa vektorijoukko ja C n :n aste on n. { x,..., x n } on C n :n kanta. Olkoon y R n. Koska R n C n, niin y = n c i x i. i=
Vektorijono Muodostetaan jono vektoreita y k = A y k : y y 2 y k = A y = n c i A x i = n c i λ i x i i= = A y = n c i λ 2 i x i. = n c i λ k i x i = λ k [c x + n 2 i= c i ( λ i λ ) k x i ]. Kun k, niin λ i λ k. Jos nyt c, niin y k kääntyy vähitellen ominaisvektorin x suuntaiseksi kun k. Huomioita Huom. Jos c = ( y :lla ei ole x :n suuntaista komponettia) on kokeiltava toista lähtövektoria. Usein valinta y = (,,..., ) on hyvä (ellei se satu olemaan toista ominaisarvoa vastaava ominaisvektori). Huom. Ylläkuvattu menetelmä ei sovellu kompleksisen ominaisarvon etsimiseen, sillä jos λ = u + iv on ominaisarvo, niin myös λ 2 = u iv on ominaisarvo ja koska λ = λ 2, ei vektori y k välttämättä käänny ominaisvektorin x suuntaiseksi.
Ominaisarvon likiarvo Ominaisarvolle λ saadaan likiarvo seuraavasti: y k y k+ y k y k c x Ac x c x c x = c x cλ x c x c x = c2 λ x x c 2 x x = λ, Siis λ y k y k+ y k y k = λ (k). Esimerkki Esimerkki 4.9. Etsi likiarvo matriisin 2 2 A = 3 2 4 3 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle. Ratk....
Deflaatio Kun λ on määrätty suoritetaan ns. deflaatio: etsitään erityisiä similariteettimuunnoksia käyttäen matriisi ( ) λ y B = C joka on similaarinen A:n kanssa ja missä (n ) (n )-matriisin C ominaisarvot ovat A:n ominaisarvot λ 2,..., λ n. Tämän jälkeen jatketaan kuten edellä. Itseisarvoltaan pienin ominaisarvo Kysymys: Milloin em. menetelmää voidaan soveltaa A:n itseisarvoltaan pienimmän ominaisarvon etsimiseen?
Häiriöalttius Ominaisarvotehtävä on hyvin häiriöaltis. Virheitä pyritään eliminoimaan matriisin esikäsittelyillä ym. menetelmillä, ks. Mäkelä - Nevanlinna - Virkkunen: Numeerinen Matematiikka.