Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM1, Kesä 2015 86/202
Jos virittäjäjono on vapaa, niin kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina: Lause 11 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,...}. Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden span( v 1, v 2,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaationa. LM1, Kesä 2015 97/202
Perustelu: : Oletetaan, että jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Oletetaan, että w span( v 1, v 2,..., v k ). Tämä tarkoittaa, että w voidaan kirjoittaa ainakin yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Oletetaan nyt, että w = a 1 v 1 + + a k v k ja w = b 1 v 1 + + b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. Tällöin a 1 v 1 + + a k v k = b 1 v 1 + + b k v k, joten a 1 v 1 + + a k v k (b 1 v 1 + + b k v k ) = 0 ja edelleen (a 1 b 1 ) v 1 + + (a k b k ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on oletuksen mukaan vapaa, joten viimeisestä yhtälöstä seuraa, että a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0,..., a k b k = 0. Siten a 1 = b 1,..., a k = b k. Näin ollen vektoria w ei voida kirjoittaa lineaarikombinaationa usealla eri tavalla. LM1, Kesä 2015 98/202
: Oletetaan, että jokainen aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Osoitetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on vapaa. Sitä varten oletetaan, että luvut c 1,..., c k R ovat sellaisia, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0. Koska vektori 0 on aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio, se voidaan kirjoittaa vektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Tiedetään, että 0 v 1 + 0 v 2 + + 0 v k = 0, joten täytyy päteä c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Siten jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM1, Kesä 2015 99/202
Kanta Oletetaan, että v 1,..., v j R n, missä n {1, 2,...}. Merkitään W = span( v 1,..., v j ); ts. W on vektoreiden v 1,..., v j virittämä aliavaruus. Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos (a) W = span( w 1, w 2,..., w k ) (b) ( w 1, w 2,..., w k ) on vapaa. LM1, Kesä 2015 100/202
Kanta Esimerkki 19 Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Osoitetaan, että jono (ē 1, ē 2 ) on avaruuden R 2 kanta. ē 2 ē 1 LM1, Kesä 2015 101/202
Esimerkin 19 ratkaisu Käytetään kannan määritelmää: (a) Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Havaitaan, että w = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = w 1 ē 1 + w 2 ē 2. Näin mikä tahansa avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ē 1 ja ē 2 lineaarikombinaationa. Siten span(ē 1, ē 2 ) = R 2. (b) Oletetaan, että c 1 ē 1 + c 2 ē 2 = 0 joillakin c 1, c 2 R. Tällöin c 1 (1, 0) + c 2 (0, 1) = (0, 0) eli (c 1, c 2 ) = (0, 0), mistä seuraa, että c 1 = 0 ja c 2 = 0. Siis jono (ē 1, ē 2 ) on vapaa. LM1, Kesä 2015 102/202
Kanta ja koordinaatit Lause 12 Jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Lause 12 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Oletetaan, että ū W. Vektorin ū koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla ū = a 1 w 1 + + a k w k. LM1, Kesä 2015 103/202
Kanta ja koordinaatit Esimerkki 20 Merkitään w 1 = (2, 1), w 2 = (1, 3) ja ū = (8, 3). (a) Osoita lauseen 12 avulla, että ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta. (b) Määritä vektorin ū koordinaatit avaruuden R 2 ns. luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen. (c) Määritä vektorin ū koordinaatit kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen. LM1, Kesä 2015 105/202
(a) Oletetaan, että v R 2. Ratkaistaan yhtälö x 1 w 1 + x 2 w 2 = v eli yhtälö x 1 (2, 1) + x 2 (1, 3) = (v 1, v 2 ). Komponenteittain: { 2x1 + x 2 = v 1 x 1 + 3x 2 = v 2. [ ] 2 1 v1... 1 3 v 2 [ ] 1 0 (3v1 v 2 )/7. 0 1 (v 1 + 2v 2 )/7 Tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista v R 2. Siis jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta lauseen 12 nojalla. LM1, Kesä 2015 106/202
Kanta ja koordinaatit (b) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen ovat 8 ja 3, sillä ū = 8(1, 0) + 3(0, 1) = 8ē 1 + 3ē 2. 3ē 2 ē 2 ū =8ē 1 +3ē 2 ē 1 8ē 1 LM1, Kesä 2015 107/202
(c) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen saadaan a-kohdan avulla. Sen mukaan x 1 w 1 +x 2 w 2 = ū, jos ja vain jos { x1 = (3u 1 u 2 )/7 = (24 3)/7 = 3 x 2 = (u 1 + 2u 2 )/7 = (8 + 6)/7 = 2. Siis ū = 3 w 1 + 2 w 2 eli kysytyt koordinaatit ovat 3 ja 2. LM1, Kesä 2015 108/202
Kanta ja koordinaatit 2 w 2 w 2 ū =3 w 1 +2 w 2 w 1 3 w 1 LM1, Kesä 2015 109/202
Kanta ja dimensio Lause 13 Aliavaruuden W jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. Lause 13 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Aliavaruuden W kannan vektorien lukumäärä on aliavaruuden W dimensio. Sitä merkitään dim(w ). Jos aliavaruuden dimensio on n, sanotaan, että aliavaruus on n-ulotteinen. LM1, Kesä 2015 110/202
Kanta ja dimensio Esimerkki 21 Esimerkin 19 mukaan vektorit ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) muodostavat avaruuden R 2 kannan. Siten dim(r 2 ) = 2. ē 2 ē 1 Esimerkki 22 Merkitään v 1 = (3, 1, 5), v 2 = (2, 1, 3) ja v 3 = (0, 5, 1). Olkoon W = span( v 1, v 2, v 3 ). Määritä aliavaruuden W dimensio. LM1, Kesä 2015 111/202