Chapter 4. Random Walks, Friction and Diffusion 1 Luento3 6.1.017 Diffuusiotensorikuvaus: Magneettiresonanssi (MR) Hermoratojen kuvantaminen
Chapter 4. Random Walks, Friction and Diffusion Dissipaatio: Irreversiibeli prosessi, jossa energia muuntuu isotrooppisempaan jakaumaan/muotoon Järjestys epäjärjestys Dissipatiivisia prosesseja: Diffuusio nesteessä Kitka Resitanssi Lämmönjohtuminen Tärkeitä nanoskaalan maailmassa Biologinen kysymys: Jos kaikki liike on satunnaista solujen nanomaailmassa, miten voimme sanoa mitään ennustuskykyistä solujen toiminnasta? Fysikaalinen idea: Satunnaisesti liikkuvien solutason toimijoiden kollektiivinen liike voi olla ennustettavaa, vaikka yksittäisen ei.
Brownin liike Robert Brown (187): Siitepölyhiukkaset (kolloidipartikkelit) liikkuvat satunnaisesti nesteessä Liikkeen nopeus riippuu lämpötilasta Liike ei lakkaa Elottomatkin partikkelit liikkuvat samalla tavoin Ongelmia: Siitepölyhiukkaset suuria (m), vesimolekyylit pieniä (< nm) Vesimolekyylien kineettinen energia ei riitä potkimaan Molekyylien törmäystaajuudet suuria (>10 1 s -1 ) Mahdoton nähdä korkeataajuista liikettä Einstein (1905): Liike kuitenkin liuosmolekyylien potkuista Kehitti teorian selittämään Brownin liikkeen Nähdään vain hyvin harvinaisia tapahtumia = isoja siirtymiä Suuri määrä potkuja kuljettamassa satunnaisesti samaan suuntaan Nobel -palkinto valosähköisestä ilmiöstä Perrin (1909): Teorian kokeellinen vahvistus mikroskopialla Nobel 196 diffuusiosta ja Brownin liikkeestä
Perrinin kokeet:
Satunnaiskävely ( random walk ) ja diffuusio Diffuusiolain johto yhdessä dimensiossa: Satunnaisaskel, pituus L; askelten välinen aika t Askeleella j siirtymä k j L, k j = 1 Paikka askeleen j jälkeen x j : x j = x j-1 + k j L Lähtö paikasta x 0 = 0
x x k L x L x k L k N N 1 N N 1 N 1 N N N askelta x N NL 0 toistojen 1 keskiarvossa
Määritellään diffuusiokerroin D: L t kokonaiskävelyaika D, missä N t t askelten välinen aika x Dt 1-dimensioinen diffuusiolaki N Yksittäinen satunnaiskävely 30 satunnaiskävelyn keskiarvo
Satunnaiskävely kahdessa dimensiossa: N N N r x y 4Dt Satunnaiskävely kolmessa dimensiossa: N N N N r x y z 6Dt
Nesteen sisäinen kitka ja diffuusio 9 Partikkelit jatkuvassa termisessä liikkeessä Törmäyksiä (elastisia) suurella taajuudella (vrt. kaasu) Pääasiassa liuotinmolekyyleihin Partikkelien paikkojen jakautuminen Energian jakautuminen (kitka) Vaikuttakoon partikkeleihin ulkoinen voima f (x -suunnassa) Törmäysten välisenä aikana t (oletetaan vakioksi) partikkeli liikkuu f x v t ½ t v m f x v0, x t ½ t m 0, x 0, x Törmäyksen jälkeinen suunta täysin satunnainen = törmäyksen jälk. nopeus v 0, x 0 zeta x f m vdrift, missä t t (kitkakerroin)
Nesteen sisäinen kitka 10 v drift f Saatiin yleinen kitkalaki Kitka aiheutuu partikkelien törmäyksistä Vaikuttaa kaikkiin liuoksen partikkeleihin (myös liuotin) Pallomainen partikkeli väliaineessa: 6R Stokesin laki väliaineen ominaisuuksista partikkelin efektiivinen säde R nesteen viskositeetti vedelle 10-3 kg m -1 s -1 (5 C) diffuusiolla liikkuvan partikkelin ominaisuus
