Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) = f (x, y) = Eli x x = y = x Siis joko x = ja y = / tai x = ja y = / Minkä tahansa pisteen (x, y) ympärillä voidaan arvioida f (x + h, y + h ) f (x, y) + f x (x, y)h + f (x, y)h f (x + h, y + h ) f (x, y) + f x (x, y)h + f (x, y)h Jäännöstermi on lokkaa maxh, h} Sama matriisimodossa f (x + h, y + h ) f (x, y) + J(x, y) f (x + h, y + h ) f (x, y) missä on Jacobin matriisi J(x, y) = x (x, y) ] f (x, y) f x (x, y) f (x, y) [ f Kriittisen pisteen läheisyydessä yhtälösysteemi käyttäytyy kin lineaarinen yhtälösysteemi, ainakin tavallisimmissa tapaksissa Linearisaatio: Merkitään = x x, v = y y Linearisoit systeemi on v = J(x, y ), v missä (x, y ) on kriittinen piste Tehtävän systeemille Ttkitaan ominaisarvoja: J(, /) = J(x, y) = [ 5 ] [ h h ], x, () ja J(, /) = det(j(, /) λi) = ( 5 λ)( λ) + = λ + λ 8, () λ = ± > }} 9 +
Siis ominaisarvot ovat erimerkkiset (, /) on satla, joka kl yllä mainittihin tavallisiin Vastaavasti: det(j(, /) λi) = ( λ)( λ) + = λ 5λ + 8, λ = 5 ± 5 = a ± ib, missä a, b R ja a > Siis (, /) on spiraalilähde Se on niinikään hyvin linearisoinnin shteen käyttäytyvä (Ongelmallisin on kesks) x = x x + y + y = x + y y 4 5 x Kva : Teht Tehtävän syteemi x = x αxy = f (x, y) y = y + αxy = f (x, y), α > Kriittisessä pisteessä f (x, y) = f (x, y) = x( αy) = y( + αx) =, joko x = ja y = tai x = /α ja y = /α Linearisointi kriittisessä pisteessä (x, y ): ( = x x, v = y y ) = J(x, y ) v v Jacobin matriisi Siis J(x, y) = [ f x f x f f J(, ) = ] αy αx = αy + αx,
jonka ominaisarvot ovat λ = ja λ = Eri merkkiset, satla Ja J(/α, /α) =, jonka ominaisarvot ovat λ = i ja λ = i Imaginääriset, linearisoit kesks Tämä on jri pahin ongelmatapas Meillä ei ole ollt esillä keinoja, joilla voitaisin asia varmdella ratkaista (Meiltä ptt jopa täsmällinen määritelmä epälineaarisen faasitasotyypeille, kvalitatiivinen analyysimme on siten todella kvalitatiivista, (k)valitettavasti) Kvan persteella näyttää joka tapaksessa ilmeiseltä, että tässä tapaksessa kyse on todella kesstyyppisestä käyttäytymisestä Piirretään ensin heilrin kva pplene5:llä Klma letaan vaaka-akselilta ja klmanopes θ = ω ω = sin(θ) D ω D = 4 ω 4 8 6 4 4 6 8 θ pystyakselilta Kva : Teht a) Umpinaisella trajektorilla θ vaihtelee maksimi- ja minimiarvon välissä Ja vastaavasti ω vaihtelee minimi- ja maksimiarvon välissä Jos heilri lähetetään pisteestä θ = ja ω = ω, tämä vastaa trajektorin ylimmäistä tai alimmaista pistettä (leikkaa pystyakselia) Ja tosi elämässä tilannetta, jossa heilri roikk alaspäin ja sillä on alknopetta oikealle tai vasemmalle Jonkin ajan kltta heilri saavttaa oikean tai vasemman poleisen ääripisteen Tässä pisteessä trajektori leikkaa vaaka-akselin, ω = Rajatapastrajektorilla, joka siis klkee pisteen θ = π ja ω = katta, heilri jaksaa jri ja jri yläasentoon, mtta kääntyy ylhäällä takaisin Hieman srempi alknopes ja heilri olisi pyörähtäny ympäri b) Jos heilri lähetetään pisteestä θ = ja ω = ω ja ω on tarpeeksi sri (itseisarvoltaan), ollaan aaltoilevalla trajektorilla Tällaisella trajektorilla ω ei ole koskaan nolla eikä siis vaihda merkkiä Heilri pyörähtelee siis ympäri koko ajan samaan sntaan 4 Tehtävän systeemi y = y + y y = y y alkarvoilla y () = ja y () = 4
Tarkka ratkais: ominaisarvot det(a λi) = ( λ) = (λ + ) + λ = + i ja λ = i ja ominaisvektorit i A λ I = v i = Siis yleinen ratkais on i Alkehdosta y () = ja y () = 4 saadaan i i C + C = i ja A λ I = v i = i y = (C e it i + C e it )e t Siis koska e ±it = cos t ± i sin t, saadaan [ y = ( cos t + 4] Elerin menetelmä yhtälölle y = f(y, t): missä t n = nh C 4 = C = 4 sin t)e t y = y() ja y n+ = y n + hf(y n, t n ), n, Matlab-totets: Ja vastakseksi saatiin y y y y y 4 y 5 Eler 8 8 54 56 449 4 4 664 4 57 Tarkka 656 44 95 89 8 4 96 4696 88 5 795 i 5 Tehtävä: y = ty y, y() =, y () = Tarkka ratkais on y(t) = t t Todetaan tämä laskemalla: y = t y = 6t, ty = y = t(t ) (t t) = 6t = y Ok Toisen asteen differentiaaliyhtälö voidaan palattaa ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälösysteemiksi kirjoittamalla w = y w = y Saadaan systeemi w = w w = tw w Sovelletaan tähän Elerin menetelmää askelpitdella h = 5 ja 5 askeleella Matlab: Ja tlokseksi saada h h h 4h 5h y Eler -5 - -449-597 -745 y -499-99 -4466-59 -744 y Eler y 6 5 8 4
4 5 5 y 5 5 5 5 5 5 y Kva : Teht4 6 4 asteen Rnge-Ktta-menetelmä: t n = nh k = hf(y n, t n ) k = hf(y n + k /, t n + h/) k = hf(y n + k /, t n + h/) k 4 = hf(y n + k, t n + h) y n+ = y n + 6 (k + k + k + k 4 ) Menetelmää sovelletaan tehtävän 4 systeemiin h = ja askelia otetaan yksi Matlab-pätkä: Tlokset: k k k k 4 y 4-4 -4 - -4 6667 Piirretään kvaan tehtävän 4 ratkaisn ja tarkan ratkaisn kanssa 5
4 5 5 y 5 5 5 5 5 5 y Kva 4: Teht6 6