MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla jakajan käänteisluvulla MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 1
Potenssin laskusäännöt: Polynomien potenssit lasketaan tulona MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 2
Ensimmäisenasteen yhtälön ratkaiseminen 1. tuntematonta sisältävät termit siirretään toiselle puolelle ja vakiotermit toiselle puolelle yhtäsuuruusmerkkiä 2. jaetaan molemmat puolet tuntemattoman kertoimella yhtäsuuruus pysyy voimassa, jos molemmille puolille tehdään sama laskutoimitus Yhtälöstä nimittäjä voidaan poistaa laventamalla samannimiseksi ja kertomalla nimittäjällä MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 3
Toisenasteen yhtälön ratkaiseminen täydellinen toisenasteen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavalla Verranto: Verrantomuotoinen yhtälö voidaan ratkaista ristiin kertomalla Suoraan verrannolliset suureet MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 4
Kääntäen verrannolliset suureet Esimerkiksi: Muutto kestää 8h, kun muuttomiehiä on 3. Kuinka monta muuttomiestä tarvitaan lisää, jotta muutto kestäisi 5h? Yhdenmuotoisuus: Kappaleet ovat yhdenmuotoiset, jos niiden vastinsivujen suhde on vakio MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 5
Yhdenmuotoisten kappaleiden 1) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö 2) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio Esimerkiksi: Kartion muotoisen viinilasin tilavuus on 2 dl. Kuinka paljon viiniä on lasissa, kun nestepinnan korkeus on ⅓ lasin korkeudesta? Esimerkiksi: Kartan mittakaava on 1:20 000. Kuinka pitkä on luonnossa polku, jonka pituus kartalla on 5 cm. MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 6
MAB 2 Geometria Suorakulmainen kolmio: Ei-suorakulmainen kolmio: Ympyrä: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 7
Segmentti: Ympyrän tangentti: kun piirretään ympyrän säde tangentin leikkauspisteeseen, säteen ja tangentin välinen kulma on 90 MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 8
Esimerkiksi: Kuinka kauas näkee hyvällä säällä näsineulasta, jonka korkeus on 124m? Maapallon säde on 6370 km. Maapallo: pituus- ja leveyspiirien asteluku on maapallon säteiden välinen kulma pituuspiirit ovat kaikki yhtä pitkiä MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 9
Esimerkiksi: Kuinka pitkä matka pitää kulkea Joensuusta itään, jotta tultaisiin takaisin Joensuuhun? Joensuu sijaitsee 62 pohjoista leveyttä. MAB 3 Suora: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 10
suoran yhtälö: Esimerkiksi: Määritä pisteiden (1, 2) ja (3, 8) kautta kulkevan suoran yhtälö. Missä pisteissä suora leikkaa koordinaattiakseleiden kanssa? MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 11
suoran suuntakulma (suoran ja x-akselin välinen kulma) suora (tai mikä tahansa funktio) kulkee pisteen kautta, jos pisteen koordinaatit toteuttaa sen yhtälön Esimerkiksi: Kulkeeko suora y = 2x+3 pisteen (10, 21) kautta? MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 12
koordinaattiakselien suuntaiset suorat: x-akselin suuntainen: y-akselin suuntainen: Logaritmin määritelmä: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 13
Eksponenttiyhtälönt ratkaisu: tuntematon on eksponentissa Potenssiyhtälön ratkaisu: tuntematon on kantalukuna Prosenttikerroin: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 14
Esimerkiksi: Matkan hinta laski ensin 8%, nousi tämän jälkeen 10% ja laski lopuksi 2%. Miten hinta muuttui alkuperäiseen nähden? Esimerkiksi: Hiustenleikkuu maksaa 20 sisältäen alv:n 24%. Miten hiustenleikkuun hinta muuttuisi, jos alv. laskisi 20%:n. Oletetaan, että leikkuun veroton hinta ei muutu. MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 15
Eksponentiaalinen malli: Huom! Yhtälö on periaatteessa sama kuin koron korko. Esimerkiksi: Suomessa on viime vuosina ollut noin 2% inflaatio. 250 g karkkipussi maksaa 3. Kuinka paljon karkkipussi maksoi 5 vuotta sitten? MAB 4 Paraabeli: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 16
muuttujan arvot ovat x:n arvoja funktion arvoilla tarkoitetaan y:n tai f(x):n arvoja funktio merkki tarkoittaa funktion arvon etumerkkiä + tai - MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 17
Epäyhtälön ratkaiseminen: 1) Ratkaistaan vastaavan funktion nollakohdat 2) Piirretään kuva ja päätellään vastaus kuvan avulla Esimerkiksi: Ratkaise epäyhtälö: Derivoiminen: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 18
derivaatan arvo = funktion muutosnopeus ( kulmakerroin ) derivaatan nollakohdassa on funktiolla ns. ääriarvo, jos derivaatan merkki vaihtuu (kuvaajassa huippu) MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 19
Esimerkiksi: Laske funktion ääriarvot. funktion suurin ja pienin arvo löytyy: derivaatan nollakohdasta suljetun välin päätepisteestä MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 20