Einstein-relaatio 11 Kitkakertoimen ja diffuusiokertoimen D yhteys: Aiemmin saatu: Kin. kaasuteoria + ideaalikaasun tilanyhtälö: kaasumolekyylien vapaan matkan lentonopeus: Diffuusiokertoimen määritelmä: D m v k T 0,x B D : fluktuaatio paikan suhteen : dissipaation vaikutus (nesteen sisäinen kitka) D :n ja :n lämpötilariippuvuudet monimutkaiset; tulon D lineaarinen! mahdollistaa k B :n määrityksen kokeellisesti! t v 0,x L x N t t m k T kbt k T B B t t v t L 0, x D D k T B Einstein-relaatio L t Askelpituus = keskim. törmäysväli t N t
Muita satunnaiskävelyilmiöitä 1 Polymeerien konformaatio Isolla molekyylillä voi olla valtava joukko mahdollisia konformaatioita Attraktiot, repulsiot Steeriset esteet Useita vaikuttavia tekijöitä Sidospituudet Sidoskulmat Termisen energian potkut Konformaation kuvaus? Deterministinen Esim. Proteiinien atomien sijaintien kuvaus 3D-rakenteessa Statistinen Määritys kiteytetyistä proteiineista Keskimääräiset ominaisuudet Esim. DNA ja RNA; kiinnostavaa, missä sijaitsevat ja minkä verran vievät tilaa, ei niinkään tarkka hetkellinen 3D-rakenne
13 Yksinkertainen polymeerimalli: N toistoyksikköä Sidospituus L Vapaasti nivelöidyn ketjun approksimaatio Sidoskulmat toisistaan riippumattomia Hetkellisiä pysäytyskuvia: Joukko satunnaiskävelyjä! x NL N N N N N r x y z Maksimipituus: r N max 3 3 L N L N NL Vapaasti pyörivän ketjun approksimaatio Sidoskulma vakio Keskimääräinen päiden välinen etäisyys r f ( N ) NL N
14 Esim. Polymetyylimethakrylaatin (PMMA) D asetonissa Eri moolimassaiset (mittaiset) lineaariset molekyylit Stokes-Einstein: Satunnaiskävely: D k T D B kt B 6R r N vakio N L R N M PMMA-toistoyksikkö 1 1 D M 0,57 D 1 M Linear polymer D M 0,5
15 Esim. Iso pallomainen proteiini: Vuorovaikutukset pakkaavat aminohappoja toistensa läheisyyteen Molekyylipaino M > 10 3 g/mol : 4 R M V 3 R 3 B D 3 prot D 3 Johtopäätös: 3M 4 Lyhyet peptidit lineaarisia rakenteita Pitkät aminohappoketjut pakkautuvat globulaarisiksi proteiinirakenteiksi 3 M 1 3 kt 4 1 6 3M M
16 Miten pieniin dimensioihin asti Stokes-Einstein relaation pätevyysalue jatkuu? Pienet partikkelit vedessä: vesi
17 Liuotin-polymeerivuorovaikutus ja monomeeri-monomeerivuorovaikutus Hyvä vs. huono liuotin Kompakti vs. pitkänomainen (pallomainen vs. lineaarinen) Gyraatiosäde R G : N mr i i i1 G N mi i1 Stokesin säde R S : r N R N, isoilla N Palloa jarruttava kitkavoima nesteessä 6 F Empiirisesti: R R R R G S G S 6 S R v 1.5 ("löysä" rakenne; satunnaiskävely) 0.8 (kompakti, pallomainen molek.)
18 Polymeerien ominaisuuksia: R G :n kokeellinen määritys esim. valonsironnalla
19 DNA positiivisesti varautuneella pinnalla: DNA-monomeereilla (nukleotideillä) negat. alkeisvaraus Termisestä liikkeestä eri konformaatioita (-dim.) Attraktio pintaan, repulsio ketjun osilla Teoriasta: satunnaiskävelyn eksp. 0,75 (R G N 0,75 ) R G N 0,79
4.4 Diffuusio 0 Varautumattomien partikkelien vuon makroskooppinen malli: Tarkastelu yhdessä dimensiossa (Einstein 1908): Oletukset: Partikkelit liikkuvat ajan t yhteen suuntaan (+x tai x), sitten törmäys Törmäysten välillä partikkeli liikkuu matkan L Partikkelin suunta yhtä todennäköinen +x - ja x suuntaan (½) Konsentraatiogradientti vakio ( steady state, stationääritila) Boksin koon valinta: Kun L, ajassa t x -tason läpäisevien partikkelien määrä riippuu vain partikkelien määrästä boksissa, ei boksin ulkopuolella olevien partikkelien määrästä j 1 L c x St SL j 1 L c x St SL j - j + Ala S Kokonaisvirtaus j: L L L j j j c x c x t x L x x L
1 Konsentraatiogradientti vakio: Keskim. konsentraatiot pikkuboksien keskellä Kokonaisvirtaus j: L c x L L L c L L x c x dc c x dx x x L j - j + x L x x L Ala S L L L L dc j j j c x c x t t dx D j dc D dx Fickin laki D L Einstein-Schmolukowski -yhtälö t
Jos virtaus muuttuu paikan funktiona (ainetta syntyy tai häviää): N j ( x) st j ( x x) st i i i Ni ji ( x) t ji ( x x) t ci sx x ci ji ( x x) ji ( x) t x ci j i Jatkuvuusyhtälö t x s c t i D i ci x Diffuusioyhtälö Diffuusioyhtälö deterministinen: c( x,0) c( x, t) Lähtökohta satunnaiskävely: stokastinen Satunnaiskävelyjoukon keskiarvoistaminen deterministinen
3 Diffuusio kalvon läpi (neutraalit aineet): Stokesilainen diffuusio Perusoletus: Systeemi: vesiliuos kalvo vesiliuos = vesiliuos öljy vesiliuos, missä öljy = homogeeninen nestefaasi c' Boltzmann: c U p k B T e B B partitiokerroin Jos vuo kalvossa ei riipu paikasta: dc ' J D' vakio, D' diffuusiokerroin kalvossa dx dc ' ( vakio, jos D' on kalvossa vakio) dx kalvo L c 0 c 0 c 1 c 1 J x Konsentraatiogradientille lineaarinen approksimaatio U p
4 Yleensä konsentraatioita ei tunneta kalvossa, mutta kalvojen eri puolilla tunnetaan Halutaan j :lle lauseke, jossa dc' dx c 0 :n ja c 1 :n avulla j D' dc ' dx j dc ' dx D' j c '( x) c0 ' x D' j c1' c '( L) c0' L D' Kalvossa pintojen konsentraatioero: c 0 L c 1 j D' c' c ' c ' B c B c L j Bc c D' L 0 1 0 1 0 1 Usein biol. systeemeissä ei tunneta D, L eikä B määritellään permeabliteetti P : D ' m, cm L s s P B j P c P
5 Eri molekyylien permeabiliteetti keinokalvossa Fosfatidyylikoliinikalvo (efektiivisesti öljyä : ε r,öljy = ~-3, ε r,vesi = ~80) D kullekin aineelle öljyssä, B kunkin aineen partitiokerroin (vesi - öljy)
Diffuusio, suuruusluokkia 6 Molekyyli Väliaine Lämpötila ( C) M (g/mol) D (cm /s) Vety Ilma 0 6,11 10-1 Helium Ilma 3 4 6,4 10-1 Happi Ilma 0 3 1,78 10-1 Bentseeni Ilma 5 78 9,60 10 - Vety Vesi 5 4,50 10-5 Helium Vesi 5 4 6,8 10-5 Happi Vesi 5 3,10 10-5 Urea Vesi 5 60 1,38 10-5 Bentseeni Vesi 5 78 1,0 10-5 Sakkaroosi Vesi 5 34 5,3 10-6 Ribonukleaasi Vesi 0 13683 1,19 10-6 Hemoglobiini Vesi 0 68000 6,90 10-7 Katalaasi Vesi 0 50000 4,10 10-7 Myosiini Vesi 0 493000 1,16 10-7 DNA Vesi 0 6 10 6 1,30 10-8 Tobacco mosaic virus Vesi 0 5 10 7 3,00 10-8
Diffuusio, suuruusluokkia 7 x ½ t ½ Esimerkki 10 nm 100 ns Solukalvon paksuus 1 m 1 ms Mitokondrion koko 10 m 100 ms Nisäkkään pienen solun säde 100 m 10 s Suuren lihassäikeen halkaisija 50 m 1 min Mustekalan jättiläisaksonin säde 1 mm 16,7 min Sammakon räätälinlihaksen puolipaksuus mm 1,1 h Silmän linssin puolipaksuus 5 mm 6,9 h Munasolun säde cm 4,6 d Sydämen kammion seinämän paksuus 1 m 31,7 v Pitkän hermosolun pituus x ½ : Puolet partikkeleista diffundoitunut matkan x ½ ajassa t ½
Diffuusio pistelähteestä 8 Alussa profiili c(x,0) c(x,t) 1-dimensioinen tapaus: N c x t e t 4 Dt x 4Dt (, ), 0 3-dim.: r N 4Dt (, ), 0 3 c r t e t 4 Dt
9 Esimerkki: Satunnaiskävelijälle x Dt x? edellisen kalvon jakaumalle x N 4Dt (, ) e. c x t 4 Dt
30 Esim. x? jakaumalle x N 4Dt (, ) e. c x t 4 Dt x 1 4Dt x dx x e 4 Dt Matem. taulukoista: by di 1 Määr. I( b) dy e db di Toisaalta db db dy e y (yksittäinen partikkeli) by dy e 3 b d by by dy e dy y e 1 1 1 b x Dt Dt 4Dt 4 Dt 3 Asettamalla 4 b