Esimerkiksi: Laske funktion f(x)=x²-2x+3 suurin ja pienin arvo välillä -2 x 5 tai [-2,5] MAB 5 Tuloperiaate: erilaisten yhdistelmien lukumäärä on peräkkäisissä valinnoissa olevien vaihtoehtojen tulo valinta järjestyksellä on merkitystä Esimerkiksi: Matemaatikolla on kaapissa kahdet housut, viisi paitaa ja kolme hattua. Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta hän voi laittaa päälleen? MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 21
Esimerkiksi: Kuinka moneen eri järjestykseen viisi kirjaa voidaan laittaa kirjahyllyyn. Kombinaatiot kuinka monta erilaista pienempää joukkoa voidaan ryhmästä valita nyt valinta järjestyksellä ei ole merkitystä Esimerkiksi: Matemaatikko valitsee viidestä kirjasta kaksi lukemiseksi autiolle saarelle. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa hänellä on? Esimerkiksi: Kuinka monta erilaista lottoriviä on? Todennäköisyyslaskenta tapahtuman A todennäköisyys: MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 22
Esimerkiksi: Lottovoiton todennäköisyys, jos jättää vain yhden rivin. yhteenlaskusääntö vaihtoehtoisia tuloksia todennäköisyydet lasketaan yhteen Esimerkiksi: Korttipakasta nostetaan yksi kortti. Mikä on todennäköisyys, että kortti on pata tai kuningas? kertolaskusääntö peräkkäisiä tapahtumia todennäköisyydet kerrotaan keskenään Esimerkiksi: Noppaa heitetään neljä kertaa. Mikä on todennäköisyys saada neljä kutosta? Esimerkiksi: Noppaa heitetään neljä kertaa. Mikä on todennäköisyys saada tasan yksi kutonen? MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 23
toistokoe tapahtuma A tapahtuu tasan k kertaa n:llä toistolla Esimerkiksi: Omenapuun siemen itää 75% todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä 100 siemenestä tasan 65 itää? vastatapaus tapahtuma ei tapahdu Esimerkiksi: Noppaa heitetään neljä kertaa. Mikä on todennäköisyys, että saadaan ainakin yksi kutonen? Tilastot: keskiarvo MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 24
keskihajonta Esimerkiksi: Oheisessa taulukossa on matkapuhelimien määrä kotitalouksissa. Laske puhelimien määrän keskiarvo ja keskihajonta. puhelimia (x) talouksia (f) fx 0 10 0*20=0 1 10 1*10=10 2 15 2*15=30 3 20 3*20=60 4 25 4*25=100 5 20 5*20=100 6 15 6*15=90 yhteensä: 115 390 keskihajontaa varten tehdään uusi taulukko x f f(x- x) 2 0 10 10*(0-3,391)²=115,0094.. 1 10 10*(1-3,391)²=57,1833.. 2 15 15*(2-3,391)²=29,0358.. 3 20 20*(3-3,391)²=3,06238.. 4 25 25*(4-3,391)²=9,2627.. 5 20 20*(5-3,391)²=51,7580.. 6 15 102,0793.. yhteensä: 367,391300... MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 25
Normaalijakauma normitus: muuttuja x noudattaa normaalijakaumaa, merkitään x~n(23, 7) ensimmäinen luku sulkeissa on keskiarvo/odotusarvo toinen luku sulkeissa on keskihajonta muuttujan x arvot normitetaan ja prosenttiosuudet (todennäköisyydet) katsotaan taulukkokirjasta s.63 (s.61). taulukkokirjasta löytyvä arvo kertoo, kuinka monta prosenttia muuttujan arvoista jää kyseisen arvon alapuolelle MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 26
Esimerkiksi: Yo-kokeen arvostelu, ennen uudistusta perustui normaalijakaumaan. Erään aineen pisteet noudattivat normaalijakaumaa N(29, 14). Laske laudaturin pisteraja, kun 5% kokelaista saa laudaturin. MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 27
MAB 6 Yhtälöpari Esimerkiksi: Laske suoran 2x-y=1 ja paraabelin y=2x²-6x+5 leikkauspisteet. Yhtälöryhmän ratkaiseminen MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 28
Lineaarinen optimointi Esimerkiksi: Tuula tekee myyjäisiin kahta erilaista villapaita mallia. Malliin A menee 400 g punaista lankaa ja 400 g vihreää lankaa. Malliin B menee 600 g punaista ja 200 g vihreää lankaa. Mallia A Tuula myy 100 :lla ja mallia B 55 :lla. Kuinka monta paitaa Tuulan kannattaa valmistaa mallia A ja B, kun hänellä on punaista lankaa 7,2 kg ja vihreää 4,8 kg. MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 29
MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 30
Lukujonot ja summat lukujonon jäseniä nimitetään myös termeiksi Aritmeettinen lukujono Esimerkiksi: 3, 5, 7, 9, 11 peräkkäisten jäsenten erotus on vakio, esimerkiksi: d=5-3=9-7=2 yleinen jäsen Esimerkiksi: Määritä lukujonon 3, 5, 7, yleinen jäsen. aritmeettinen summa saadaan kun lasketaan aritmeettisen lukujonon jäseniä yhteen. summa lasketaan kaavalla: Geometrinen lukujono Esimerkiksi: 3, 12, 48, peräkkäisten jäsenten välinen suhde on vakio yleinen jäsen MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 31
geometrinen summa saadaan kun lasketaan geometrisen lukujonon jäseniä yhteen. summa voidaan laskea kaavalla: Esimerkiksi: Tilille laitetaan rahaa 50 joka toinen kuukausi. Kuinka paljon rahaa kertyy 25 vuodessa, kun tilin korko on 2,3% ja lähdevero on 28%? MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 32
Muuta Tehtävien pisteytys karkeasti: oikea alku 1/3 pisteistä oikeat välivaiheet 1/3 pisteistä vastaus 1/3 pisteistä Muutamia linkkejä: vanhoja yo-kokeita ja ratkaisuja löytyy osoitteesta: matta.hut.fi/matta/yoteht YTL:n sivuilta löytyy hyvän ratkaisun piirteet osoitteesta: http://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/ylioppilastutkinto/hyvaen-vastauksen-piirteet MAB 9 - Joensuun lyseon lukio 33